函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解 教学设计
《函数的零点与方程的解》教学设计一、教学目标：1．推广函数零点的定义，掌握方程的实根与其相应函数零点之的等价关系；理解函数零点存在定理，并能运用该定理解决相关简单问题。
2．体验数学从特殊到一般抽象出结论，再应用结论解决问题的思维过程；通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；通过对函数与方程思想的剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
3．情感、态度与价值观：①学生体验从特殊到一般、化归与转化、函数与方程、数形结合这些数学思想在解决数学问题时的意义与价值；②学生在学习过程中基本形成锲而不舍的探索精神和严密思考的良好习惯；③学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
二、教学重难点分析：1．教学重点：零点的概念及零点存在定理。
2．教学难点：零点存在定理的理解。
三、教学的方法与手段四、教学过程：一．三个问题，承前启后在函数的应用（一）中我们已经收获了什么？在函数的应用（二）中我们将继续收获什么？关于二次函数的“零点”这一概念你能说一说吗？【设计意图】①通过回顾函数的应用（一），先知晓我们已经干了哪些事，阅读函数的应用（二）的章开头再明确接下来要干什么。
承前启后，合理自然。
②唤醒二次函数零点的概念，为函数零点概念的一般化作铺垫。
二．两个引例，推广概念【设计意图】通过生活中的实际例子，不断抛出函数零点这一话题，强化学习者意识，为抽象出 函数零点的概念作铺垫。
一方面得到函数零点与方程有解，图像与x 轴交点三者的等价关系。
另 一方面学习者经历从解得出方程的解的对数函数到解不出具体解不熟悉的函数，引发学习冲突。
为把问题研究转移到更熟悉的二次函数来作铺垫，符合学习者认识一般数学问题的认知规律。
三．一个函数，探究定理对于二次函数2f ()23x x x =--，观察它的图像，计算它的函数值，在零点所在的区间，函数图像 与x 轴有什么关系？ O y x f x () = x 2-2⋅x-3-4-3-2-121-2-14321℃O t t2Bt1-53若该二次函数的图象在区间[ ，]上连续，如果有，那么函数在区间( , )上有零点.结论：若该二次函数的图象在区间[ ，]上连续，如果有，那么函数在区间( , )上有零点.【设计意图】：以熟悉的二次函数为研究对象，学习者亲自动手，探索规律，得出结论，猜想定理。
第6讲-函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。
从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。
事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。
另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。
2、连续函数的零点存在性定理。
如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。
【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。
3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。
例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。
函数的零点与方程的解的关系
函数的零点与方程的解的关系在数学中，函数的零点和方程的解是两个非常重要的概念。
函数的零点指的是函数取值为零的点，而方程的解则是使方程等号成立的数值。
在这篇文章中，我们将探讨函数的零点和方程的解之间的关系。
1. 函数的零点函数的零点是指函数在自变量取何值时，函数的取值等于零。
数学上常用符号表示函数的零点，如对于函数f(x)，其零点通常表示为f(x) = 0。
求解函数的零点可以通过方程求解的方法来实现。
2. 方程的解方程的解是指使方程成立的数值。
方程是一个数学表达式，通常使用等号将两个表达式连接起来。
方程的解可以是实数或复数，取决于方程的类型和要求。
3. 函数的零点与方程的解的联系函数的零点与方程的解之间存在紧密的联系。
一方面，我们可以将函数的零点转化为方程，通过求解方程来确定函数的零点。
另一方面，方程的解也可以代入函数中，判断是否为函数的零点。
4. 使用函数的零点求解方程当我们要求解一个方程时，有时候可以将方程转化为函数的形式，并找到该函数的零点来得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以将其转化为函数f(x) = x^2 - 4，然后求解函数f(x) = 0的零点来得到方程的解。
5. 函数的零点与方程的解的示例让我们以一个简单的例子来说明函数的零点与方程的解之间的关系。
考虑方程x^2 - 9 = 0，我们将其转化为函数f(x) = x^2 - 9，然后求解函数f(x) = 0的零点。
首先，我们将函数的表达式设置为零：x^2 - 9 = 0。
然后解这个方程，我们可以得到x = 3或x = -3。
这两个数值就是方程的解，也是函数f(x) = x^2 - 9的零点。
6. 应用举例函数的零点和方程的解在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，函数的零点可以表示系统的平衡点，而方程的解可以用来描述物理现象。
另一个例子是金融领域中的利息计算。
我们可以将某个金融问题建模为一个函数，并通过求解函数的零点来得到方程的解，从而计算出利率或其他相关的数值。
函数的零点与方程的解教学设计
函数的零点与方程的解教学设计教学目标：1. 理解函数的零点与方程的解的概念及联系。
2. 掌握求解函数的零点与方程的解的方法。
3. 能够在实际问题中应用函数的零点与方程的解进行分析和求解。
教学内容：1. 函数的零点与方程的解的定义及联系。
函数的零点即函数取零值的自变量的值，可以通过解方程 f(x) = 0 求得。
