(精校版)量子力学第五章习题

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量子力学课后习题答案

量子力学课后习题答案

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1)以及 c v =λ, (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。

但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下:01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv ,λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后,对Ec hc e 22μλ=作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7
与视核为点电荷时电子的势能之差为
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知,能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l , m 0, 1, 2,..., l ,即能级的简并度为 2l 1 。 定理:某能级 En 非简并时, H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而,
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为 r0 ,电荷分布的小球,计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解: 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1

量子力学第五章习题

量子力学第五章习题

第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知()()0ˆHU r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zra R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()00*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H Hd Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰00322222430000031422ZrZr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr erdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e e r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰00002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a y Zr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00200022222000223230000022333332222Zr a ssa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10aa cm Z -=.所以有5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是022223222212522001003333000004314311222232525rrs s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E er dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ,电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的一级修正。

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.16-5#7 @

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.16-5#7 @
A 2 p 1s A 200,100 A 210,100 A 211,100 A 21-1,100
批注 [JL3]: 对于固定初末态(即具有固定的 m 与 m )的跃迁,不需要求和。

2 3
8
2 me10 3 c3 6

8
2 me10 3 c3 6

8
me10 28 me10 c3 6 37 c3 6
The transition coefficient is
...
氢原子的初态(k 态)的波函数是: 100 ,末态( k ' 态)的波函数是 21m : 1s 态
100
1
a3
1
e

r a
(1)
r
2s 态
200
211
r ( 2 )e 2 a 3 a 32a
r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a
0
i
t
(ez ) k 'k (ez ) k 'k
t o

e
1 [ i ( ' k ) ]t
k

dt t
(7)

0
i
e
t [ i ( ' k ) t ]t
k

i (k ' k )

0
i [(k ' k ) ]

1 t 0
(ez ) k 'k
| r k 'k
|
2
|
x | | y | | z

(完整word版)理论力学课后答案第五章(周衍柏)(word文档良心出品)

(完整word版)理论力学课后答案第五章(周衍柏)(word文档良心出品)

第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理理解平衡问题,有何优点和缺点?5.2 为什么在拉格朗日方程中,a θ不包含约束反作用力?又广义坐标与广义力的含义如何?我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ?为什么a p 比aq &更富有意义? 5.4既然aq T &∂∂是广义动量,那么根据动量定理,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ?为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项?你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗?5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系?如为不完整系,能否由式()13.3.5得出式()14.3.5?5.6平衡位置附近的小振动的性质,由什么来决定?为什么22s 个常数只有2s 个是独立的?5.7什么叫简正坐标?怎样去找?它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动?5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力,那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同?能否列出它们的微分方程?5.9 dL 和L d 有何区别?a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别? 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗?为什么?能适用于非保守系吗?为什么?5.11哈密顿函数在什么情况下是整数?在什么情况下是总能量?试祥加讨论,有无是总能量而不为常数的情况?5.12何谓泊松括号与泊松定理?泊松定理在实际上的功用如何?5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的?为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外?又全变分符号∆能否这样?5.14正则变换的目的及功用何在?又正则变换的关键何在?5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在?试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何?我们能否用一正则变换由前者得出后者?5.17在研究机械运动的力学中,刘维定理能否发挥作用?何故?5.18分析力学学完后,请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较,并加以评价.第五章思考题解答5.1 答:作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功,而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更,故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功,它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知:虚功与选用的坐标系无关,这正是虚功与过程无关的反映;虚功对各虚位移中的功是线性迭加,虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意:在任意虚过程中假定隔离保持不变,这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件,比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义;再者,考虑到非惯性系中惯性力的虚功,利用虚功原理还可解决动力学问题,这是刚体力学的平衡条件无法比拟的;另外,利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时,由于约束反力自动消去,可简便地球的平衡条件;最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理,使之在非纯力学体系也能应用,增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力,这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力,一般如下两种方法:当刚体受到的主动力为已知时,解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力;再者,利用拉格朗日方程未定乘数法,景观比较麻烦,但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的,而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力,故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系,αθ不含约束力;再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动,而约束反作用力不能改变体系的动能,故αθ不含约束反作用力,最后,几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数,而几何约束限制力学体系的自由运动,使其自由度减小,这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标,故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程,对受有几何约束的力学体系既非完整系,则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标,它不一定是长度,可以是角度或其他物理量,如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下,广义坐标数等于力学体系的自由度数;广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量,如压强、场强等等,广义力还可以理解为;若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变,且其余广义坐标不变,则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知,ααδθq 有功的量纲,据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度,则αθ一定是力,若αθ是力矩,则αq 一定是角度,若αq 是体积,则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ,这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11

