苏教版数学必修五同步讲义：1.1正弦定理(2)

1．1 正弦定理(2)
1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．
2.理解三角形面积公式及解斜三
角形．
3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．
, [学生用书P3])
1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C
2
.
(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式
(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝1
2ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．
(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B .
1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝AB
sin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°，
所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝3
2.
★答案★：
3
2
2．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝1
4，则cos C ＝________．
解析：由cos A ＝13得sin A ＝22
3；
由cos B ＝14得sin B ＝15
4
.
所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )
＝－()cos A cos B －sin A sin B
＝－⎝⎛⎭⎫13×14－223×154＝230－112.
★答案★：230－1
12
3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·3
2，
所以AC ＝2，
所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. ★答案★：2
三角形面积公式的应用[学生用书P4]
在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝3
2，
又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，
故该三角形有两解：
C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝1
2AB ·AC ＝23；
当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝1
2
AB ·AC ·sin A ＝ 3.
所以△ABC 的面积为23或 3.
把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件
不变，求△ABC 的面积．
解：由正弦定理c sin C ＝b
sin B ，
得
AB sin C ＝AC sin B ，则sin C ＝6
4
， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝10
4
，由sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )
＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝
22×104＋22×6
4＝5＋34
，
则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝1
2×3×2×5＋34＝3＋154
.
三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．
1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于
________．
解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°
sin 30°＝6＋2，
所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×2
2＝3＋1.
★答案★：3＋1
正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]
如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD
＝α，∠ABC ＝β.
(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．
【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π
2－(π
－2β)＝2β－π
2
，
所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π
2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.
(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝AC
sin ∠ADC
， 即DC sin α＝AC
sin （π－β）
， 即
DC sin α＝3DC
sin β
，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，
所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝
32或－33
.
因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π
3
.
(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．
(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.
2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，
ED ，则sin ∠CED ＝________．
解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.
在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π
4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝
5
5
， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010
. ★答案★：1010
正弦定理的实际应用[学生用书P5]
为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这
条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．
【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝a
sin （β＋γ），
所以BC ＝a sin γ
sin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α
＝
a sin γ·tan α
sin （β＋γ）
.
根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审
题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．
3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考
古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)
解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，
AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°
≈78米．
★答案★：78
1．三角形中的诱导公式
sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C
2，
cos A ＋B 2＝sin C
2
.
2．三角形中边角转化的等价关系 a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 3．三角形面积公式
S ＝1
2
(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．
在△ABC 中，若C ＝3B ，求c
b 的取值范围．
[解] 由正弦定理可知
c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.
又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，
2
2
<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b
<3.
即c
b的取值范围是(1，3)．
(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B<180°，即0°<B<45°.
(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，
②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．
1．在△ABC中，B＝60°，b＝76，a＝14，则A＝________．
解析：由正弦定理得sin A＝
2 2，
所以A＝45°或135°，
又B＝60°，b＞a，所以B＞A，
即A＜60°，故A＝45°.
★答案★：45°
2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．
解析：因为2R＝4
sin 45°
＝42，所以R＝2 2.所以S＝πR2＝8π.
★答案★：8π
3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知，可得2R sin A＝2·2R sin B·cos C，
即sin(B＋C)＝2sin B cos C，
所以sin B cos C－cos B sin C＝0，
sin(B－C)＝0，所以B＝C，
即△ABC为等腰三角形．
★答案★：等腰
,[学生用书P71(单独成册)])
[A 基础达标]
1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π
6，
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.
★答案★：3∶1∶1
2．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝43
3，则A 的值是________．
解析：由正弦定理，得sin C ＝3
2
，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. ★答案★：15°或75°
3．在△ABC 中，c b ＝cos C
cos B ，则此三角形为________三角形．
解析：由正弦定理得c b ＝sin C
sin B ，
所以sin C sin B ＝cos C cos B
.
所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .
所以△ABC 为等腰三角形． ★答案★：等腰
4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．
解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，
解得cos B ＝1
2或cos B ＝1(舍去)，
所以sin B ＝
32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝33
2
＝2. ★答案★：2
5．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．
解析：因为AB
sin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .
设△OBC 外接圆半径为x ，
BC sin 120°＝2x ，x ＝3R
2·3
2
＝R .
★答案★：3R R
6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，
所以sin C ＝1，C ＝90°，
又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． ★答案★：等腰直角
7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．
解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，
由正弦定理，可得BC sin 60°＝AB
sin 45°，
所以BC ＝
3
2
×10＝56(海里)． ★答案★：5 6 海里
8．在△ABC 中，sin A ＝3
4，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．
解析：因为c sin C ＝a sin A ＝40
3，
所以c ＝40
3sin C .
所以0<c ≤40
3.
★答案★：⎝
⎛⎦⎤0，403 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝23
3，A ＋3C ＝π.
(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积．
解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .
又由正弦定理b sin B ＝c
sin C ，
得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos C sin C
，
化简得，cos C ＝
33
. (2)由(1)知B ＝2C ，
所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－1
3.
又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝
1－13＝6
3
. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223
. 因为A ＋B ＋C ＝π.
所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝6
9. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝9
2
.
所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.
10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．
解：由已知，B ＝60°，b ＝1， 所以△ABC 外接圆半径R ＝
12sin 60°＝3
3
.
a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×
3
3
×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，
所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．
[B 能力提升]
1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．
解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝
3
2
.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝3
2
.
★答案★：
3
2
2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.
解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.
又AB ＝600 m ，
故由正弦定理得600sin 45°＝BC
sin 30°，
解得BC ＝300 2 m.
在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×
3
3
＝1006(m)． ★答案★：100 6
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________．
解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .
而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.
因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.
所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． ★答案★：直角三角形
4. (选做题)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？
解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.
在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝
sin 30°AC ·AB ＝3
2
， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，
所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC
12
×60＝5(min)，
所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。