上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中考数学试卷(解析版)
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【分析】取 的中点 ，分别连接 ，把异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，在 中，根据 ，即可求解.
【详解】如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
因为 、 分别为 与 的中点，
可得 ，且 ，
所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 ，即直线 与 所成的角为 ，
【分析】（1）将点坐标代入，令 ，求出 ，从而确定平面的一般方程；（2）在平面上任取一条直线，在该直线上的任意两个不同的点，设出两点坐标，利用空间向量数量积为0得到垂直关系，从而证明出以 是平面 的一个法向量；（3）在第二问的基础上，利用投影向量的模长公式进行求解.
A.CD与BE是异面直线
B.异面直线AB与CD所成角的大小为45°
C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为
D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为
【答案】C
【分析】取 中点N，M，利用给定条件证明 ，推理判断A，B；求出 外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答.
【详解】取 中点N，M，连接 ，如图，
则直线 、 与平面 所成 角分别为 、 ，
因为 ， ，则 ，
因为 ，由等角定理可知 ，
所以， ，
即“ 、 与平面 所成角相等” “ ”.
因此，“ 、 与平面 所成角相等”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
12.设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令 ， ， ，则 、 、 三个向量（）
A.互不相等B.有且仅有两个相等C.都相等D.以上均有可能
【答案】2
【分析】设出圆锥底面圆半径、圆锥的高，利用给定条件结合侧面积公式列式计算作答.
【详解】设圆锥底面圆半径为r、圆锥的高为h，依题意有 ，解得 ，
所以圆锥的高为2.
故答案为：2
6.如图所示，在三棱锥 中， ， 、 分别为 与 的中点， ，则异面直线 与 所成角的大小是______．
【答案】 ##
（2）
【分析】(1)如图，取AD的中点M，棱 上取点N使得DN＝1，根据长方体的特征和平行四边形的判定定理和性质可得 ，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)如图，取 的中点P，连接MP，则∠PMN为异面直线EF与 的所成角，
在 中利用余弦定理求出 即可.
【小问1详解】
取AD的中点M，棱 上取点N使得DN＝1，如图，
三、解答题（本大题共有5题，本大题满分56分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤，并按要求拍照上传．
15.在长方体 中，AB＝1，AD＝2， ，E、F分别为线段BC、 上的点，且CE＝1，CF＝1．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线EF与 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
法二：同（1）中法二所设，
若长边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
若短边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
显然 ，所以体积最大值为1立方米，
此时木板长边贴地，
与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．
17.在平面直角坐标系内，我们知道ax＋by＋c＝0（a、b不全为0）是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）为平面的一般式方程．
【详解】解：设内切球的球心为 ，
当线段MN长度最大时， 为球 的直径，
不妨设 分别是内切球在正方体左右侧面的切点，如图所示，
则 ，
，
当点 位于正方体的顶点时， 取得最大值 ，
当点 位于切点时， 取得最小值 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请直接在智学网上作答．
由题意可知 ，
设半椭圆 绕 轴旋转一圈所得的几何体体积为 ，
则 ，所以， .
故答案为： .
10.已知正方体 棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时， 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意可设 分别是内切球在正方体左右侧面的切点，根据 ，求出 的最值，即可得出答案.
因 为正三角形，则 ，而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
于是得 平面 ，同理 平面 ，即 ， ，
因此，四边形 是平行四边形，有 ，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确；
由选项A，同理可得 ，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角 ，B不正确；
由选项A知， ，同理可得 ，正 外接圆半径 ，
又由正方体的棱长为 ，可得 ，
所以异面直线 与 的距离为 .
故答案为： .
3.正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．
【答案】
【分析】先求出一个侧面的面积，即可求出该棱台的侧面积.
【详解】正四棱台的侧面为一个等腰梯形，如图示：
.
过C作 于E，则 .
可得 且NF＝EM，
所以四边形EFNM为平行四边形，所以 ，
又EF不在平面 上， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
取 的中点P，连接MP，如图，
则∠PMN为异面直线EF与 的所成角，
因为 ， ，
所以 ，
故异面直线EF与 所成角的余弦值为 ．
16.如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、 两两垂直（OA、OB、 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．
（2）用（1）中的 或 表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解.
【小问1详解】
法一：设其中一个锐二面角的大小为 ，
则三棱柱底面 两条直角边长分别为 、 ，高为1，
体积 ，解得 或 ，
所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为 和 ．
法二：设三棱柱底面的一条直角边长为 ，
则另一条直角边长为 ，高为1，
（1）若木板较长 一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为 立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？
（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．
【答案】（1） 和
（2）体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°
【分析】（1）利用设二面角为 或三棱柱底面的一条直角边长为 两种方法进行求解即可；
若直线 分别为直线 ，满足 ， ，而a与b相交，①不正确；
若直线 为b，直线 为a，满足 ， ，而 ，②不正确；
若平面 为平面 ，直线 为b，直线 为a，满足 ， ， ，
而a与b不平行，③不正确.
