高中数学：第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算 (1)

指数函数

2．1.1指数与指数幂的运算

预习课本P48～53，思考并完成以下问题

(1)n次方根是怎样定义的？

(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？

(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？

(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？

(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？

[新知初探]

1．n次方根

定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*

个数

n是奇数

a＞0 x＞0

x仅有一个值，记为

n

a

a＜0x＜0

n是偶数

a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±n a

a＜0x不存在

*.

2．根式

(1)定义：式子

n

a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

①(

n

a)n＝a.②

n

a n＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧a，n为奇数，

|a|，n为偶数.

[点睛]

(n a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而n a n中a∈R.

3．分数指数幂的意义

分数指幂

正分数

指数幂规定：a

m

n

＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)

负分数

指数幂

规定：a

-

m

n

＝

1

a

m

n

＝

1

n a m

(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)

0的分数

指数幂

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛]分数指数幂a

m

n不可以理解为m

n

个a相乘．

4．有理数指数幂的运算性质

(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．

(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．

5．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意实数的奇次方根只有一个．()

(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()

(3)(π－4)2＝4－π.()

(4)分数指数幂a m

n

可以理解为

m

n个a相乘．()

(5)0的任何指数幂都等于0.()

-=答案=-：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为()

A．a

2

-

5B．a

5

2C．a

2

5D．.－

a 5

2

-=答案=-：A

3．化简25

3

2的结果是()

A．5 B．15 C．25 D．.125 -=答案=-：D

4．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫

2

1

4

1

2＝________.

-=答案=-：

11

8

[例1] 化简： (1)

n

(x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；

(2)6

4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时， n

(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ；

当n 为奇数时， n

(x －π)n ＝x －π.

根式的化简与求值

综上可知，n

(x －π)n ＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *

.

(2)∵a ≤1

2，∴1－2a ≥0，

∴

6

4a 2－4a ＋1＝

6

(2a －1)2＝

6

(1－2a )2＝

3

1－2a .

根式化简应遵循的3个原则

(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数．

(3)被开方数中不能含有分母；使用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．

[活学活用]

1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0

D ．x ＜0，y ＜0

解析：选B ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.

2．若(2a －1)2＝3

(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 解析：

(2a －1)2＝|2a －1|，

3

(1－2a )3＝1－2a .

因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤1

2.

-=答案=-：⎝

⎛⎦⎤－∞，12

根式与分数指数幂的互化