线性系统作业1

举一个线性系统的例子，分析其输入输出之间的线性关系，并给出仿真结果，进一步分析零输入响应与零状态响应。

解：如图1所示，一个质量为m 的滑块通过劲度系数为2k 的弹簧连在墙上，忽略滑块与地面之间的库伦摩擦，只考虑粘滞摩擦，粘滞摩擦系数为1k 。该系统可以视为一个线性系统。

图1系统组成图 对于系统应用牛顿第二定律可得

y k y k u my 2'1''--=（式1）

其中0y 是滑块的初始位置。对式1进行拉氏变换可得

)()()()(212s Y k s sY k s U s Y ms --=

变形得

)(1)(2

12s U k s k ms s Y ++= 取2,1,121===k k m ，则传递函数21)(2++=

s s s G 。 线性系统具有叠加性和齐次性，可表示为

021*******),()(),()()

()(t t t y t y t t t u t u t x t x ≥+→⎭⎬⎫≥++（叠加性） 010101),(),()(t t t y t t t u t x ≥→⎭

⎬⎫≥ααα（齐次性） 对此系统仿真得到的结果如图2、图3所示。由图像可以看出该系统满足上述叠加性和齐次性描述，因此此系统为线性系统。

图2叠加性仿真结果

图3齐次性仿真结果

由于该系统是线性系统，因此该系统的响应可以由零输入响应与零状态响应的和来表示，即

全响应= 零输入响应+ 零状态响应

图4验证了该系统也满足上式

图4全响应、零输入响应与零状态响应仿真图