2022年全国各省中考数学真题分类解析相交与平行
2013-2022北京中考真题数学汇编：相交线与平行线
2013-2022北京中考真题数学汇编相交线与平行线一、单选题1．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（2020·北京·中考真题）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1＞∠4+∠5D ．∠2＜∠54．（2019·北京·中考真题）用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．（2017·北京·中考真题）如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ）A ．线段PA 的长度B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段PD 的长度6．（2016·北京·中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2015·北京·中考真题）如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）A ．26°B ．36°C ．46°D ．56°8．（2013·北京·中考真题）如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°二、填空题 9．（2020·北京·中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．10．（2018·北京·中考真题）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是=a _____，b =______，c =_______。
2022年全国数学中考真题(江苏河南广东四川湖南等)汇编专题12 平行四边形与中位线(解析版)
专题12 平行四边形与中位线一．选择题1.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】B【分析】利用平行四边形ABCD 的面积公式即可求解．【详解】解：⊥DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，⊥S 平行四边形ABCD =DE ×AB =2×12×AC ×BF ， ⊥4×6=2×12×8×BF ，⊥BF =3，故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD 的面积公式求垂线段的长是解题的关键． 2．（2022·浙江宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（ ）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】D【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：⊥D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，⊥AE ＝2DF ＝4，⊥AE ＝AD ，⊥AD ＝4，在Rt ⊥ABC 中，D 为斜边AC 的中点，⊥BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题关键是求出AD 的长． 3．（2022·四川眉山）在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16【答案】A【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】⊥D ，E ，F 分别为各边的中点，⊥DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线， ⊥DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，⊥△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 4．（2022·浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，⊥四边形ABCD 是平行四边形⊥OA =OC ，OB =OD⊥BE =DF ⊥OE =OF ⊥点E，F 时BD 上的点，⊥只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形⊥存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是菱形；⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．5．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得⊥BFE =⊥C ，从而得到⊥B =⊥BFE ，进而得到BE =EF ，再据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解⊥⊥EF AC ∥，GF AB ∥，⊥四边形AEFG 是平行四边形，⊥FG =AE ，AG =EF ，⊥EF AC ∥，⊥⊥BFE =⊥C ，⊥AB =AC ，⊥⊥B =⊥C ，⊥⊥B =⊥BFE ，⊥BE =EF ，⊥四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2022·四川达州）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．B F ∠=∠ B ．DE EF =C ．AC CF=D ．AD CF =【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DE ⊥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：⊥在⊥ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，⊥DE 是⊥ABC 的中位线，⊥DE ⊥AC 且DE =12AC ，A 、根据⊥B =⊥F 不能判定CF ⊥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ⊥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ⊥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2022·浙江丽水）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A ．28B ．14C ．10D ．7【答案】B 【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．8．（2022·湖南怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【答案】A【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，⊥这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．9．（2022·四川南充）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠【答案】C 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：⊥多边形ABCDE 是正五边形，⊥该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ⊥5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ⊥ABF 是正三角形，⊥60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，⊥1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；⊥AB AE =，AB AF FB ==，⊥AE AF =，故A 选项正确；⊥60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，⊥F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．10．（2022·湖南湘潭）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：⊥四边形ABCD 为平行四边形，⊥AB ∥CD ⊥⊥DCA ＝⊥CAB ，⊥BCD ∠=⊥DCA +⊥ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒⊥BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．11．（2022·河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 12．（2022·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．平行四边形的对角线互相垂直C ．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D ．三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．13．（2022·河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：⊥多边形的外角和为360︒，⊥△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，⊥0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．14．（2022·河南）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，⊥OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，⊥BC =2OE =6．⊥菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6．15．（2022·山东泰安）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OC AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =，又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．16．（2022·山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题17．（2022·江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________． 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：⊥已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ，⊥12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ⊥第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，⊥AM DM =，AN ND =，⊥MN AD ⊥，⊥MN BC ．⊥AM DM =，⊥MN 是ADC 的中位线，⊥12MP DB '=，12MN DC =． ⊥12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=，⊥()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．18．（2022·江苏连云港）如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________． 【答案】2【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，即可证明⊥CBH =⊥CHB ，得到1CH BC ==，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，⊥⊥ABH =⊥CBH ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥1BC AD AB CD ==∥，，⊥⊥CHB =⊥ABH ，⊥C =180°-⊥ABC =30°，⊥⊥CBH =⊥CHB ，⊥1CH BC ==，⊥12HM CH ==⊥CM ==，⊥BM BC CM =-=⊥BH ==【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．19．（2022·四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：⊥点D 、E 为AC ，BC 的中点，⊥DE 为∆ABC 的中位线，⊥DE =10，⊥AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 20．（2022·湖南株洲）如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】⊥四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ⊥360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°21．（2022·四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=， 12AH AF =设AH x =，则26x x += 解得2x =24BA x ∴==故答案为：4 【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是____ 度．【答案】135【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.23．（2022·江西）正五边形的外角和等于_______◦．【答案】360【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.24．（2020·湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．【答案】6【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．25．（2022·湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，()()()∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯，52180318042180521803603609n解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．26．（2022·浙江台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．27．（2022·湖北荆州）如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使⊥AEG ⊥⊥CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥,F E 所以补充：,AE CF =∴ ⊥AEG ⊥⊥CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．28．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OCEC AO∴==，E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．29．（2022·湖南邵阳）如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【分析】先根据等腰三角形的性质求出⊥ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出⊥2+⊥ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：⊥ABC 是等腰三角形，⊥A =120º，⊥⊥ABC =⊥C =(180º-⊥A )÷2=30º，⊥四边形ODEF 是平行四边形，⊥OF ∥DE ，⊥⊥2+⊥ABE =180º，即⊥2+30º+40º=180º，⊥⊥2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．30．（2022·甘肃武威）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是⊥A =90°，理由如下：⊥AB ⊥DC ，AD ⊥BC ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，又⊥⊥A =90°，⊥平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：⊥A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．31．（2022·山东滨州）如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________． 【答案】25552+ 【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴=∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tanMDC ACB∴∠=∠，即MC ABCD BC=，52MC∴=，在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN===，在Rt ACN中，由勾股定理得252CN==，AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC++≥，AF FE EC ∴++【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题32．（2022·浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC=证明见解析【分析】先由OB＝OD，,OA OC=证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC=证明：⊥OB＝OD，,OA OC=∴四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，⊥四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 33．（2022·浙江温州）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形．(2)当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长． 【答案】(1)见解析【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出FG DE ==(1)解：（1）⊥E ，F 分别是AC ，AB 的中点，⊥EF BC ∥，⊥FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，⊥O 是DF 的中点，⊥FO DO =，⊥()EFO GDO AAS ≌，⊥EF GD =，⊥四边形DEFG 是平行四边形．(2)⊥AD BC ⊥，E 是AC 中点， ⊥12DE AC EC ==，⊥EDC C ∠=∠， ⊥5tan tan 2C EDC =∠=， ⊥52AD DC =， ⊥5AD =，⊥2CD =，⊥1122DE AC ====． ⊥四边形DEFG 为平行四边形，⊥FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．34．（2022·云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，⊥BDF =90°(1)求证：四边形ABDF 是矩形；(2)若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】(1)见解析；(2)18．【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △⊥DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据⊥BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．(1)证明：⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB ⊥CD ，即AB ⊥CF ，⊥⊥BAE =⊥FDE ，⊥E 为线段AD 的中点，⊥AE =DE ，又⊥⊥AEB =⊥DEF ，⊥ABE △⊥DFE △（ASA ），⊥AB =DF ，又⊥AB ⊥DF ，⊥四边形ABDF 是平行四边形，⊥⊥BDF =90°，⊥四边形ABDF 是矩形；(2)解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，⊥AB =DF =3，⊥AFD =90°，⊥在Rt ADF 中，4AF =，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB =CD =3，⊥CF =CD +DF =3+3=6， ⊥()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．35．（2022·四川凉山）在Rt ⊥ABC 中，⊥BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ⊥BC 交CE 的延长线于点F ．(1)求证：四边形ADBF 是菱形；(2)若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）证△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），得△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．(1)证明：⊥E 是AD 的中点，⊥AE =DE⊥AF ∥BC ，⊥⊥AFE =⊥DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥DEC （AAS ），⊥AF =CD ，⊥D 是BC 的中点，⊥CD =BD ，⊥AF =BD ，⊥四边形ADBF 是平行四边形，⊥⊥BAC =90°，⊥D 是BC 的中点，⊥AD =BD =12BC ，⊥四边形ADBF 是菱形；(2)解：连接DF 交AB 于O ，如图 由（1）知：四边形ADBF 是菱形，⊥AB ⊥DF ，OA =12AB =12×8=4， S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，⊥182DF ⨯=40， ⊥DF =10，⊥OD =5，⊥四边形ADBF 是菱形，⊥O 是AB 的中点,⊥D 是BC 的中点，⊥OD 是⊥BAC 的中位线，⊥AC =2OD =2×5=10．答：AC 的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．36．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝ ， EF ＝ ；(2)进一步观察，我们还会发现EF ⊥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ⊥⊥BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案． (1)解：⊥ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．。
2022年全国各省中考数学真题分类解析定理、命题、反证法
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
【解析】选A．A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；
B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；
C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；
D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意
2201
（2022•衡阳中考）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2201
（2022•岳阳中考）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【解析】选A．A．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，∴平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b，故D是真命题，不符合题意.
2201
（2022•大庆中考）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【解析】选A．∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；
2022年全国各省中考数学真题分类解析全等三角形
（2022•云南中考）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【解析】选D．∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意.（2022•金华中考）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解析】选B．在△AOB和△DOC中，{OA=OD∠ADB=∠DOCOB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），（2022•扬州中考）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【解析】选C．A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意（2022•成都中考）如图，在△ABC 和△DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC ∥DF ，AC ＝DF ，只添加一个条件，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC ＝DEB ．AE ＝DBC ．∠A ＝∠DEFD ．∠ABC ＝∠D【解析】选B ．∵AC ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝DF ，∴当添加∠C ＝∠F 时，可根据“ASA ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加∠ABC ＝∠DEF 时，可根据“AAS ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加AB ＝DE 时，即AE ＝BD ，可根据“SAS ”判定△ABC ≌△DEF ．（2022•黄冈中考）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，请你添加一个条件 ∠A ＝∠D ，使△ABC ≌△DEF ．【解析】添加条件：∠A ＝∠D ．∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠DAB =DE ∠B =∠DEC，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）.答案：∠A ＝∠D ．（答案不唯一）（2022•龙东中考）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OC ，请你添加一个条件 OB＝OD （答案不唯一） ，使△AOB ≌△COD ．【解析】添加的条件是OB ＝OD ，理由是：在△AOB 和△COD 中，{AO =CO∠AOB =∠COD BO =DO，∴△AOB ≌△COD （SAS ）.答案：OB ＝OD （答案不唯一）．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．【解析】由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD，答案：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．∴① ∠ADC ＝∠F ．∵EF ∥BC ，∴② ∠1＝∠2 ．又∵③ AC ＝AC ，∴△ADC ≌△CFA （AAS ）．同理可得：④ △ADB ≌△BEA （AAS ） ．S △ABC ＝S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah ．【解析】证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．∵∠F ＝90°，∴∠ADC ＝∠F ，∵EF ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵AC ＝AC ，在△ADC 与△CFA 中，{AC =AC∠1=∠2∠ADC =∠F，∴△ADC ≌△CFA （AAS ）．同理可得：④△ADB ≌△BEA （AAS ），∴S △ABC ＝S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah ．答案：①∠ADC ＝∠F ，②∠1＝∠2，③AC ＝AC ，④△ADB ≌△BEA （AAS ）．（2022•宜宾中考）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ．求证：AD ＝CF ．（2022•乐山中考）如图，B 是线段AC 的中点，AD ∥BE ，BD ∥CE ．求证：△ABD ≌△BCE ．【解析】∵点B 为线段AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠EBC ，∵BD ∥CE ，∴∠C ＝∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中{∠A =∠EBCAB =BC ∠DBA =∠C，∴△ABD ≌△BCE ．（ASA ）（2022•衡阳中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，且BD ＝CE ．求证：AD ＝AE ．【解析】：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC∠B =∠C BD =CE，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE（2022•陕西中考）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【解析】：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，{∠EDC =∠BCD =AB ∠DCE =∠A，（2022•桂林中考）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：△ABE≌△CDF．【证明】（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF．∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2022•玉林中考）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB ＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究△ABD与△ACD全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？全等（填“全等”或“不全等”），理由是三边对应相等的两个三角形全等；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．【解析】（1）在△ABD和△ACD中，{AB=ACAD=ADDB=DC，∴△ABD≌△ACD（SSS）．答案：全等，三边对应相等的两个三角形全等；（2）树状图：所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，令△ABD ≌△ACD 为事件A ，则P （A ）=23．（2022•福建中考）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．【证明】∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠A ＝∠D ． （2022•长沙中考）如图，AC 平分∠BAD ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，垂足分别为B ，D ．（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）若AB ＝4，CD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【解析】（1）∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，{∠B =∠D∠BAC =∠DAC AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC =12AB •BC =12×4×3＝6， ∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12.答：四边形ABCD 的面积是12．（2022•吉林中考）如图，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．求证：BD ＝CD ．【解析】在△ABD 与△ACD 中，{AB =AC∠BAD =∠CAD AD =AD，。