故答案为：①②③
5.若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的 倍，则该圆锥的高为______．
所以等腰梯形的面积为 .
所以该棱台的侧面积为 .
故答案为： .
4.已知a，b是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，给出下列命题：
① ， ；② ， ；③ ， ， ．
其中假命题的序号是______．（写出所有假命题的序号）
【答案】①②③
【分析】举特例说明、判断各个命题即可作答.
【详解】如图，长方体 中，平面 为平面 ，
（1）求由点 ， ， 确定的平面的一般式方程；
（2）证明： 为平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）的一个法向量；
（3）若平面 的一般式方程为ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）， 为平面 外一点，求点P到平面 的距离．
【答案】（1）6x＋4y＋3z－12＝0
（2）证明见解析（3）
【答案】
【分析】将半椭圆 和半圆 绕着 轴旋转一圈后，利用垂直于 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为 、 ，计算出 ，再利用题中结论以及球体的体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
直线 交半椭圆 于 、 两点，交半圆 于 、 两点，
由题意可得 ，
将半椭圆 和半圆 绕着 轴旋转一圈后，
利用垂直于 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为 、 ，
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，且E分别是BC的中点，所以 ，同理 ，因此 ，设上底面的面积为 ，高为 ，则下底面的面积为 ，
所以 ，
故答案为： .
9.已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积之比均为一定值 ，则这两个几何体的体积之比也为 ”．设 、 为两个常数，且满足 ，则半椭圆 绕 轴旋转一圈所得的几何体体积为______．
因为 平面 ，所以，直线 与平面 所成的角为 ，
同理可知，直线 与平面 所成的角为 ，所以， ，
但直线 、 相交，即“ 、 与平面 所成角相等” “ ”；
如下图所示，
设直线 、 与平面 分别交于点 、 ，在直线 上一点 （异于点 ）作 ，
在直线 上一点 （异于点 ）作 ，垂足分别为点 、 ，连接 、 ，
11.已知 、 是平面 的两条斜线，则“ 、 与平面 所成角相等”是“ ”的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要
【答案】B
【分析】利用正方体模型、等角定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】在正方体 中，如下图所示：
以直线 为直线 ，直线 为直线 ，平面 为平面 ，
由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是 的外接圆，此截面面积为 ，C正确；
体积为 的球半径 ，由 得 ，由选项C知，球心到平面 的距离 ，
由选项A，同理可得点A到平面 的距离为 ，即平面 与平面 的距离为 ，
所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 ，D不正确.
故选：C
【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是 ，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦．
体积 ，解得x＝1或 ，
所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为 和 ．
【小问2详解】
（2）法一：同（1）中法一所设，
若长边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
若短边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
显然 ，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，
与两个墙面所成锐二面角均为45°．
【详解】因点 、 ，则 .
故答案为：3
2.棱长为1的正方体中，异面直线 与 之间的距离为______．
【答案】
【分析】根据题意，证得 且 ，得到 为异面直线 与 的公垂线，即可求解.
【详解】如图所示，在正方体 中，
可得 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 且 ，
所以 为异面直线 与 的公垂线，
复旦大学附属中学2021－2022学年第二学期
高二年级数学期中考试试卷
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有10题，第1－6题每题4分，第7－10题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果，并按要求拍照上传．
1.空间两点 、 之间的距离为______．
【源自文库案】3
【分析】利用空间两点间距离公式计算作答.
【答案】B
【分析】利用空间向量的加减运算求解.
详解】 ，
，
若 ，则 ，即 ，则B，C重合，
于是A、B、C、D共面，矛盾，
所以 ，即 、 、 三个向量有且仅有两个相等，
故选：B
13.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（）
所以异面直线 与 所成的角 .
故答案为： .
7.在矩形ABCD中，AB＝2， ，沿对角线AC将矩形折成直二面角D－AC－B，则线段BD的长为______．
【答案】
【分析】如图由直二面角，作 于 ， 于G，根据所给数据解 即可得解.
【详解】
如图，作 于 ，连接 ，
由二面角D－AC－B为直二面角，
所以 平面 ，则 ，
在 中， ， ， ，
所以 ， ，
作 于 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
8.如图所示，过三棱台上底面的一边 ，作一个平行于棱 的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则 ______．
【答案】
【分析】证得 ，然后结合棱台与棱柱的体积公式即可求出结果.
