高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结

第四章 圆 与 方 程
★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }
★2、圆的方程
（1
点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的位置关系：
当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2
r ，点在圆上 当2200()()x a y
b -+-<2
r ，点在圆内; （2 （x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 （042
2
>-+F E D ）
当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=
当0422
=-+F E D
时，表示一个点；
当042
2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：
①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为
相离
与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，
②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）
：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为
★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()2
2
12
11:r b y a x C =-+-，()()2
2
22
22:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

（即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 ★5、.圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0 联立圆C 1的方程与圆C 2的方程得到一个二元一次方程
① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C 1与圆C 2公共弦所在的直线方程； ② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C 1与圆C 2的公切线的方程；
③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）
★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度
①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |ＡＢ|＝21k +•|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝2
11k +•|y 1-y 2|）求解
★7、已知两圆相交，求公共弦的长度
①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 ②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A 、B ）；公共弦直线方程 与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |ＡＢ|＝21k +•|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝2
11k +•|y 1-y 2|）求解
③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
④几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）
★8、圆系与圆系方程
(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

(2) 圆系方程：
（一）.圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0
圆系方程：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0 (λ≠-1) -- （Ⅰ） ①若圆 C 1与圆C 2交于P 1、P 2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P 1、P 2两点的圆的方程。

②若圆 C 1与圆C 2交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ1 、圆Ｃ2相切于Ｐ点的圆的方程。

（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与圆Ｃ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交或相切 则过它们的交点的圆系方程为：x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝0
★9、直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论
x
轴对称
例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。

解：如图，设点C(x,y)是点B 关于直线L 对称点，则由
得：31-=BC k 3=l k ， ，
方程为：43
1
+-=x y ，将其与直线y=3x-1联立，
∴直线BC 的
解得：D ⎪⎭
⎫
⎝⎛27,23,其中D 为BC 中点，利用中点坐标公式，得C （3,3）。

显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A 、C 、P 三点共线时，|PA|-|PB|最大。

可求得：直线AC 方程为：092=-+y x ，与L 方程联立解得P 的坐标为（2,5）。

例2、光线由点C （3，3）出发射到直线L ：y=3x-1上，已知其被直线L 反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。

解：设点B 是点C 关于L 的对称点，则由光线反射的知识易知：点B 在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB 所在的直线方程。

由例1知点C 关于L 的对称点为B （0,4），故直线AB 的方程易求得为：44
3
+-=x y 。

它即为反射光线方程。

直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．
解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1。

设光线L 所在直线方程是：y －3＝k(x ＋3)。

由题设知对称圆的圆心C ′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2
=++=
k
k d ．
整理得,01225122=++k k 解得3
4
43-=-=k k 或．故所求的直线方程是
)3(433+-=-x y ，或)3(3
4
3+-=-x y ， 即3x ＋4y －3＝0，或4x ＋3y ＋3＝0．
2．已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．（14
分）
解：圆C 化成标准方程为:2223)2()1(=++-y x
假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M
的坐标为（a ，b ）
由于CM ⊥L ，∴k CM ⋅k L =－1 ∴k CM =11
2-=-+a b ，即a +b+1=0，得b= －a －1 ①
直线L 的方程为y －b=x －－，即x －y+b －a =0 ∴ CM=2
3+-a b ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2
)3(92
2
22+--
=-=a b CM CB MB ，
222
b a OM
+=
∴222
2)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ，∴12
3-==a a 或
当2
5,2
3-==b a 时此时直线L 的方程为：x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线L 的方程
为：x －y+1=0 故这样的直线L 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y+1=0． 4．已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈ （1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．
解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组⎩
⎨
⎧=-+=-+04,
072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线
的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.
(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截 得的最短弦长.此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54.
又直线AC 的斜率
2
1-
=AC k ,所以直线BD 的斜率为 2.此时直线方程
为:().052,321=---=-y x x y 即
5（12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．
解：由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ⎪⎩
⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y 又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5
274-m
∴05
125274=++-m m 解得m=3
6.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C 外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N. ∠MAN 是否为定值？若为定值，求出∠MAN 的弧度数；若不为定值，说明理由.
【解】设圆D 的方程为),0()(222>=-+r r b y x 那么).,0(),,0(r b N r b M -+
因为圆D 与圆C 外切, 所以.124162222-=-⇒+=+r r b b r
又直线NA MA ,的斜率分别为 .3
2,3
2r b k r b k MB MA -=
+=
.
3343412343
23213232tan 22π=∠⇒==-+=-++
--
+=
∠∴MAN r r r b r r b r b r
b r
b MAN 为定值
夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A)
21 (B)5
3
(C)23 (D) 0
解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .
设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r 和PC 构成的直角三角形中，5
22
cos
=
θ
，∴5
3
12
cos 2cos 2
=
-=θ
θ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC 所构成的直角三角形中求得
2
θ
的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.
咖啡店创业计划书
第一部分：背景
在中国，人们越来越爱喝咖啡。