2022年各地中考数学真题分类解析汇编相交线与平行线
相交线与平行线一、选择题1.（广东汕尾，第6题4分）如图，能鉴定EB∥AC旳条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE分析：在复杂旳图形中具有相等关系旳两角首先要判断它们与否是同位角或内错角，被判断平行旳两直线与否由“三线八角”而产生旳被截直线．解：A和B中旳角不是三线八角中旳角；C中旳角是同一三角形中旳角，故不能鉴定两直线平行．D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥A C．故选D．点评：对旳识别“三线八角”中旳同位角、内错角、同旁内角是对旳答题旳关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2.（•襄阳，第5题3分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）A．35°B．45°C．55°D．65°考点：平行线旳性质；直角三角形旳性质分析：运用“直角三角形旳两个锐角互余”旳性质求得∠A=35°，然后运用平行线旳性质得到∠1=∠B=35°．解答：解：如图，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．又∵∠B=55°，∴∠A=35°．又CD∥AB，∴∠1=∠B=35°．故选：A．点评：本题考察了平行线旳性质和直角三角形旳性质．此题也可以运用垂直旳定义、邻补角旳性质以及平行线旳性质来求∠1旳度数．3.（•邵阳，第5题3分）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE旳大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°考点：平行线旳性质；三角形内角和定理分析：根据三角形旳内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线旳定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BA D．解答：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．点评：本题考察了平行线旳性质，三角形旳内角和定理，角平分线旳定义，熟记性质与概念是解题旳关键．4.（•孝感，第4题3分）如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2旳度数（）A．46°B．44°C．36°D．22°考点：平行线旳性质；垂线．分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=44°，∵l3⊥l4，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣44°=46°．故选A．点评：本题考察了平行线旳性质，垂线旳定义，熟记性质并精确识图是解题旳关键．5.（•滨州，第3题3分）如图，是我们学过旳用直尺和三角尺画平行线旳措施示意图，画图旳原理是（）B．内错角相等，两直线平行A．同位角相等，两直线平行D．两直线平行，内错角相等C．两直线平行，同位角相等考点：作图—基本作图；平行线旳鉴定分析：由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．解答：解：∵∠DPF=∠BAF，∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．故选：A．点评：此题重要考察了基本作图与平行线旳鉴定，对旳理解题目旳含义是处理本题旳关键．6.（•德州，第5题3分）如图，AD是∠EAC旳平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（）A．30°B．60°C．80°D．120°考点：平行线旳性质．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠EAD=∠B，再根据角平分线旳定义求出∠EAC，然后根据三角形旳一种外角等于与它不相邻旳两个内角旳和列式计算即可得解．解答：解：∵AD∥BC，∠B=30°，∴∠EAD=∠B=30°，∵AD是∠EAC旳平分线，∴∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°，∴∠C=∠EAC﹣∠B=60°﹣30°=30°．故选A．点评：本题考察了平行线旳性质，角平分线旳定义，以及三角形旳一种外角等于与它不相邻旳两个内角旳和旳性质，熟记性质是解题旳关键．7.（•菏泽，第2题3分）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC旳顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹旳角为25°，则∠α旳度数为（）A．25°B．45°C．35°D．30°考点：平行线旳性质；等边三角形旳性质．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠1，再根据等边三角形旳性质求出∠2，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠α=∠2．解答：解：如图，∵m∥n，∴∠1=25°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠2=60°﹣25°=35°，∵l∥m，∴∠α=∠2=35°．故选C．点评：本题考察了平行线旳性质，等边三角形旳性质，熟记性质是解题旳关键，运用阿拉伯数字加弧线表达角更形象直观．二.填空题1. （•福建泉州，第9题4分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC= 50 °．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等，可得答案．解答：解；∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案为：50．点评：本题考察了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键．2. （•福建泉州，第13题4分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=65 °．考点：平行线旳性质．分析：根据平行线旳性质得出∠1=∠2，代入求出即可．解答：解：∵直线a∥b，∴∠1=∠2，∵∠1=65°，∴∠2=65°，故答案为：65．点评：本题考察了平行线旳性质旳应用，注意：两直线平行，同位角相等．3．（云南省，第10题3分）如图，直线a∥b，直线a，b被直线c 所截，∠1=37°，则∠2=．考点：平行线旳性质．分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．解答：解：∠3=∠1=37°（对顶角相等），∵a∥b，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣37°=143°．故答案为：143°．点评：本题考察了平行线旳性质，对顶角相等旳性质，熟记性质并精确识图是解题旳关键．4．（•温州，第12题5分）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=80 度．考点：平行线旳性质．分析：根据平行线旳性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠C=∠1=45°，∵∠2=35°，∴∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，故答案为：80．点评：本题考察了平行线旳性质，三角形旳外角性质旳应用，解此题旳关键是求出∠C旳度数和得出∠3=∠2+∠C．5.（广东汕尾，第13题5分）已知a，b，c为平面内三条不一样直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c旳位置关系是．分析：根据在同一平面内，假如两条直线同步垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得答案．解：∵a⊥b，c⊥b，∴a∥c，故答案为：平行．点评：此题重要考察了平行线旳鉴定，关键是掌握在同一平面内，假如两条直线同步垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．6. （•湘潭，第13题，3分）如图，直线a、b被直线c所截，若满足∠1=∠2，则a、b平行．（第1题图）考点：平行线旳鉴定．分析：根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时，a∥B．解答：解：∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等两直线平行），故答案为：∠1=∠2．点评：此题重要考察了平行线旳鉴定，关键是掌握同位角相等两直线平行．7. （•株洲，第15题，3分）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城旳三角形面积为4，那么b1﹣b2等于 4 ．考点：两条直线相交或平行问题．分析：根据解析式求得与坐标轴旳交点，从而求得三角形旳边长，然后根据三角形旳面积公式即可求得．解答：解：如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC旳面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．故答案为4．点评：本题考察了一次函数与坐标轴旳交点以及数形结合思想旳应用．处理此类问题关键是仔细观测图形，注意几种要点（交点、原点等），做到数形结合．8. （•泰州，第11题，3分）如图，直线a、b与直线c相交，且a∥b，∠α=55°，则∠β= 125°．考点：平行线旳性质．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠α，再根据邻补角旳定义列式计算即可得解．解答：解：∵a∥b，∴∠1=∠α=55°，∴∠β=180°﹣∠1=125°．故答案为：125°．点评：本题考察了平行线旳性质，是基础题，熟记性质是解题旳关键．三.解答题1. （•广东，第19题6分）如图，点D在△ABC旳AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC旳平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不规定写作法）；（2）在（1）旳条件下，判断直线DE与直线AC旳位置关系（不规定证明）．考点：作图—基本作图；平行线旳鉴定．分析：（1）根据角平分线基本作图旳作法作图即可；（2）根据角平分线旳性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角旳性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．解答：解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥A C．点评：此题重要考察了基本作图，以及平行线旳鉴定，关键是对旳画出图形，掌握同位角相等两直线平行．2.（•武汉，第19题6分）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=O D．求证：DC∥A B．考点：全等三角形旳鉴定与性质；平行线旳鉴定专题：证明题．分析：根据边角边定理求证△ODC≌△OBA，可得∠C=∠A（或者∠D=∠B），即可证明DC∥A B．解答：证明：∵在△ODC和△OBA中，∵，∴△ODC≌△OBA（SAS），∴∠C=∠A（或者∠D=∠B）（全等三角形对应角相等），∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．点评：此题重要考察学生对全等三角形旳鉴定与性质和平行线旳鉴定旳理解和掌握，解答此题旳关键是运用边角边定理求证△ODC≌△OB A．3. （•湘潭，第24题）已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线通过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．考点：两条直线相交或平行问题分析：（1）根据L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，可得出k旳值即可；（2）根据直线互相垂直，则k1•k2=﹣1，可得出过点A直线旳k等于3，得出所求旳解析式即可．解答：解：（1）∵L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，∴2k=﹣1，∴k=﹣；（2）∵过点A直线与y=x+3垂直，∴设过点A直线旳直线解析式为y=3x+b，把A（2，3）代入得，b=﹣3，∴解析式为y=3x﹣3．点评：本题考察了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值旳乘积为﹣1．4. （•益阳，第15题，6分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C旳度数．（第2题图）考点：平行线旳性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线旳定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∴∠CAF=∠BAF=50°，∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°．点评：本题考察了平行线旳性质，角平分线旳定义，熟记性质并精确识图是解题旳关键．。
2022全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)-第13章相交线与平行线
2022全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）-第13章相交线与平行线第十三章 相交线与平行线13.1 相交线（2020浙江丽水3分，7题）如图，小明在操场上从A 点动身，先沿南偏东30°方向走到B 点，再沿南偏东60°方向走到C 点.这时，∠ABC 的度数是（ ）A.120°B.135°C.150°D.160°【解析】∠ABC=30°+90°+30°=150°.【答案】C【点评】本题考查角度的运算，明白得方向角的含义是解题的突破口.易对方向角的概念明白得不透而显现错误.（2020湖北襄阳，5，3分）如图2，直线l ∥m ，将含有45°角的三角形板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若∠1＝25°，则∠2的度数为A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【解析】易得∠1＋∠2＝∠B ＝45°，因此∠2＝45°－∠1＝45°－25°＝20°．【答案】A【点评】本题考查平行线的性质、三角形的外角，过点B 作辅助平行线，或延长CB 与直线l 相交，或延长AB 与直线m 相交，均可解决问题．13.2 线段的垂直平分线4．（2020江西，4，3分）如图，有a 、b 、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( ) ．A. a 户最长B. b 户最长C. c 户最长D. 三户一样长 l1图22 Am CB 电表电表电表c b acb a 第4题图解析：将竖直方向的电线向右平移到一条直线上，水平方向的电线向下平移到一条直线上，易得出三户所用电线一样长．解答：解：选项D ．点评：本题考查了数学与物理学之间的联系、数学在日常生活中的应用，利用平移知识或直截了当测量专门易得出答案．5．（2020江西，5，3分）如图，假如在阳光下你的身影的方向为北偏东60︒方向，那么太阳相关于你的方向是( ) ．A ．南偏西60︒B ．南偏西30︒C ．北偏东60︒D ．北偏东30︒解析：依照投影的定义，身影的方向与太阳相关于自己的方向刚好相反．解答：解：因为身影的方向为北偏东60︒方向，太阳相关于自己的方向是南偏西60︒ ，因此选项A点评：本题要紧考查投影与方位角的知识，准确明白得投影的定义和方位角的表示方法是解题的关键．13.3 平行线的性质与判定（2020福州，4，4分，）如图，直线a ∥b ，∠1=70°，那么∠2的度数是（ ）A ．50° B. 60° C.70° D. 80°解析：因为a ∥b ，，由平行线的性质，可得∠1=∠2=70°。
2022年全国中考数学试题真题汇编 相交线与平行线(一)
2022年全国中考数学试题真题汇编相交线与平行线（一）一、单选题1．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则1∠的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【来源】贵州省毕节市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】利用三角形外角性质或者三角形内角和以及平行线的性质解题即可．【详解】解：如图，，∠=︒∠=︒360445∴∠=︒-︒-︒=︒，2180604575直尺上下两边互相平行，1=2=75∴∠∠︒，故选：B．【点睛】本题主要考查一副三角板多对应的角度以及平行线的性质，本题难度小，解法比较灵活．2．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【来源】山东省潍坊市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，⊥EF⊥平面镜，⊥CD//EF，⊥⊥CDH＝⊥EFH＝α，根据题意可知：AG⊥DF，⊥⊥AGC＝⊥CDH＝α，⊥⊥AGC＝α，⊥⊥AGC12=∠AGB12=⨯60°＝30°，⊥α＝30°．故选：B．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG 平分⊥AGB ． 3．如图，直线//,1130a b ∠=︒，则2∠等于（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒【来源】山东省淄博市2022年中考数学试题【答案】C【解析】【分析】如图，由题意易得⊥2+⊥3=180°，⊥1=⊥3，然后问题可求解．【详解】解：如图所示：⊥//a b ，⊥⊥2+⊥3=180°，⊥31130∠=∠=︒，⊥250∠=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及对顶角的定义，熟练掌握平行线的性质及对顶角的定义是解题的关键．4．如图，//m n ，其中140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．130︒B ．140︒C ．150︒D ．160︒【来源】重庆市数学试题【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补，可求出2∠的对顶角即可．【详解】解：如图：//m n ，13180∠+∠=︒，3140∴∠=︒，2,3∠∠互为对顶角；23140∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角、解题的关键是：利用平行线的性质得出同旁内角互补，再利用对顶角相等即可求解．5．如图，直线12l l //，直线3l 交1l 于点A ，交2l 于点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若350∠=︒，123240∠+∠+∠=︒，则4∠等于（ ）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【来源】内蒙古包头市、巴彦淖尔市2022年中考数学真题【答案】B【解析】根据平行线性质计算角度即可．【详解】解：⊥12l l //，350∠=︒，⊥1=18050130∠︒-︒=︒，⊥123240∠+∠+∠=︒，⊥2=240-180=60∠︒︒，⊥4=1802180605070BAC ACB ∠∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线性质，熟练识别同位角、内错角，同旁内角是解决本题的关键． 6．如图，在ABC 中，50B ∠=︒，70C ∠=︒，直线DE 经过点A ，50DAB ∠=︒，则EAC ∠的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【来源】内蒙古呼和浩特市2022年中考数学真题【答案】D【解析】【分析】根据B DAB ∠=∠可判断//DE BC ，再利用两直线平行内错角相等即可得出结论．【详解】50,50B DAB ∠=︒∠=︒，直线DE 经过点A ，//DE BC ∴70C ∠=︒70C EAC ∴∠=∠=︒故选：D ．本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键．7．如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）A ．1∠与2∠B ．1∠与3∠C ．1∠与4∠D ．2∠与4∠【来源】广西贺州市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】根据同旁内角的概念求解即可．【详解】解：由图可知，⊥1与⊥3是同旁内角，⊥1与⊥2是内错角，⊥4与⊥2是同位角，故选：B ．【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．8．如图，//AB CD ，EF CD ⊥于点F ，若150BEF ∠=︒，则ABE ∠=（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【来源】山东省东营市2022年中考数学真题【解析】【分析】过点E 作EH ⊥CD ，由此求出90HEF ∠=︒，得到60BEH ∠=︒，根据平行线的推论得到AB ⊥EH ，利用平行线的性质求出答案．【详解】解：过点E 作EH ⊥CD ，如图，⊥180DFE HEF ∠+∠=︒，⊥EF CD ⊥，⊥90DFE ∠=︒，⊥90HEF ∠=︒，⊥150BEF ∠=︒，⊥60BEH ∠=︒，⊥EH ⊥CD ，//AB CD ，⊥AB ⊥EH ，⊥ABE ∠=60BEH ∠=︒，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键． 9．如图，//a b ，M ，N 分别在a ，b 上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠= （ ）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【来源】初中数学【答案】C【解析】【分析】 首先过点P 作P A ⊥a ，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【详解】解：过点P 作P A ⊥a ，则a ⊥b ⊥P A ，⊥⊥1+⊥MP A =180°，⊥3+⊥NP A =180°，⊥⊥1+⊥MPN +⊥3=360°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．10．如图，//a b ，160∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒【来源】河南省2022年中考数学真题【答案】D【解析】【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出⊥3，再利用邻补角互补求出⊥2．【详解】解：如图，⊥a ⊥b ，⊥⊥1=⊥3=60°，⊥⊥2=180°-⊥3=120°，【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功．11．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若⊥1＝47°，则⊥2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°【来源】浙江省台州市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，⊥直尺的两边互相平行，∠=∠=︒，⊥3147∠=︒-∠=︒，⊥490343∠=∠=︒，⊥2443【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．12．如图，将一块含有60︒角的直角三角板放置在两条平行线上，若145∠=︒，则2∠为（ ）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【来源】湖北省随州市2022年中考数学真题【答案】A【解析】【分析】过60°角顶点作直线平行于已知直线，然后根据平行线的性质推出⊥1+⊥2=60°，从而求出⊥2即可．【详解】如图，已知//a b ，作直线//c a ，则//c b ，则⊥1=⊥3，⊥2=⊥4，⊥⊥3+⊥4=60°，⊥⊥1+⊥2=60°，⊥⊥2=60°-⊥1=15°，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的基本性质，理解平行线的性质定理是解题关键．13．一副三角板按如图方式放置，含45︒角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直∠的度数是（）角边平行，则αA．10︒B．15︒C．20︒D．25︒【来源】山东省菏泽市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行，内错角相等传递等角后计算即可【详解】如图，⊥AB∥DE，⊥⊥BAE=⊥E=30°，∠=⊥CAB-⊥BAE= 45°-30°=15°，⊥α故选B【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠的度数为（）∠=︒时，DCN40ABMA ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒【来源】四川省达州市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】过点B 作BE OM ⊥，过点C 作CE ON ⊥，BE 与CE 相交于点E ；根据余角性质计算得CBE ∠；根据平行线性质，得BCD ∠，结合角平分线性质，计算得DCE ∠；再根据余角性质计算，即可得到答案．【详解】如下图，过点B 作BE OM ⊥，过点C 作CE ON ⊥，BE 与CE 相交于点E⊥40ABM ∠=︒，CBE ABE ∠=∠⊥9050CBE ABE ABM ∠=∠=︒-∠=︒⊥100ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒⊥CD 与AB 平行⊥18080BCD ABC ∠=︒-∠=︒⊥BCE DCE ∠=∠，BCE DCE BCD ∠+∠=∠ ⊥1402BCE DCE BCD ∠=∠=∠=︒ ⊥9050DCN DCE ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．