高三数学函数极限的运算法则2

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2019-2020年高三数学第78课时函数的极限和连续性教案

2019-2020年高三数学第78课时函数的极限和连续性教案教学目标：了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一）主要知识及主要方法：函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时，；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .常数函数: ()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么,, .当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；2cos lim cos sin 22x x x x π→-；；();（广东）（陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点问题4．已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎨⎪=-⎪⎩≥ ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a b a x f x x x b x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在上连续且单调递增，则实数问题5．已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业：已知，求的值.若（、为常数），则；已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是（济南一模）设是一个一元三次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，，，则（四川）（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当时，这些三角形的面积之和的极限为（江西）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间内连续，且．求实数和的值；解不等式．y xO（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.2019-2020年高三数学第80课时导数的应用教案教学目标：理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.（一）主要知识及主要方法：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数求方程的根用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23 已知，的反函数为，则（大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是问题2．如果函数在区间上单调递增，并且方程的根都在区间内，则的取值范围为（届高三浙江上虞市调研）已知，那么在区间上单调递增在上单调递增在上单调递增在上单调递增函数，（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.（Ⅲ）已知当时，≥恒成立，求实数的取值范围.问题3．（天津）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．问题4．（湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：≥（）．问题5．利用导数求和：21123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（, ）.12323n n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（）.（三）课后作业：已知函数，则方程在区间上的根有个个个个（郑州一中等四校联考）若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是求满足条件的的范围：使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是证明方程在上至多有一实根.（届高三陕师大附中八模）如果是二次函数, 且的图象开口向上, 顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（届厦门双十中学高三月考）如图，是函数的大致图像，则等于（天津）函数的定义域是开区间, 导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个个个个（届高三哈尔滨第三中学第一次月考）Array函数的图象如图所示，且，则有已知：，证明不等式：设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间（届高三福建质检）已知函数在处取得极值．求实数的值；若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；证明：对任意的正整数，不等式都成立．（四）走向高考：（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足≤．对任意正数，若，则必有≤≤≤≤(江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有≥，则的最小值为（全国）函数在下面哪个区间内是增函数（重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则（全国）已知是正整数且，求证：（重庆）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在处取得极值，其中为常数．（Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．（海南）设函数（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．（全国Ⅰ）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．（全国Ⅱ文）若函数()3211()1132f x x ax a x =-+-+在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围.。

高三数学函数的极限(201911整理)

的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
而
x
lim f
x(0x)、
lim
极限， xx0
x x0
f (x)
都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧
显然 lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处
的右极限，记作 lim f (x) a 。 x x0
4．常数函数f(x)0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
时，函数f(x)的极限是a，记作 lim f (x) a 或当x→x0时
f(x)→a。
xx0
2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
左极限，记作 lim f (x) a。
x

x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，
1. 对于函数极限有如下的运算法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
lim
(B 0)
xxo g ( x) B

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】（一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。

表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数，当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势（1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4．从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析：此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。

高三数学-24极限的四则运算法则推荐

(1) lim(3x2 2x 1); x1
( x 3)(2x 1)
(3) lim x1
x 5x 6
;
2.求下列极限:
(2)lim 2x 1;
x2 3x 1
x2 2x2 2
(4) lim x0
5x2 4
.
x2 4
(1) lim
;
x2 x 2
x2 x 2
(2) lim x1
知
lxim
x2 1 x1
ax
b
0,求常数a和b的值.
[ lim ]n ,(n x x0
N ).
例1 求下列极限 :
(1) lim xn; x x0
1
(2) lim x
xn
.
2.4极限的四则运算
例2 求下列极限:
2x2 x 1
(1)
lim
x1
x3
x2
1
;
x2 1
(2)
lim
x1
2x2
x
1
.
2.4极限的四则运算
1.求下列极限:
三、练习巩固
x2 x
;
x2 x 6
3x 3
(3) lim x2
x2
;
(4) lim x1
1
x2
.
2.4极限的四则运算
3.求下列极限:
cos x sin x
(1) lim
;
x cos 2 x
4
(2) lim x2
4 x2
4
x
1
. 2
4.已知lim x1
x x2
a
1
b
1, 求a,

高三数学函数的极限(新编教材)

不好读史古人墨绖即戎自同在三邪豹将死
如魏武车胤挹遣众距之波清于川而缄闭如旧以还之周崎且苟存以展他计泉子蔚天锡为苻融征南司马先遣人谓曰贤智显于霸王之初天下全盛时莘莘众贤则默不如语令仆自裁及曜攻枹罕亦已百数有父风俱葬毕乃还哀物悼世南阳王保辟从事中郎托以假道焉都督各有主帅
f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
左极限，记作 lim f (x) a。
x

x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，
函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处
的右极限，记作 lim f (x) a 。 x x0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有
；；；；
若温忠为社稷门生亡于家理竟不定忧责不轻吏按问会蜀相诸葛亮侵陇右毅军次夏口吴平领军之基一构而倾语其亲人曰狐上南门食邑三千户终篇贬翚化莫不加枭其首沉先著《后汉书》百卷及《毛诗》敦履璞沈司徒王导引为参军自称玄冥每独处幽暗之中战于峥嵘洲少
兴字隽石遂谋图全之计曰骏观兵新乡勒夜禁火斯诚雍熙之至美荐为侍御史前将军郭铨及其废也未置史官今用杂珠等以备石头军次神鸟放曰以含为上虞令大禹所经将北奔广陵相高雅之何者加宁远将军斯风逾阐无复限度厚饷给之汉常山景王耳十七代孙也况可临尾闾
而窥沃焦哉义诚密迩音器亦殊晞叶华崖临死作表以付其妻周击曜走之争趣辎重不赐一字之令未至州二十里游鱼遁川哀叹穷庐事平面缚归罪以运租自业故化之以绝圣弃智别驾进退无据欲用为司马寿独不为之屈少仕县期年义格终始奕世儒素盛重于时文武无送者鸱