方程的解即方程的可行解，在函数图像上对应着函数的零点。
2. 函数的零点与方程的解的求解方法。
(1) 图像法：通过绘制函数的图像，并观察图像与 x 轴的交点确定函数的零点。
(2) 代数法：将函数的表达式表示为方程，然后解方程求得函数的零点。
(3) 数值法：利用数值计算方法，通过迭代逼近的方式求得函数的零点。
3. 函数的零点与方程的解的应用。
(1) 分析函数的性质：函数的零点可以帮助我们分析函数的增减性、极值等特征。
(2) 解决实际问题：通过函数的零点与方程的解，可以解决与实际问题相关的计算和分析。
教学步骤：1. 概念讲解与示例演示：通过简单的例子引入函数的零点与方程的解的概念，解释它们的定义及联系。
同时，通过图像法和代数法求解函数的零点的方法进行示范。
2. 理解与练习：让学生自主思考和解答一些练习题，巩固对函数的零点与方程的解的理解。
可以设置一些简单的函数和方程，让学生通过图像法、代数法和数值法求解。
3. 深入应用：引入实际问题，让学生通过函数的零点与方程的解进行实际问题的分析和求解。
可以选择一些与学生生活经验相关的问题，如运动问题、经济问题等。
指导学生将问题抽象为函数或方程，并进行求解。
4. 总结与拓展：归纳整理函数的零点与方程的解的求解方法，并总结其应用。
拓展相关知识，如高次方程的求解、多元函数的零点等内容。
评估方式：1. 口头回答问题：通过课堂提问的方式，观察学生对函数的零点与方程的解概念的理解程度。
2. 解题能力评估：布置并批改相关练习题，检验学生对函数的零点与方程的解的求解能力。
3. 实际问题拓展：要求学生独立思考、解决实际问题，评估学生将函数的零点与方程的解应用于实际问题的能力。
【教学设计】 函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解教学目标1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点存在定理，会判断函数零点的个数及其所在区间.3.提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养.重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用．难点：函数零点存在定理的导出．教学过程【探究一：零点概念的建构】（1）回忆旧知铺垫新课：师：同学们对于本节课的课题是不是有些似曾相识的感觉，我们在哪里与零点偶遇过吗？生：在一元二次函数零点那里！师：问题1：二次函数零点的概念是什么？问题2：二次函数与其所对应方程之间有什么关系？设计意图：引导学生对初中所学的二次方程进行回忆，同时也想要说明方程的根除了韦达定理和求根公式和函数的图像存在关系，为后面的零点进行铺垫通过回顾二次函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。
（2）辨析讨论，深化概念．问题3：由二次函数与其所对应方程之间存在的关系你能否类比得到函数和方程之间的关系吗 设计意图：培养学生识图和归纳总结的能力问题4：你能将你得到的特殊结论推广到一般的形式的函数吗并将你所得的结论总结出来吗 设计意图：让学生参与概念的生成，并将学生的主体地位显现 例1.函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( )A ．(12，0),( 1,0)B. 12，1 C ．（ 12，0），（-1,0）D ．－12，1设计意图: 及时矫正“零点是交点”这一误解．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．牛刀小试：求下列函数的零点： 1、函数图象如下，求零点设计意图: 使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．同时为零点存在定理做铺垫。
【探究二：零点存在定理的建构】问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上一定有零点探究：（1）让学生自己动手画出二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象并分析特点：2.1()lg (2)()24x f x xf x ==-求函数的零点（）abcxyO d在区间[-2，0]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．设计意图：通过归纳总结得出特殊到一般数学思想得到零点存在性定理．从而强调零点存在的条件为后面概念的辨析做好铺垫。
函数的零点与方程的解-高考数学复习
微专题 5
课时 跟踪检测
知识 逐点夯实
PART
1
知识 逐点夯实
课前自修
必备知识 系统梳理 基础重落实
目录
1. 函数的零点
（1）定义：对于一般函数 y ＝ f （ x ），我们把使
f （ x ）＝0 的
实数 x 叫做函数 y ＝ f （ x ）的零点；
（2）几个等价关系：方程 f （ x ）＝0有实数解⇔函数 y ＝ f （ x ）的
图象与 x 轴有公共点 ⇔函数 y ＝ f （ x ）有 零点 .
提醒
函数 f （ x ）的零点不是一个点，而是一个实数，是方
程 f （ x ）＝0的根，也是函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴交点的
横坐标.
目录
2. 函数零点存在定理
（1）条件：①函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是一条连续
坐标系中画出两函数的图象如图所示，两图象的
交点个数即为 f （ x ）的零点个数.故函数 f （ x ）
在区间（0，1）内有且只有1个零点.
目录
函数零点的应用
考向1
【例3】
根据函数零点个数求参数
｜ − 3| − 1， ≥ 0，
已知函数 f （ x ）＝൝ 2
函数 g （ x ）＝
− + 2， < 0，
（ x ）＝log3 x ， h （ x ）＝－ x ＋2图象交点的横坐标
所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知 f （ x ）的
零点所在的区间为（1，2）.故选B.