0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2
5.14 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动,棒的质量为 M ,在棒的 两端分别有电荷+Q 和-Q。 (i)写出体系的哈密顿量,本征函数和本征值; (ii)如果在转动平面内存在一电场强度为 的弱电场,准确到一级修正,他的本征函数和 能量如何变化? (iii)如果这个电场很强,求基态的近似波函数和相应的能量值。 解: (i)该系统的哈密顿量为 H 式中 I
0
1
m1
n
n H' m Em 0 En 0
n H' m
1 2
2
dE cos e
0
i m n
d
1 1 dE 2 m n 1,0 m n 1,0 2 2 1 dE m n 1,0 m n 1,0 2
式中用了 k
0
0
0
取到 的一阶
B 0 C
0
的完备性

k
0 0
kLeabharlann k 1(ii)根据已给的条件
3 P2 1 H 0 i m 2 xi 2 , H ' x3 2 i 1 2m
可看出相应的 A
m
P3
2
, 它使 H ' i A, H 0 x3
计算 xi 在基态的平均值 xi
i 1, 2,3 至 的最低阶,并将这个结果和精确解相比较。
0
解: (i)设系统非微扰的本征态及对应的能量分别为 k 即 H0 k
0
, Ek 0
Ek 0 k

曾谨言量子力学习题解答第五章

曾谨言量子力学习题解答第五章

第五章: 对称性及守恒定律[1]证明力学量Aˆ(不显含t )的平均值对时间的二次微商为: ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= (H ˆ是哈密顿量) (解)根据力学量平均值的时间导数公式,若力学量Aˆ 不显含t ,有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= (1) 将前式对时间求导,将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值,则有: ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== (2) 此式遍乘2即得待证式。

[2]证明,在不连续谱的能量本征态(束缚定态)下,不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

(证明)设Aˆ是个不含t 的物理量,ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一,求A ˆ在ψ态中的平均值,有:⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ* 将此平均值求时间导数,可得以下式(推导见课本§5.1)⎰⎰⎰-≡=ττψψd A H H A i H A i dt A d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1 (1) 今ψ代表Hˆ的本征态,故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ (E 为本征值) (2) 又因为Hˆ是厄密算符,按定义有下式(ψ需要是束缚态,这样下述积公存在) τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* (3)(题中说力学量导数的平均值,与平均值的导数指同一量)(2)(3)代入(1)得:τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =,而0=dtAd[3]设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。

(1) 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

(2) 证明:对于定态 V r T ∀⋅=2(证明)(1)z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅,运用力学量平均值导数公式,以及对易算符的公配律: ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ(2) 分动量算符仅与一个座标有关,例如xi p x ∂∂= ,而不同座标的算符相对易,因此(2)式可简化成:]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ (3)前式是轮换对称式,其中对易算符可展开如下:x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i pi =+= (4) ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xVx i ∂∂=ˆˆ (5) 将(4)(5)代入(3),得:}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ}ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入(1),证得题给公式:V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( (6) (2)在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值,按前述习题2的结论,其 结果是零,令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ (7)但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21[4]设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理(Virial theorem ) T V n 2= 式中V是势能,T是动能,并应用于特例:(1)谐振子 T V = (2)库仑场 T V 2-=(3)T V n Cr V n2,==(解)先证明维里定理:假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式,则不论n 是正、负数,势场用直角痤标表示的函数,可以表示为以下形式,式中V假定是有理函数(若是无理式,也可展开成级数):∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( (1)此处的k j i ,,暂设是正或负的整数,它们满足:n k j i =++ (定数)ijk C 是展开式系数,该求和式可设为有限项,即多项式。