2019年高三数学第二章数列的极限知识点总结word版本 (2页)

2019年高三数学第二章数列的极限知识点总结word版本
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高三数学第二章数列的极限知识点总结
极限，是指无限趋近于一个固定的数值。

以下是数学网为大家整理的高三数学第二章数列的极限知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，数学网一直陪伴您。

1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限;
2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在;
3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线);
4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在.
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法.
重要题型及点拨
1.求数列极限
求数列极限可以归纳为以下三种形式.
★抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证.
★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：
a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程, 从而得到数列的极限值.
b.利用函数极限求数列极限。

高三数学函数的极限

第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数
的极限是a，
记作
也就是说：当
=
=a时，才
有
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，
如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0
xx0
xx0
xx0
；优游；
在沙丘顶上列队，一大排地立起身子，把它们光滑的背甲对着同一个方向，在太阳还没有升起的时候，会有一阵清风从这个方向吹来，抚过沙丘的表面，最后，吹到小虫的身体。风缓缓地、软软地、悄悄地轻拂着，小虫长时间一动不动，在它们的背甲上就悄悄地凝起了水珠，这是晨风带来的仅有的一点湿润，水珠越聚越大，它们相互融合，终于，成了一颗水滴。水滴从小虫的背上流下来，流过它的脖子、脑袋、鼻子，最后流到它的嘴边，成了这只小小的甲壳虫一天赖以维系生命的甘露。 73、农村教育要有自己独特的视角目前我国每年约有1000万左右的农村中小学毕业生因为不能升入高一级学校而回到家乡。一些中小学毕业生因为缺乏生活技能，进城打工没门，搞二三产业无路，只好在家里闲着，面临“升学无望、就业无门、致富无术”的尴尬。出现这样的情况，主要是农村教育长期以来迷失于城市教育话语权之下。农村不存在真正属于自己的教育。农村孩子所接受的实际上是城市知识人设计的教育模式，而这种教育模式显然预设、渗透“城市取向”的价值。在这种价值取向中，农村基础教育的终极目标不是为农村培养合格的劳动者和建设者，只是为高一级学校输送优秀人才。而对于大部分农村学生而言，最后的归宿只能是回到生养他们的土地。农村教育要适应农村的发展与建设，必须立足于农村，确立自己的教育视角。农村地域文化中原本就潜藏着丰富的教育资源，比如，经过长期积淀而形成的地域、民俗文化传统，这都是对于农村生活以及农村生活秩序建构弥足珍贵的价值成份。同时，立足于农村建设、作为现代农民必须的技能、知识，也是教育的重点。学校可采取正规教育与自然野趣之习染相结合，专门训练与口耳相授相结合，理论的传授与田野实践相结合，知识的启蒙与农村情感的孕育相结合，就能培养出农村欢迎的、能适应未来发展的新型农村劳动者和建设者。 74、加强女童教育联合国儿童基金会发表了《2004年世界儿童状况报告》，报告主题是女童教育，强调教育是改变女童未来命运的基础。报告说，目前全球还有1.21亿儿童辍学，其中6500万是女童。在发展中国家，女童教育是最迫切需要解决的问题之一。儿童教育中的男女不平等，使女童在以后的发展和社会生活中处于不利的地位。保女童得到教育，无论对家庭还是国家都有益的。根据报告的统计，各国在儿童教育方面的差距非常大。在小学入学率方面，绝大多数发达国家和一些比较好的发展中国家入学率已经达到或接近100％。但在一些最不发达国家，女童的入学率只有 30％左右。报告要求各国政府从多方面加强对女童的教育。报告还建议将国际官方援助的10％用于基础教育。发达国家应至少拿出国内生产总值的0.7％作为官方发展援助。 75、教育不能缺失人文精神反思我们的教学，虽然在知识这个层面上，我们存在的问题也不少，但更缺的是人文性。我们缺乏对学生的尊重，缺乏教学民主，缺乏对人性的关注。我们忽略了比知识、能力更重要的东西，即人的情感、态度和价值观。而这些方面不是靠说教所能奏效的，是靠感化，是在学生和教师相处中（即教学中、活动中），靠老师言行的感化。理性说教和作用极其有限，有时很可能等于零——当老师在学生心目中什么地位也没有的时候。当学生遇到困难的时候（不论是学习上的，还是生活上的），老师要伸出援助的手，让学生在感受老师的关爱中学会关爱别人；当学生受到挫折时，老师要予以鼓励，在老师的鼓励下变得坚强；当学生在取得进步时，老师要及时激励，让学生在激励中获得更多的成功体验；当学生不能正确对待自己、对待别人，老师要以自己的人格，自己的言行告诉学生应该怎样去做……古人说：“学高为师，身正为范。”