15．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线//a b ，则1∠的大小为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．105︒【来源】湖南省岳阳市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质解题．【详解】⊥a ⊥b⊥()1+45+60=180∠︒︒︒（两直线平行，同旁内角互补）⊥1=75︒∠．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质．两直线平行，同旁内角互补．16．如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（ ）A ．PT PQ ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ ≤【来源】浙江省杭州市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，PQ ∴是垂线段，即连接直线外的点P 与直线上各点的所有线段中距离最短， 当点T 与点Q 重合时有PQ PT =，综上所述：PT PQ ≥，故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．17．如图，直线DE 过点A ，且//DE BC ．若60B ∠=︒，150∠=︒，则2∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【来源】新疆维吾尔自治区、生产建设兵团2022年中考数学试题【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出⊥BAE ，即可求出⊥2．【详解】⊥//DE BC ，⊥180B BAE ∠+∠=︒，⊥180120BAE B ∠=︒-∠=︒，即：12120∠+∠=︒，⊥2120170∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．18．如图，//AB CD ，//BC DE ，若7228B '∠=︒，那么D ∠的度数是（ ）A ．7228'︒B ．10128'︒C ．10732'︒D ．12732'︒【来源】山东省济宁市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】先根据//AB CD 求出C ∠的度数，再由//BC DE 即可求出D ∠的度数．【详解】解：⊥//AB CD ，7228B '∠=︒，⊥7228C B '∠=∠=︒，⊥//BC DE ，⊥180D C ∠+∠=︒，⊥18010732D C '∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及角度的计算，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 19．如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2∠=（ ）A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒【来源】云南省2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】直接利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案．【详解】解：如图，1=55∠︒，3=55,∴∠︒⊥a ⊥b ，⊥3=55°，⊥⊥2=⊥3=55°．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的基本性质是解题关键．20．如图，AB ⊥CD ⊥EF ，若⊥ABC ＝130°，⊥BCE ＝55°，则⊥CEF 的度数为（）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°【来源】2022年山东省聊城市中考数学真题试卷【答案】B【解析】【分析】由//AB CD 平行的性质可知ABC DCB ∠=∠，再结合//EF CD 即可求解．【详解】解：//AB CD130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．21．如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【来源】北京市2022年中考数学真题试题【答案】A【解析】【分析】由题意易得60COB ∠=︒，90COD ∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：⊥点O 在直线AB 上，OC OD ⊥，⊥180AOC COB ∠+∠=︒，90COD ∠=︒，⊥120AOC ∠=︒，⊥60COB ∠=︒，⊥9030BOD COB ∠=︒-∠=︒；故选A ．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．22．如图，在⊥ABC 中，⊥A =70°，⊥C =30°，BD 平分⊥ABC 交AC 于点D ，DE ⊥AB ，交BC 于点E ，则⊥BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【来源】江苏省宿迁市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】由三角形的内角和可求⊥ABC ，根据角平分线可以求得⊥ABD ，由DE //AB ，可得⊥BDE =⊥ABD 即可．【详解】解：⊥⊥A +⊥C =100°⊥⊥ABC =80°，⊥BD 平分⊥BAC ，⊥⊥ABD =40°，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥BDE =⊥ABD =40°，故答案为B ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．23．阅读下列材料，其⊥～⊥步中数学依据错误的是（ ） 如图：已知直线//b c ，a b ⊥，求证：a c ⊥．A ．⊥B ．⊥C ．⊥D ．⊥【来源】湖北省荆州市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】根据垂直的定义和平行线的性质进行判断即可【详解】解：证明：⊥⊥a b ⊥（已知）⊥190∠=︒（垂直的定义）⊥又⊥//b c （已知）⊥⊥12∠=∠（两直线平行，同位角相等）⊥2190∠=∠=︒（等量代换）⊥⊥a c ⊥（垂直的定义）．所以错在⊥故选：C【点睛】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 24．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°【来源】四川省眉山市2022年中考数学真题【答案】A【解析】【分析】先通过作辅助线，将⊥1转化到⊥BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出⊥2．【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，由矩形对边平行，可得⊥1=⊥BAC ，因为BC ⊥AB ，⊥⊥BAC +⊥2=90°，⊥⊥1+⊥2=90°，因为⊥1=48°，⊥⊥2=42°；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．25．如图，//AB CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，100AGE ∠=°，则DHF ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒D ．40︒【来源】湖南省长沙市2022年中考试数学真题【答案】A【解析】【分析】先根据平行线的性质可得100CHE AGE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：//,100AB CD AGE ∠=︒，100CHE AGE ∴∠=∠=︒，100CHE DHF ∴∠=∠=︒（对顶角相等），故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 26．如图，直线//,DE BF Rt ABC 的顶点B 在BF 上，若20CBF ∠=︒，则ADE ∠=（）A ．70︒B ．60︒C ．75︒D ．80︒【来源】甘肃省武威市2022年中考数学试卷【答案】A【解析】【分析】先求出CBF ∠的余角⊥ABF ，利用平行线性质可求⊥ADE ．【详解】解：⊥Rt ABC ，20CBF ∠=︒⊥⊥ABC =90°，⊥ABF =90°-⊥CBF =90°-20°=70°，⊥//DE BF ，⊥⊥ADE =⊥ABF =70°．故选择A ．本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键． 27．某同学的作业如下框，其中⊥处填的依据是（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补 【来源】浙江省金华市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知⊥3和⊥4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：⊥12//l l ，⊥34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．28．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．4()a b b c -=- D ．5()a c a b -=-【来源】安徽省2022年中考数学真题【答案】D【解析】举反例可判断A 和B ，将式子整理可判断C 和D ．【详解】解：A ．当5a =，10c =，41655b ac =+=时，c b a >>，故A 错误； B ．当10a =，5c =，41955b ac =+=时，a b c >>，故B 错误； C ．4()a b b c -=-整理可得1455b a c =-，故C 错误；D ．5()a c a b -=-整理可得4155b ac =+，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．29．如图，直线a //b ，148∠︒＝，则2∠等于（ ）A ．24°B ．42°C ．48°D ．132°【来源】2022年广西贺州市中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求解即可．【详解】解：⊥直线a ⊥b ，⊥2148∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，解题关键是熟记平行线的性质，准确识图．二、填空题30．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，⊥1＝70°，则⊥2＝_____°．【来源】2022年广西桂林市中考数学真题【答案】70【解析】【分析】根据对顶角的性质解答即可．【详解】解：⊥⊥1和⊥2是一对顶角，⊥⊥2＝⊥1＝70°，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．31．如图，直线a⊥b，直线c与直线a，b相交，若⊥1＝54°，则⊥3＝________度．【来源】2022年湖北省孝感市中考数学试卷【答案】54【解析】【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a⊥b，∠=∠，所以23所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．32．请写出命题“如果a b >，那么0b a -<”的逆命题：________．【来源】2022年江苏省无锡市中考数学真题【答案】如果0b a -<，那么a b >【解析】【分析】根据逆命题的概念解答即可．【详解】解：命题“如果a b >，那么0b a -<”的逆命题是“如果0b a -<，那么a b >”， 故答案为：如果0b a -<，那么a b >．【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．33．如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【来源】2022年湖北省宜昌市中考数学真题【答案】85︒##85度【分析】∥交AB于F，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．过C作CF DA【详解】解：C岛在A岛的北偏东50︒方向，DAC∴∠=︒，50C岛在B岛的北偏西35︒方向，∴∠=︒，35CBE∥交AB于F，如图所示：过C作CF DADA CF EB∴∥∥，∴∠=∠=︒∠=∠=︒，50,35FCA DAC FCB CBEACB FCA FCB∴∠=∠+∠=︒，85故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．34．如图6，已知直线a⊥b，⊥BAC=90°，⊥1=50°，则⊥2=______．【来源】2022年四川省乐山市中考数学真题【答案】40°##40度根据平行线的性质可以得到⊥3的度数，进一步计算即可求得⊥2的度数．【详解】解：⊥a ⊥b ，⊥⊥1=⊥3=50°，⊥⊥BAC =90°，⊥⊥2+⊥3=90°，⊥⊥2=90°-⊥3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 35．如图，已知a b ∥，1110∠=︒，则2∠的度数为________．【来源】2022年四川省眉山市中考数学真题【答案】110︒##110度【解析】【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知3=1∠∠，再借助3∠与2∠为对顶角即可确定2∠的度数．【详解】解：如下图，⊥a b ∥，1110∠=︒，⊥3=1110∠∠=︒，⊥3∠与2∠为对顶角，⊥2=3110∠∠=︒．故答案为：110︒．【点睛】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．36．将一副三角板如图摆放，则______⊥______，理由是______．【来源】2022年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）【答案】 BC DE 内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据三角板的角度可知90BCA DEF ∠=∠=︒，根据内错角相等，两直线平行判断即可．【详解】解：一副三角板如图摆放，⊥90BCA DEF ∠=∠=︒，⊥//BC DE （内错角相等，两直线平行），故答案为：BC ；DE ；内错角相等，两直线平行．本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．37．如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．【来源】2022年四川省绵阳市中考真题数学试卷【答案】152︒【解析】【分析】利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．【详解】解：如图，//a b ，128∠=︒，3128∴∠=∠=︒，21803152∴∠=︒-∠=︒．故答案为：152︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 38．“如果a b =，那么a b =”的逆命题是___________．【来源】江苏省苏州市数学考试【答案】如果a b =，那么a b =【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．【详解】解：“如果a b =，那么a b =”的逆命题是：“如果a b =，那么a b =”，故答案为：如果a b =，那么a b =．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．39．如图，⊥ABC 沿BC 所在直线向右平移得到⊥DEF ，若EC ＝2，BF ＝8，则BE ＝___．【来源】辽宁省大连市数学试题【答案】3【解析】【分析】利用平移的性质解决问题即可．【详解】解：由平移的性质可知，BE ＝CF ，⊥BF ＝8，EC ＝2，⊥BE +CF ＝8﹣2＝6，⊥BE ＝CF ＝3，⊥平移的距离为3，故答案为：3．【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 40．如图，直线a ，b 被直线c 所截，已知//a b ，1130∠=︒，则2∠为______度．【来源】湖南省湘潭市2022年中考数学真题【答案】50【解析】【详解】解：如图，⊥//a b ，1130∠=︒，⊥⊥3=130°，又⊥⊥2+⊥3=180°，⊥⊥2=180°-⊥3=180°-130°=50°．故答案为：50．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键． 41．如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．【来源】辽宁省阜新市2022年中考数学试题【答案】60【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出CEG ∠的度数，即可得到CEF ∠的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，30FEG ∴∠=︒， EG 平分CEF ∠，30CEG FEG ∴∠=∠=︒，60∴∠=∠+∠=︒，CEF CEG FEGAB CD，//∴∠=∠=︒．CEF160故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．42．如图，直线a，b被直线c所截，当⊥1 ___⊥2时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）【来源】2022年广西桂林市中考数学真题【答案】=．【解析】【分析】由图形可知⊥1 与⊥2是同位角，利用直线平行判定定理可以确定⊥1 =⊥2，可判断a//b．【详解】解：⊥直线a，b被直线c所截，⊥1与⊥2是同位角，⊥当⊥1 =⊥2，a//b．故答案为=．【点睛】本题考查平行线判定，掌握平行线判定判定定理是解题关键．43．如图，AB⊥CD，CB平分⊥ECD，若⊥B＝26°，则⊥1的度数是________．【来源】广西贵港市2022年中考数学真题【答案】52︒【分析】根据平行线的性质得出26B BCD ∠=∠=︒，根据角平分线定义求出252ECD BCD ∠=∠=︒，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：//AB CD ，26B ∠=︒，26BCD B ∴∠=∠=︒， CB 平分ECD ∠，252ECD BCD ∴∠=∠=︒，//AB CD ，152ECD ∴∠=∠=︒，故答案为：52︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能根据平行线的性质求出B BCD ∠=∠是解此题的关键．44．如图，直线//,160a b ∠=︒，则2∠的度数是______︒．【来源】广西柳州市2022年中考数学真题试卷【答案】60【解析】【分析】根据平行线的性质可得⊥1=⊥3，根据对顶角相等即可求得⊥2的度数．【详解】⊥a ⊥b ，如图⊥⊥3=⊥1=60゜⊥⊥2=⊥3故答案为：60【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键． 45．如图，已知//AB CD ，BC 是ABD ∠的平分线，若264∠=︒，则3∠=________．【来源】湖南省张家界市2022年中考数学真题试题【答案】58°【解析】【分析】先根据对顶角的性质可得⊥BDC =264∠=︒,然后根据平行线的性质求得⊥ABC ,最后根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：⊥⊥BDC 和⊥2是对顶角⊥⊥BDC =264∠=︒⊥//AB CD⊥⊥BDC +⊥ABD =180°，即⊥ABD =116°⊥BC 是ABD ∠的平分线 ⊥⊥3=⊥1=12⊥ABD =58°．故填：58°．本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的相关知识，掌握平行线的性质成为解答本题的关键．46．如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度．【来源】湖南省益阳市2022年中考数学真题【答案】60【解析】【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设2AOC x ∠=， OE 是AOC ∠的平分线，12AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，COB EOC x ∴∠=∠=，又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=︒，解得60x =︒，即60COB ∠=︒，由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．47．如图，点O ，C 在直线n 上，OB 平分AOC ∠，若//m n ，156∠=︒，则2∠=_______________．【来源】广西贵港市2022年中考数学真题【答案】62°【解析】【分析】根据//m n 和OB 平分AOC ∠，计算出BOC ∠的度数，便可求解．【详解】解：如图：∵//m n∴156AON ∠=∠=， 2BOC ∠=∠180124AOC AON ∴∠=-∠=∵OB 平分AOC ∠1622BOC AOC ∴∠=∠= 62BOC ∴∠=故答案为62°【点睛】本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．三、解答题48．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED BF =，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若AC 平分8FAE AC ∠=，，3tan 4DAC ∠=，求四边形AFCE 的面积． 【来源】2022年广西贺州市中考数学真题【答案】(1)详见解析；(2)24．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（2）由平行线的性质可得EAC ACF ∠=∠，再根据角平分线的性质解得EAC FAC ∠=∠，继而证明AF FC =，由此证明平行四边形AFCE 是菱形，根据菱形的性质得到14,2AO AC AC EF ==⊥，结合正切函数的定义解得3EO =，最后根据三角形面积公式解答．(1) 证明：四边形ABCD 是平行四边形AD BC AE FC ∴=，∥ED BF =AD ED BC BF -=-，即AE FC =．∴四边形AFCE 是平行四边形．(2)解：AE FC ∥，EAC ACF ∴∠=∠． AC 平分FAE ∠，EAC FAC ∠=∠∴．ACF FAC ∴∠=∠．AF FC ∴=，由（1）知四边形AFCE 是平行四边形，∴平行四边形AFCE 是菱形．14,2AO AC AC EF ∴==⊥，在 Rt AOE △中，34,tan 4AO DAC =∠=， 3EO ∴=． 11S 43622AOE AO EO ∴=⋅=⨯⨯=△ 424AOE AFCE S S ==菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 49．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．【来源】2022年湖北省武汉市中考数学真题【答案】(1)100BAD ∠=︒(2)详见解析【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．(1)解：⊥AD BC ∥，⊥180B BAD ∠+∠=°，⊥80B ∠=︒，⊥100BAD ∠=︒．(2)证明：⊥AE 平分BAD ∠，⊥50DAE ∠=︒．⊥AD BC ∥，⊥50AEB DAE ∠=∠=︒．⊥50BCD ∠=︒，⊥BCD AEB ∠=∠．⊥AE DC ∥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 50．如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【来源】湖北省武汉市2022年中考数学真题【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：⊥//AB CD ，⊥DCF B ∠=∠．⊥B D ∠=∠，⊥DCF D ∠=∠．⊥//AD BC ．⊥DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．。
2022年中考数学复习新题速递之相交线与平行线
2022年中考数学复习新题速递之相交线与平行线（2022年5月）一．选择题（共10小题）1．（2022•大连模拟）将一块含60°角的直角三角尺ABC按照如图所示的方式放置，点A 落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝α，则∠2的度数是（）A．α+30°B．α+45°C．α+60°D．180°﹣α2．（2022春•景县期中）如图，下列说法不正确的是（）A．∠A和∠BDC是同位角B．∠ABD和∠BDC是内错角C．点A到BC的距离是线段AC的长度D．点B到AC的距离是线段BD的长度3．（2022春•南京期中）如图，已知AB∥EF，DE∥BC，则与∠1相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022春•杨浦区校级期中）下列说法错误的是（）A．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离C．两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线平行D．经过一点，至多有一条直线与已知直线平行5．（2022春•长沙期中）如图，能判定直线a∥b的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠4 6．（2022春•杨浦区校级期中）如图，由下列条件不能得到m∥n的是（）A．∠1＝∠3B．∠4＝∠5C．∠2+∠4＝180°D．∠2＝∠3 7．（2022春•安陆市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，若∠AOE＝2∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．60°8．（2022春•碑林区校级期中）一副三角板摆放如图所示，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，则∠CFB的度数是（）A．95°B．115°C．105°D．125°9．（2022•定海区一模）如图，已知a∥b，含30°角的直角三角板的顶点在直线b上，若∠1＝26°，则∠2等于（）A．90°B．112°C．114°D．116°10．（2022•虞城县二模）如图，AB∥CD，MN⊥AC于N，∠NMB＝118°，则∠DCE等于（）A．22°B．28°C．32°D．38°二．填空题（共10小题）11．（2022春•武汉期中）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作PM垂直于河岸l，垂足为M，沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是．12．（2022春•西城区校级期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3……，其中PO⊥l，这些线段PO，P A1，P A2，P A3，…中，最短的线段是，理由．13．（2022春•杨浦区校级期中）如图：AB∥CD，AE平分∠CAB，∠CAB＝100°，则∠AED ＝°．14．（2022春•南京期中）如图，DE∥BC，BD平分∠ABC，∠1＝25°，则∠2＝°．15．（2022春•南京期中）如图，①∠1＝∠2，②∠3+∠1＝180°，③∠1＝∠4，④∠2＝∠5，则上述条件可以推出a∥b的是（写出所有正确的序号）．16．（2022春•雨花区校级期中）如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝54°，∠D＝38°，则∠AED ＝．17．（2022春•杨浦区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点A到直线CD的距离是线段的长．18．（2022•新田县一模）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝70°，则∠ACB 的度数是．19．（2022春•汉阳区期中）①如图1，若AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝360°；②如图2，若AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，若AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，若AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的序号是．20．（2022春•杨浦区校级期中）如图，与∠A构成同位角的是．三．解答题（共10小题）21．（2022春•杨浦区校级期中）填空完成本题．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝130°，求∠BCD的大小．解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．∵AB∥MN（已作）又∵AB∥DE（已知）∴DE∥MN（）∴∠CDE+∠DCN＝180°（）∵∠CDE＝130°（已知）∴∠DCN＝50°（）同理∠BCM＝°∵∠BCM+∠BCD+∠DCN＝180°（）∴∠BCD＝25°（）22．（2022春•闵行区校级期中）已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在直线MN上（点P与点A、B、M三点不重合），设∠CPD＝∠1，∠ACP＝∠2，∠PDB＝∠3．（1）如图1，当点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的数量关系是，并说明理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3有何数量关系（只需写出结论）．23．（2022春•江岸区期中）补全下列证明过程：已知：如图∠1+∠B＝∠C，求证：BD∥CE．证明：如图，作射线AP，使AP∥BD，∴＝∠B（）又∵∠1+∠B＝∠C∴（）即＝∠C∴（）又∵AP∥BD∴BD∥CE（）24．（2022春•雨花区校级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．求证：∠AFE＝∠ACB，请补充完成下面证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝∠1．∴AB∥FD（）．∴∠3＝（）．又∵∠3＝∠B（已知），∴∠AEF＝∠B（）．∴FE∥CB（同位角相等，两直线平行）．∴∠AFE＝∠ACB（）．（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．25．（2022春•洪山区期中）如图，已知直线AB，CD，AC上的点M，N，E满足ME⊥NE，∠AME+∠CNE＝90°，∠ACD的平分线交MN于G，作射线GF∥AB．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CAB＝66°，求∠CGF的度数．26．（2022春•硚口区期中）（1）如图1，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN，求证：AB∥CD．（2）如图2，已知AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠BPM＝∠CMP．27．（2022春•长沙期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，OE平分∠AOC．（1）若∠AOE＝25°，求∠BOD的度数．（2）若∠AOE＝α，且∠DOF﹣∠AOE＝90°，求证：OF⊥OE．28．（2022春•南京期中）如图，直线AB、CD被直线AC所截，交点为A、C．已知AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上）．设∠BAE＝α，∠DCE＝β，请结合图形直接写出∠AEC的大小（用含有α、β的式子表示）．29．（2022春•孝义市期中）阅读下列材料，并完成相应任务，如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角．在反射现象中，反射角等于入射角．因为法线ON垂直于反射面，且反射角r＝入射角i，所以∠1＝∠2（依据）利用这个规律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，在反射现象中，蕴含了丰富的数学道理．任务一：上述材料中的“依据”指的是．任务二：如图2，已知：AB∥CD．求证：EF∥CH．30．（2022春•东昌府区月考）已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M 与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．。
