数学_高中必修五_解三角形_
最新数学-高中必修五-解三角形-经典题目
第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形 例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，，∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C === ∴)sin （150°-A ）.∴)[sinA+sin(150°)·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2；② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4. 综合①②可得a+b 的取值范围为,8+考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
高中数学必修五第一章解三角形课件PPT (2)
sin ，B 所以sinAb cossinBB=cosAsinB，
sin A cos A sin(A-sBin)B=0，coAs B=B.同理B=C.
所以△ABC是等边三角形.故选B.
1.1.2 余弦定理
自主学习 新知突破
1．了解向量法推导余弦定理的过程． 2．能利用余弦定理求三角形中的边角问题． 3．能利用正、余弦定理解决综合问题．
b2 4R 2
c2 4R 2
.
所以△ABC是等腰直角三角形.
【规律总结】判断三角形形状的常用方法 判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边.分以下两 步： 第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边， 第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边 的关系，进而确定三角形的形状.
公式推论
b2＋c2－a2
cos A＝______2_bc__________，
a2＋c2－b2 2ac
cos B＝ ____a2_＋_b_2－__c_2 _______ ，
2ab
cos C＝ _________________.
_____ a≤b 无解
【探究总结】正弦定理的三个应用技巧
(1)求边：
a
bsin
A，b
asin
B，c
asin
C，
类似地，还可以
写出求a，b，csi的n B其他几个si公n A式. sin A
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即
等类似的公s式in .A
asin b
B，
s(i3n)B相同bs的in 元A，素s归in 到C 等c号sin的A一边：
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
2.在△ABC中，已知bsinB=csinC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
高中数学必修5全册知识点总结(理科)
高中数学必修5知识点第一章解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系：11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。
2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n≥2，n∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）.⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。
必修5 第一章解三角形 知识点详解
必修5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1. 三角形三角关系：A+B+C=180°；常用：C=180°—(A+B)；2.三角形三边关系： a+b>c; 即 三角形任意两边之和大于第三边；a-b<c ；即 三角形任意两边之差小于第三边。
3.大边对大角，大角对大边；即B A B A b a sin sin >⇔>⇔>(只有三角形中才有此性质)4.三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 5.正弦定理：2sin sin sin a b cR C===A B ．其中R 为C ∆AB 的外接圆的半径，主要变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B6.余弦定理： 2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=1.2 应用列举1. 三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．＝ah/2（已知三角形底a ，高h ，）（以下公式作为了解内容） =2R 2sinAsinBsinC =Rabc 4 =2)(c b a r ++ （r 为内切圆半径）=))()((c p b p a p p ---（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）2. 余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
高中数学必修5第一章：解三角形
外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦 之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知， 正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数 量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余 弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三 角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一： 根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角 形的第三条边.
高二数学必修五 第一章 解三角形
高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。
②.n a 的求法：i.归纳法。
ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。
iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。
iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。
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【最新整理，下载后即可编辑】高中数学必修5第一章解三角形内容讲解考点1：正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=默写公式：____________________________________ 考试题型：1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A.6B.2 C.3D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．42B ．43 C ．46D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C ．45° D．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 28．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.9．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.11．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．12．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.13、在ABC ∆中，已知2=a ，2=c ，︒=30A ，那么B 等于（ ） A ．︒15 B ．︒15或︒105 C ．︒45 D ．︒45或︒13514、已知ABC ∆中，︒=45A ，4=b ，2=c ，那么B cos 的值是（ ） A ．10103B ．10103- C ．55D ．55-15、如果在ABC ∆中，3=a ，7=b ，2=c ，那么B 等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．32πABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( )R R R 2(R 为△ABC 外接圆半径)18、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆19.C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆考点2：余弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
必修五-解三角形-讲义
word 格式-可编辑-感谢下载支持人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。
2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。
4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。
5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。
4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
【要点内容】 一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==a bcOCAD两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C csin证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
数学_高中必修五_解三角形_
第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，，∴由正弦定理得：sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴（150°-A ）.∴°·2sin75°·cos(75°-A)= 2cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2 cos75°=2综合①②可得a+b 的取值范围为考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
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解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
Q A:B :C1: 2: 3,而A B C .解：A, B ,C ,6 3 21 3a :b :sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2.6 3 2 2 2【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2 在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得：a b c2 6 sin A sin B sin C sin 30,∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A） .∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 22 6 cos(75 °-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值22 6 =8+43 ；②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1，∴＞22 6 cos75 °=22 6 ×6 24= 2+ 6 .综合①②可得a+b 的取值范围为( 2+ 6 ,8+ 4 3 >考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA，判断三角形ABC的形状。
高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 4.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ． （Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积． 题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=. 题型4【解三角形在实际中的应用】仰角 俯角 方向角 方位角 视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选一．选择题。
高中数学必修5《解三角形》PPT课件
解析： 在△ABC 中，
由正弦定理得 sin B＝bsin A＝ a
6×
2 2 ＝1，因为
b＜a，
23 2
所以 B＜A，所以 B＝30°，
C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝
sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝
6＋ 2 4.
4
4
因此 S＝12acsinB＝12×1×2×
15＝ 4
415.