【详解】因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 ，
A.2B.4C.6D.8
【答案】A
【分析】作出与 垂直的平面后判断几何关系
【详解】作出平面 ，使得 平面 ，
当 时， 平面 或 平面 ，
结合旋转分析可知有两次使得 ．
故选：A
14.为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为 ，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）
【详解】如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
因为 、 分别为 与 的中点，
可得 ，且 ，
所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 ，即直线 与 所成的角为 ，
【分析】（1）将点坐标代入，令 ，求出 ，从而确定平面的一般方程；（2）在平面上任取一条直线，在该直线上的任意两个不同的点，设出两点坐标，利用空间向量数量积为0得到垂直关系，从而证明出以 是平面 的一个法向量；（3）在第二问的基础上，利用投影向量的模长公式进行求解.
A.CD与BE是异面直线
B.异面直线AB与CD所成角的大小为45°
C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为
D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为
【答案】C
【分析】取 中点N，M，利用给定条件证明 ，推理判断A，B；求出 外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答.
【详解】取 中点N，M，连接 ，如图，
则直线 、 与平面 所成 角分别为 、 ，
因为 ， ，则 ，
因为 ，由等角定理可知 ，
所以， ，
即“ 、 与平面 所成角相等” “ ”.
因此，“ 、 与平面 所成角相等”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
12.设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令 ， ， ，则 、 、 三个向量（）
A.互不相等B.有且仅有两个相等C.都相等D.以上均有可能
【答案】2
【分析】设出圆锥底面圆半径、圆锥的高，利用给定条件结合侧面积公式列式计算作答.
【详解】设圆锥底面圆半径为r、圆锥的高为h，依题意有 ，解得 ，
所以圆锥的高为2.
故答案为：2
6.如图所示，在三棱锥 中， ， 、 分别为 与 的中点， ，则异面直线 与 所成角的大小是______．
【答案】 ##
（2）
【分析】(1)如图，取AD的中点M，棱 上取点N使得DN＝1，根据长方体的特征和平行四边形的判定定理和性质可得 ，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)如图，取 的中点P，连接MP，则∠PMN为异面直线EF与 的所成角，
在 中利用余弦定理求出 即可.
【小问1详解】
取AD的中点M，棱 上取点N使得DN＝1，如图，
三、解答题（本大题共有5题，本大题满分56分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤，并按要求拍照上传．
15.在长方体 中，AB＝1，AD＝2， ，E、F分别为线段BC、 上的点，且CE＝1，CF＝1．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线EF与 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
法二：同（1）中法二所设，
若长边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
若短边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
显然 ，所以体积最大值为1立方米，
此时木板长边贴地，
与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．
17.在平面直角坐标系内，我们知道ax＋by＋c＝0（a、b不全为0）是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）为平面的一般式方程．
【详解】解：设内切球的球心为 ，
当线段MN长度最大时， 为球 的直径，
不妨设 分别是内切球在正方体左右侧面的切点，如图所示，
则 ，
，
当点 位于正方体的顶点时， 取得最大值 ，
当点 位于切点时， 取得最小值 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请直接在智学网上作答．
由题意可知 ，
设半椭圆 绕 轴旋转一圈所得的几何体体积为 ，
则 ，所以， .
故答案为： .
10.已知正方体 棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时， 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意可设 分别是内切球在正方体左右侧面的切点，根据 ，求出 的最值，即可得出答案.
因 为正三角形，则 ，而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
于是得 平面 ，同理 平面 ，即 ， ，
因此，四边形 是平行四边形，有 ，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确；
由选项A，同理可得 ，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角 ，B不正确；
由选项A知， ，同理可得 ，正 外接圆半径 ，
又由正方体的棱长为 ，可得 ，
所以异面直线 与 的距离为 .
故答案为： .
3.正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．
【答案】
【分析】先求出一个侧面的面积，即可求出该棱台的侧面积.
【详解】正四棱台的侧面为一个等腰梯形，如图示：
.
过C作 于E，则 .
可得 且NF＝EM，
所以四边形EFNM为平行四边形，所以 ，
又EF不在平面 上， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
取 的中点P，连接MP，如图，
则∠PMN为异面直线EF与 的所成角，
因为 ， ，
所以 ，
故异面直线EF与 所成角的余弦值为 ．
16.如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、 两两垂直（OA、OB、 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．
（2）用（1）中的 或 表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解.
【小问1详解】
法一：设其中一个锐二面角的大小为 ，
则三棱柱底面 两条直角边长分别为 、 ，高为1，
体积 ，解得 或 ，
所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为 和 ．
法二：设三棱柱底面的一条直角边长为 ，
则另一条直角边长为 ，高为1，
（1）若木板较长 一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为 立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？
（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．
【答案】（1） 和
（2）体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°
【分析】（1）利用设二面角为 或三棱柱底面的一条直角边长为 两种方法进行求解即可；
若直线 分别为直线 ，满足 ， ，而a与b相交，①不正确；
若直线 为b，直线 为a，满足 ， ，而 ，②不正确；
若平面 为平面 ，直线 为b，直线 为a，满足 ， ， ，
而a与b不平行，③不正确.