2022年全国各地数学中考试题分类汇编34平行四边形(含答案)
2022年全国各地数学中考试题分类汇编34平行四边形（含答案）一、选择题1．(2022江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是▲．【答案】122．（2022台湾）图(十)为一个平行四边形ABCD，其中H、G两点分别在BC、CD上，AHBC，AGCD，且AH、AC、AG将BAD分成1、2、3、4四个角。
若AH=5，AG=6，则下列关系何者正确？(A)1=2(B)3=4(C)BH=GD(D)HC=CGAD234G1BHC图(十)【答案】A3．（2022重庆綦江县）如图，在ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC②∠CDF＝∠EAF③△ECF是等边三角形④CG⊥AEFDBCAGEA．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④【答案】B4．（2022山东临沂）如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB4，则OE的长是-1-AOBCDE（第7题图）（A）2（B）2（C）1（D）12【答案】A5．（2022湖南衡阳）如图，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=42，则ΔCEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.5【答案】A6．（2022河北）如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则□ABCD的周长为DAB图2CB．9D．15ABCD的周长等于（）A．6C．12【答案】C7．（2022浙江湖州）如图在ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则A．10cmB．6cmC．5cmD．4cmADCB【答案】A．8．（2022四川成都）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB//CD；②ABCD；③BC//AD；④BCAD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边-2-形的选法种数共有（）（A）6种（B）5种（C）4种（D）3种【答案】C9．（2022山东泰安）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）A、AD=CFB、BF=CFC、AF=CDD、DE=EF【答案】C10．（2022内蒙古包头）已知下列命题：①若a0，b0，则ab0；②若ab，则ab；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个【答案】B22D．4个11．（2022重庆江津）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．ABCDC．ABBCB．ADBCD．ACBD【答案】D12．（2022宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C13．（2022鄂尔多斯）如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不．正确的是．．-3-A.S△ADF=2S△EBFB.BF=1DF2C.四边形AECD是等腰梯形D.∠AEC=∠ADC【答案】A14．（2022广东清远）如图2，在ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为()A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm【答案】A二、填空题1．（2022福建福州）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为_______．(第14题)【答案】212．（2022福建宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．DFAEB第16题图C【答案】43．（2022山东滨州）如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为.-4-【答案】234．（2022山东潍坊）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12cm，F是AB边上的一点，过点F作FE∥BC交CA于点E，过点E作ED∥AB交于BC于点D，则四边形BDEF的周长是．【答案】24cm5．（2022湖南常德）如图2，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为.（填一个即可）.DCA图2B【答案】ABCD或AC或AD∥BC等6．（2022湖南郴州）如图，已知平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，连结DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使△CDF≌△BEF，这个条件是．（只要填一个）DCFABE【答案】DC=EB或CF=BF或DF=EF或F为DE的中点或F为BC的中点或ABBE或B为AE的中点7．（2022湖北荆州）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，则∠ECB的度数是.-5-【答案】65°8．（2022湖北恩施自治州）如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等于㎝.【答案】39．（2022云南红河哈尼族彝族自治州）如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个.AC1BB1A1(1)AC1B2CBA1(2)AB1C1B2CBA2C3A3B3A2C2B1C…C2A1(3)图4【答案】3n10．（2022江苏镇江）如图，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且AE2AEF的面积,则=，BF=.EC5CDE的面积4,62511．（2022广西钦州市）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD＝4cm，则OE的长为▲cm．-6-ABOCDE第5题【答案】212．（2022青海西宁）如图1，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=某，那么某的取值范围是.图1【答案】3﹤某﹤11.13．（2022广西梧州）如图2，在□ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD=的长为________DFAEBC图2【答案】1014．（2022广东深圳）如图3，在□ABCD中，AB=5，AD=8，DE平分∠ADC，则BE=【答案】315．（2022辽宁本溪）过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是.【答案】2或1016．（2022广西河池）如图1，在□ABCD中，∠A＝120°，则∠D ＝°．DABC图1【答案】60三、解答题1．（2022浙江嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AECF．（1）求证：DEBF；-7-（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）AE（第19题）DFCB【答案】（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴DEBF．…5分（2）连结BD，如图，图中有三对全等三角形：△ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，△ABD≌△CDB．…3分2．（2022嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
2022年中考数学精选真题29 平行线与相交线A(含答案)
2022年中考数学精选真题29 平行线与相交线 A一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1=52°，则∠2=（ ）A．52°B．45°C．38°D．26°2．（3分）（2022·青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角3．（3分）（2022·贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（ ）A．40°B．60°C．80°D．100°4．（3分）（2022·鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）A．10°B．15°C．20°D．30°5．（3分）（2022·长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE=75°，则∠DCF的度数为（ ）A．65°B．70°C．75°D．105°6．（3分）（2022·泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1=130°，则∠2的度数是（ ）A．30°B．40°C．50°D．70°7．（3分）（2022·山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）A．100°B．120°C．135°D．150°8．（3分）（2022·盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（ ）A．互余B．互补C．同位角D．同旁内角9．（3分）（2022·朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）A．100°B．80°C．70°D．60°10．（3分）（2022·潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1=40°10′，则∠6的度数为（ ）A．100°40′B．99°80′C．99°40′D．99°20′二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·眉山）如图，已知a∥b，∠1=110°，则∠2的度数为 .12．（3分）（2022·济宁）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 ．13．（3分）（2022·绵阳）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 ．14．（3分）（2022·湘西）1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．15．（3分）（2021·泰州）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °.16．（3分）（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD//BE，∠1=20°，则∠2的度数是 .三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)17．（6分）（2022·陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC.18．（8分）（2022·金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B'处各安装定日镜(介绍见图3).绕各中心点(A，A')旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处.已知AB=A'B'=1m，EB=8m，EB'=8 3m，在点A观测点F的仰角为45º（1）（4分）点F的高度EF为 m.（2）（4分）设∠DAB=α，∠D'A'B'=β，则α与β的数量关系是 .19．（8分）（2021·泰州）如图（1）（4分）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA 长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC.求证：直线l1垂直平分AC；（2）（4分）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）20．（8分）（2021·常州）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE，AB=DE，BF=CE.（1）（4分）求证：△ABC≌△DEF；（2）（4分）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC.①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是▲.21．（10分）（2021·绵阳）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC=6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN.（1）（5分）如图1，作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH=∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；（2）（5分）如图2，若∠ABC=30°，NC//AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S. 22．（10分）（2022·宁波模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形.（1）（3分）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D 的度数；（2）（3分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD.求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）（4分）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长. 23．（12分）（2022·鹿城会考）在Rt△ABC中，AB=35，BC=45，过点C作CG∥AB，CF平分∠ACD 交射线BA于点F，D是射线CG上的一个动点，连接AD交CF于点E.（1）（4分）求CF的长.（2）（4分）当△ACE是等腰三角形时，求CD的长.的值.（3）（4分）当B关于AD的对称点B'落在CF上时，求DEAE24．（10分）（2022·宁波模拟）如图（1）（3分）【基础巩固】如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ACD=∠B，求证：△ABC∼△DCA；（2）（3分）【尝试应用】如图②，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠AED与∠C互补，BE=2，EC=4，求AE的长；（3）（4分）【拓展提高】如图③，在菱形ABCD中，E为其内部一点，∠AED与∠C互补，点F在CD上，EF//AD，且AD=2EF，AE=3，CF=1，求DE的长.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】C11．【答案】110º12．【答案】53°28′13．【答案】110°14．【答案】40°15．【答案】2016．【答案】40°17．【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB，∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.18．【答案】（1）9（2）α-β=7.5°19．【答案】（1）证明：如图①，连接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直线l1平分AC，由作图可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l2垂直AC，∵l1∥l2，∴l1垂直AC，即直线l1垂直平分AC（2）解：如图②，以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求.20．【答案】（1）证明：∵BF=CE，∴BC=EF，∵AB//DE，∴∠ABC=∠DEF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF（2）解：①如图所示，△A′BC即为所求；；②平行21．【答案】（1）解：结论：点N在直线AB上；∵∠CMH=∠B，∠CMH+∠C=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠BMC=90°，即CM⊥AB.∴线段CM逆时针旋转90°落在直线BA上，即点N在直线AB上.（2）解：作CD⊥AB于D，∵MC=MN，∠CMN=90°，∴∠MCN=45°，∵NC//AB，∴∠BMC=45°，∵BC=6，∠B=30°，∴CD=3，MC=2CD=32，∴S=M C2=18，即以MC、MN为邻边的正方形面积S=18. 22．【答案】（1）满足条件的∠D的度数为160°或130°（2）证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵∠BAD+∠B=180°，∴AD∥BC，∵DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD=BE，∠B=∠DEC=∠ADE，∵BC=BE+CE，∴BC=AD+CE，又∵BC=AD+CD，∴CE=CD，BC>AD，∴∠CDE=∠DEC，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=2∠B，∴四边形ABCD是倍角梯形；（3）解：如图所示：过点A作AE∥DC交BC于点E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AD=AC，∴∠ACD=∠D，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形，∴∠ACB=∠DAC，∠AEC=∠D=2∠B，设∠B=α，则∠D=∠ACD=2α，∵∠DAC+∠D+∠ACD=180°，∴α+2α+2α=180°，∴α=36°，∴∠B=∠ACB=36°，∴∠BAC=∠AEB=108°，∵∠B=∠B，∴△ABE∽△CBA，∴AB BC =BE AB，设AE=BE=CD=x，则BC=2+x，∴22+x=x 2，∴22=x(x+2)，∴x=5―1或x=―5―1（舍去），∴CD=5―1.∴BC=AD+CD=2+5―1=5+1.23．【答案】（1）解：∵Rt△ABC，AB=35，BC=45，∴AC=AB2+BC2=55∵CG∥AB，∴∠GCF=∠AFC，∵CF平分∠ACD，∴∠GCF=∠ACF，∴∠ACF=∠AFC，∴AF=AC=55，∴BF=55+35=85，∴在Rt△BCF，CF=BC2+BF2=(45)2+(85)2=20；（2）解：①如图，当CE=AE时，可得∠ACF=∠CAE，∴∠CAE=∠CFA，∵∠ACE=∠FCA，∴△ACE∽△FCA∴CE AC =AC CF∴CE55=5520∴CE=254∴CF=554∵CD∥AB∴△CDE∽△FAE∴CD AF =CE EF 即CD 55=2555∴CD =25511②如图，当AC=CE 时CE =AC =55∴EF =20―55∵CD AF =CE EF ∴CD 55=5520―55∴CD =100+25511- 综上所述，CD=25511或100+25511；（3）解：如图，过点B’作B’M ⊥AB 于M ，DN ⊥BF 于N ，交BB'于点H ，连接AB’由（1）可知tan ∠F=12设B’M=x ，则FM=2x∴AM =55―2x在Rt △AB’M 中，AB ′2=A M 2+B′M 2∴(35)2=(55―2x )2+x 2解得：x 1=25+2(舍去)，x 2=25―2∴BM =45+4∴tan ∠B′BM =25―245+4由垂直可得∠BNH=∠DNA ，∵∠BHN=∠DHB'，∴∠ADN=∠B’BM∴tan∠ADN=tan∠B′BM=25―2 45+4∴AN DN =25―2 45+4∴AN=35―5∴CD=5由①DEAE =CDAF=555=5524．【答案】（1）证明：∵AD// BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠ACD=∠B，∴△ABC∽△DCA.（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，AB// DC，∴∠DAE=∠AEB，∠C+∠B=180°，又∵∠AED+∠C=180°，∴∠AED=∠B，∴△ABE∽△DEA∴BE AE =AE AD∵BE=2，EC=4，∴AD=BC=6，∴A E2=BE⋅AD=12，∴AE=23（3）解：如图，延长FE交AB于点G，∵EF//AD，∴∠DFE=∠C，∵AG// DF，∴四边形AGFD为平行四边形，∴AG=DF，AD=GF，由(2)可知﹐△AGE∽△DEA，∴AE GE =ADAE=DEAG∵AD=2EF∴A E2=GE⋅AD=AD22即AD=2AE，∴CD=AD=2AE=32∴AG=DF=32―1∴DE=2AG=2DF=6―2。
2022年中考数学精选真题30 平行线与相交线B(含答案)
2022年中考数学精选真题30 平行线与相交线 B一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·六盘水）如图，a∥b，∠1=43°，则∠2的度数是（ ）A．137°B．53°C．47°D．43°2．（3分）（2022·岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（3分）（2022·陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF.若∠1=58°，则∠2的大小为（ ）A．120°B．122°C．132°D．148°4．（3分）（2022·资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1=40°，则∠2度数是（ ）A．60°B．50°C．40°D．30°5．（3分）（2022·丹东）如图，直线l1//l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）A．32°B．38°C．48°D．52°6．（3分）（2022·通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=35°时，∠DCN的度数为（ ）A．55°B．70°C．60°D．35°7．（3分）（2022·南通）如图，a∥b，∠3=80°，∠1―∠2=20°，则∠1的度数是（ ）A．30°B．40°C．50°D．80°8．（3分）（2022·齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）A．57°B．63°C．67°D．73°9．（3分）（2022·河北）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行10．（3分）（2022·达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=80°，则∠PNM等于（ ）A．15°B．25°C．35°D．45°二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·镇江）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则∠1= °．12．（3分）（2022·扬州）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND= °.13．（3分）（2022·宁夏）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB=55°，将△AOB绕点O 顺时针旋转75°至△A1O B1，边A1O交直线a于点C，则∠1= °．14．（3分）（2022·嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．15．（3分）（2021·绵阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF=∠DGE，CF=7，则AB= .16．（3分）（2021·通辽）一副三角板如图所示摆放，且AB//CD，则∠1的度数为 ．三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)17．（8分）（2022·温州）如图，BD 是△ABC的角平分线，DE∥BC ，交AB 于点E．（1）（4分）求证：∠EBD=∠EDB．（2）（4分）当AB=AC时，请判断CD 与ED的大小关系，并说明理由．18．（8分）（2022·柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF.有下列三个条件：①AC=DF，②∠ABC=∠DEF，③∠ACB=∠DFE．（1）（2分）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为( 填写序号) ( 只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“ SSS”或“ SAS”或“ ASA”或“ AAS”)；（2）（4分）利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB//DE．19．（8分）（2022·武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=80°.（1）（4分）求∠BAD的度数；（2）（4分）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD=50°.求证：AE∥DC.20．（8分）（2022·东莞模拟）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．（1）（4分）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；（2）（4分）若AB=AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．21．（8分）（2021·长沙模拟）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B.（1）（4分）利用尺规作∠NAB的平分线与PQ交于点C；（2）（4分）若∠ABP=70°，求∠ACB的度数.22．（10分）（2021·南湖模拟）已知，∠ABC和∠DEF中，AB//DE，BC//EF.试探究：（1）（3分）如图1，∠B与∠E的关系是 ；（2）（4分）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；（3）（3分）根据上述探究，请归纳得到一个真命题.23．（10分）（2021·河南模拟）某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法，如图，过点C作直线l的平行线.