目录
解题技法
1. 确定函数 f （ x ）的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ，
《函数的零点与方程的解》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的零点与方程的解》教学设计1．结合指数函数和对数函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，体会数学的整体性．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．3．学会运用函数判断方程是否有解．教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用．教学难点：函数零点存在定理的导出，函数零点定理的充分不必要性．PPT 课件，计算器，GGB课件．（一）整体感知，明确任务引导语：在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．设计意图：明确本小节将要研究的内容．（二）新知探究1．函数零点的概念问题1：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？师生活动：学生回忆相关内容作答，教师予以补充完善．预设的答案：从二次函数的观点来看，一元二次方程20ax bx c ++=的实数根就是相应二次函数2y ax bx c =++的零点，也就是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的公共点的横坐标．设计意图：引导学生回忆二次函数与一元二次方程的关系，为得到一般函数零点的概念作铺垫．问题2：类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？师生活动：学生通过类比，得出答案．预设的答案：类比二次函数的零点，也可以考虑函数ln 26y x x =+-的零点，通过判断函数ln 26y x x =+-的图象与x 轴是否有公共点，来判断方程ln 260x x +-=是否有实数解．设计意图：通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有实数解的讨论，了解利用函数观点研究方程解的必要性．问题3：通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？师生活动：学生讨论交流后作答，教师予以补充完善．预设的答案：可以将这种方法推广到研究一般方程的解．为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义．定义：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）．这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标．设计意图：由具体到抽象，顺其自然地导出一般函数零点的概念，并得到一般方程实数解和一般函数零点的关系．追问1：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？师生活动：学生独立思考，个别提问回答．预设的答案：根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系：方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点．即对于函数()y f x =的零点，其代数意义就是()0f x =的实数解，其几何意义就是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点．设计意图：分别从代数意义和几何意义，使学生进一步理解函数零点的本质．追问2：函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们求解方程的解，尤其是为那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？师生活动：学生讨论交流，个别提问回答，教师予以补充完善．预设的答案：求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．所以，对于不能用公式求解的方程()0f x =的实数解问题，我们可以把它与相应的函数()y f x =联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解．设计意图：强调不能用公式求解的方程，使学生明白，学习函数以及掌握函数观点的重要性，同时也为函数零点存在定理的提出作铺垫．追问3：这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？师生活动：学生讨论交流后得出答案，教师帮助学生总结和提炼．预设的答案：这其中蕴含着数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想． 设计意图：使学生体会数学知识的整体性．2．函数零点存在定理问题4：要判断方程是否有实数解，就要判断函数是否有零点，那么如何判断函数在其定义域的某一区间上是否存在零点呢？为了研究这个问题，我们先从熟悉的二次函数入手，你认为我们应该从哪些方面研究二次函数的零点？师生活动：学生讨论交流，教师进行引导．预设的答案：可以考察一个存在零点的二次函数，观察零点附近函数图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，然后抽象概括出其中的共性．设计意图：明确研究二次函数零点的方案．追问1：对于二次函数()223f x x x =--，观察它的图象（图1），发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？函数()f x 的取值有什么规律？你能用()f x 在区间[2，4]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？师生活动：学生观察图象寻找规律，教师进行引导：注意观察在零点附近函数值的正负号变化特点．预设的答案：在区间[2，4]上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴，零点左侧的图象在x 轴下方，零点右侧的图象在x 轴上方．相应的函数()f x 的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0．因此函数在端点x =2和x =4的取值异号，可用()20f <且()40f >来刻画图象关系和函数值规律．设计意图：通过观察函数图象得出规律，使学生经历数形结合、将形转化为数的过程，学会用代数的语言描述图象的方法．追问2：函数()223f x x x =--在区间[-2，0]上也有零点，这时，函数图象与x 轴有什么关系？函数f (x )的取值有什么规律？你能用()f x 在区间[-2，0]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？师生活动：有了追问1的经验，学生应该能够独立完成．预设的答案：与在区间[2，4]上的情况类似，在区间[-2，0]上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴，零点左侧的图象在x 轴上方，零点右侧的图象在x 轴下方．相应的函数f (x )的取值在零点左侧大于0，在零点右侧小于0．因此函数在端点x =-2和x =0的取值异号，可用()20f ->且()00f <来刻画图象关系和函数值规律．设计意图：类比分析，便于学生抽象出两个零点的共性．追问3：区间[2，4]和区间[-2，0]上都有零点，通过上面的分析，说说它们有什么共性？ 师生活动：学生思考后回答，教师予以补充完善．