微专题一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)-上海市 2021-2022高一上学期期中复习数学讲义

微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

【主题】

根与系数的关系（韦达定理）：

如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：

1x =2x =；

那么可推得1212,b c

x x x x a a

+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；

【典例】

例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1

x 2＝－1，求k 的值；

例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根

例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1

n 的值为_______

【归纳】

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c

a .

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2

，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；

【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】

1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )

A ．2

B ．－1

C ．2或－1

D ．不存在

2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.

3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________．

4、已知关于x 的一元二次方程2

1

202

mx x ++

=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．

5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，

（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值．

【教师版】 微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

【主题】

根与系数的关系（韦达定理）：

如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：

1x =2x =；

那么可推得1212,b c

x x x x a a

+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；

【典例】

例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1

x 2＝－1，求k 的值；

【提示】注意：首先通过判别式确定参数的取值范围；

【解析】（1）由题得Δ＝(2k ＋3)2－4k 2>0，解得k >－3

4

，所以，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞； （2）由题知，x 1＋x 2＝－2k －3，x 1x 2＝k 2，所以，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2k －3

k 2＝－1，

解得k 1＝3，k 2＝－1，又因为k >－3

4

，所以，k ＝3；

【说明】一元二次方程的根与系数关系：首先，通过判别式保证有根，然后，根与系数关系再结合代数变换。 例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根 【提示】注意：根与系数关系与代数变换的交汇； 【解析】（1）证明：一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0，

因为，a ＝1，b ＝－(m －3)＝3－m ，c ＝－m 2，

所以，Δ＝b 2－4ac ＝(3－m )2－4×1×(－m 2)＝5⎝⎛⎭⎫m －352＋365. 所以，Δ>0恒成立，则方程总有两个不相等的实数根．

（2）因为，x 1x 2＝c a ＝－m 2≤0，x 1＋x 2＝－b

a ＝m －3，且|x 1|＝|x 2|－2，所以，x 1，x 2异号， |x 1|－|x 2|＝－2，若x 1>0，x 2<0，上式化简得x 1＋x 2＝－2，∴m －3＝－2，即m ＝1， 方程化为x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2， 若x 1<0，x 2>0，上式化简得－(x 1＋x 2)＝－2，∴x 1＋x 2＝m －3＝2， 即m ＝5，方程化为x 2－2x －25＝0， 解得x 1＝1－26，x 2＝1＋26.