作图过程如下：第一步：在直线l 上任意取两点A ，B ，连接AC ，BC ，且AC ＞BC ；第二步：作△ABC 的外接圆O ；第三步：以点A 为圆心，CB 长为半径作弧，交AC 于点D ，连接AD ；第四步：作直线CD ，则直线CD 即为所求作的平行线.（1）（3分）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＞BC ，D 为弧AC 上一点，且满足 .求证： .（2）（4分）聪聪认为，在△ABC 中，若AC ＝BC ，过点C 作直线l 的平行线l ′，则l ′为⊙O 的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由.24．（12分）（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l 1∥l 2，△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l 1与l 2之间的距离为ℎ，则S △ABC =12BC ⋅ℎ，S △DBC =12BC ⋅ℎ．∴S △ABC =S △DBC ．【探究】（1）（4分）如图②，当点D 在l 1，l 2之间时，设点A ，D 到直线l 2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S △ABC S △DBC=ℎℎ′．证明：∵S △ABC▲▲ ▲（2）（5分）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC=AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥▲．∴△AEM∽▲．∴AE DF =AM DM．由【探究】（1）可知S△ABCS△DBC=▲，∴S△ABCS△DBC=AMDM．（3）（3分）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，S△ABCS△DBC的值为 ．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】10512．【答案】10513．【答案】5014．【答案】23315．【答案】416．【答案】75°17．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC―AD=AB―AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED18．【答案】（1）①；SSS（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A=∠EDF，∴AB//DE．19．【答案】（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠B=80°，∴∠BAD=100°.（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=50°.∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=50°.∵∠BCD=50°，∴∠BCD=∠AEB.∴AE∥DC.另解：运用三角形内角和也可以得证.20．【答案】（1）解：如图，射线AE即为所求作；（2）证明：∵AE平分∠CAD，∴∠CAD=2∠DAE，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠CAD=∠B+∠C=2∠B，∴∠DAE=∠B，∴AE∥BC．21．【答案】（1）解：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点F，交AB于点D；②分别以F，D为圆心，以大于1FD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；2③作射线AE交PQ于点C.如图所示：（2）解：∵MN∥PQ，∴∠NAB＝∠ABP＝70°，∵AC平分∠NAB，∴∠NAC＝35°，∵MN∥PQ，∴∠ACB＝∠NAC＝35°.22．【答案】（1）∠B=∠E（2）解：如下图：设BC与DE交于点G∵AB//DE，∴∠B=∠DGC又∵BC//EF∴∠E+∠BGE=180°，∵∠BGE=∠DGC∴∠B+∠E=180°（3）解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. 23．【答案】（1）AD＝BC；AB∥CD（2）解：聪聪的想法正确，理由：连接OA、OB、OC，如下图：∵CA ＝CB ，OA ＝OB ，∴直线CO 垂直平分线段AB ，即OC ⊥AB ，∵AB ∥l′，∴CO ⊥l′，∵OC 是圆O 的半径，∴l ′为⊙O 的切线.24．【答案】（1）证明：∵S △ABC =12BC ⋅ℎ，S △DBC =12BC ⋅ℎ′，∴S △ABC S △DBC=ℎℎ′．（2）解：证明：过点A 作AE ⊥BM ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥BM ，垂足为F ，则∠AEM =∠DFM =90°，∴AE ∥DF ．∴△AEM ∼△DFM ．∴AE DF =AM DM．由【探究】（1）可知S △ABC S △DBC=AE DF ，∴S △ABC S △DBC=AM DM ．（3）73。
2022全国中考数学冲刺解析120考点汇编 相交线，平行线
2022年1月最新最细）2022全国中考真题解析120考点汇编☆相交线，平行线一、选择题1（2022云南保山2，3分）如图，1∥2，∠1=120°，则∠2=考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
分析：由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由1∥2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．解答：解：∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣∠1=60°，∵1∥2，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60．点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．2（2022•南通）如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠BEF=（）A、120°B、110°C、100°D、80°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
专题：计算题。
分析：根据平行线的性质推出∠DCE∠BEF=180°，代入求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠DCE∠BEF=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BEF=180°﹣80°=100°．故选C．点评：本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE ∠BEF=180°是解此题的关键．3（2022山东日照，3，3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A．70°B．80° C．90°D．100°考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：根据两直线平行，同位角相等，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．故选B ．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理．4 （2022山西，5，2分）如图所示，∠AOB 的两边OA 、OB 均为平面反光镜，∠AOB ＝35°，在OB 上有一点E ，从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（ ）A ．35° B． 70° C ． 110° D． 120°第5题C B AE D O考点：平行线的性质，三角形的外角，多学科综合专题：相交线与平行线分析：由DC ∥OB 得∠ADC ＝∠AOB ＝35°，又由反射角相等知∠ADC ＝∠ODE ＝35°，因为∠DEB 是△ODE 的外角，所以∠DEB ＝∠ODE ＋∠AOB ＝70°．解答：B点评：利用反射角相等得出∠ADC ＝∠ODE ＝35°．掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等． 5 （2022台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L 1．L 2．L 3．L 4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（ ）A ．∠2＝∠4＋∠7B ．∠3＝∠1＋∠6 C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D ．∠2＋∠3＋∠5＝360°考点：三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。
2022年中考数学核心考点精讲：《04图形的性质——相交线与平行线》——带答案解析
2022年中考数学核心考点精讲：《04图形的性质——相交线与平行线》——带答案解析Math CL1.如图，直线a∥b，∠1=72°，则∠2的度数是（）A. 118°B. 108°C. 98°D. 72°2.(2020·山东省枣庄市·期末考试)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°3.(2018·江苏省淮安市·历年真题)如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°4.(2020·四川省眉山市·历年真题)一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）A. ∠α+∠β=180°B. ∠α+∠β=225°C. ∠α+∠β=270°D. ∠α=∠β5.如图，若l1// l2，l3// l4，则图中与∠1互补的角有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.(2020·全国·历年真题)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截DE的长为半径作弧，两弧取BE，BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于12在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）C. 1D. 2A. 无法确定B. 127.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为（）A. 10B. 12C. 16D. 188.如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4√3且∠AFG=60∘,GE=2BG,则折痕EF的长为( )A. 1B. √3C. 2D. 2√39.(2018·江苏省无锡市·历年真题)如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）A. 等于37B. 等于√33C. 等于34D. 随点E位置的变化而变化10.(2021·安徽省合肥市·期末考试)如图所示，不能判定AB∥CD的条件是（）A. ∠1=∠2B. ∠B+∠BCD=180°C. ∠3=∠4D. ∠B=∠511.(2020·全国·历年真题)如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1=42°，则∠2的度数为______．12.(2020·山东省·历年真题)如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为______．13.(2021·陕西省西安市·模拟题)如图，同旁内角有______对．14.(2020·江苏省连云港市·历年真题)如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α=______°．15.(2020·湖北省·历年真题)如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．16.(2018·重庆市·历年真题)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数．17.(2020·黑龙江省哈尔滨市·月考试卷)已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE=CF；（2）如图2，当∠ADB=30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的1．818.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．（1）求证：AC平分∠DAE；，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．（2）若cos M=4519.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．(1)求证：AC//DE；(2)若BF=13，EC=5，求BC的长．20.（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为______；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．21.(2021·河南省平顶山市·期末考试)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝√5，BD＝2，求OE的长．22.如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=√3DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．1.【答案】B【解析】解：∵直线a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1=72°，∴∠3=108°，∴∠2=108°，故选：B．根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行计算即可．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．2.【答案】C【解析】解：∵AB=AC，且∠A=30°，∴∠ACB=75°，在△ADE中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°-30°=115°，∵a∥b，∴∠AED=∠2+∠ACB，∴∠2=115°-75°=40°，故选：C．先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，∴∠3=55°，由题意的纸片的对边平行，∴∠2=∠3=55°，故选：C．根据平角的定义，得到∠1+∠3=90°，求出∠3=55°，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求出∠2的度数；此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键．根据四边形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：如图，在四边形ABCD中，且∠1=∠α，∠2=∠β，∵∠A+∠1+∠C+∠2=360°，∴∠α+∠β=360°-90°-45°=225°．故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平行线的性质，余角和补角的有关知识，直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案．【解答】解：∵l1 // l2，l3 // l4，∴∠1+∠2=180°，2=∠4，∵∠4=∠5，∠2=∠3，∴图中与∠1互补的角有：∠2，∠3，∠4，∠5共4个．故选：D．6.【答案】C【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．由作图可知，GB平分∠ABC，∵GH⊥BA，GC⊥BC，∴GH=GC=1，根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，故选：C．如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1，利用垂线段最短即可解决问题．本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积. 根据已知条件可直接算出S△PDF，根据平行线性质可证明△AEP∽△CFP，从而求出PE·BE，得到S△PBE，两个三角形面积相加即为结果.【解答】解：根据题意，∵EF∥BC，∴DF=AE=2，∴S△PDF=12×PF×DF=12×8×2=8，∵EF∥BC，∴△AEP∽△CFP，BE=CF，∴PE PF =AECF=AEBE，∴PE·BE=AE·PF=2×8=16，∴S△PBE=12×PE×BE=12×16=8，所以阴影部分面积=8+8=16.故选C.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，掌握好基本性质是解题的关键.先得出D//BC,∠H=∠D=∠FGH=∠C=90∘，然后得出∠GFE=∠DFE=60∘，判断△GEF是等边三角形，得出FG=GE=FE，设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x，作GM⊥AD，交AD于点M，则四边形ABGM是矩形，得出AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x，求出x即可.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD//BC,∠H=∠D=∠FGH=∠C=90∘.由折叠知∠GFE=∠DFE,FD=FG.∵∠GFD=180∘-∠AFG=120∘,∴∠GFE=∠DFE=60∘.∵AD//BC,∴∠FGE=∠AFG=60∘,∠FEG=∠DFE=60∘,∴△GEF是等边三角形,∴FG=GE=FE.设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x.作GM⊥AD,交AD于点M,则四边形ABGM是矩形,GM=GF·sin60∘=√3x,MF=GF⋅cos60∘=x,∴AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x,∵AD⋅GM=4√3,∴4x⋅√3x=4√3,解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去),∴EF=2x=2,故选C.9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线的性质的计算，根据已知及相似三角形的判定与性质，平行线的性质计算，求出tan∠AFE的值.【解答】解：∵EH//CD,∴△AEH∽△ACD,∴EHAH =CDAD=34.设EH=3x,则AH=4x,∴HG=GF=3x, ∵EF//AD，∴∠AFE=∠FAG,∴tan∠AFE=tan∠FAG=GFAG =3x3x+4x=37.故选A.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线平行的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．根据同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行分别对四个选项进行判断，即可得到答案．【解答】解：A .∠1=∠2，则AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以A选项符合；B.∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；所以B选项不符；C.∠3=∠4，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以C选项不符；D.∠B=∠5，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以D选项不符．故选A．11.【答案】102°【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．由等边三角形的性质得∠BAC=60°，由平角定义求出∠CAD=78°，再由平行线的性质得出∠2+∠CAD=180°，即可得出答案．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵∠1=42°，∴∠CAD=180°-60°-42°=78°，∵a∥b，∴∠2+∠CAD=180°，∴∠2=180°-∠CAD=102°；故答案为：102°．12.【答案】3√17【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．根据矩形的性质可得BD=13，再根据BP=BA可得DQ=DP=8，所以得CQ=3，在Rt△BCQ 中，根据勾股定理即可得BQ的长．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，∴BD=√AB2+AD2=13，∵BP=BA=5，∴PD=BD-BP=8，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，∵AB∥CD，∴∠BAP=∠DQP，∴∠DPQ=∠DQP，∴DQ=DP=8，∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ=√BC2+CQ2=√153=3√17．故答案为3√17．13.【答案】4【解析】解：∠1和∠2，∠1和∠6，∠2和∠6，∠3和∠7是同旁内角，共4对，故答案为：4．根据同旁内角定义进行分析即可．此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．14.【答案】48【解析】解：延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和=（6-2）×180°=720°，∴∠A1A2A3=∠A2A3A4=720°=120°，6∴∠CA2A3=∠A2A3C=180°-120°=60°，∴∠C=180°-60°-60°=60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠B2B3B4=540°=108°，5∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4=∠B2B3B4=108°，∴∠EDC=180°-108°=72°，∴α=∠CED=180°-∠C-∠EDC=180°-60°-72°=48°，故答案为：48．延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，得出∠CA2A3=∠A2A3C=60°，则∠C=60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°，由平行线的性质得出∠EDA4=∠B2B3B4=108°，则∠EDC=72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．本题考查了正六边形的性质、正五边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．15.【答案】解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，∴∠EAB=40°，∵∠DAB=70°，∴∠DAE=30°；（2）证明：在△ADE与△BCA中，{∠B=∠DAE AB=AE∠BAC=∠E，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD=BC．【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应角相等．16.【答案】解：∵直线AB∥CD，∴∠1=∠3∵∠1=54°，∴∠3=54°∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠3=108°，∵AB∥CD，∴∠BDC=180°-∠ABD=72°，∴∠2=∠BDC=72°．【解析】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案．17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE=∠DF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中，{∠ABE =∠CDF ∠AEB =∠CFD AB =CD，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE =CF ； （2）解：△ABE 的面积=△CDF 的面积=△BCE 的面积=△ADF 的面积=矩形ABCD 面积的18．理由如下： ∵AD ∥BC ， ∴∠CBD =∠ADB =30°， ∵∠ABC =90°， ∴∠ABE =60°， ∵AE ⊥BD ，∴∠BAE =30°，∴BE =12AB ，AE =12AD ，∴△ABE 的面积=12BE ×AE =12×12AB ×12AD =18AB ×AD =18矩形ABCD 的面积，∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积═18矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，如图所示：∵∠CBD =30°，∴EG =12BE =12×12AB =14AB ， ∴△BCE 的面积=12BC ×EG =12BC ×14AB =18BC ×AB =18矩形ABCD 的面积， 同理：△ADF 的面积=18矩形ABCD 的面积．【解析】（1）由AAS 证明△ABE ≌△CDF ，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠CBD =∠ADB =30°，由直角三角形的性质得出BE =12AB ，AE =12AD ，得出△ABE 的面积=18AB ×AD =18矩形ABCD 的面积，由全等三角形的性质得出△CDF 的面积═18矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，由直角三角形的性质得出EG =12BE =12×12AB =14AB ，得出△BCE 的面积=18矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积=18矩形ABCD 的面积．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18.【答案】（1）证明：连接OC ，如图，∵直线DE 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DE ，又∵AD ⊥DE ，∴OC ∥AD ．∴∠1=∠3∵OA =OC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC 平分∠DAE ；（2）解：①∵AB 为直径，∴∠AFB =90°，而DE ⊥AD ，∴BF ∥DE ，∴OC ⊥BF ，∴CF ⏜=BC ⏜，∴∠COE =∠FAB ，而∠FAB =∠M ，∴∠COE =∠M ，设⊙O 的半径为r ，在Rt △OCE 中，cos ∠COE =OC OE =45，即r r+1=45，解得r =4，即⊙O 的半径为4；②连接BF ，如图，在Rt △AFB 中，cos ∠FAB =AFAB ，∴AF =8×45=325在Rt △OCE 中，OE =5，OC =4，∴CE =3，∵AB ⊥FM ，∴AM⏜=AF ⏜， ∴∠5=∠4，∵FB ∥DE ，∴∠5=∠E =∠4，∵CF⏜=BC ⏜， ∴∠1=∠2，∴△AFN ∽△AEC ， ∴FN CE =AF AE ，即FN 3=3259， ∴FN =3215．【解析】（1）连接OC ，利用切线的性质得OC ⊥DE ，则判断OC ∥AD 得到∠1=∠3，又∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到CF ⏜=BC ⏜，则∠COE =∠FAB ，所以∠FAB =∠M =∠COE ，设⊙O 的半径为r ，然后在Rt △OCE 中利用余弦的定义得到r r+1=45，从而解方程求出r 即可；②连接BF ，先在Rt △AFB 中利用余弦定义计算出AF =325，再计算出CE =3，接着证明△AFN ∽△AEC ，然后利用相似比可计算出FN 的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．19.【答案】(1)证明：在△ABC 和△DFE 中{AB =DF ∠A =∠D AC =DE，∴△ABC≌△DFE(SAS)，∴∠ACE =∠DEF ，∴AC//DE ；(2)解：∵△ABC≌△DFE ，∴BC =EF ，∴CB −EC =EF −EC ，∵BF=13，EC=5，∴EB=13−52=4，∴CB=4+5=9．【解析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．(1)首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC//DE；(2)根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．20.【答案】解：（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，{∠BAE=∠G∠AEB=∠GEC BE=CE，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∴∠BAG =∠G ，∴∠FAG =∠G ，∴FA =FG ，∴AB =CG =AF +CF ；（3）AB =23（CF +DF ），证明：如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，∵AB ∥CF ，∴△AEB ∽△GEC ，∴AB CG =BE EC =23，即AB =23CG ，∵AB ∥CF ，∴∠A =∠G ，∵∠EDF =∠BAE ， ∴∠FDG =∠G ，∴FD =FG ，∴AB =23CG =23（CF +DF ）．【解析】解：（1）如图①，延长AE 交DC 的延长线于点F ，∵AB ∥DC ，∴∠BAF =∠F ，∵E 是BC 的中点，∴CE =BE ，在△AEB 和△FEC 中，{∠BAF=∠F∠AEB=∠FEC BE=CE，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）见答案；（3）见答案.【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=23CG，计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．21.【答案】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=1BD=1，2在Rt△AOB中，AB=√5，OB=1，∴OA=√AB2−OB2=2，∴OE=OA=2．【解析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DCA=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．22.【答案】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=√3DH，∴tan∠ACB=ABBC =√3DHDH=√3，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=12AC，∴DH=12AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=12AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠ADB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．【解析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=1AC，分两种情况：2①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想．。