预设的答案：当函数图象连续不断时，在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x 轴，零点两侧的函数值符号相反，此时这个区间两个端点的函数值的乘积小于零．即对于函数()223f x x x =--，有()()240f f <，()()200f f -<．设计意图：抽象得到共性，为得出函数零点存在定理作铺垫．预设的答案：函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定只存在一个零点，更不能确定零点的具体个数．例如三次函数()()()()123f x x x x =---，在区间[0，4]上的图象连续不断，且()()()04660f f =-<，但是该函数在区间(0，4)内有三个零点x =1，x =2和x =3．零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究．*（选学）再例如三次函数()()()212f x x x =--，在区间[0，3]上的图象连续不断，且()()()03240f f =-<，但是该函数在区间(0，3)内有两个零点x =1和x =2．并且在零点x =1附近，函数图象不是“穿过x 轴”，而是“与x 轴相切”．设计意图：使学生理解，函数零点存在定理是一个判定存在性的定性定理，而不是一个确定零点数量的定量定理．由于学生现阶段对三次函数的图象和性质还不是很熟悉，所以可以借助GGB 等信息技术直接展示三次函数()()()()123f x x x x =---的图象，从直观上帮助学生理解．因为函数的描述方式有三种，所以也可以不给出某个具体的函数解析式，而是直接画出一个函数图象，使其满足函数零点存在定理的判定条件，但是在给定区间内有不止一个零点．对于选学的例子()()()212f x x x =--，重根对应的零点个数是一个还是多个，在中学阶段一直有争议．但是，根据教科书习题4.5第13题和教师教学用书上给出的答案，并结合教科书上的函数零点的定义，重根对应的零点个数应该是一个．所以认为该例的零点个数是两个．为了防止给学生造成困扰，该例可视具体情况，决定是否讲解．在该例的教学中，可以再次跟学生强调，函数零点的定义是：使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数零点的本质是一个实数，而和方程的根没有关系．只能说，函数的零点和方程的实数根有关联，但不是完全等价的．*（选学）追问4：函数零点存在定理在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，是捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明的．但由于当时缺乏实数理论，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化．请利用互联网或查阅数学分析相关的大学教材，了解介值定理的证明思路师生活动：学生课后自行完成．设计意图：由于学生研究函数的工具所限（主要是没有极限工具），所以无法严格的给出函数零点存在定理的证明，所以教科书只能用由具体到抽象的方法，推导出该定理．学生通过了解介值定理的证明思路，可以更深入的理解函数零点存在定理，了解其背后的理论依据．同时，可以提升学生数学人文素养，提高学习的积极性和主动性．3．初步应用，深化理解例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．师生活动：学生独立完成，然后展示交流．教师可以利用GGB 等作图工具画出函数ln 26y x x =+-的图象，或利用计算器列出x ，y 的对应值表，帮助学生观察、判断零点所在区间．除了教科书给出的解法之外，有的学生可能会提出，直接计算函数取值，寻找函数零点所在的区间．如果没有学生提出用这种方法，教师也可以启发学生考虑这种思路．预设的答案：解：设函数()ln 26f x x x =+-，利用计算工具，列出函数()y f x =的对应值表如表1，并画出图象如图2．表1xy 1-4 2-1．306 9 31．098 6 43．386 3 55．609 4 67．791 8 79．945 9 812．079 4 9 14．197 2 一方面，由表1和图2可知，()20f <，()30f >，则()()230f f <，并且其图象在(0，+∞)内连续．由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内至少有一个零点．另一方面，对于函数()ln 26f x x x =+-，x ∈(0，+∞)，可以先将其转化为两个基本函数()ln g x x =与()26h x x =-，由于它们在(0，+∞)内都单调递增，所以函数()()()f x g x h x =+在(0，+∞)内是增函数．两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．图2对于寻找函数零点所在的区间，也可以直接考虑函数()ln 26f x x x =+-的取值，因为()2ln 22lne 210f =-=-=-<，()3ln30f =>，所以在区间[2，3]上，有()()230f f <，同样由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内至少有一个零点．设计意图：学会将函数零点存在定理与函数的单调性相结合，确定方程实数解的个数． 追问：观察函数()ln 26f x x x =+-的图象，借助计算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？师生活动：学生讨论交流后发言．学生可能有多种思路将函数零点缩小范围，只要合理可行，教师都可以鼓励学生进行大胆尝试．预设的答案：没有固定的答案，充分发挥学生的探索精神和学习积极性即可．设计意图：为下节内容“用二分法求方程的近似解”作铺垫．（三）归纳小结，布置作业问题6：回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？师生活动：先由学生回答，然后由学生相互补充，教师进行引导．预设的答案：运用函数零点存在定理时，需要注意：（1）函数零点存在定理的两个判定条件：①在给定区间[a ，b ]上的图象连续不断；②()()0f a f b <．二者缺一不可．（2）函数零点存在定理的判定条件，是充分但不必要的．也就是说，它的逆命题和否命题，都不一定成立，所以不能用它的逆命题和否命题，做出任何判断和结论．（3）函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定．要确定零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究．设计意图：再次强调函数零点存在定理的细节，引起学生的重视．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．图3中的（1）（2）（3）分别为函数()y f x =在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数()y f x =在某个区间只有一个零点的判断？为什么？设计意图：巩固学生对函数零点的认识．让学生体会到，仅根据函数图象判断函数的零点情况虽然直观，但不严谨．2．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）()335f x x x =--+； （2）()()2ln 23f x x x =--；（3）()1e 44x f x x -=+-； （4）()()()()3234f x x x x x =+-++． 设计意图：考查学生结合函数的图象，利用函数零点存在定理确定零点所在区间． 参考答案：1．不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与x 轴有1个交点，从图（2）观察到它与x 轴有2个交点，从图（3）观察到它与x 轴有3个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．2．（1）(1，2)． （2）(3，4)．（3）(0，1)． （4）(－4，－3)，(－3，－2)，(2，3)．图3。