随之而来的咖啡文化充满生活的每个时刻。

无论在家里、还是在办公室或各种社交场合，人们都在品着咖啡。

咖啡逐渐与时尚、现代生活联系在一齐。

遍布各地的咖啡屋成为人们交谈、听音乐、休息的好地方，咖啡丰富着我们的生活，也缩短了你我之间的距离，咖啡逐渐发展为一种文化。

随着咖啡这一有着悠久历史饮品的广为人知，咖啡正在被越来越多的中国人所理解。

第二部分：项目介绍
第三部分：创业优势
目前大学校园的这片市场还是空白，竞争压力小。

而且前期投资也不是很高，此刻国家鼓励大学生毕业后自主创业，有一系列的优惠政策以及贷款支持。

再者大学生往往对未来充满期望，他们有着年轻的血液、蓬勃的朝气，以及初生牛犊不怕虎的精神，而这些都是一个创业者就应具备的素质。

大学生在学校里学到了很多理论性的东西，有着较高层次的技术优势，现代大学生有创新精神，有对传统观念和传统行业挑战的信心和欲望，而这种创新精神也往往造就了大学生创业的动力源泉，成为成功创业的精神基础。

大学生创业的最大好处在于能提高自己的潜力、增长经验，以及学以致用;最大的诱人之处是透过成功创业，能够实现自己的理想，证明自己的价值。

第四部分：预算
1、咖啡店店面费用
咖啡店店面是租赁建筑物。

与建筑物业主经过协商，以合同形式达成房屋租赁协议。

协议资料包括房屋地址、面积、结构、使用年限、租赁费用、支付费用方法等。

租赁的优点是投资少、回收期限短。

预算10-15平米店面，启动费用大约在9-12万元。

2、装修设计费用
咖啡店的满座率、桌面的周转率以及气候、节日等因素对收益影响较大。

咖啡馆的消费却相对较高，主要针对的也是学生人群，咖啡店布局、格调及采用何种材料和咖啡店效果图、平面图、施工图的设计费用，大约6000元左右
3、装修、装饰费用
具体费用包括以下几种。

(1)外墙装饰费用。

包括招牌、墙面、装饰费用。

(2)店内装修费用。

包括天花板、油漆、装饰费用，木工、等费用。

(3)其他装修材料的费用。

玻璃、地板、灯具、人工费用也应计算在内。

整体预算按标准装修费用为360元/平米，装修费用共360*15=5400元。

4、设备设施购买费用
具体设备主要有以下种类。

(1)沙发、桌、椅、货架。

共计2250元
(2)音响系统。

共计450
(3)吧台所用的烹饪设备、储存设备、洗涤设备、加工保温设备。

共计600
(4)产品制造使用所需的吧台、咖啡杯、冲茶器、各种小碟等。

共计300
净水机，采用美的品牌，这种净水器每一天能生产12l纯净水，每一天销售咖啡及其他饮料100至200杯，价格大约在人民币1200元上下。

咖啡机，咖啡机选取的是电控半自动咖啡机，咖啡机的报价此刻就应在人民币350元左右，加上另外的附件也不会超过1200元。

磨豆机，价格在330―480元之间。

冰砂机，价格大约是400元一台，有点要说明的是，最好是买两台，不然夏天也许会不够用。

制冰机，从制冰量上来说，一般是要留有富余。

款制冰机每一天的制冰量是12kg。

价格稍高550元，质量较好，所以能够用很多年，这么算来也是比较合算的。

5、首次备货费用
包括购买常用物品及低值易耗品，吧台用各种咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的费用。

大约1000元
6、开业费用
开业费用主要包括以下几种。

(1)营业执照办理费、登记费、保险费;预计3000元
(2)营销广告费用;预计450元
7、周转金
开业初期，咖啡店要准备必须量的流动资金，主要用于咖啡店开业初期的正常运营。

预计2000元
共计：
120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+ 450+2000=145280元
第五部分：发展计划
1、营业额计划
那里的营业额是指咖啡店日常营业收入的多少。

在拟定营业额目标时，必须要依据目前市场的状况，再思考到咖啡店的经营方向以及当前的物价情形，予以综合衡量。

按照目前流动人口以及人们对咖啡的喜好预计每一天的营业额为400-800，根据淡旺季的不同可能上下浮动
2、采购计划
依据拟订的商品计划，实际展开采购作业时，为使采购资金得到有效运用以及商品构成达成平衡，务必针对设定的商品资料排定采购计划。