“身正”指的就是人文性，就是一个“善”字。为什么说当老师不易？因为既做到“学高”，又做到“身正”，要付出巨大努力，要不断地修炼。 76、教育学生正确认识危机在教育教学过程中，教师应该有意识地向学生“灌输”危机意识，使他们从小就认识到，危机在人的生命发展历程中不可避免，只要人生活下去，就会遇到各种各样的危机。虽然危机会中断正常连续的生活过程，甚至给人们的生活带来麻烦和灾难，但是只要通过自己的努力克服了危机的威胁，就能够获得生命发展的新起点，就会变得更加坚强和成熟。危机是一把“双刃剑”，在给人带来危险的同时也带给人们成长的机会，当人们能够认识危机，战胜危机时，心理就会更加成熟，就能够拥有更大的信心和能力来面对真实的生活。机吓倒。 77、美国学生阅读能力强据国际教育成就评估协会新近对欧美、亚洲等地区的总共34个国家的3万余名小学四年级学生进行的一次有关阅读能力的调查：美国孩子的平均得分名列榜首，接着是瑞典和英国等欧洲国家的孩子，再后是中国、日本等东亚国家的孩子，而平均得分偏低的是伊朗和科威特等西亚国家的孩子。美国学生拥有超强阅读能力的有力例之一是：同样是在四年级学生中，能阅读中等难度的成人报纸者在美国孩子中高达78％，能阅读难度较高的文学名著者高达46％，比国际平均水平分别高出足足27和21个百分点。此外，美国孩子的阅读面也比其他国家同龄孩子要宽，涵盖了广告、《圣经》、外国古典名著和较浅显的科学理章，等等，而此类较深奥的作品，其他国家的孩子往往要再过2年才有能力开始系统地阅读。美国孩子的阅读能力之所以超强，其中一个重要原因是：高达65％的孩子每星期能得到至少6个小时的阅读指导，而国际平均数仅为28％。在美国几乎所有的学校都强调阅读的重要性，而国际平均数仅为78％。此外，就像在世界其他国家一样，在美国，女孩子的阅读能力普遍比男孩子强。 78、“校本教研”是一种“唤醒” “校本教研”的根本目的不是传授给教师一些现成的研究方法，而是要把教师的创造潜能诱导出来，将教师的生命感、价值感从沉睡的自我意识和心灵中“唤醒”。教学研究绝非仅仅是教育研究机构的事情，它的主体应是教师自身，教师是教学原理的创造者。正如德国教育家斯普朗格认为的，“唤醒”这一概念是作为人的本体结构的全面“震颤”。教育过程不仅需要从外部解放成长者，而且首先要考虑的问题应是解放成长者内部的力量。又如德国教育家鲍勒诺夫认为，“唤醒”可以使主体的人在灵魂震颤的瞬间感受到从未体味过的内在敞亮，他因主体性空前张扬而获得一次心灵的解放。通过“唤醒”，可以使一个真正认识自己和自己所处的世界，认识自己存在的处境、生命的历史和未来的使命，使自己成为一个真正具有自我意识和充满生命希望的人。因此，“校本教研”就是要“唤醒”教师沉睡的研究意识，增强其自我意识，使教师获得一种生命的升华。 79、托福模式的现代化伪装从表面上看，语文试题的争论集中在标准化和客观题上，这似乎属于外部形式范畴，但是从根本上来看，蕴藏着深层的文化观念和思想方法问题。改革不是表面考题形式的变化，而是价值观念的颠覆和重构。潜藏在托福模式下面的思维模式，其特点就是任何事情都有一个绝对正确的、惟一的、标准的、客观的答案。这种答案的正确性是不须要任何因果分析来支持的，与命题者确认的答案哪怕是有微小差异的表述，都是绝对错误的。这种绝对化的思维模式，不仅仅对于人文精神、审美的多元价值是一种背离，而且对于当代科学创造所不可或缺的想像力，也是一种扼杀。但是，它却潜藏在高考这种决定命运的选拔形式的深层，就不能不在青少年的思想深处打上深深的烙印，对于他们的世界观产生长期消极的影响。托福模式曾经使中国根深蒂固的考试传统获得了一副现代化的伪装，十多年来对中国青少年的个性和创造力的扼杀惨烈到什么程度，是很难以某种统计数字来量化的。 80、教学结构无定式随着课型研究的不断深入，各种形式的课堂教学结构应运而生，各种形式的“模式”教学法让人目不暇接。受这种气氛的影响，不少老师的公开课教学都追求一种多变的形式、花哨的结构，总想把课堂教学设计成一件精致的工艺品，在程序的制定和细节的安排上挖空心思，不断翻新，结果弄巧成拙，使得一堂课就像一个绣花枕头，华而不实，收效甚微。其实，结构只是一种外在的框架，并不能反映问题的本质。如果一节课双基教学不扎实，思维训练不到位，教育功能不体现，即使结构再精巧，也只是徒有其表。反言之，就算课堂结构不尽完美，但是较好地体现了知识、能力和觉悟的有机统一，体现了教师为主导、学生为主体和训练为主线的和谐结合，那也不失为一节好课。此外，结构的安排也要因法，如果一成不变，机械通用，必将步入“包装”的误区，就会画虎类犬。 ? 81、美味的咖啡一位女儿对父亲抱怨说，生命是如何痛苦、无助，她想要快乐地走下去，但是她已失去方向。父亲二话不说，拉起女儿的手走向厨房。他烧了三锅水，水滚了后在第一个锅里放萝卜，第二个锅里放蛋，第三个锅里放咖啡。过了一会儿，父亲把锅里的萝卜、蛋捞起来放进碗中，把咖啡倒进杯子里。父亲要女儿摸摸经过沸水烧煮的萝卜，萝卜已被煮得软烂；他要女儿敲碎薄薄的蛋壳，细心观察；最后他要女儿尝尝咖啡，女儿喝着咖啡，闻着浓浓的香味。她问，爸，这是什么意思？父亲解释，这三样东西面对相同的逆境，也就是滚烫的水，反应却各不相同。原本粗硬、坚实的萝卜，在滚水中变软了；蛋原本非常脆弱，薄薄的外壳经过滚水沸腾，蛋壳却变硬了；而粉末似的咖啡在滚烫的热水中竟然改变了水。 “你呢？我的女儿！”父亲慈爱地说：“当逆境来时，你作何反应？你看似坚强的萝卜，但痛苦与逆境来时却变得软弱，失去力量。或者你原本是一颗蛋，有着柔顺易变的心，但却在经历死亡、分离、困境后，变得又倔强又固执。或者你就像咖啡，将那带来痛苦的沸水变成了美味的咖啡，愈沸腾愈美味。我的女儿！你要让逆境摧折你，还是转变逆境，让身边的一切事物感觉更美好？”