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3

量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3
(0) 2
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
(ii)严格求解法: 这就是根据表象理论,分立表象中,本征方程可以书写成矩阵方程式形式,并可以求得本征 值和本征矢(用单列矩阵表示) 。 我们设算符 H(1)具有本征矢
C1 ,本征值是 ,列矩阵方程式: C2
E1(0) 解 : (i)取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
( 3)
0 a 0 0 b 则有: H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵(3)是简并的波函数(零级)计算得来的,若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的,但近似程度差,从(3)看出一级能量修正为零,准确到二级修正量 的能量本征值是:
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n

En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
(5)式有 C1C2 非平凡解的条件是:
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2

量子力学教程习题答案

量子力学教程习题答案


d1 ( x) 0 ,得 dx
x0
x
1

x
x 时, 1 ( x) 0 。显然不是最大几率的位置。 由 1 ( x) 的表达式可知, x 0 ,
d 21 ( x) 2 3 2 2 2 2 3 2 x 2 而 [( 2 6 x ) 2 x ( 2 x 2 x )] e dx2 2 2 4 3 [(1 5 2 x 2 2 4 x 4 )]e x
23
2
23
T 100 K 时, E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相等,问要实现这种转化,光子 波长最大是多少? 解:转化条件为 h ec 2 ,其中 e 为电子的静止质量,而
c h ,所以 ,即有 ec
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx

13
根据波函数的标准条件确定系数 A,B,由连续性条件,得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥

B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
1 n [1 cos ( x a)]dx a 2 a
a a
A 2 A 2 a n x cos ( x a)dx 2 a 2 a a A 2 a n A a sin ( x a) 2 n a a
2 a
A 2 a
∴归一化常数 A
1 a
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh , n 0,1,2,

量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章

量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解:这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布,即 rze r U 024πε-=)()(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域,rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域,)(r U 可由下式得出,⎰∞-=rE d rer U )( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr er U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小,所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ,可视为一种微扰,由它引起的一级修正为(基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ) ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<,故102≈-r a Ze 。

∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的二级修正。

《量子力学教程》_课后答案

《量子力学教程》_课后答案

(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件



( x) dx 1
2
A2

a
2 sin
0
n xdx 1 a


a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时, E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相等,问要实现这种转化,光子 波长最大是多少? 解:转化条件为 h ec 2 ,其中 e 为电子的静止质量,而
c h ,所以 ,即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh , n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh , n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v (2)设磁场垂直于电子运动方向,受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ,得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx

13
根据波函数的标准条件确定系数 A,B,由连续性条件,得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥

B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A (电子的康普顿波长)。 31 8 e c 9.1 10 3 10

量子力学习题解答-周世勋

量子力学习题解答-周世勋

周世勋《量子力学教程》习题解答第一章 习题解答1.由黑体辐射公式导出维恩位移律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即b T m =λ(常数)。

并近似计算b 的数值,准确到两位有效数字。

解:由能量密度的公式:185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ: 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ,则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2.在K 0附近,钠的价电子能量约为eV 3,求其德布罗意波长。

解:01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3.氦原子的动能是kT E 23=(k 为玻尔兹曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长。

解:氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=,氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=,所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4.利用玻尔——索末菲量子化条件,求 (1)一维谐振子的能量;(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场T H 10=,玻尔磁子T J M B /10924-⨯=,试计算动能的量子化间隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。

量子力学统计学第五章作业答案A

量子力学统计学第五章作业答案A

5-1.点阵气体。

设有N 0个点阵位置,其上可以有一个或没有原子。

若N 个原子随机分布于点阵位置上(N ≦N 0),求简并函数(即可实现状态数)。

分别讨论原子可分区与不可分区的情况。

解:当原子可区分时,简并函数相当于从N 0个点阵位置中取N 个作排列,其数目为: )!(!)1)...(2)(1(000000N N N N N N N N -=+---=Ω当原子不可区分时,相当于从N 0个点阵位置中取N 个作组合,其数目为: !)!(!00N N N N -=Ω5-3.在容积V 中,若一个粒子的能量E 与动量P 的关系为cP E = (c 为光速) 求该粒子在能量E ~dE E +范围内的可实现状态数dE E )(Ω。