故答案为：①②③
5.若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的 倍，则该圆锥的高为______．
所以等腰梯形的面积为 .
所以该棱台的侧面积为 .
故答案为： .
4.已知a，b是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，给出下列命题：
① ， ；② ， ；③ ， ， ．
其中假命题的序号是______．（写出所有假命题的序号）
【答案】①②③
【分析】举特例说明、判断各个命题即可作答.
【详解】如图，长方体 中，平面 为平面 ，
（1）求由点 ， ， 确定的平面的一般式方程；
（2）证明： 为平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）的一个法向量；
（3）若平面 的一般式方程为ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全为0）， 为平面 外一点，求点P到平面 的距离．
【答案】（1）6x＋4y＋3z－12＝0
（2）证明见解析（3）
【答案】
【分析】将半椭圆 和半圆 绕着 轴旋转一圈后，利用垂直于 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为 、 ，计算出 ，再利用题中结论以及球体的体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
直线 交半椭圆 于 、 两点，交半圆 于 、 两点，
由题意可得 ，
将半椭圆 和半圆 绕着 轴旋转一圈后，
利用垂直于 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为 、 ，
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，且E分别是BC的中点，所以 ，同理 ，因此 ，设上底面的面积为 ，高为 ，则下底面的面积为 ，
所以 ，
故答案为： .
9.已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积之比均为一定值 ，则这两个几何体的体积之比也为 ”．设 、 为两个常数，且满足 ，则半椭圆 绕 轴旋转一圈所得的几何体体积为______．
因为 平面 ，所以，直线 与平面 所成的角为 ，
同理可知，直线 与平面 所成的角为 ，所以， ，
但直线 、 相交，即“ 、 与平面 所成角相等” “ ”；
如下图所示，
设直线 、 与平面 分别交于点 、 ，在直线 上一点 （异于点 ）作 ，
在直线 上一点 （异于点 ）作 ，垂足分别为点 、 ，连接 、 ，
11.已知 、 是平面 的两条斜线，则“ 、 与平面 所成角相等”是“ ”的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要
【答案】B
【分析】利用正方体模型、等角定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】在正方体 中，如下图所示：
以直线 为直线 ，直线 为直线 ，平面 为平面 ，
由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是 的外接圆，此截面面积为 ，C正确；
体积为 的球半径 ，由 得 ，由选项C知，球心到平面 的距离 ，
由选项A，同理可得点A到平面 的距离为 ，即平面 与平面 的距离为 ，
所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 ，D不正确.
故选：C
【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是 ，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦．
体积 ，解得x＝1或 ，
所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为 和 ．
【小问2详解】
（2）法一：同（1）中法一所设，
若长边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
若短边紧贴底面，体积 ，
等号当且仅当 时成立；
显然 ，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，
与两个墙面所成锐二面角均为45°．
【详解】因点 、 ，则 .
故答案为：3
2.棱长为1的正方体中，异面直线 与 之间的距离为______．
【答案】
【分析】根据题意，证得 且 ，得到 为异面直线 与 的公垂线，即可求解.
【详解】如图所示，在正方体 中，
可得 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 且 ，
所以 为异面直线 与 的公垂线，
复旦大学附属中学2021－2022学年第二学期
高二年级数学期中考试试卷
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有10题，第1－6题每题4分，第7－10题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果，并按要求拍照上传．
1.空间两点 、 之间的距离为______．
【源自文库案】3
【分析】利用空间两点间距离公式计算作答.
【答案】B
【分析】利用空间向量的加减运算求解.
详解】 ，
，
若 ，则 ，即 ，则B，C重合，
于是A、B、C、D共面，矛盾，
所以 ，即 、 、 三个向量有且仅有两个相等，
故选：B
13.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（）
所以异面直线 与 所成的角 .
故答案为： .
7.在矩形ABCD中，AB＝2， ，沿对角线AC将矩形折成直二面角D－AC－B，则线段BD的长为______．
【答案】
【分析】如图由直二面角，作 于 ， 于G，根据所给数据解 即可得解.
【详解】
如图，作 于 ，连接 ，
由二面角D－AC－B为直二面角，
所以 平面 ，则 ，
在 中， ， ， ，
所以 ， ，
作 于 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
8.如图所示，过三棱台上底面的一边 ，作一个平行于棱 的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则 ______．
【答案】
【分析】证得 ，然后结合棱台与棱柱的体积公式即可求出结果.
【详解】因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 ，
A.2B.4C.6D.8
【答案】A
【分析】作出与 垂直的平面后判断几何关系
【详解】作出平面 ，使得 平面 ，
当 时， 平面 或 平面 ，
结合旋转分析可知有两次使得 ．
故选：A
14.为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为 ，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）