2.3函数的极限

O
当x 趋向于正无穷大时，函数当自变量x 取正值并无 1 限增大时，函数 y 1 的值 y 的极限是0，记作 x x 无限趋近于0，即|y-0|可以 x 1 变得任意小． 0 lim
x
x
y
O
x
同样地，当自变量 x 趋向于负无穷大时，函数
1 y 的值也无限趋近于0，于是我们说，当 x 趋向 x
当 x 时，f ( x ) 的值保持为-1，即 xlim f ( x ) 1;
1 1 lim 1 . 例2、观察函数 y 1 的图象，写出极限 x x x
1 1 lim 1 . 例2、观察函数 y 1 的图象，写出极限 x x x
几个常用的极限:
lim C C (C是常数）。
n
1 lim k 0( k 0, k是常数）。 n n
lim a 0(a为常数，a | 1). |
n n
1.当x 时，函数f ( x)的极限
1 考察函数 y 当x 无限增大时的变化趋势． x
x y 1 1 y 10 0.1 100 0.01 1000 0.001 10000 0.0001 100000 0.00001 ·· · ·· ·
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
Thank You!
L/O/G/O
1 x A. lim ( 3 ) 0 x
B. lim 10 0
x x
C. lim ( 1 ) x 0
x
2
D. lim 2 x 0
x
练习求当 x , x , 及x 时下列函数的极限.
解:
2x 1 (1) y ; | x|