透过营业额计划、商品计划与采购计划的确立，我们不难了解，一家咖啡店为了营业目标的达成，同时有效地完成商品构成与灵活地运用采购资金，各项基本的计划是不可或缺的。

当一家咖啡店设定了营业计划、商品计划及采购计划之后，即可依照设定的采购金额进行商品的采购。

经过进货手续检验、标价之后，即可写在菜单上。

之后务必思考的事情，就是如何有效地将这些商品销售出去。

3、人员计划
为了到达设定的经营目标，经营者务必对人员的任用与工作的分派有一个明确的计划。

有效利用人力资源，开展人员培训，都是我们务必思考的。

4、经费计划
经营经费的分派是管理的重点工作。

通常能够将咖啡店经营经费分为人事类费用(薪资、伙食费、奖金等)、设备类费用(修缮费、折旧、租金等)、维持类费用(水电费、消耗品费、事务费、杂费等)和营业类费用(广告宣传费、包装费、营业税等)。

还能够依其性质划分成固定费用与变动费用。

我们要针对过去的实际业绩设定可能增加的经费幅度。

5、财务计划
财务计划中的损益计划最能反映全店的经营成果。

咖啡店经营者在营运资金的收支上要进行控制，以便做到经营资金合理的调派与运用。

总之，以上所列的六项基本计划(营业额、商品采购、销售促进、人员、经费、财务)是咖啡店管理不可或缺的。

当然，有一些咖啡店为求管理上更深入，也能够配合工作实际需要制订一些其他辅助性计划。

第六部分：市场分析
2019-2021年中国咖啡市场经历了高速增长的阶段，在此期间咖啡市场总体销售的复合增长率到达了17%;高速增长的市场为咖啡生产企业带给了广阔的市场空间，国外咖啡生产企业如雀巢、卡夫、ucc等企业纷纷加大了在中国的投资力度，为争取未来中国咖啡市场的领先地位打下了良好的基础。

咖啡饮料主要是指速溶咖啡和灌装即饮咖啡两大类咖啡饮品;在速溶咖啡方面，
2018-2021年间中国速溶咖啡市场规模年均增长率到达16%，显示出还处于成长阶段的中国速溶咖啡市场的高增长性和投资空间;在灌装即饮咖啡方面，2008-2010年间中国灌装即饮咖啡市场年均增长率也同样到达15%;未来几年，中国咖啡饮料的前景仍将被看好。

现今咖啡店主要是以连锁式经营，市场主要被几个集团垄断。

但由于几个集团的咖啡店并没有个性主题，很难配合讲求特式的年青人。

我们亦有思考到其他饮品店的市场竞争状况，但发现这些类似行业多不是以自助形式经营，亦很难配合讲求效率的年青人。

故我们认为开设自助式主题咖啡店能到达年青人的需要，尚有很多发展空间。

有数据证明，中国的咖啡消费量正逐年上升，而有望成为世界重要的咖啡消费国。

第七部分：营销策略
1、同行业竞争分析
知己知彼，百战百胜。

咖啡店经营者应随时关注竞争者的经营动态及其产品构成状况，并进行深入的比较与分析，借以占据经营上的有利地位，保证采取比竞争对手更有效的销售策略。

咖啡店经营者绝不能忽视市场情报，必须要随时掌握最新的相关资料与信息。

针对咖啡店地址的特点与顾客特征，不断地提高产品与服务的质量，提高顾客来店的频率，进而提高咖啡店的业绩。

2、销售促进计划
咖啡店基本的特点是定点营业。

但是目前市场竞争日益激烈，为使业绩得到有力发展，咖啡店已经不能被动地等顾客上门光顾，而是务必主动地吸引顾客来店。

因此销售促进活动的实施与宣传效果的诉求，同样不可或缺。

一般，小型咖啡店无法比照大型咖啡店投入巨额
的广告促销费用，所以要做到花小钱做大广告。

海报、传单、邮寄信函等促销手段都能够使用。

3、日常运营计划
如何拟订经营计划对咖啡店来说，在整个营运过程中最关切的问题，可能就是每一天的营业额了。

每家咖啡店往往都定有营业目标，更详细者甚至还定了区位、商品的目标，以作为衡量每一天营业状况的基准。

在拟订日常运营计划时，必须要依据设定的经营方针和营业额的预测、目标库存量的推算、损耗额的预估、采购预定额的估算，以及预定毛利的推算等，完成整体的运营计划。

由于整个计划过程务必以数据为依据，所以数据库资料的建立，是进行销售计划拟订时必备的条件。

即使是小型的咖啡屋也应以数据为基础，这样才有客观的衡量标准，而不是单凭印象、感觉和观察等。

第八部分：成长与发展
咖啡店目标消费群体多是大学生为主，选址在商业区、大学校区与路口交汇处，房租价格适中，装修要求较高，以致整体投资成本加大。

大学生创业最重要的是心态，准确定位的基础上要对发展前景有信心，不能着急，盲目调整经营策略。

经营咖啡店是个完美的愿望，但要有充足的心理准备，才能一步步走向成功，因此要想有一个简单的心态。