第二讲 圆的一般方程

第二讲 圆的一般方程

一、圆的一般方程的定义

当2

2

40D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。 【要点】

1.220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，2

2

40D E F +-=时表示的是一个点

,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

；22

40D E F +-<时方程没有实数解，不代表任何图形；只有当2240D E F +->时，方程才表示圆。

2.2

2

,x y 的系数相同且不等于0；方程不含xy 项。

3. 圆心坐标为,22D E ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，半径长为2242D E F +-

4.圆的一般方程−−−→←−−−展开配方

圆的标准方程

考点一 由圆的一般方程求圆的圆心和半径

由圆的一般方程求圆心坐标和半径长有两种方法： 1. 通过配方法化为标准方程； 2. 直接用公式法求。

例1 圆2

2

420x y x y +-+=的圆心坐标和半径长分别是（ ）

A. ()2,1,5-

B.()2,1,5-

C.()2,1,5-

D.()2,1,5-

考点二 判断形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程是否表示圆

形如22

0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程表示圆必须具备的条件 1. 0A C =≠； 2. 0B =；

3. 2

2

40D E AF +->

以上三个条件需同时满足时，二元二次方程才表示圆。

例2 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径；若不能，说明理由。 （1）222750x y x +-+=； （2）22580x xy y x y -+-++=； （3）222240x y x +-=； （4）22210x y ay ++-=； （5）2220x y ax ++=.

考点三 由确定圆的条件求参数范围

二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2

2

40D E F +->，求参数取值范围问题可以转化为解不等式2

2

40D E F +->。若已知二元二次方程

()2200Ax Cy Dx Ey F A C ++++==≠，则可先将22,x y 的项的系数化为1.

例 3 若方程222

22210x y a x a y a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是

______________.

例4 m 取什么值时，关于,x y 的方程()()

2222

21220m m x m m y m +-+-+++=的图像

表示一个圆？

考点四 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点()00,M x y 和圆的方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其位置关系如下所示：

位置关系 代数关系

点M 在圆外 2200000x y Dx Ey F ++++> 点M 在圆上 2200000x y Dx Ey F ++++= 点M 在圆内

2200000x y Dx Ey F ++++<

例 5 若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部（不包括边界），则a 的取值范围是（ ）

A.1a >

B.01a <<

C.1

5

a < D.1a <

考点五 判断四点共圆

先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点代入，若满足方程，则四点共圆；若不满足方程，则四点不共圆。

例6 已知A （6,0），B （-2,0），C （-3,3），D （6,3），判断A ，B ，C ，D 四点是否共圆.

考点六 用待定系数法求圆的一般方程（重点）

步骤：

1. 根据题意，设出一般方程220x y Dx Ey F ++++=；

2. 根据条件列出关于D ，E ，F 的方程组；

3. 解出D ，E ，F ，代入圆的一般方程中。

两种方程的选择方法：

1. 如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D ，E ，F.

2. 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径长或需利用圆心的坐标或半径长来列方程的问题，一般采用圆的标准方程。

例7 求过原点及点A （1,1）且在x 轴上截得线段长为3的圆的方程。

二、轨迹和轨迹方程

1. 轨迹和轨迹方程的定义：平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹，在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程。

2. 求轨迹方程的步骤：

（1）建系：建立适当的坐标系；

（2）设点：设出轨迹（曲线）上的任一点（动点）的坐标为（,x y ）； （3）列式：根据题中的等量关系列出关于,x y 的方程；

（4）化简：把方程化成最简形式； （5）确定轨迹的范围。

一个区别：求轨迹方程，只用求得方程即可；若是求轨迹，求得方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。

一个技巧：如果轨迹动点P （,x y ）依赖于另一动点Q （,a b ），而Q 又按某个规律运动，则可先用,x y 表示,a b ，再把,a b 代入它满足的条件便得到动点P 的轨迹方程。简记： 由未知表示已知，再由已知表示未知。

例8 一个动点在圆221x y +=上移动时，求它与定点（3,0）的连线中点P 的轨迹方程？

常见考点：求圆心的轨迹方程

参数法：由条件得到圆心坐标，一般是含有同一个参数，再设法消去这个参数（代入消参法），得到圆心轨迹方程。

例9 已知曲线C ：2

2

4220200x y mx my m +-++-=. 求证：当2m ≠时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上.