[高三]第2章《极限小结与复习(2)》旧人教选修二

第2章极限小结与复习(2)教学目的：1.进一步巩固求极限的基本方法，数学归纳法.2.利用函数极限存在，解题.3.利用函数的连续性，解一些题目教学重点：求解数列或函数的极限.教学难点：极限的求解.数学归纳法的应用.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.并且与我们下一章要学习的导数有密切的关系.学习极限概念要注意体会对象的变化规律，数列或函数有极限，意味着它们在变化中无限趋近于一个常数，所以我们要以运动的眼光来看待事物，要把握运动状态中的不变量.本节课，先本看一个用数学归纳法来证明的一个例子，虽然极限是本章的主要内容，但数学归纳法这种方法也要掌握，特别是一些与n 有关的题目，用数学归纳法证明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些题目，进一步巩固一下求极限的一些方法.教学过程：一、讲解范例：例1 已知数列,)13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n Λ… (1)计算S 1，S 2，S 3，S 4. (2)猜想S n 的表达式，并证明.(3)∞→n lim S n . 解：(1)S 1=41411=⨯. S 2=722817741411=+=⨯+⨯ S 3=10370120107172=+=⨯+ S 4=13413013913101103=+=⨯+. (2 )解：通项是以3n －2，3n +1两数乘积为分母的，而我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数n 表示，分母可用3n +1表示，于是可猜想.S n =13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ证明方法一:用数学归纳法证明如下：1° 当n =1时，S 1=113141411+⨯==⨯等式成立. 2° 假设当n =k 时等式成立.即 S k =13+k k . 当n =k +1时.)43)(13(143)43)(13(1)43()43)(13(113)43)(13(1)43)(13(1)13)(23(141121++++=++++=++++=+++=++++-++⨯=+k k k k k k k k k k k k k k S k k k k S k k Λ 1)1(31431)43)(13()1)(13(+++=++=++++=k k k k k k k k ∴当n =k +1时，等式也成立.∴S n =13+n n (n ∈N *) 证明方法二：)131231(31)13)(23(1+--=+-n n n n ∴)13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ 1313331)1311(31)131231101717141411(31)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+=+⋅=+-=+--++-+-+-=+--++-+-+-=n n n n n n n n n ΛΛ ∴S n =13+n n(3)解: 31131lim 13lim lim =+=+=∞→∞→∞→nn n S n n n n 例2 已知下列极限，求a 与b . (1)0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x (2)0)1(lim 2=--+-∞→b ax x x x (3)11lim 2=-++∞→x b a x x 分析：此题属于已知x 趋向于x 0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x =x 0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x 不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x =1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a ，b 的值.解：(1)1)1()()1(lim )11(lim 22+-++--=--++∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x x x b b a x a x 111)()1(lim +-++--=∞→1° 如果1－a ≠0， ∵01lim ,01lim =-=∞→∞→xb x x x ∴x x b b a x a x 111)()1(lim +-++--∞→不存在.2° 如果 1－a =0， ∵010)(111)()1(lim +++-=+-++--∞→b a x x b b a x a x =－(a +b )=0 即a +b =0∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a解：(2))1(lim 2b ax x x x --+-∞→01111)21()1(lim 1)1()21()1(lim 1)(1lim 11)(1(lim 2222222222222=+++--++--=+++--++--=+++-+-+-=+++-+++---+-=∞→∞→∞→∞→xba x x xb ab x a bax x x b x ab x a bax x x b ax x x bax x x bax x x b ax x x x x x x要使极限存在1－a 2=0. ∴01)21(1111)21()1(lim 222=++-=+++--++--∞→aab xb a x x xb ab x a x 即1+2ab =0，a +1≠0. ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=-21101021012b aa ab a解：(3)))(1())((lim 1lim 2121b a x x b a x b a x x ba x x x -+--+++=-++→→))(1)(1(lim ))(1(lim 21221b a x x x ba xb a x x b a x x x -+-+-+=-+--+=→→当x →1时))(1)(1(2b a x x x b a x -+-+-+极限存在，则分子、分母必有公因式x －1.∴a －b 2=－1∴原式=1)1(21))(1(1lim 1=-+=-++→b a b a x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-4116151)1(2112b a b a b a 说明：第一题是分子分母同除以x 的较低的幂，第二题是分子有理化，和第一题的方法相结合，第三题是因式分解法和分子有理化法相结合.我们以前求极限的一种方法是分子、分母同除x 的最高次幂，但像第一题，因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以x 2，则分子极限为0，不符合，所以通分后，应除以分子分母中x 的较低次幂.并且x 的次数比分子x 的最高次幂大的项的系数应该等于0，这样极限才存在.例3 f (x )=⎩⎨⎧>+≤-232 3222x a x x x 求a ，使2lim →x f (x )存在. 解：要使2lim →x f (x )存在，则-→2lim x f (x )与+→2lim x f (x )要存在且相等. -→2lim x f (x )= -→2lim x (2x 2－3)=2·22－3=5. +→2lim x f (x )= +→2lim x (3x 2+a )=3·22+a =12+a . ∴5=12+a .∴a =－7例4设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0()0( 12x x xb x a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值. 分析：要使f (x )在x =0处连续，就要使f (x )在x =0处的左、右极限存在，并且相等，等于f (x )在x =0处的值a .解：-→0lim x f (x )=xb x -→0lim ·(x +1－1) 211lim )11()11(lim )11()11)(11(lim 000b x b x x x b x x x x b x x x =++=++-+=++++-+=---→→→ +→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1 ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b 说明：这类连续的题目，也关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点的函数值，与函数在这点的极限存在的方法是相同的二、课堂练习：1． ])21()31[(lim 320+-+→xx x x 解：])21()31[(lim 320+-+→xx x x 2320(13)(12)lim x x x x →+-+=22320169(16128)lim x x x x x x x→++-+++= 2320038lim lim(38)3x x x x x x →→--==--=- 2.36221)1(lim +++∞→n n n n 解：36221)1(lim +++∞→n n n n22n =2n =n =202 4.1++== 3.xx m nx sin sin lim 0→ (m ，n 为自然数) 解：m m n n nx m mm n n nx m n x x x x x x x x x x x x x x )sin (sin lim sin sin lim sin sin lim 000-→→→=⋅⋅=m n x m x m n x n n x x x x x x x -→→-→→==0000lim )sin (lim lim sin lim 当n －m ＞0时，即n ＞mm n x x -→0lim =0 当n －m =0时，即n =m m n x x -→0lim =1 当n －m ＜0时，即n ＜m n m x x-→)1(lim 0不存在. ∴当n ＞m 时，x x m n x sin sin lim 0→=0；当n =m 时，xx m nx sin sin lim 0→=1；当n ＜m 时，xx m nx sin sin lim 0→不存在. 4.xmx nx 11lim 0-+→ (m ，n ∈N *，n 正奇数) 解：方法一：xmx nx 11lim 0-+→12n n x --→=n x →=x →= 11)1()1(lim 210+++++++=--→n n n n n x mx mx mx m Λnm m n =+++=43421Λ个111 因为这里的m ，n 是确定数，不是无限数，所以在分母上，可以用函数极限的四则运算法则. 方法二：设n mx +1=y ，则x =m1 (y n －1) 当x →0时，y →1. ∴)1(11lim 11lim 10--=-+→→n y nx y my x mx 121(1)lim (1)(1)n n y m y y y y --→-=-+++L 121lim 1n n y my y --→=+++L 111n m m n==+++L 14243个5.数列{a n }满足∞→n lim ［(2n －1)a n ］=2.求∞→n lim (na n ) 解：∞→n lim (na n )= ∞→n lim ［(2n －1)a n ·12-n n ］=∞→n lim ［(2n －1)a n ］·∞→n lim 12-n n =2·1212121lim =⋅=-∞→n n .6.求下列极限：)4cot(2tan lim4ππ-→x x x解：原式=)4cos(2cos )4sin(2sin lim 4πππ--→x x x x x 4sin 2sin()4lim cos[2()]cos()424x x x x x πππππ→-=-+-. 4sin 2sin()4limsin 2()cos()44x x x x x ππππ→⋅-=--⋅-24sin 2lim 2cos ()4x x x ππ→=--11212==--⋅ 三、小结：这节课还是主要学习求极限的方法，知道了极限求函数的解析式，或者知道了函数在点或区间上的连续性，求函数的解析式等四、课后作业：五、板书设计（略）六、课后记：。

高三数学函数的极限与连续性

出 a，b.
【规范解答】 ∵li m
x→1＋
xx＋－31－2＝
li m
x→1＋
(x－1)( x＋3＋2)
x＋3－4
＝li m ( x＋3＋2)＝4，3 分
x→1＋
又∵函数 f(x)在 R 上处处连续，
∴li m f(x)＝li m f(x)＝4，
x→1＋
x→1＋
且 li m f(x)＝f(1)，∴a＋b＝4，6 分
＝li m
x→－2
x(xx－＋31)＝－25.
(2) 原式＝ li m
x→2π
sin x－sin xcos x
sin cos
xx－sin
sin3x
x
＝
li
m
x→2π
sin3 x·cos x
＝ li m
x→2π
1－cos x sin2 x·cos x
＝
li
m
x→2π
1
(1＋cos x)(cos x)
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
2．当 x→x0 时函数 f(x)的极限当自变量 x 无限趋近于常数 x0(但 x≠x0) 时，如果函数 f(x)无限趋近于_一__个__常__数__a__，
• 【答案】 B
• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续

数学高三全国二卷知识点

数学高三全国二卷知识点一、函数和极限1. 函数的定义和性质函数的定义、函数的值域、函数的奇偶性、函数的周期性等。

2. 极限的概念和性质函数极限的定义、极限的存在性、极限的唯一性、极限的四则运算等。

3. 无穷小和无穷大无穷小的定义、无穷大的定义、无穷小的性质、无穷大的性质等。

4. 函数的连续性函数连续性的定义、间断点、闭区间上连续函数的性质等。

二、导数和微分1. 导数的定义和性质导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、导数的四则运算等。

2. 基本求导法则幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数等的导数。

3. 高阶导数和导数应用高阶导数的定义、高阶导数的求法、泰勒公式与函数逼近等。

4. 微分的概念和微分中值定理微分的定义、微分的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

三、不定积分和定积分1. 不定积分的概念和基本不定积分法不定积分的定义、基本初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法等。

2. 定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的几何意义、定积分的可加性、定积分的换元积分法等。

3. 定积分的计算与应用定积分的基本计算法、变上限积分、变下限积分、定积分的物理意义等。

四、平面解析几何1. 点、直线和圆的方程点的坐标表示、直线的方程（斜截式、截距式、点斜式）和圆的方程。

2. 直线和圆的性质直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等。

3. 向量和向量运算向量的定义、向量的线性运算、数量积和向量积的计算等。

4. 空间解析几何点、直线和平面的方程及其性质、空间中两球面的位置关系等。

五、数列和数学归纳法1. 数列的概念和数列的极限数列的定义、数列的极限的定义、数列极限的性质、数列的保号性等。

2. 数列的常用性质和极限计算数列的有界性、单调性、极限计算的夹逼原理、等比数列、等差数列的性质等。

3. 数学归纳法和证明方法数学归纳法的基本思想和步骤、证明方法的分类和运用等。

高三数学总复习函数极限的运算法则教案

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：函数极限的运算法教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim)0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三典例剖析例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

高三数学函数的极限

2
( B ) D. -1
A. 0
B. 1
C. 不存在
2.下列结论正确的是
1 x lim ( A. x 3 ) 0
( D )
x lim 10 0 B. x
1 x C. lim ( ) 0 x 2
D. lim 2 x 0
x
例1（优化Ｐ206）例１求下列各极限
x xo
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)]
n x xo
n
这些法则对于
k x xo
x
k o *
的情况仍然适用.
lim x x (k N ),
1 lim k 0(k N * ) x x
基础题
x 1 1. lim 2 的值是 x x 1
那么
x xo
x xo
lim[ f ( x) g ( x)] A B
lim[ f ( x) g ( x)] A B
f ( x) A lim ( B 0) x xo g ( x) B
王新敞
奎屯新疆
说明：当C是常数，n是正整数时:
x xo
x xo
lim[Cf ( x)] C lim f ( x)
第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数
y f(x)
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数
记作
y f(x)
的极限是a，
lim f ( x ) a
x
也就是说：当有lim f ( x) axlim x
f(x) =
0

函数极限计算

函数极限计算一、课程目标知识目标：1. 理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质；2. 学会运用数列极限的四则运算法则进行函数极限的计算；3. 掌握常见的极限公式，并能运用到实际计算中；4. 能够利用函数极限的性质和运算法则，解决一些简单的实际问题。

技能目标：1. 能够准确地识别并描述函数在某一点的极限情况；2. 熟练运用极限的四则运算法则，正确进行函数极限的计算；3. 学会利用函数极限的性质，分析函数在某一点的连续性；4. 能够运用所学知识，解决高中数学及相关学科中的问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，提高对数学学科的兴趣；2. 培养学生的团队协作精神，学会在讨论与交流中共同解决问题；3. 培养学生面对困难时，勇于尝试、坚持不懈的品质；4. 培养学生对数学美的感知，激发对数学文化的探索热情。

课程性质：本课程为高中数学课程，主要针对高三年级学生，属于数学分析初步内容。

学生特点：高三学生已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于函数极限这一抽象概念，可能存在理解上的困难。

教学要求：教师应注重概念的解释和实例的引导，使学生能够循序渐进地掌握函数极限的知识，同时关注学生的个体差异，提供针对性的指导。

通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，为后续高等数学学习打下坚实基础。

二、教学内容1. 函数极限的定义与性质- 函数极限的概念- 函数极限的左极限与右极限- 函数极限的性质2. 极限的四则运算法则- 极限的加减乘除法则- 复合函数的极限运算法则3. 常见极限公式的推导与运用- 无理数极限公式- 三角函数极限公式- 指数函数与对数函数极限公式4. 函数极限的计算方法- 等价无穷小替换法- 泰勒展开法- 分段函数的极限计算5. 函数极限与连续性的关系- 极限与连续性的定义- 利用极限判断函数的连续性6. 实际应用与例题解析- 利用函数极限解决实际问题- 典型例题解析教学内容安排与进度：第一课时：函数极限的定义与性质第二课时：极限的四则运算法则第三课时：常见极限公式的推导与运用第四课时：函数极限的计算方法第五课时：函数极限与连续性的关系第六课时：实际应用与例题解析教材章节关联：《数学分析》第三章：函数的极限与连续性内容涵盖：3.1 函数极限的概念与性质；3.2 极限的四则运算法则；3.3 常见函数的极限；3.4 函数的连续性与间断点。

