微专题6 立体几何中的折叠问题(解析版)-2022届高三数学三轮靶向复习专题(新高考版)

微专题6 立体几何中的截面问题

知识梳理

1．截面问题

(1) 正方体的基本斜截面：

正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角

梯形、正五边形．

(2) 圆柱体的基本截面：

(3) 结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；结合线、面垂直的

判定定理与性质定理求截面问题．

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目录

类型一确定截面的形状 (1)

类型二确定截面的个数 (4)

类型三计算截面图形的面积或周长 (7)

典例精讲

类型一确定截面的形状

【例1】在正方体中，为的中点，E为棱

D D上的动点（不包括端点），过点B，E，F的

1

平面截正方体所得的截面的形状不可能是()

A ．四边形

B ．等腰梯形

C ．五边形

D ．六边形

【考点】LJ ：平面的基本性质及推论 【分析】不妨设正方体的棱长为1，分102DE <，12DE =，1

12

DE <<三类画出图形得答案．

【解答】解：不妨设正方体的棱长为1 当1

02

DE

<时，截面为四边形BFEM ； 特别的，当1

2

DE =时，截面为等腰梯形1BFEC ； 当

1

12

DE <<时，截面为五边形BFENK ，不可能为六边形． 故选：D ．

【点评】本题考查平面的基本性质及推论，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 【例2】如图，

在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线1BD 且过点A ，M 的平面去截正方体1111ABCD A B C D -，得到的截面的形状F 是( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．五边形 D ．以上都不对 【分析】画出图形，设截面为α，设BD AM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N

为1CC 的靠近于C 的三等分点，

由1//BD α，推出//MN AP 推出截面AMNP 为梯形． 【解答】解：如图，设截面为α，设BD AM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，

N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，

由1//BD α可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α⋂平面1DBD OP =， 又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行， α∴⋂平面11BB C C MN =，

由//MN AP 且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形， 故选：B ．

【点评】本题考查平面的基本性质的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．

【变式1-1】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是(

)

①三棱锥1P AA Q -的体积为定值；

②当1

2CQ =时，S 为等腰梯形；

③当

3

14

CQ <<时，S 为六边形； ④当1CQ =时，S 6． A ．①④

B ．①②③

C ．②③④

D ．①②④

【分析】①通过计算点P 到平面1AAQ 的距离，利用体积公式计算即可； ②通过条件可得1//PQ AD ，从而得出结论； ③当

3

14

CQ <<时，S 为五边形，故③错误； ④通过条件可知S 为平行四边形1APC R ，利用面积计算公式即得结论． 【解答】解：①点P 到平面1

AAQ 的距离2

4

h =， ∴1111121123

3212

P AA Q AA Q

V S h -=

=⨯⨯=，故①正确．

②当1

2

CQ =时，1//PQ AD ，S 为等腰梯形1APQD ，故②正确． ③当

3

14

CQ <<时，S 为五边形，故③错误． ④设11A D 的中点为R ，当1CQ =时，S 为平行四边形1APC R ， 易得S 6

④正确． 故选：D ．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，棱锥的体积公式，面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．

【变式1-2】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是(

)

A ．当1

02

CQ <<

时，S 为四边形

B ．当1

2

CQ =时，S 为等腰梯形 C ．当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113

C R =

D ．当

3

14

CQ <<时，S 为六边形 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 【解答】解：如图 当1

2

CQ =

时，即Q 为1CC 中点，此时可得1//PQ AD ，221151()2AP QD ==+=，

故可得截面1APQD 为等腰梯形，故B 正确； 由上图当点Q 向C 移动时，满足1

02

CQ <<

，只需在1DD 上取点M 满足//AM PQ ， 即可得截面为四边形APQM ，故A 正确； 当3

4

CQ =

时，如图， 延长1DD 至N ，使112

D N =

，连接AN 交11A D 于S ，连接NQ 交11C D 于R ，连接SR ， 可证//AN PQ ，由11NRD QRC ∆∆∽，可得1111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得113

C R =，

故C 正确； 由C 可知当

3

14

CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故D 错误； 故选：ABC ．

【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题． 易错警示在判断截面形状时,如果对截面与几何体的各个面是否存在交线,交线是什么形状,交线的位置等情况分析不清,那么容易导致判断错误,因此要结合空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理等进行分析判断.

类型二 确定截面的个数

【例3】设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α ) A ．不存在

B ．只有1个

C ．恰有4个

D ．有无数多个