解:考虑到自由粒子在体积V (设边长为L 的立方体)中时,动量本征值为Lnh P i =于是2221/22221/22()(),,,0,1,2x y z x y z x y z E cP c P P P c n n n Ln n n π==++=⋅++=±±又 E ω= 所以有: 2n cωπ=当能量小于E 时的状态数显然为球体积,即3max 34)(x n E πφ=而max2x c n ωπ=于是33332(4()623)E c c ωπϕπωπ== 3223()2d d d d d cϕωωωωωωπΩ== 由于对给定动量,以光速运动的粒子还有两个偏振态。

则有:ωωπωωΩd cV d 232)(=5-10.一系统由N 个近独立粒子组成,每个粒子可处于能量为0和ε的能态之一,ε>0。

求此体系的平均能量表达式,并证明:温度很高时(KT>>ε), C V ∝T -2;温度很低时(KT<<ε),C V →0。

解:βεβ-+=∂-==e Z N NU U 1单5-13.某系统具有两个单粒子能级,能量分别为0和ε,每个能级上最多可占有一个粒子。

量子5练习题(含答案)

量子5练习题(含答案)

直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验. (B) 卢瑟福实验.(C) 戴维孙-革末实验. (D) 斯特恩-革拉赫实验. [ ]2. (本题 3分)(4965) 下列各组量子数中,哪一组可以描述原子中电子的状态?(A) n = 2,l = 2,m l = 0,21=s m .(B) n = 3,l = 1,m l =-1,21−=s m .(C) n = 1,l = 2,m l = 1,21=s m .(D) n = 1,l = 0,m l = 1,21−=s m . [ ]3. (本题 3分)(4966) 有下列四组量子数:(1) n = 3,l = 2,m l = 0,21=s m . (2) n = 3,l = 3,m l = 1,21=s m .(3) n = 3,l = 1,m l = -1,21−=s m .(4) n = 3,l = 0,m l = 0,21−=s m .其中可以描述原子中电子状态的 (A) 只有(1)和(3).(B) 只有(2)和(4).(C) 只有(1)、(3)和(4).(D) 只有(2)、(3)和(4). [ ]4. (本题 3分)(8022) 氢原子中处于3d 量子态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为(A) (3,0,1,21−). (B) (1,1,1,21−).(C) (2,1,2,21). (D) (3,2,0,21). [ ]5. (本题 3分)(8023) 氢原子中处于2p 状态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为(A) (2,2,1,21−). (B) (2,0,0,21).(C) (2,1,-1,21−). (D) (2,0,1,21). [ ]根据量子论,氢原子中核外电子的状态可由四个量子数来确定,其中主量子数n 可取的值为___________________________,它可决定__________________.7. (本题 5分)(4221) 原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征.当n 、l 、m l 一定时,不同的量子态数目为__________________;当n 、l 一定时,不同的量子态数目为____________________;当n 一定时,不同的量子态数目为_______.8. (本题 3分)(4533) 1921年斯特恩和革拉赫在实验中发现:一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束.对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释,只能用________________________________________来解释.9. (本题 4分)(4782) 电子的自旋磁量子数m s 只能取______和______两个值.10. (本题 3分)(4783) 根据量子力学理论,氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为=l z m L =,当角量子数l =2时,L z 的可能取值为________________________.11. (本题 3分)(4784) 根据量子力学理论,氢原子中电子的动量矩为= )1(+=l l L ,当主量子数n =3时,电子动量矩的可能取值为______________________________.12. (本题 3分)(4963) 原子中电子的主量子数n =2,它可能具有的状态数最多为______个.13. (本题 3分)(4968) 在下列各组量子数的空格上,填上适当的数值,以便使它们可以描述原子中电子的状态:(1) n =2,l =________,m l = -1,21−=s m .