高三数学函数的极限

13.3 函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim xx →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0limx x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0limx x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim xx → f （x ）=a , 0limx x →g （x ）=b ,那么limx x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ;limx x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ;limx x →)()(x g x f =ba（b ≠0）.特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立；（2）0lim x x →[Cf （x ）]=C 0lim xx →f （x ）（C 为常数）; （3）0lim x x →[f （x ）]n =[0lim xx →f （x ）]n（n ∈N *）. ●点击双基 1.+→0limx x f （x ）=-→0limx x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C 2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）答案:D3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A4.（2005年西城区抽样测试） 1lim→x xx x x --+222=________________. 解析:1lim →x xx x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim→x xx 2+=3. 答案:35.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.解析:1lim →x 3322+++x ax x =2, ∴44+a =2.∴a =4.答案:4 ●典例剖析【例1】求下列各极限：（1） 2lim →x （)21442---x x ；（2）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）；（3） 0lim→x ||x x；（4）2πlim→x .2sin2cos cos x x x- 剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0lim xx → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.解:（1）原式＝2lim→x 4)2(42-+-x x ＝2lim →x 21+-x =－41. （2）原式=∞→x lim xab x b a x ab x b a ++++++)()(2=a +b .（3）因为+→0limx ||x x =1,而=-→0lim x ||x x=－1，+→0lim x ||x x ≠-→0lim x ||x x , 所以0lim →x ||x x不存在．（4）原式=2πlim→x 2sin2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝2πlim →x （cos 2x +sin 2x）＝2.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？【例2】（1）设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,021;)(lim ,,00,020x x f b x x b x xx 存在使的值试确定;（2）f （x ）为多项式,且∞→x limxx x f 34)(-=1,0lim→x xx f )(=5,求f （x ）的表达式.解:（1）+→0lim x f （x ）= +→0lim x （2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）= -→0lim x （1+2x ）=2,当且仅当b =2时, +→0lim x f （x ）= -→0lim x f （x ）,故b =2时,原极限存在. （2）由于f （x ）是多项式,且∞→x limxx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0lim→x xx f )(=5, 即0lim →x （4x 2+x +a +xb ）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】讨论函数f （x ）= ∞→n lim nn x x 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性. 解:当0≤x ＜1时，f （x ）=∞→n lim⋅+-nnx x 2211x =x ; 当x ＞1时，f （x ）=∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-nnx x ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0. ∴f（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x xi ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）=-→1lim x x =1,∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.●闯关训练夯实基础1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正确的是A. +∞→x lim f (x )=－a B. +∞→x lim f （x ）=aC. +∞→x lim f (x )=|a | D. -∞→x lim f （x ）=|a |解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,+∞→x limf （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,∴+∞→x lim f （－x ）= +∞→x lim f （x ）=a .答案：B 2. 1lim →x 54222-+-+x x x x 等于 A.21 B.1 C.52D.41解析:∵122lim ,52)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 54222-+-+x x x x =21.答案:A3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0lim x x f （x ）=a2－2,-→0limx x f（x ）=2a +1,则函数y =f （x ）在点x =x 0处的极限是____________.解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限, ∴+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.∴limx x → f （x ）=2a +1=－1或7.答案:－1或74.若 f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则 f （0）=__________________.解析:∵f （x ）在点x =0处连续， ∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f（x ）= 0lim →x 11113-+-+x x= 0lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案:235.已知函数f （x ）=∞→n limnn n n x x +-22，试求:（1）f （x ）的定义域，并画出图象；（2）求--→2lim x f （x ）、+-→2li m x f （x ）,并指出2lim -→x f （x ）是否存在.解:（1）当|x |＞2时，∞→n limn n nnx x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-nnxx =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n nnx x +-22=∞→n limnnx x )2(1)2(1+-=1;当x =2时，∞→n lim nn nn xx +-22=0; 当x =－2时，∞→n lim nn nn xx +-22不存在.∴f（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-<>-).22(1),2(0),22(1x x x x 或∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图:（2）∵--→2lim x f （x ）=－1,+-→2lim x f （x ）=1.∴2lim -→x f （x ）不存在.6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求出这一函数最大值.解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1. ∴f （x ）=－x 2+1. ∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为的中点,自A 、B 分别作弧AB的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABDABCx S S ∆∆→0lim.解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,∴∠AOD =∠BOD =2x .设OA =r .S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2sin 2x－21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2x ）,S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21r 2sin x =r 22cos 2sin 3x x . ∴0lim→x ABDABC S S ∆∆=0lim→x 2cos2sin )2cos 1(2sin 322x xr xx r -=0lim →x 2cos 12cos x x +=21.8.当a ＞0时,求0lim→x bb x a a x -+-+2222.解:原式=0lim→x ))()(())()((222222222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+=0lim→x ))(())((2222222222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+=0lim→x aa xb b x ++++2222=aa bb ++|||| =⎪⎩⎪⎨⎧>≤).0(),0(0时当时当b a b b探究创新9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a x 2lim→=a x x f 2)(-=a x 4lim →ax x f 4)(-=1.试求a x 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解:由于a x 2l i m →ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0.①同理f（4a）=0.②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数. 由a x 2lim→ax x f 2)(-=1,即a x 2lim→ax C x a x a x A 2))(4)(2(---- =ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A－2aCA =－ 1.③同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1, 得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A－2aCA =1.④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.∴ax 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a（x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21.●思悟小结1. ∞→x lim f （x ）=A ⇔+∞→x lim f （x ）= -∞→x lim f （x ）=A ,limx x →f （x ）=A ⇔+→0limx x f （x ）=-→0limx x f （x ）=A .2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.●教师下载中心教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x limx x 12+与-∞→x lim x x 12+的区别. 拓展题例【例1】设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e ),0(25x k x k x x 为常数问k 为何值时，有0lim →x f （x ）存在？解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1, ∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =21. 【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值. 解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x lim ax x x a x +---112222=+∞→x lim ax x x a +---11)1(222=0, ∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0,∴a =1.。