《函数的零点与方程的解》教案
《函数的零点与方程的解》教案教案目标:1.理解函数的零点与方程的解的概念及关系。
2.掌握求解函数的零点与解方程的方法。
3.运用函数的零点与解方程的知识解决实际问题。
教学重点:1.函数的零点与方程的解的概念及关系。
2.求解函数的零点与解方程的方法。
教学难点:1.运用函数的零点与解方程的知识解决实际问题。
教学准备:1.教师准备投影仪、电脑等教学工具。
2.教师准备相关习题和课件。
教学过程:Step 1 引入新知教师用具体的例子介绍函数的零点与方程的解的概念，并说明二者之间的关系。
教师示范:例如，我们考虑函数y=x^2-4和方程x^2-4=0。
我们先来看函数y=x^2-4，在数轴上，令y=0，可得x^2-4=0。
观察函数图像，我们可以看出函数的零点就是方程的解，也就是x=-2和x=2Step 2 阐释函数的零点与方程的解教师通过多个例子来进一步阐释函数的零点与方程的解的概念及关系。
通过让学生观察图像，思考并回答问题，帮助学生理解函数的零点与方程的解的意义。
教师示范:我们再来看一个例子，考虑函数y=x^3-1和方程x^3-1=0。
要求求出函数的零点和解方程的解。
首先，我们可以观察到函数图像在x轴上有一个交点，也就是y=0时的x值，它就是函数的零点。
然后，我们可以通过因式分解或者继续观察，解方程x^3-1=0。
我们可以发现当x=1时，方程成立，所以x=1是方程的解。
Step 3 求解函数的零点与解方程的方法教师介绍求解函数的零点和解方程的方法，并通过具体的例子进行演示和讲解。
重点是让学生理解方法的思想和步骤。
教师示范:我们来看一个例子，考虑函数y=x^2+2x+1和方程x^2+2x+1=0。
我们可以使用因式分解的方法来求解函数的零点和解方程。
首先，我们将函数进行因式分解，可得y=(x+1)^2观察函数图像，我们可以看出(x+1)^2=0时，函数的零点就是方程的解，也就是x=-1请大家回忆一下，如何求解方程x^2+2x+1=0？我们可以将方程进行因式分解，可得(x+1)^2=0，所以x=-1是方程的解。
函数的零点与方程的解
§2.9函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析设f(x)＝log3x－3＋x，当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2，又∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案 2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0， f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切， 联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0， 解得－53≤m <0. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D 解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b 答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是() A ．1 B ．2 C ．4 D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2，f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ，解得t ＝e.∴k 2＝1e . 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k ＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解，必须－4<－1k <0，所以k >14.所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。
函数的零点与方程的解(基础知识+基本题型)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解（基础知识+基本题型）知识点一 函数的零点1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.2.函数零点与方程的根之间的关系方程()0f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.由此可知，求()0f x =的实数根，就是确定函数()y f x =的零点，一般地，对于不能用公式求根的方程()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根. 提示：（1）并不是所有的函数都有零点，如函数1()f x x=就没有零点. （2）方程不同实数根的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数⇔函数零点的个数.（3）函数的零点不是点：我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点，因此，函数的零点不是点，是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.知识点二 函数零点存在性定理1. 零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也是方程()0f x =的根.2. 零点存在性定理的适用条件（1）判断零点是否存在是存在闭区间[,]a b 上进行的.（2）函数()y f x =在[,]a b 上的图象应是连续无间断的一条曲线.（3）()()0f a f b ⋅<是关键条件，即两端点的函数值必须异号.（4）如果函数()y f x =在两端点处的函数值(),()f a f b 异号，则函数()y f x =的图象至少穿过x 轴一次，即方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个实根c .3. 零点存在性定理的使用范围（1）此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数。
函数的零点与方程的解(高中数学)
指数函数与对数函数
2
学习目标
核心素养
1.理解函数零点的概念以及函数零 1.借助零点的求法培养数学运算和
点与方程根的关系．(易混点) 逻辑推理的素养．
2．会求函数的零点．(重点) 2．借助函数的零点同方程根的关系，
3．掌握函数零点存在定理并会判断 培养直观想象的数学素养.
25
2．若函数g(x)＝f(x知方程 f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解． 故a的范围为y＝f(x)的值域． 法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有 交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即 可．
26
【例 3】 已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[思路点拨]
构造函数fx＝a|x|0<a<1 与gx＝|logax|0<a<1
→
画出fx与 gx的图象
→
观察图象得 零点的个数
27
