数学建模——最优捕鱼模型

最优捕鱼模型

一.问题的重述

捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.

现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：

问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；

问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；

问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.

二.问题分析

1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；

2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；

3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.

三.基本假设

1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；

2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；

3．假设每尾鱼都均衡生长；

4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；

5．假设鱼为球体.

五．模型建立与求解

模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r .

由相对减少率的定义得

()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()

()0

0lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t

dn rn dt =- 解得0rt n n e -=

模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343

V R π=，2=4S R π，G V ρ=得

22

33S G ⎫=⎝⎭

令23

=b ρ⎛⎫ ⎝⎭

又由于12=-dG k S k G dt

,=0t ，0G G = 所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦

模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt

表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.

此时，-(t)0(t)=-at n n e En

-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt

所以，--00(t)==1+(1+)at aT T T

an e an W En dt dt e a a a ∞∞

=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.

模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .

即(t)T

W En Gdt ∞=⎰

所以，23

1

--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .