圆锥曲线题型总结归纳

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22

x x y y

x ++=

=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

=342，则

x 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题

问题十：范围问题（本质是函数问题）

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围

解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22

:14x y C m +=过动点

0±（，，则

1例题2一点 设直线由2

y y =⎧⎨

=⎩即20k <由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211

(,22k k k

--

。 线段的垂直平分线方程为：

221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2

11(,0)22

E k -

ABE ∆为正三角形，∴211

(

,0)22

E k -到直线AB 的距离d AB 。

AB

=2

2

1

k

k

=+

d=

2

1

k

+=k=±满足②式此时05

3

x=。

题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C：

22

2

2

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

且在x

（I

（II）

异于点

解：（I

2

2

4

x

y

+

（II2)

x+，

由

2

y

x

=

⎧

⎨

⎩

根，1

2x

∴-=的坐标为

2

1

28

(

k

-

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为22

22

22

(,

1414

k k

++

12

(2),(2)

p p

y k t y k t

=+=-12

12

2

k k

k k t

-

∴=-

+

，直线MN的方程为：121

121

y y y y

x x x x

--

=

--

，

∴令y=0，得2112

12

x y x y

x

y y

-

=

-

，将点M、N的坐标代入，化简后得：4

x

t

=

又2

t>，∴

4

02

t

<<椭圆的焦点为0)

4

t

∴=

3

t=

故当t =

时，MN 过椭圆的焦点。 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆

E ：22

221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点

A 是

椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC

解：(I) 2BC AC =，且OC AC

∴=0AC

BC =∴∠又 A (23,0)

A (2

3,0)

是椭圆的右顶点，

(II)

∴y -

2(13)0

k +3x =是方程的一个根，229183

313P

k k x k --∴=+即2

P x =同理可得：2

Q x = ))P Q P Q y y kx k kx k -=-++＝()P Q k x x +- 22P Q x x -=13P Q PQ

P Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值1

3

。 题型五：共线向量问题

例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22

194

x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数

l

的取值范围。

解：设

P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r

\

(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即121

23(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由22

3

y kx =+⎧⎨

消y 整理后，得 P 1212()x x x x + ② 的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3

，求△AOB 面积的最大值。