2022中考数学试题分类汇编考点18相交线与平行线含解析-453
2022中考数学试题分类汇编考点18相交线与平行线含解析-453一．选择题（共30小题）1．（2022邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（）A．20°B．60°C．70°D．160°【分析】根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵∠AOD=160°，∴∠BOC=∠AOD=160°，故选：D．2．（2022滨州）如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180°【分析】依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选：D．3．（2022泰安）如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为（）A．14°B．16°C．90°﹣αD．α﹣44°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°﹣30°=14°．【解答】解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°，故选：A．4．（2022怀化）如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2=（）A．30°B．60°C．45°D．120°【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠1，∵∠1=60°，∴∠2=60°．故选：B．25．（2022深圳）如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠2+∠4=180°D．∠1+∠4=180°【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论．【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b，∴∠3=∠4，故选：B．6．（2022绵阳）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（）A．14°B．15°C．16°D．17°【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．【解答】解：如图，∵∠ABC=60°，∠2=44°，∴∠EBC=16°，∵BE∥CD，∴∠1=∠EBC=16°，故选：C．37．（2022泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．80°D．110°【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠BAD=∠CAD=50°，进而得出答案．【解答】解：∵∠BAC的平分线交直线b于点D，∴∠BAD=∠CAD，∵直线a∥b，∠1=50°，∴∠BAD=∠CAD=50°，∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故选：C．8．（2022乌鲁木齐）如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵直尺对边互相平行，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=180°﹣50°﹣90°=40°．故选：C．49．（2022孝感）如图，直线AD∥BC，若∠1=42°，∠BAC=78°，则∠2的度数为（）A．42°B．50°C．60°D．68°【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=60°，再根据AD∥BC，即可得出∠2=∠ABC=60°．【解答】解：∵∠1=42°，∠BAC=78°，∴∠ABC=60°，又∵AD∥BC，∴∠2=∠ABC=60°，故选：C．10．（2022衢州）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）A．112°B．110°C．108°D．106°【分析】由折叠可得，∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．【解答】解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折叠可得，∠DGH=∠DGE=74°，5∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°，故选：D．11．（2022新疆）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85°B．75°C．60°D．30°【分析】先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选：B．12．（2022铜仁市）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A．1cmB．3cmC．5cm或3cmD．1cm或3cm【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．【解答】解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，6而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．故选：C．13．（2022黔南州）如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的性质，三角形内角和定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠B=30°，再根据角平分线的概念，得：∠BDE=∠ADB=30°，再根据两条直线平行，内错角相等得：∠DEC=∠ADE=60°，故选：B．14．（2022郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4D．∠1=∠3【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【解答】解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．715．（2022杭州）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（）A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN【分析】根据垂线段最短解答即可．【解答】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．16．（2022衢州）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可．【解答】解：由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4，故选：C．17．（2022广东）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】依据三角形内角和定理，可得∠D=40°，再根据平行线的性质，即可得到∠B=∠D=40°．【解答】解：∵∠DEC=100°，∠C=40°，∴∠D=40°，又∵AB∥CD，8∴∠B=∠D=40°，故选：B．18．（2022自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．故选：D．19．（2022十堰）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=28°，则∠2的度数是（）A．62°B．108°C．118°D．152°【分析】依据AB∥CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28°+90°=118°，9故选：C．20．（2022东营）下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．【分析】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，据此进行判断即可．【解答】解：A．根据AB∥CD，能得到∠1+∠2=180°，故本选项不符合题意；B．如图，根据AB∥CD，能得到∠3=∠4，再根据对顶角相等，可得∠1=∠2，故本选项符合题意；C．根据AC∥BD，能得到∠1=∠2，故本选项不符合题意；D．根据AB平行CD，不能得到∠1=∠2，故本选项不符合题意；故选：B．21．（2022临沂）如图，AB∥CD，∠D=42°，∠CBA=64°，则∠CBD的度数是（）A．42°B．64°C．74°D．106°【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和定理计算即可；【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=64°，在△BCD中，∠CBD=180°﹣∠C﹣∠D=180°﹣64°﹣42°=74°，故选：C．1022．（2022恩施州）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）【分析】如图求出∠5即可解决问题．【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠4=35°，∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°﹣∠5=125°，故选：A．23．（2022枣庄）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n 上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，11∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选：D．24．（2022内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°﹣∠BDC=90°﹣62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选：D．25．（2022陕西）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案．【解答】解：∵l1∥l2，l3∥l4，∴∠1+∠2=180°，2=∠4，∵∠4=∠5，∠2=∠3，∴图中与∠1互补的角有：∠2，∠3，∠4，∠5共4个．故选：D．26．（2022淮安）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】求出∠3即可解决问题；【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，∴∠3=55°，∴∠2=∠3=55°，故选：C．27．（2022广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）13A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可．【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，故选：B．28．（2022荆门）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．85°D．75°【分析】想办法求出∠5即可解决问题；【解答】解：∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，∴∠4=∠3+∠B=100°，∵a∥b，14∴∠5=∠4=100°，∴∠2=180°﹣∠5=80°，故选：A．29．（2022随州）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．65°【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD．∵a∥b，∴CD∥b，∴∠2=∠DCB．∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°．故选：A．30．（2022遵义）已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（）15A．35°B．55°C．56°D．65°【分析】利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及直角三角形两锐角互余求出所求角度数即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠3=∠4，∵∠3=∠1，∴∠1=∠4，∵∠5+∠4=90°，且∠5=∠2，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选：B．二．填空题（共13小题）31．（2022河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为140°．【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∴∠EOB=90°，∵∠EOD=50°，∴∠BOD=40°，则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．16故答案为：140°．32．（2022湘西州）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=60°．【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．【解答】解：∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为：60°．33．（2022盐城）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=85°．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1=40°，∠4=45°，∴∠3=∠1+∠4=85°，∵矩形对边平行，∴∠2=∠3=85°．故答案为：85°．1734．（2022柳州）如图，a∥b，若∠1=46°，则∠2=46°．【分析】根据平行线的性质，得到∠1=∠2即可．【解答】解：∵a∥b，∠1=46°，∴∠2=∠1=46°，故答案为：46．【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=45°，∴∠3=45°，18。
第五章 相交线与平行线考点与数学思想整合及2022中考真题训练(解析版)
第五章相交线与平行线考点与数学思想整合及2022中考真题训练（解析版）第一部分考点典例精析考点一与相交线有关的角度的计算1．（2022春•章丘区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于点O．（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．思路引领：（1）由角平分线定义，邻补角的性质，即可求解：（2）由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求解．解：（1）∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝70°；（2）设∠BOD＝x°则∠BOE＝4x°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，∵∠BOD+∠BOC＝180°，∴x+8x＝180，∴x＝20，∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．总结提升：本题考查有关角的计算，关键是掌握角平分线定义，邻补角及对顶角的性质．2．（2020秋•石景山区期末）如图所示，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，若∠COF＝26°，求∠BOD的度数．思路引领：先求出∠EOF，然后根据角平分线的定义求出∠AOE，再求出∠AOC的度数，然后根据对顶角相等解答即可．解：∵∠COE＝90°，∠COF＝26°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣26°＝64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×64°＝128°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝128°﹣90°＝38°，∴∠BOD＝∠AOC＝38°．总结提升：本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，角的计算，是基础题，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．（2020春•覃塘区期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．思路引领：（1）依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC＝72°；（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE ＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如图所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．总结提升：本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相等．考点二平行线的判定4．（2021春•高新区校级期中）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB垂线a和b，得到a∥b．理由是（ ）A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知垂直C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行思路引领：根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．解：由题意a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），故选：C．总结提升：本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2022•苏州模拟）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）A．∠A＝∠3B．∠A+∠2＝180°C．∠1＝∠4D．∠1＝∠A思路引领：利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．总结提升：本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．考点三平行线的性质6．（2022•沈北新区一模）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A的度数是（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°思路引领：直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故选：B．总结提升：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠ABF＝50°是解题关键．7．（2019春•椒江区期末）一副直角三角尺按如图1所示方式叠放，现你含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合条件的度数为 ．思路引领：副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC 绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）符合条件的其它所有可能度数根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．解：如图，当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；当BC∥DE时，BC⊥AE，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴∠DAB＝∠DAE﹣BAE＝15°；综上所述，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合条件的度数为15°或45°或60°，故答案为：15°或45°或60°．总结提升：本题考查的是等腰直角三角形，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．考点四平行线的判定与性质的综合运用8．（2021春•饶平县校级期末）已知：如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，∠M和∠N有怎样的数量关系，并说明理由．思路引领：根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAE＝∠AEC，求出∠MAE＝∠NEA，根据平行线的判定得出AM∥NE，根据平行线的性质得出即可．解：∠M＝∠N，理由是：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2，即∠MAE＝∠NEA，∴AM∥NE（内错角相等，两直线平行），∴∠M＝∠N（两直线平行，内错角相等）．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．9．（2021春•黄陂区期中）如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠B＝60°，∠BDE＝120°，∠AED＝45°．（1）求证：DE∥BC；（2）若DF平分∠ADE，交AC于点F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度数．思路引领：（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．（1）证明：∵∠B＝60°，∠BDE＝120°，∴∠B+∠BDE＝60°+120°＝180°，∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵DE∥BC，∠AED＝45°，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠ACB＝∠AED＝45°，∠EDC＝∠BCD，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠EDF=12∠ADE＝30°，∵∠ECD＝2∠BCD，∴∠BCD=13∠ACB＝15°，∴∠EDC＝15°，∴∠CDF＝∠EDC+∠EDF＝45°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．考点五利用平移解决实际问题10．（2022春•青山区期中）如图，长为50m，宽为30m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其它部分均种植草坪，则种植草坪的面积为（ ）A．1344m2B．1421m2C．1431m2D．1341m2思路引领：可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，种植草坪的面积＝长（50﹣1）米宽（30﹣1）米的长方形面积，依此计算即可求解．解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积＝（50﹣1）×（30﹣1）＝49×29＝1421（m2）．答：种植草坪的面积是1421m2．故选：B．总结提升：本题考查了图形的平移的性质，把小路进行平移是解题的关键．第二部分数学思想感悟一、方程思想11．（2022春•磁县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．思路引领：（1）根据邻补角、角平分线以及余角的定义进行计算即可；（2）根据角平分线的定义以及图形中各个角之间的和差关系进行计算即可．解：（1）∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12∠BOD＝35°，又∵∠DOF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°∴∠EOF＝20°+35°＝55°，答：∠EOF的度数为55°；（2）∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠EOF=12∠COE，设∠BOD＝x，由于∠BOF＝15°，则∠EOF＝x+15°＝∠COF，由平角的定义可得，x+（x+15°）×2＝180°，解得，x＝50°，即∠BOD＝50°∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOD＝100°．总结提升：本题考查角平分线、平角、对顶角，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等及平角的定义是正确解答的关键．二、转化思想12．（2019春•江岸区校级期中）如图，已知AF∥CD，∠A＝∠D，∠B＝∠E．（1）∠A，∠B，∠C的数量关系为 ；（2）求证：BC∥EF．思路引领：（1）根据平行线的性质，邻补角的定义，三角形的内外角的关系解答即可；（2）根据平行线的性质和判定解答即可．（1）解：如图，延长AB、DC，交于点P，∵AF∥CD，即AF∥PD，∴∠A+∠APC＝180°，∴∠APC＝180°﹣∠A，∵∠PCB＝180°﹣∠BCD，∠ABC＝∠APC+∠PCB，∴∠ABC＝180°﹣∠A+180°﹣∠BCD，∴∠A+∠ABC+∠BCD＝360°，即∠A+∠B+∠C＝360°；故答案为：∠A+∠B+∠C＝360°；（2）证明：连接AD，BE，如图：∵AF∥CD，∴∠FAD＝∠ADC，∵∠BAF＝∠CDE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，∵∠ABC＝∠DEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BC∥EF．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．三、分类讨论思想13．（2020春•郑州期中）（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，小颖说过点M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系．思路引领：（1）过M作MP∥AB，根据平行线的性质可得∠PMC＝∠MCD，再根据BM⊥CM，可得∠BMP+∠PMC＝90°，进一步得到∠ABM+∠MCD＝90°，可得∠ABM和∠DCM互余；（2）过M作MF∥AB，交BC于F，根据平行线的性质可得∠DCM＝∠FMC，可得∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；（3）分两种情况：当点M在E、A两点之间时；当点M在AD的延长线上时；进行讨论可求∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．解：（1）如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP＝∠ABM，又∵AB∥CD，∴MP∥CD，∴∠PMC＝∠MCD，又∵BM⊥CM，∴∠BMP+∠PMC＝90°，∴∠ABM+∠MCD＝90°，∴∠ABM和∠DCM互余；（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM＝∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM＝∠FMC，∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；（3）当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC＝∠ABM﹣∠DCM．