B [函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个 数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是 函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象 的交点的个数．
(4)若 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则
f(a)·f(b)<0.( )
33
2．函数 f(x)＝2x－3 的零点所在
B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)
的区间是( )
函数的零点与方程的解讲义
新教材必修第一册4.5.1：函数的零点与方程的解课标解读：1. 函数零点的概念.（理解）2. 0)(=x f 有解与)(x f y =有零点的关系.（理解）3. 函数零点的判断.（理解）学习指导：在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图像与性质的基础上，提炼方程0)(=x f 的解与函数)(x f y =的图像与x 轴交点的关系，进而理解并准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点三者之间的关系，并能从“形”（函数图像）与“数”（函数零点存在定理）两个角度分析解决函数零点有关问题.知识导图知识点1：函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函数的零点与方程的解的关系函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的公共点的横坐标.所以方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有公共点.3.几种常见函数的零点（1）二次函数的零点一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 的实数根也称为函数）（02≠++=a c bx ax y 的零点.当0>a 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根、二次函数c bx ax y ++=2的零点之间的关系如下表所示： ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 02=++c bx ax 的实数根a acb b x 2422,1-±-=（其中21x x <）a b x x 221-== 方程无实数根 c bx ax y ++=2的图像c bx ax y ++=2的零点 aac b b x 2422,1-±-= a b x x 221-== 函数无零点 类似可得当0<a 的情形.（2）正比例函数)0(≠=k kx y 仅有一个零点0.（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 仅有一个零点.kb -（4）反比例函数)0(≠=k x k y 没有零点.（5）指数函数)10(≠>=a a a y x 且没有零点.（6）对数函数）且（00log ≠>=a a x y a 仅有一个零点1.（7）幂函数,a x y =当0>a 时仅有一个零点0；当0≤a 时，没有零点.例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在)0,(-∞上哪个函数有零点.例1-2：判断下列说法是否正确：（1）函数)102(1)(≤≤-=x x x f 的零点为1；（2）函数x x x f 2)(2-=的零点为（0,0），（2,0）.例1-3：函数x x x f -=3)(的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例1-4：”“1<m 是“函数m x x x f ++=2)(有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识点2：函数零点存在定理1.函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间],[b a 上有连续不断的曲线)(x f y =，且曲线的起点))(,(a f a 与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点.3.函数零点的性质如果函数图像通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，210,,x x x 都是变号零点；如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数2x y =有一个不变号零点（或叫二重零点）.对于任意函数)(x f y =，只要它的图像是连续不断的，则有：（1）当它的图像听过零点且穿过x 轴时，零点两侧的函数值异号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.例2-5：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）A.若0)()(>⋅b f a f ，则不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fB.若0)()(<⋅b f a f ，则只存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fC.若0)()(>⋅b f a f ，则有可能在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fD.若0)()(<⋅b f a f ，则有可能不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c f。
函数的零点与方程的解ppt课件
二、函数零点的性质及求法
【强调3】f(a)f(b)<0（异号性）
对于[a,b]上的函数f(x)，“异号”和“连续”能够证明在 （a,b）内存在零点。 “连续不异号”：不能说明是否有零点 “异号不连续”：不能说明是否有零点 “不异号不连续”：不能说明是否有零点
二、函数零点的性质及求法
函数零点的求法：
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
二、函数零点的性质及求法
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线， 并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一 个零点。
函数零点个数的判定： （3）利用单调性和奇偶性综合判断 已知，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x+x, 则函数y=f(x)有几个零点？
三、课堂小结
把这里的实数a与b都叫做相应区间上的端点。
一、函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点。
【强调】函数的零点不是一个点，而是一个实数。
一、函数零点的概念
【练习1】函数f(x)=x2-5x+6的零点为： A. 2，3 B.（2，0），（3，0） C.（2，3） D. -2，-3
即存在
，使得
，这个c也就是方程f(x)=0的解。
二、函数零点的性质及求法
【强调1】连续不断（连续性） 【练习】（多选）下列函数中是连续函数的是：
二、函数零点的性质及求法
【强调2】闭区间[a,b]
二、函数零点的性质及求法
函数的零点与方程的解教学设计(一)
函数的零点与方程的解教学设计(一)教学设计：函数的零点与方程的解1. 引入•引导学生回顾函数的概念，并简要解释函数的零点和方程的解的概念。
•用简单例子帮助学生理解零点和方程解的概念。
2. 函数的零点•解释函数的零点是函数在横轴上的根，即使函数取值为0的点。