(2) (2) n =2,l =0,m l =________,21=s m .(3) (3) n =2,l =1,m l = 0,m s =________ .14. (本题 5分)(8024) 主量子数n = 4的量子态中,角量子数l 的可能取值为____________;磁量子数m l 的可能取值为__________________________.15. (本题 3分)(8026) 玻尔氢原子理论中,电子轨道角动量最小值为____________;而量子力学理论中,电子轨道角动量最小值为____________.实验证明____________理论的结果是正确的.三 理论推导与证明题 (共 5分)16. (本题 5分)(4434) 在一维无限深势阱中运动的粒子,由于边界条件的限制,势阱宽度d 必须等于德布罗意波半波长的整数倍.试利用这一条件导出能量量子化公式)8/(222md h n E n =, n =1,2,3,…… [提示:非相对论的动能和动量的关系)2/(2m p E K =]四 回答问题 (共16分)17. (本题 8分)(8027) 根据量子力学理论,氢原子中电子的运动状态可用n ,l ,m l ,m s 四个量子数来描述.试说明它们各自确定什么物理量?18. (本题 8分)(8027) 根据量子力学理论,氢原子中电子的运动状态可用n ,l ,m l ,m s 四个量子数来描述.试说明它们各自确定什么物理量?一 选择题 (共15分)1. (本题 3分)(4440) (D)2. (本题 3分)(4965) (B)3. (本题 3分)(4966) (C)4. (本题 3分)(8022) (D)5. (本题 3分)(8023) (C)二 填空题 (共36分)6. (本题 4分)(4215) 1,2,3……(正整数). 2分 原子系统的能量. 2分7. (本题 5分)(4221) 2 1分 2×(2l +1) 2分 2n 2 2分8. (本题 3分)(4533) 电子自旋的角动量的空间取向量子化. 3分9. (本题 4分)(4782)212分 21− 2分10. (本题 3分)(4783) 0,=,=−,=2,=2− 3分各1分12. (本题 3分)(4963) 8 3分13. (本题 3分)(4968) 1 1分 0 1分21或21− 1分14. (本题 5分)(8024) 0,1,2,3 2分 0,±1,±2,±3 3分15. (本题 3分)(8026) h / (2π);0;量子力学 各1分三 理论推导与证明题 (共 5分)16. (本题 5分)(4434) 解:依题意: d n =2/λ 1分则有 n d /2=λ由于 λ/h p =则 )2/(d nh p = 2分故 )8/()2/(2222md h n m p E ==即 )8/(222md h n E n =,n =1,2,3,…… 2分四 回答问题 (共16分)17. (本题 8分)(8027) 答:主量子数n 大体上确定原子中电子的能量. 2分 角量子数l 确定电子轨道的角动量. 2分 磁量子数m l 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量. 2分 自旋磁量子数m s 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量. 2分18. (本题 8分)(8027) 答:主量子数n 大体上确定原子中电子的能量. 2分 角量子数l 确定电子轨道的角动量. 2分 磁量子数m l 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量. 2分 自旋磁量子数m s 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量. 2分。

量子力学导论第5章答案

量子力学导论第5章答案

量子力学导论第5章答案第五章力学量随时间的变化与对称性5.1)设力学量不显含,为本体系的Hamilton量,证明证.若力学量不显含,则有,令则,5.2)设力学量不显含,证明束缚定态,证:束缚定态为::。

在束缚定态,有。

其复共轭为。

5.3)表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数(Bloch波函数),是的本征态,相应的本征值为证:,证毕。

5.4)设表示的本征态(本征值为),证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。

证:算符相当于将体系绕轴转角,算符相当于将体系绕轴转角,原为的本征态,本征值为,经过两次转动,固定于体系的坐标系(即随体系一起转动的坐标系)的轴(开始时和实验室轴重合)已转到实验室坐标系的方向,即方向,变成了,即变成了的本征态。