总结提升：考查了平行线的判定和性质，余角和补角，垂线，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．第三部分2022中考真题精练一．选择题（共15小题）1．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）A．30°B．40°C．60°D．70°思路引领：根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．2．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．45°B．50°C．57.5°D．65°思路引领：根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．总结提升：本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．3．（2022•盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（ ）A．互余B．互补C．同位角D．同旁内角思路引领：利用平行线的性质可得出答案．解：如图，过点G作GH∥ED，∵BC∥ED，∴ED∥GH∥BC，∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，∵∠HGF+∠AGH＝90°，∴∠ABC+∠DEF＝90°∴∠DEF和∠ABC互余，故选：A．总结提升：本题考查了矩形的性质，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角思路引领：两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．总结提升：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．5．（2022•上海）下列说法正确的是（ ）A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题思路引领：根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．总结提升：本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．6．（2022•盘锦）下列命题不正确的是（ ）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360°思路引领：由平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360°，故D正确；故选：C．总结提升：本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．7．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）A．55°B．70°C．60°D．35°思路引领：根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN=12（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．总结提升：此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．8．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）A．∠3＝∠4B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2D．∠1＝∠4思路引领：根据平行线的判定定理进行一一分析．解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．总结提升：本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．9．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）A．100°40'B．99°80'C．99°40'D．99°20'思路引领：先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．总结提升：本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理推理是解此题的关键．10．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行思路引领：根据生活经验结合数学原理解答即可．解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．总结提升：本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．11．（2022•长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）A．65°B．70°C．75°D．105°思路引领：根据平行线性质，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DCF＝75°．解：如图：∵AB∥CD，∴∠DGE＝∠BAE＝75°，∵AE∥CF，∴∠DCF＝∠DGE＝75°，故选：C．总结提升：本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．12．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）A．A点B．B点C．C点D．D点思路引领：根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：根据图形可以看出OB是反射光线，故选：B．总结提升：本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．13．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）A．26°B．36°C．44°D．54°思路引领：首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故选：B．总结提升：本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．14．（2022•娄底）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（ ）A．20°B．80°C．100°D．120°思路引领：根据平行线的性质和平角的定义可得结论．解：如图，由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：C．总结提升：本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键．15．（2022•山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）A．100°B．120°C．135°D．150°思路引领：先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．解：∵DE∥CB，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠C＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，故答案为：B．总结提升：本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得∠DAC．二．填空题（共7小题）16．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠α的度数是 ．思路引领：根据题意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行线的性质可得∠ABD+∠BDC＝180°，从而进行计算即可解答．解：如图：由题意得：∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠FDC＝180°，∴∠α＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC＝180°﹣90°﹣45°﹣30°＝15°，故答案为：15°．总结提升：本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 ．思路引领：根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．解：∵AB∥CD，∴∠GFB＝∠FED＝45°．∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．故答案为：25°．总结提升：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．18．（2022•湘西州）如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．思路引领：利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可．解：如图，∵AC⊥BC，∴∠2+∠3＝90°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°．∴∠2＝90°﹣∠3＝40°．故答案为：40°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： ．思路引领：交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．故答案为：如果b﹣a＜0，那么a＞b．总结提升：本题考查了命题与定理，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题．20．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 ．思路引领：过点C作CF∥AD，根据平行线的性质，求得∠ACF与∠BCF，再由角的和差可得答案．解：过点C作CF∥AD，如图，∵AD∥BE，∴AD∥CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．∴∠ACB＝50°+35°＝85°，故答案为：85°．总结提升：本题考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质得出得出∠ACF＝50°，∠BCF＝35°是解题关键．21．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．思路引领：根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积解答即可．解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），故答案为：8．总结提升：本题考查了四边形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．22．（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 ．思路引领：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．总结提升：本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．三．解答题（共1小题）23．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．思路引领：（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC．总结提升：本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．。
2022年全国数学中考真题(江苏河南广东四川湖南等)汇编专题11 平行线与三角形(解析版)
专题11 平行线与三角形一．选择题1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．18【答案】C【分析】由垂直平分线的性质可得BD ＝CD ，由△ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC 得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵7AB =，12AC =，∴ △ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC ＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在射线AD 上（不与点A ，D 重合），连接PB ，PC ．下列命题中，假命题是（ ）A ．若AB AC =，AD BC ⊥，则PB PC = B ．若PB PC =，AD BC ⊥，则AB AC=C ．若AB AC =，12∠=∠，则PB PC =D ．若PB PC =，12∠=∠，则AB AC =【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．3．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是ABC的AC边上的高线B．线段CD是ABC的AB边上的高线C．线段AD是ABC的BC边上的高线D．线段AD是ABC的AC边上的高线【答案】B【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．5．（2022·湖南邵阳·中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．6．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE【答案】D【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB平分∠AOC∴∠AOB=∠BOC当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（ ）A ．12B ．9C ．6D ．32【答案】B【分析】根据三线合一可得ED BC ⊥，根据垂直平分线的性质可得EB EC =，进而根据∠EBC ＝45°，可得BEC △为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得132DE BC ==，然后根据三角形面积公式即可求解．【详解】解： AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，,AD BD BD DC ∴⊥=，EB EC ∴=，∠EBC ＝45°，45ECB EBC ∠=∠=︒，∴BEC △为等腰直角三角形，6BC =，∴132DE BC ==，则△EBC 的面积是13692⨯⨯=．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．8．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A ．,,AB BC CA B ．,,AB BC B ∠ C ．,,AB AC B ∠D ．,,∠∠A B BC【答案】C【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ,,AB BC CA ．根据SSS 一定符合要求；B. ,,AB BC B ∠．根据SAS 一定符合要求；C. ,,AB AC B ∠．不一定符合要求；D. ,,∠∠A B BC ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．9．（2022·山东泰安·中考真题）如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA OB 、上，且3,5OM ON ==，点P 、Q 分别在边OB OA 、上，则MP PQ QN ++的最小值是（ ）A ．34B ．35C ．342-D ．352-【答案】A【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值；证出△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，得出∠N ′OM ′=90°，由勾股定理求出M ′N ′即可．【详解】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，如图所示： 连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：5ON ON '==，3OM OM '==，∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∴∠NON ′=60°，'60MOM ∠=︒，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N A ．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．10．（2022·浙江金华·中考真题）如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【答案】B【分析】根据OA OD =，OB OC =，AOB COD ∠=∠正好是两边一夹角，即可得出答案．【详解】解：∵在△ABO 和△DCO 中，OA OD AOB COD OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABO DCO ≌△△，故B 正确．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．11．（2022·浙江金华·中考真题）已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（ ） A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．13cm【答案】C【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．【详解】设第三边的长为x ，∵ 角形的两边长分别为5cm 和8cm ，∴3cm ＜x ＜13cm ,故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．12．（2022·安徽·中考真题）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为0S ，1S ，2S ，3S ．若12302S S S S ++=，则线段OP 长的最小值是（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】根据12302S S S S ++=，可得1012S S =，根据等边三角形的性质可求得△ABC 中AB 边上的高1h 和△PAB中AB 边上的高2h 的值，当P 在CO 的延长线时，OP 取得最小值，OP =CP -OC ，过O 作OE ⊥BC ，求得OC =则可求解．【详解】解：如图，2PDB BDC S S S ，3PDA ADC S S S ，∴1231()()PDB BDC PDA ADC S S S S S S S S ++=++++=1()()PDB PDA BDC ADC S S S S S ++++ =1PAB ABC S S S ++ =110S S S ++ =102S S +=02S ，∴1012S S =，设△ABC 中AB 边上的高为1h ，△PAB 中AB 边上的高为2h ， 则0111116322S AB h h h ，1222116322S AB h h h ，∴211332h h ，∴122h h =， ∵△ABC 是等边三角形，∴22166()332h ，2113322h h ，∴点P 在平行于AB ，且到AB ∴当点P 在CO 的延长线上时，OP 取得最小值，过O 作OE ⊥BC 于E ，∴12932CP h h ， ∵O 是等边△ABC 的中心，OE ⊥BC ∴∠OCE =30°，CE =132BC = ∴OC =2OE∵222OE CE OC +=，∴2223(2)OE OE ，解得OE OC =∴OP =CP -OC 52332．故选B ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P 点的位置是解题的关键．13．（2022·四川南充·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（ ）A ．1BF =B ．3DC = C ．5AE =D ．9AC =【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD =DF =3，故B 正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE =DE =5，故C 正确；由此判断D 正确；再证明△BDF ≌△DEC ，求出BF =CD =3，故A 错误．【详解】解：在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DF AB ⊥，∴CD =DF =3，故B 正确；∵DE =5，∴CE =4，∵DE //AB ，∴∠ADE =∠DAF ，∵∠CAD =∠BAD ，∴∠CAD =∠ADE ，∴AE =DE =5，故C 正确；∴AC =AE +CE =9，故D 正确；∵∠B =∠CDE ，∠BFD =∠C =90°，CD =DF ，∴△BDF ≌△DEC ，∴BF =CD =3，故A 错误；故选：A ．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．14．（2022·四川德阳·中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km ．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能．．．是（ ） A ．1kmB ．2kmC ．3kmD ．8km【答案】A【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a ， 则根据题意有：5-353a +＜＜，即28a ＜＜，当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，538a =+=或者532a =-=，综上a 的取值范围为：28a ≤≤，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ，故选：A ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．15．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．16．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．17．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若1∠=α，则2∠=（ ）A ．90α-︒B ．45α-︒C ．180α︒-D ．270α︒-【答案】C【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故选：C ．【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．18．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】C【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∠∠C +∠D ＝∠AEC ，∠∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∠AB CD ∥，∠∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 19．（2022·湖南娄底·中考真题）一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2∠=（ ）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】C【分析】如图，由平行线的性质可得80,BCD ∠=︒ 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：,AB CD ∥ 180∠=︒，180,BCD 218080100, 故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键． 20．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，75AOC ∠=︒，125∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】D【分析】根据对顶角相等可得75BOD ∠=︒，之后根据125∠=︒，即可求出2∠．【详解】解：由题可知75BOD AOC ∠=∠=︒，125∠=︒∵，217525BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=50︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．二．填空题21．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．【答案】15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∴ OB 是ABC ∠的角平分线，∵ 30ABC ∠=︒， ∴1152ABO ABC ∠=∠=︒．故答案为：15． 【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．22．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】60A ∠=︒（答案不唯一）【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加60A ∠=︒，理由如下： ABC 为等腰三角形，180602A B C ︒-∠∴∠=∠==︒，ABC ∴为等边三角形， 故答案为：60A ∠=︒（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．23．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在ABC 中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD ∠的度数是______．【答案】10°或100°【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC AD =，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点D 即为所求；在ABC ∆中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，180408060ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，由作图可知：AC AD =，1(18080)502ACD ADC ∴∠=∠=︒-︒=︒， 605010BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；由作图可知：AC AD ='，ACD AD C ∴∠'=∠'，80ACD AD C BAC ∠'+∠'=∠=︒，40AD C ∴∠'=︒，1801804040100BCD ABC AD C ∴∠'=︒-∠-∠'=︒-︒-︒=︒．综上所述：BCD ∠的度数是10︒或100︒．故答案为：10︒或100︒．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．24．（2022·云南·中考真题）已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．【答案】40°或100°【分析】分∠A 为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A 为三角形顶角时，则△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 为三角形底角时，则△ABC 的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．25．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB AC =，立柱AD BC ⊥，且顶角120BAC ∠=︒，则C ∠的大小为_______．【答案】30°##30度【分析】先由等边对等角得到B C ∠=∠，再根据三角形的内角和进行求解即可．【详解】AB AC =，B C ∴∠=∠，120BAC ∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，180120302C ︒-︒∴∠==︒， 故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 26．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于_____ 【答案】75【详解】如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O ，∵△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，∴BC 5=，AD =BD =2.5， ∴12BC ·AH =12AC ·AB ，即2.5AH =6，∴AH =2.4，由折叠的性质可知，AE =AB ，DE =DB =DC ，∴AD 是BE 的垂直平分线，△BCE 是直角三角形，∴S △ADB =12AD ·OB =12BD ·AH ，∴OB =AH =2.4，∴BE =4.8，∴CE 75=． 故答案为：75． 【点睛】本题的解题要点有：（1）读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH ⊥BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O ，利用面积法求出AH 和OB 的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角．27．