•介绍如何通过寻找函数的零点来解方程。
•提供实例演示如何找出函数的零点。
3. 方程的解与函数的零点的关系•解释方程的解与函数的零点之间的关系。
•强调函数零点为方程的解，但方程的解不一定为函数的零点。
•提供实例演示方程的解与函数的零点的关系。
4. 寻找函数的零点的方法•介绍常用的方法，如图像法、代数法等。
•解释图像法的步骤和要点。
•提供实例演示如何使用图像法来找函数的零点。
5. 方程的解的求解方法•介绍常用的求解方程的方法，如平衡法、因式分解法等。
•解释每种方法的适用范围和步骤。
•提供实例演示如何使用不同的方法来求解方程。
6. 练习与巩固•提供一系列的练习题，要求学生找出函数的零点和求解方程。
•逐步增加难度，引导学生灵活运用所学方法。
7. 总结与拓展•概括函数的零点与方程的解的概念和关系。
•引导学生思考其他数学问题中应用函数的零点和方程的解的可能性。
通过以上教学设计，学生可以系统地学习函数的零点与方程的解的概念，了解它们之间的关系，并熟悉常用的寻找函数零点和求解方程的方法。
通过练习和实例演示，学生可以巩固所学的知识并提升解题能力。
同时，通过引导学生思考其他应用函数的零点和方程的解的数学问题，培养学生的数学思维与创新能力。
8. 总结与拓展•回顾函数的零点与方程的解的概念和关系。
•强调函数的零点是方程的解，但方程的解不一定是函数的零点。
•总结常用的寻找函数零点和求解方程的方法。
9. 学生互动与讨论•要求学生回答一些思考问题，如：函数的零点和方程的解在实际问题中有什么作用？在其他学科中能否找到类似的概念和方法？10. 练习与巩固•提供更复杂的练习题，要求学生运用所学的知识和技巧寻找函数的零点和求解方程。
4.5.1函数的零点与方程的解(答案版)
一、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
方程、函数、图象之间的关系：方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点。
二、函数的零点、方程的解、函数图象与x 轴的交点方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
三、函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间）（b a ,内至少有一个零点，即存在()b a c ,∈，使得0)(=x f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解。
例1：函数x y +=1的零点是（ ）A. ()01-，B.-1C.1D.0【答案】B 【解析】由01=+x ，得1-=x 。
例2：函数x x x f lg -)(lg 2=）（的零点为 【答案】1和10【解析】由0lg -)(lg 2=x x ，得.1011lg 0lg 01-lg lg ==∴==∴=x x x x x x 或，或，）（例3：已知函数的零点为则函数，（)(),12log 1,1,12)(x f x x x x x f >+≤-=（ ） A.12B.0C.-2.0D.0函数的零点与方程的解知识讲解典型例题【答案】D 【解析】当1≤x 时，令01-2x=，得0=x 。
当1>x 时，令12,0log 12==+x x 得，此时无解。
综上所述，函数零点为0。
例4：若函数)0()(≠-=b b ax x f 有一个零点3，则函数ax bx x g 3)(2+=得零点是 。
【答案】-1和0【解析】因为)0()(≠-=b b ax x f 的零点是3，所以0)3(=f ，即a b b a 3,03==-即。
《函数的零点与方程的解》教案
《函数的零点与方程的解》教案【教案】一、教学目标1.知识与技能（1）了解函数的零点与方程的解的概念；（2）掌握求解函数的零点与方程的解的方法；（3）能够应用所学的方法解决实际问题。
2.过程与方法（2）通过练习题目，巩固学生的计算能力和解题技巧；（3）通过实际问题的解决，培养学生的综合运用能力和实际问题解决能力。
3.情感态度和价值观培养学生良好的数学思维，注重通过观察和实际问题解决培养学生的实际动手操作能力和创新思维。
二、教学重点1.函数的零点与方程的解的概念；2.求解函数的零点与方程的解的方法。
三、教学难点2.应用所学的方法解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课（通过一个实例引入函数的零点与方程的解的概念）老师：同学们，我给大家出一个问题，我们知道函数与方程有什么关系吗？学生：函数可以表示成方程的形式。
老师：很好，那么我们来看一个实际问题，如果一个物体从高处自由落体下落，它的速度与时间t的关系可以表示成函数v(t)=9.8t，那么你们觉得什么时候物体的速度为0？学生：根据函数v(t)=9.8t，当t=0时，v(t)=0。
老师：对，我们可以说t=0是函数v(t)=9.8t的一个零点，也就是方程9.8t=0的一个解。
那么变形一下，如果我们想求函数v(t)=9.8t=50的解，该怎么办呢？（在黑板上解方程9.8t=50，找出t的解）老师：同学们，我们知道9.8t=50，那么t=50/9.8，它就是方程9.8t=50的解。
所以，我们可以说50/9.8是函数v(t)=9.8t=50的一个零点，也是方程9.8t=50的一个解。
2.学习新知识（1）函数的零点与方程的解的概念老师：在上面的例子中，我们发现函数的零点与方程的解是有关系的。
那么，我们先来了解一下函数的零点与方程的解的概念。
请同学们看一下书上的定义。
（板书）函数的零点与方程的解的概念函数的零点是使函数取得零值的自变量的值。
方程的解是使方程变成等式的自变量的值。
函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解函数的零点和方程的解是数学中重要的概念，它们在解决数学问题和应用实践中发挥着重要的作用。
本文将介绍函数的零点和方程的解的概念及其应用。
一、函数的零点函数的零点是指函数在实数域中使得函数值为零的自变量的取值。
通常用x表示函数的自变量，用f(x)表示函数的值。
如果存在一个实数x，使得f(x)=0，则称x为函数f(x)的零点。
函数的零点在数学中有广泛的应用。
首先，在代数方程的求解中，可以将方程转化为函数，通过求函数的零点来求解方程。
其次，在数值计算中，求解非线性方程的数值方法也是通过寻找函数的零点。
此外，零点还与函数的图像有密切的关系，在函数的图像中，零点对应于函数与x轴相交的点。
二、方程的解方程的解是指使得方程成立的未知数的取值。
常见的方程类型有线性方程、二次方程、三角方程等。
解方程是数学中基本的运算之一，通过求解方程可以得到方程的解集。
解方程的方法有很多种，比如代入法、消元法、因式分解法等。
其中，代入法是最常用的方法之一，通过代入一个值，验证是否满足方程，从而求解方程的解。
在实际应用中，方程的解也有着广泛的应用。
例如，经济学中的供需方程可以通过求解方程的解来确定市场均衡点；物理学中，方程解能够描述物体的运动状态等。
三、函数的零点与方程的解的关系函数的零点与方程的解有着紧密的联系。
如果一个函数的零点对应于一个方程的解，那么这个方程的解也是这个函数的零点。
通过函数的图像可以更直观地理解函数的零点与方程的解之间的关系。
当函数与x轴相交时，函数的值为零，此时自变量的取值对应于方程的解。
因此，寻找函数的零点就相当于求解方程的解。
四、应用实例假设有一个函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们希望求出函数的零点和方程的解。
首先，令f(x) = 0，得到方程x^2 - 5x + 6 = 0。
然后，可以使用因式分解法或求根公式来求解该方程。
通过求解方程，得到x = 2或x = 3，这两个值即为函数f(x)的零点，也是方程的解。
函数的零点与方程的解
2
2
2
f(2)=e2-2- 3>0,f(e)=ee-e- 3>0,
2
2
可得f(x)在(0,1)内存在零点.