已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A, B,C的对边
a cosC 3a sin C b c 0
（1）求 A
（2）若a 2，ABC 的面积为 3 求 b,c
解 （1）由 a cosC 3a sin C b c 0 及正弦定理得 sin AcosC 3 sin Asin C sin B sin C 0
解三角形
知识梳理
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R
为△ABC外接圆半径，则
定 理
正弦定理
余弦定理
内 容
a sin
b
c
A＝_s_i_n_B__＝_s_in__C_＝2R
a2＝_b_2_＋__c_2_－__2_b_c_co_s__A_；
b2＝_c_2_＋__a_2－__2_c_a_c_o_s_B__； c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s__C_
则2c－a＝2k sin C－k sin A ＝2sin C－sin A ，
b
ksinB
sinB
所以cos A －2cos C＝2sinC－sin A .
cosB
人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
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第一章 解三角形
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当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
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第一章 解三角形
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解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
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第一章 解三角形
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合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.
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第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形 例1在 ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴==== 而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒∴（150°-A ）.∴°·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2综合①②可得a+b 的取值范围为考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：()()22sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A∙=∙, sin cos sin cos ,A A B B ∴=即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或， 2A B A B π∴=+=或.∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠A+∠B=2π”的导出过程。
例4在△ABC 中，如果lg lg lgsin a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。
解：lgsin sin 2B B =-∴=.又∵B 为锐角，∴B=45°.由lg lg 2c a c a -=-=得由正弦定理，得sin sin 2A C =, ∵18045,A C =︒-︒-代入上式得：()2sin 135C C =︒-()2sin135cos cos135sin C C =︒-︒,C C =cos 0,90,45.C C A ∴=∴=︒∴=︒ABC ∴ 为等腰直角三角形。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC 中，求证2222220cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A---++=+++. 【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222a b c ，，转化为222sin ,sin ,sin A B C .证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：2222224sin 4sin =cos cos cos cos a b R A R B A B A B --++2224[cos cos ]cos cos R A B =+（1-A ）-(1-B)222(cos cos )4(cos cos )cos cos B A R B A A B-==-+同理2222224(cos cos ),cos cos 4(cos cos ).cos cos b c R C B B C c a R A C C A-=-+-=-+2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。
【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22c b ab -=. 【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：180,180.A B C B C A ++=︒∴+=︒- 2,.C B C B B =∴-= 又sin()sin(180)sin ,B C A A +=︒-=2222222224(sin sin )4(sin sin )(sin sin )42sin cos 2cos sin 22224sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C BR R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=∙∙∙∙=+-===∴右边等式成立.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。
,,,2222222.A B CA B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+=-（1） (2)sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-(3)sin cos ,cos sin ,tan 22222cot .2A B C A B C A BC+++===(4)sin(22)sin 2,cos(22)cos 2,tan(22)tan 2.A B C A B C A B C +=-+=+=-考察点4：求三角形的面积例7在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C的对边，若2,,cos42B a C π===求△ABC 的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c ，再求面积。
解：由题意cos2B =，得23cos 2cos 1,25B B =-= ∴B 为锐角，43sin ,sin sin()sin(),5410B A BC B ππ∴==--=-=由正弦定理得10,7c =111048sin 2.22757S ac B ∴==∙∙∙= 【解题策略】在△ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，,sin()sin ,cos()cos ;sin 2A BA B C A B C A B C π+++=+=+=-= cos,cos sin .222C A B C += 例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3C π=,求△ABC 的面积S 的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。
解：11sin 2sin 2sin sin 22ABC S ab C R A R B C ==22sin sin [cos()cos()]A B A B A B ==--+21[cos()].2A B =-+ cos()1,A B A B -==当即时，2max ()144ABC S === 【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1：cot cot ,2sin sin a ba b a A b B R A B+=+== 且（R 为△ABC 的外接圆半径）， sin cos cos sin ,1sin 21cos 2.A AB B A B ∴-=-∴-=-cos 2cos 20A B ∴-=sin 2sin 22cos()sin().cos()sin()0,cos()0sin()0.A B A B A B A B A B A B A B -=+-∴+-=∴+=-= 又或 又∵A,B 为三角形的内角，,2A B A B π∴+==或22A B C ππ+==当时，；当A B =时，由已知得cot 1,,.42A A B C ππ=∴+=∴=综上可知，内角2C π=.解法2：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得，sin sin =cos cos A B A B ++， sin cos cos sin A A B B -=-，从而sin coscos sincos sinsin cos,4444A AB B ππππ-=-即sin()sin().44A B ππ-=-又∵0＜A+B ＜π，,44A B ππ∴-=-,.22A B C ππ∴+=∴= 【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos 4cos 3A bB a ==，求a,b 及△ABC 的内切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。
解：cos cos sin ,=,cos cos sin A b A BB a B A=由可得变形为sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B =∴= 又,22,,2a b A B A B ππ≠∴=-∴+=∴△ABC 是直角三角形。
由2221043,a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得6,8.a b ==6810222a b c ABC +-+-∴== 的内切圆半径为r=【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
------------------------------------------『易错疑难辨析』易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。