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB 上湖的另一边的D 处同时施工．取150ABC ∠=︒，1600m BC =，105BCD ∠=︒，则C ，D 两点的距离是_________m ． 【答案】8002【分析】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，先求出800m CE =，再根据勾股定理即可求出CD 的长．【详解】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，则∠BEC =∠DEC =90°，150ABC ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，∠∠BCE =90°-30°=60°，又105BCD ∠=︒，45CDB ∴∠=︒，∠∠ECD =45°=∠D ，∠CE DE =，1600m BC =，111600800m 22CE BC ∴==⨯=，22222CD CE DE CE ∴=+=，即CD ==．故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．28．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是________（结果用含m 的式子表示）．【答案】m 2-1【分析】2m 为偶数，设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m 为偶数，∴设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理得，（2m ）2+a 2=（a +2）2，解得a =m 2-1，故答案为：m 2-1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．29．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．【答案】6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，底边BC =3∴AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．30．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，∠∠E =60°，∠∠F =30°，180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．31．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，直线a ∠b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1＝54°，则∠3＝_____度．【答案】54【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a∠b ，所以23∠=∠，因为12∠∠，是对顶角，所以12∠=∠，所以31∠=∠， 因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．32．（2022·四川达州·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则CAD ∠的度数为_____．【答案】50︒##50度【分析】根据作图可知DA DB =，20DAB B ∠=∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余，可得70CAB ∠=︒，根据CAD CAB DAB ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，∴70CAB ∠=︒，由作图可知MN 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，∴20DAB B ∠=∠=︒，∴CAD CAB DAB ∠=∠-∠702050︒-︒=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出MN 是AB 的垂直平分线，是解题的关键．33．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，已知AB DE ∥，AB DE =，请你添加一个条件________，使ABC DEF △≌△．【答案】A D ∠=∠或BC EF =或ACB F ∠=∠【分析】先根据平行线的性质得到B DEF ∠=∠，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．【详解】解：∵AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，∵AB DE =，∴当添加A D ∠=∠时，根据ASA 可判断ABC DEF △≌△；当添加BC EF =时，根据SAS 可判断ABC DEF △≌△；当添加ACB F ∠=∠时，根据AAS 可判断ABC DEF △≌△．故答案为：A D ∠=∠或BC EF =或ACB F ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法（一般三角形全等的判定有：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 共四种；直角三角形全等的判定有：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 、HL 共五种）是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．三．解答题34．（2022·浙江温州·中考真题）如图，BD 是ABC 的角平分线，DE BC ∥，交AB 于点E ．(1)求证：EBD EDB ∠=∠．(2)当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得ADE AED ∠=∠， 则AD= AE ，从而有CD = BE ，由(1) 得，EBD EDB ∠=∠，可知BE = DE ，等量代换即可．(1)证明：∠BD 是ABC 的角平分线，∠CBD EBD ∠=∠．∠DE BC ∥，∠CBD EDB ∠=∠，∠EBD EDB ∠=∠．(2)CD ED =．理由如下：∠AB AC =，∠C ABC ∠=∠．∠DE BC ∥，∠,ADE C AED ABC ∠=∠∠=∠，∠ADE AED ∠=∠，∠AD AE =，∠AC AD AB AE -=-，即CD BE =．由（1）得EBD EDB ∠=∠，∠BE ED =，∠CD ED =．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．35．（2022·四川乐山·中考真题）如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE △≌△．【答案】证明过程见详解【分析】运行平行线的性质可证∠A =∠EBC ，∠DBA =∠C ，结论即可得证．【详解】证明∵B 是AC 中点，∴AB =BC ，∵AD BE ∥，∴∠A =∠EBC ，∵BD EC ∥，∴∠DBA =∠C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．36．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM 上，EF ⊥AC 于点F ，连接CM ，CE ．已知∠A =50°，∠ACE =30°．(1)求证：CE =CM ．(2)若AB =4，求线段FC 的长．【答案】(1)见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．(1)证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；(2)解：∵AB=4，∴CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．37．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC．【答案】见解析【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC．【详解】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．38．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =．【答案】见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明ABD ACE △≌△，从而得AD AE =．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 39．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．(1)求证：MP =NP ；(2)若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】(1)见详解；(2)0.5a ．【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．(1)如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，∵ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ， ∴1AM AB AQ AC==， 则AM =AQ ，且∠A =60°，∴AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，又∵MQ ∥CN ，∴∠QMP =∠CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MQP NCP ≅△△，则MP =NP ；(2)∵AMQ △为等边三角形，且MH ⊥AC ，∴AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，∴PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 40．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析 (2)163cm 【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；(2)如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm，∴3GF ,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+， 解得，76x =， ∴BC =BG +GC = 77163663++=cm ． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．41．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△ABC 是等边三角形，,D E 在直线BC 上，DB EC =．求证：D E ∠=∠ ．【答案】详见解析【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB ≌△AEC ，由全等三角形的性质可得D E ∠=∠．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABD =∠ACE ，在△ADB 和△AEC 中，AB AC ABD ACE DB EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ADB ≌△AEC (SAS)，∴D E ∠=∠．【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．42．（2022·重庆·中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC 的垂线AD 交BC 于点D ．（只保留作图痕迹） 在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，∴______①____．∵EF BC ∥，∴______②_____．又∵____③______．∴ADC CFA △≌△（AAS ）．同理可得：_____④______．11112222ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFE S S S S S S ah =+=+==矩形矩形矩形． 【答案】图见解析，∠ADC =∠F ；∠1=∠2；AC =AC ；△ABD ≌△BAE【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC =∠F ，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC ≌△CAF ，同理可得△ABD ≌△BAE ，由此得到结论．【详解】解：如图，AD 即为所求，在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，。
2022年全国各地中考数学试卷分类汇编相交线与平行线
相交线与平行线一、选择题1. 〔2022湖北黄冈，3，3分〕如图，AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DF ，假设∠BAC ＝120°，那么∠CDF ＝〔 〕 A ．60° B ．120° C ．150° D ．180° 【答案】A ． 【解析】由AB ∥CD ，得∠BAC ＋∠C ＝180°，所以∠C ＝180°－∠BAC ＝180°－120°＝60°．而AC ∥DF ，所以∠CDF ＝C ＝60°．【方法指导】此题考查平行线的性质，属于几何初步知识．识别∠BAC 与∠C 是同旁内角，∠C 与∠CDF 是内错角，进而根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等发现它们之间的数量关系是解题关键． 2．〔2022江苏扬州，5，3分〕以下图形中，由AB ∥CD 能得到∠1=∠2的是〔 〕． 【答案】B ．【解析】如图，由“对顶角相等〞可得∠1＝∠3，因为AB ∥CD ，所以∠2＝∠3，所以∠1＝∠2．所以应选B ．【方法指导】此题考查对顶角和平行线的性质，用对顶角性质先得到∠1＝∠3，再由“两直线平行，同位角相等〞可得∠2＝∠3．由“等量代换〞可得∠1＝∠2．【易错警示】此题容易出现的错误是错认为内错角相等而选C ． 3. 〔2022重庆市(A )，2，4分〕∠A ＝65°，那么∠A 的补角等于〔 〕A ．125°B ．105°C ．115°D ．95° 【答案】C ．【解析】如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角．根据定义可知，65°角的补角等于180°－65°＝115°．【方法指导】此题考查补角的概念，属于几何初步知识．直接根据概念解答即可． 4．〔2022重庆市(A )，5，4分〕如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，假设∠BAD ＝70°，那么∠ACD 的度数为〔 〕 A ．40° B ．35° C ．50° D ．45° 【答案】A ． 【解析】思路1：∵AD 平分∠BAC ，∠BAD ＝70°，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝140°．又∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°，那么∠ACD ＝180°－∠BAC ＝180°－140°＝40°． 思路2：利用平行线的性质求出∠ADC ＝70°，利用角平分线求出∠CAD ＝70°，然后根据三角形的内角和是180°，求出∠ACD ＝40°．A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【答案】B ．【方法指导】根据对顶角的性质和两直线平行，同旁内角互补计算求得.A B CD 12【易错点分析】将两角当成同位角而导致错误.6.〔2022山东德州，4，3分〕如图，A B ∥CD ，点E 在BC 上，且CD=CE ,∠D=740,，那么∠B 的度数为A 、680B 、320C 、220D 、160 【答案】B.【解析】在△CDE 中，∵CD=CE ，∴∠D=∠DEF=74°, ∴∠C=180°－2×74°=32°. ∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C=32°.【方法指导】此题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.此题把平行线、三角形内角和、等腰三角形根底知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角〞前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.7．〔2022湖南永州，4，3分〕如图，以下条件中能判断直线1l ∥2l 的是A ．∠1=∠2B ． ∠1=∠5C ． ∠1+∠3=180°D ． ∠3=∠5 【答案】C. 【解析】此题考查了平行线的判定，需要确定两个角是不是属于三线八角的根本图形。
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（2022•随州中考）如图，直线 l1∥l2，直线 l 与 l1，l2 相交，若图中∠1＝60°，则∠2 为（
A．30° B．40° C．50° D．60°
）
【解析】选 D.∵l1∥l2，∴∠1＝∠2，∵∠1＝60°，∴∠2＝60°.
B、∠1 和∠3 是同位角，故 B 正确；C、∠2 和∠3 是内错角，故 C 错误；D、∠3 和∠4 是邻补角，故 D 错误．
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（2022•毕节中考）如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2 的度数为（
）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【解析】选 B．如图，
∵m∥n，∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠1＝50°，
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（2022•泸州中考）如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，点 B 在直线 b 上，AB⊥AC，若∠1＝130°，
则∠2 的度数是（
A．30°
）
B．40°
C．50°
D．70°
【解析】选 B．如图所示，
∵直线 a∥b，∴∠1＝∠DAC，
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（2022•雅安中考）如图，已知直线 a∥b，直线 c 与 a，b 分别交于点 A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（
A．60° B．120° C．30° D．15°
【解析】选 A．∵∠1＝120°，∴它的对顶角是 120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．
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（2022•北部湾中考）如图，直线 a∥b，∠1＝55°，则∠2 的度数是（
∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°.
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（2022•广元中考）如图，直线 a∥b，将三角尺直角顶点放在直线 b 上，若∠1＝50°，则∠2 的度数是（
）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解析】选 C．由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°.
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（2022•山西中考）如图，Rt△ABC 是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边 DE 经过顶
点 A，若 DE∥CB，则∠DAB 的度数为（
）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【解析】选 B．
∵DE∥CB，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠C＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°.
）
）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【解析】选 C．如图，∵a∥b，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝∠3＝55°．
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（2022•贺州中考）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列各组角是同位角的是（
）
A．∠1 与∠2 B．∠1 与∠3 C．∠2 与∠3 D．∠3 与∠4
【解析】选 B．根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1 和∠2 是对顶角，故 A 错误；
EFG＝52°，则∠EGF＝（
）
A．128° B．64° C．52° D．26°
【解析】选 B．∵AB∥CD，
∴∠FEB＝180°﹣∠EFG＝128°，
1
2
∵EG 平分∠BEF，∴∠BEG= ∠BEF＝64°，
∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝64°．
）
A．40°
B．50°
C．130°
D．150°
【解析】选 C．∵AB∥CD，∴∠1+∠C＝180°，∴∠1＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．
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（2022•重庆中考 B 卷）如图，直线 a∥b，直线 m 与 a，b 相交，若∠1＝115°，则∠2 的度数为（
A．115°
B．105°
A．110°
B．105°
C．100°
）
D．95°
【解析】选 D．∵∠1＝85°，1＝∠3，∴∠3＝85°，
∵a∥b，∴∠3+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣85°＝95°．
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（2022•绍兴中考）如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点 B 放在直线 EF 上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意
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（2022•广东中考）如图，直线 a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（
）
A．30° B．40° C．50° D．60°
）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【解析】选 B．过点 C 作 CD∥l1，如图，
∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，
∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
1
∵∠BAC＝40°，∴∠ACB= 2（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．
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（2022•河北中考）要得知作业纸上两相交直线 AB，CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接
测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图 1 和图 2）
：
M
N
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（
）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【解析】选 C．方案 1，根据两直线平行，内错角相等可知，直线 AB，CD 所夹锐角与∠AEM 相等，故方案 1 可
∵直线 m∥n，∠1＝100°，∴∠5＝∠1＝100°，
∵∠3＝∠4+∠5，∠4＝∠2＝30°，∴∠3＝30°+100°＝130°．
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（2022•凉山州中考）如图，直线 a∥b，c 是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
【解析】选 C．如图，∵a∥b，∴∠3＝∠2，
∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝140°．
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（2022•黔东南州中考）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张矩形纸条上，若∠1＝28°，则∠2 的度数
为（
）
A．28° B．56° C．36° D．62°
【解析】选 D．如图所示，过直角的顶点 E 作 MN∥AB，交 AD 于点 M，交 BC 于点 N，
∠1＝43°，则∠2 的度数为（
）
A．57° B．63° C．67° D．73°
【解析】选 D．∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠CBA＝∠CAB=
180°−∠
= 30°，
2
∵a∥b，∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+43°＝73°．
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（2022•仙桃中考）如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F．∠BEF 的平分线交 CD 于点 G．若∠
）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解析】选 C．在 Rt△CDE 中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°.
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（2022•苏州中考）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2 的度数是（
【解析】选 B．∵a∥b，∴∠2＝∠1＝40°．
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（2022•桂林中考）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 a∥b，若∠1＝60°，则∠2 的度数是（
）
）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【解析】选 B．∵a∥b，∴∠1＝∠2，
∵∠1＝60°，∴∠2＝60°，
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（2022•河南中考）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥CD，垂足为 O．若∠1＝54°，则∠2 的度数为（
A．30°
B．45°
C．60°
）
D．75°
【解析】选 C．∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°.
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（2022•重庆中考 A 卷）如图，直线 AB，CD 被直线 CE 所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1 的度数为（
C．132°
D．148°
）
）
【解析】选 B．∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
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（2022·新疆生产建设兵团中考）如图，AB 与 CD 相交于点 O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（
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（2022•娄底中考）一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（
）
A．20° B．80° C．100° D．120°
【解析】选 C．如图，
由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°.
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（2022•岳阳中考）如图，已知 l∥AB，CD⊥l 于点 D，若∠C＝40°，则∠1 的度数是（
代码
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中考题及其解析
（2022•滨州中考）如图，在弯形管道 ABCD 中，若 AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD 的大小为（