本征值是状态的物理属性,不受坐标变换的影响,故仍为。

(还有解法二,参钱..《剖析》.P327)5.5)设Hamilton量。

证明下列求和规则。

是的一个分量,是对一切定态求和,是相应于态的能量本征值。

证:()又。

不难得出,对于分量,亦有同样的结论,证毕。

5.6)设为厄米算符,证明能量表象中求和规则为(1)证:式(1)左端(2)计算中用到了公式。

由于是厄米算符,有下列算符关系:(3)式(2)取共轭,得到(4)结合式(2)和(4),得证毕。

5.7)证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性,即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动(沿轴方向),空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系:。

(1)势能在两个参照系中的表示式有下列关系(2)证明schrödinger方程在参照系中表为在参照系中表为其中证:由波函数的统计解释,和的意义完全相同。

,是时刻在点找到粒子的几率密度;,是时刻在点找到粒子的几率密度。

但是在给定时刻,给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关,所以相应的几率应相等,即(6)从(1)式有(6’)由此可以得出,和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子,所以(7)(7)由(1)式,,(3)式变为:(8)将(7’)代入(8)式,可得(9)选择适当的,使得(9)(4)。

量子力学第五章习题

量子力学第五章习题

第五章 表象理论5-1 试证明算符)ˆ,ˆ(ˆ,ˆ,ˆx x p x F p x (1)在x 表象中的表示为:x x =ˆ ,xi p x ∂∂-= ˆ ,),()ˆ,ˆ(ˆxi x F p x F x ∂∂-= ; (2)在P 表象中的表示为:p i x ∂∂= ˆ ,x x p p =ˆ ,),()ˆ,ˆ(ˆx x p pi F p x F ∂∂= 5-2 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

5-4 求连续性方程0),(=⋅∇+∂∂j t x tρ的矩阵表示。

其中),(),(),(*t x t x t x ψψρ= ,)(2**ψψψψ∇-∇=m i j 5-5 设厄米算符B A ˆ,ˆ满足1ˆˆ22==B A ,且0ˆˆˆˆ=+A B B A ,求:(1)在A 表象中,算符B Aˆ,ˆ的矩阵表示。

(2)在B 表象中,算符B A ˆ,ˆ的矩阵表示。

(3)在A 表象中,算符Bˆ的本征值和本征函数。

(4)在B 表象中算符A ˆ的本征值和本征函数。

(5)由A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。

5-6 已知二阶矩阵A,B 满足下列关系:A A B A A AA A +==+=+++,1,02,试证明B B =2,并且在B 表象中求矩阵A ,B 。

5-7 证明:A AS S det )det(1=- )()(BA Tr AB Tr = )()()(BCA Tr CAB Tr ABC Tr ==,由此说明矩阵的det 及Tr 不因表象而异,或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。

5-8 设矩阵A 的本征值为),2,1(' =i A i ,令A e B =,其本征值为)2,1(' =i B i ,证明''i A i e B =,由此证明TrA e B =det 。

5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。

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第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响。

根据题意知()()0ˆH U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎛⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()0*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H H d Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰000003222224300000031422Zr Zr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr e rdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0bm y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zrr a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e er Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰000002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a yZr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝002000222220002232300000022333332222Zr a s sa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10a a cm Z-=.所以有 5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈于是022223222212522001003333000004314311222232525rr s s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E e r dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰ 这就是基态能量的一级修正。

而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ,电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的一级修正.解: 自由空间转子的能级和波函数为()()20012lllm l l E Y Iψ+==对于基态 0000000E Y ψ==我们选外加电场E 的方向沿球极坐标的极轴方向(即z 轴的正向),则微扰哈密顿算符为 ˆcos HD θ'=-⋅=-D E E 据此我们求出有用的矩阵元(对基态)()**000*1010'cos l lm lm l m H Y Y d Y d Y Y d D D D ΩθΩΩδθε====---⎰⎰E EE上面用到θπcos 4310=Y 及球谐函数的正交性 *''lm l mll mm YY d Ωδδ''=⎰从上面的计算式可见,微扰矩阵元只有10H '=E其余为零。