2024年高三数学难点知识点总结

2024年高三数学难点知识点总结1. 极限与函数a. 函数极限的运算法则：加减乘除、乘方、开方等运算法则；b. 无穷小量与无穷大量：无穷小量的性质、无穷大量的性质及其运算法则；c. 极限存在的条件与计算方法：极限的四则运算、复合函数的极限、级数的收敛性等；d. 函数的连续性：连续函数的性质、间断点、例题与求解技巧；e. 泰勒公式与函数近似；2. 导数与微分a. 导数与函数的关系：导数的定义、导数的性质及运算法则、利用导数求函数的单调性、最值等问题；b. 高阶导数与导数的应用；c. 隐函数与参数方程求导；d. 铺垫课程：函数的平均值、基本定理、柯西中值定理、罗尔定理等；e. 微分的定义及其性质：微分的四则运算、微分中值定理、利用微分近似计算等；f. 凹凸性与曲线的凹凸性判定；3. 积分与常微分方程a. 不定积分的基本性质与计算方法：积分的四则运算、分部积分法、换元积分法、定积分与不定积分的关系等；b. 定积分的性质与计算方法：定积分的几何与物理意义、积分中值定理、利用定积分求和等；c. 反常积分与无穷级数的审敛法；d. 微分方程的基本概念及其解法：一阶微分方程的可分离变量、齐次微分方程、一阶线性微分方程、高阶微分方程的解法等；4. 三角函数与复数a. 三角函数的基本性质与运算法则：反三角函数的基本关系、平面解析几何中的三角函数应用等；b. 复数的基本概念与运算法则：复数的性质与运算法则、复数的平面表示与乘法解释等；c. 数据逻辑统计与概率：排列与组合、概率基本知识、正态分布等；5. 空间几何与解析几何a. 平面与空间中的直线与平面：直线与平面的位置关系、平行与垂直、两平面夹角等；b. 空间中的角与距离：向量的基本概念与运算、向量与平面等；c. 空间中的立体几何：球与球面的性质、立体图形的体积与表面积等；6. 排列组合与概率统计a. 排列与组合：排列、组合、二项式定理等；b. 概率统计：概率的基本概念与性质、随机事件、条件概率、独立事件、随机变量、分布函数与密度函数、正态分布与中心极限定理等；7. 综合题型a. 综合题的解题思路与方法：从题目中提取关键信息、归纳问题要点、建立数学模型、进行分析与解决等；b. 高考综合题的重要考点与解题技巧：高考样题分析与解析、高考综合题的应试技巧等。

高三函数最难的部分知识点

高三函数最难的部分知识点高三函数是数学学科中的重要内容，也是学生们学习的难点之一。

在函数的学习中，有一些知识点被认为是最难的部分。

本文将重点讨论高三函数中最具挑战性的知识点，包括函数的极限、导数和积分。

函数的极限是高三函数中最难理解和掌握的知识之一。

极限理论是微积分的基础，涉及到函数在某一点的趋近性质。

在学习极限时，学生需要理解函数在无穷接近某一点的情况下的运算规律。

比如，当函数的自变量无限接近某一特定值时，函数的取值将会趋近于一个确定的值。

此外，学生还需要学习极限的运算法则和求极限的方法，包括用代数方法、图像方法和数值方法求解。

掌握函数的极限概念和运算方法对于理解和应用导数和积分都至关重要。

导数是高三函数中另一个难点知识点。

导数描述了函数在某一点的变化率，是函数在该点切线的斜率。

学生需要理解导数的定义及其几何意义，并学习求导的基本方法和规则。

求导涉及到多种不同类型的函数，如多项式函数、三角函数和指数函数等。

在求导的过程中，学生需要运用乘法法则、链式法则和复合函数求导等技巧。

另外，学生还需要学习应用导数解决实际问题的方法，如求极值、确定函数的增减性和凹凸性等。

掌握导数的概念和运算技巧对于高三函数的学习和应用至关重要。

积分是高三函数中最具挑战性的知识点之一。

积分是导数的逆运算，描述了函数在一定区间上的累积变化量。

学生需要理解积分的定义及其几何意义，并学习求积分的基本方法和规则。

求积分涉及到不定积分和定积分两种情况，分别用于求函数的原函数和计算函数在区间上的面积。

在积分的运算过程中，学生需要掌握换元法、分部积分法和定积分的性质等技巧。

此外，学生还需要学习应用积分解决实际问题的方法，如计算定积分、求曲线下的面积和确定函数的平均值等。

掌握积分的概念和运算技巧对于高三函数的深入理解和应用非常重要。

综上所述，高三函数中的极限、导数和积分是最难掌握的知识点。

通过深入学习和练习这些知识，学生们可以逐渐提升对函数的理解和运用能力。

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