2.已知函数f(x)=ln x+x-6的零点x0∈(k,k+1),则整数k的值为________. 【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数,且f(4)=ln 4+46<0,f(5)=ln 5+5-6>0,故有f(4)f(5)<0, 根据函数零点存在定理可得函数在区间(4,5)上存在零点.结合所给的条件可 得,k=4, 答案:4
4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解
必备知识·自主学习
1.函数的零点 (1)概念:使f(x)=0的_实__数__x_. 零点、图象与x轴交点、方程实数解的关系:
(2)本质:方程f(x)= 0的根、函数y= f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. (3)应用:利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系,实现三种问题的相 互转化.
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,且其中的四组对应值如表,那么 在下列区间中,函数f(x)不一定存在零点的是 ( )
x f(x)
A.(1,2)
1 3
B.[1,3]
2 -1C.[2,5)3 Nhomakorabea5
2
0
D.(3,5)
3.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=ln x-6的零点是________. 【解析】令f(x)=ln x-6=0,则ln x=6,解得x=e6. 答案:e6
()
A.(-3,0)
B.(-3,1)
C.(-1,3)
D.(-1,1)
《函数的零点与方程的解》教案
《函数的零点与方程的解》教案教案：函数的零点与方程的解一、教学目标1.知识目标：了解函数的零点与方程的解的概念和关系。
2.能力目标：能够通过函数图象找出函数的零点和方程的解。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索函数与方程关系的求知欲。
二、教学重点、难点1.教学重点：理解函数的零点与方程的解之间的关系。
2.教学难点：通过函数的图象找出函数的零点和方程的解。
三、教学过程Step 1 引入新知识（10分钟）1.引导学生回顾函数的基本概念，即自变量和因变量的关系。
2.提问：当函数的因变量等于0时，自变量应该是多少？3.引导学生思考，得出结论：函数的零点是使得函数的值为0的自变量的取值。
Step 2 理解函数的零点与方程的解的概念（15分钟）1.给出一道具体的函数和方程的例子，例如：函数f(x)=x^2-2x-3和方程x^2-2x-3=0，让学生对这两者有初步的了解。
2.提问：你能推断出函数的零点和方程的解之间的关系吗？3.学生回答后，教师给予指导，引导学生明确函数的零点就是方程的解。
Step 3 通过函数图象找出函数的零点和方程的解（30分钟）1.引导学生回顾如何绘制函数图象的方法。
2.将函数f(x)=x^2-2x-3的函数图象展示给学生。
3.提问：你能通过函数的图象找出函数的零点吗？4.学生试图找出函数的零点，并解释自己的方法。
5.教师给予肯定和指导，引导学生发现找函数的零点即是找函数图象与x轴交点的横坐标值。
6.引导学生推断出函数的零点与方程的解的关系。
7.让学生通过观察函数图象，找出函数f(x)=x^2-2x-3的零点，并解释自己的方法。
8.学生回答后，教师给予点评和指导。
Step 4 练习与巩固（25分钟）1.给学生一些函数图象，并要求他们找出函数的零点，并写出函数对应的方程。
2.学生进行练习，并互相交流、讨论。
3.教师巡回指导，并及时给予指导和反馈。
Step 5 拓展延伸（15分钟）1.引导学生思考：是否所有函数的零点都可以通过函数图象找出？为什么？2.学生进行思考，并回答问题。
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函数的零点与方程的解
在数学中，函数的零点与方程的解是两个重要的概念。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将从两个概念的定义、计算方法以及应用三个方面进行探讨。
一、函数的零点
函数的零点是指函数取值为零的点。
一般地，如果函数f(x)在某个点x=a处的函数值为零，即f(a)=0，那么a就是函数f(x)的一个零点。
函数的零点也称为函数的根或零解。
在计算函数的零点时，可以使用图像法和代数法。
图像法是通过函数的图像来确定零点，一般使用计算器或电脑绘制函数的图像。
代数法是通过方程来确定零点，将函数的表达式设为零，然后解方程得到零点。
例如，函数f(x)=2x^2-3x+1的零点可以通过解方程2x^2-3x+1=0得到，即x=1/2或x=1。
函数的零点在实际问题中有很多应用，例如在物理学中，零点可以表示速度为零的时刻，加速度为零的时刻等等。
二、方程的解
方程的解是指能够满足方程式的未知数数值。
一般地，如果一个方程式有一个或多个能够满足方程式的未知数数值，那么这些数值就
是方程的解。
在计算方程的解时，也可以使用图像法和代数法。
图像法是通过绘制方程的图像，找到方程的解。
代数法是通过变形或运用方程的性质，求得方程的解。
例如，方程2x^2-3x+1=0的解可以通过求解x=1/2或x=1得到。
方程的解在实际问题中也有很多应用，例如在物理学中，方程的解可以表示物体的运动状态、加速度等等。
三、函数的零点与方程的解的应用
函数的零点和方程的解在实际问题中有很多应用。
例如，在经济学中，利润函数的零点可以表示企业的盈亏平衡点；在物理学中，运动方程的解可以表示物体的运动状态和加速度等等。
函数的零点和方程的解在数学中也有很多应用。
例如，在代数学中，求解方程是一个重要的问题，可以通过求解方程的解来解决实际问题。
在微积分中，函数的零点可以用来求函数的极值和最值等等。
函数的零点与方程的解是数学中两个重要的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
掌握函数的零点和方程的解的定义、计算方法以及应用，对于学生来说非常重要。