故 1000E H '== 即基态能级的一级修正为零。

基态能量的二级修正为())()222210020200002001'32l ll H H I E D E E E E I''⎭====----∑E5.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级: 01E 及02E ,现在受到微扰ˆH'的作用,微扰矩阵元为11221221,H H b H H a ''''====;a ,b 都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值. 解: 哈密顿矩阵为:010*******E ba Eb a H a E b E a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 微扰哈密顿矩阵元为: 11221221,H H b H H a ''''==== 代入能量的二级近似公式 ()()()2000'nmn n nnmn mH E E H E E '=++-∑则 ()()()()()()2200112200001221a a E Eb E E b E E E E =++=++--即2210120201020201a a E Eb E E b E E E E =++=++--5。

4 设在0t =时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似地以平面波表示为sin t ωE ,E 及ω均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示。

求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁电离态的几率.解: (1)当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为4min min 124min 322s s e h E E e μωνμω∞==-==(2) 0t =时, 氢原子处于基态003211000012rra a k R Y e a ψψ--⎛⎫====⎪⎭ 在t时刻, 处于电离态()3212p rim eψψπ⋅∞==微扰()()()ˆ2ˆsin i t i t i t i t e Ht e e e i Fe e t ωωωωω--⋅'=⋅-=-=r r E E其中ˆ2r e Fi⋅=E 在t 时刻跃迁到电离态的几率为()()()()()()()2111mk mk mk mk mk k m m ti t m mk t i t i t mk i t i t mk mk mk W a t a t H e dt i F e e dt i F e e ωωωωωωωωωωωωω→'''+-+-=''='=-⎛⎫--=-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎰⎰ 对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222222111mk mk mk mk mk mk mk mk mk i t mk m mk i ti tmkk m m mk i ti ti ti ti ti tmkmk F e a t e eF W a t eeF eeeeωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω----→----------=---==---=-()()()()()()()()()()()()222222222222222222422422sin 42mk mkmk mk mk mk mk mki t i ti ti tmkmk i t i ti t i tmkmk mkmkmk e e ee F i i ee ee F i i t F ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-其中())*323321ˆ222p rp rr r ri a mk mk ri a e F F d ed ie ee d i aψψττπτππ⋅--⋅--⋅⎛== ⎝⋅⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰⎰E E取电子电离后的动量方向为Z 方向,取E ,p()()()(sin cos sin cos sin sin cos cos cos r x y z x y zr r r r θϕαααθϕαθ⋅=++=+=+E E E E E E E E )())()())00332332cos 22300032cos 3322sin sin cos cos cos 2sin sin sin cos cos cos 2sin s 2ri a mk i rpr i a pr i F e e d a e r r a e e r dr d d r r a e r a θππθτππαθϕαππθθϕαθϕαθππαππ⋅--⋅--∞--=⋅=+=+=⎰⎰p rp rr E E E E E E ())())())000022000cos 22300032cos 330032cos 33320sin cos in sin cos cos 2cos cos sin cos si ra rpr i a rpr i a rpr ia e r dr d d e e r dr d d r a e e drd r a r edr ea ππθππθπθθθϕϕθθθϕαθππθαθθππθππ-∞-∞--∞---==⎰⎰⎰⎰⎰E E E ()cos 333302330n cos cos sin cos 2r pr ia r pr pr pr pr a i i i i d r edr ed ai r edr e e e e pr pr aπθπθθαθθθαπ∞-∞--∞--=⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⎢⎥ ⎪+-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()()()322033332222000002202722200332222220cos 161cos 162221cos 8a p e p ia ia a i a a p p a a a ap ap ααππααπ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-++E 所以()()()()()2222275220262222220sin sin 4128cos 22mkmk mkk m mk mk t t F p e a W a p ωωωωαωωωωπ→⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--+E 5.5 基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即()0when 0when 00t t t e ττ-≤≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩E E求经过长时间后氢原子处在p 2态的几率。

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