2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题

目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k

x 是 同阶无穷小量，则k

=（ ）

A 、 1.

B 、2.

C 、 3.

D 、 4.

【答案】C .

【解析】因为 3tan ~3

x x x --，所以3k =，选 C .

2、曲线3sin 2cos y x x x x π

π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭

－

２２的拐点是（ ） A 、,

ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２.

【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=

- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）

A 、

x

xe dx +∞

-⎰

. B 、 2

x xe dx +∞

-⎰

. C 、 20

tan 1arx x dx x +∞

+⎰

. D 、201x dx x

+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、

1x

x

x x xe dx xde xe

e dx +∞

+∞

+∞

+∞

----=-=-+=⎰

⎰⎰，收敛；

B 、2

220

011

22

x x xe dx e dx +∞

+∞--==⎰

⎰，收敛；

C 、22

200

tan 1arctan 128

arx x dx x x π+∞

+∞==+⎰，收敛； D 、22

220

00

111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞

+∞

+∞=+=+=+∞++⎰

⎰，发散，故选D 。

4、已知微分方程的x y ay by

ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）

A 、 1,0,1.

B 、 1,0,2.

C 、2,1,3.

D 、2,1,4. 【答案】D .

【解析】 由题设可知1r

=-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，

所以2,1a b ==　。又知*

x y

e =是方程2x

y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。故选

D 。

5、已知积分区域(),2D x y x y π⎧

⎫

=+≤

⎨⎬⎩

⎭　，221D I x y dxdy =+⎰⎰，22

2sin D

I x y dxdy =+⎰⎰， ()

2231cos D

I x y dxdy =-+⎰⎰，则（ ）

A 、321I I I <<.

B 、 213I I I <<.

C 、123I I I <<.

D 、231I I I <<.

【答案】A .

【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。

由 2x y π

+≤，可得 22

2

2x y π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭【画图发现2x y π+≤包含在圆2

222x y π⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

的内部】，

令22u x y =+，则 02

u π

≤≤

，于是有 sin u u >，从而

2222sin D

D

x y dxdy x y dxdy +>+⎰⎰

⎰⎰。

令()1cos sin f u u u =--，则()sin cos f u u u '=-，()04

f π

'=。()f u 在0,

4π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

内单调减少， 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增加，又因为(0)()02f f π==，故在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

内()0f u <，即1cos sin u u -<，

从而

2222

sin (1cos )D

D

x y dxdy x y dxdy +>-+⎰⎰⎰⎰。综上，选A 。 6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2

()()

lim

0()

x a

f x

g x x a →-=-是两条曲线()y f x =， ()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）

A 、充分非必要条件.

B 、充分必要条件.

C 、必要非充分条件.

D 、既非充分也非必要条件. 【答案】A .

【解析】充分性：利用洛必达法则，由2

()()

lim

0()

x a

f x

g x x a →-=-可得