一元二次方程概念

教学难点
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
1.【探究】观察上面所列的方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什么区别与联系．
学生观察、思考、讨论、交流、汇报．
教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元；③二次．
2．归纳定义
问题1：根据找出的一元二次方程的特征，你能给一元二次方程下个定义吗？
教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称，类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
4．若9a－3b＋c＝0且a≠0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根是x＝－3．
5．若k是方程3x2－2x－1＝0的一个根，则9k2－6k＋7的值为10．
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
例1下列为一元二次方程的是(C)
A．2x＋y＝2B．2x2－x
C．2x－x2＝7D．x2＋y＝7
例2若方程(m－1)xm2＋1－x－2＝0是一元二次方程，则m的值为－1．
例3若x＝1是方程x2－4x＋m＝0的根，则m的值为3．
例4当k取何值时，关于x的方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0，
(1)是一元一次方程？
设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 x(x－1)场，于是得到方程 x(x－1)＝28，整理，得 x2－ x－28＝0.
由实际问题入手，设计情景问题，有助于激发学生的兴趣，让学生易于接受和理解.
活动二：实践探究、交流新知
课题
21.1 一元二次方程
授课人
素养目标
1.理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
3．理解一元二次方程的根的意义.
教学重点
掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1.若方程(m2－1)x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是(C)
A．0B．1C．±1D．－1
2．在一元二次方程2x2－5x－1＝0中，二次项系数和常数项分别是(D)
A．2，5B．2，－5C．2，1D．2，－1
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋5a＋b＝0的解，则10a＋2b＝－2．
通过回顾有助于学生类比得到一元二次方程的概念，新课
【课堂引入】
问题：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．若学生感觉困难，教师可做如下引导．
课件展示：
下列各方程是不是一元二次方程？
①x2－2x－5；②2x2－1＝0；③5x2－4x－ ＝0；④ － ＝0；⑤3y2＝(3y＋1)(y－2)；⑥ax2＋bx＋c＝0；⑦x2－2x－5＝2(x＋3)(x－2)；⑧2x2＝0.
3．相关概念
一元二次方程各项的名称：
教师总结(板书)：
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
课件展示：
(试一试)下列哪些数是方程x2－x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
1.注重学生的自主学习与探究，通过自主获得新知，体验成功的快乐．
2．让学生充分感受所列方程的特点，通过类比的方法得到一元二次方程的概念，从而达到真正理解定义的目的．
活动三：开放训练、体现应用
【例题展示】