高考数学三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练一．解答题共30小题

2．2016 广州模拟在△ABC中;角A、B、C对应的边分别是a、b、c;已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

I求角A的大小；

Ⅱ若△ABC的面积S=5;b=5;求sinBsinC的值．

解：I由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A;得

2cos2A+3cosA﹣2=0;﹣﹣﹣﹣﹣2分

即2cosA﹣1cosA+2=0．

解得cosA=或cosA=﹣2舍去．﹣﹣﹣﹣﹣4分

因为0＜A＜π;所以A=．﹣﹣﹣﹣6分

II由S=bcsinA=bc =bc=5;得bc=20．

又b=5;所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣8分

由余弦定理;得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21;故a=．﹣﹣﹣10分

又由正弦定理;得sinBsinC=sinA sinA= sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣12分3．2016 成都模拟已知函数fx=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

Ⅰ求函数fx取得最大值时x的集合；

Ⅱ设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;若cosB=;fC=﹣;求sinA的值．解：Ⅰ函数fx=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+cos2x﹣sin2x

=﹣sin2x+cos2x=+cos2x+;

故函数取得最大值为;此时;2x+=2kπ时;即x的集合为{x|x=kπ﹣;k∈Z}．Ⅱ设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;若cosB=;fC=+cos2C+=﹣;

∴cos2C+=﹣;又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角;∴2C+=;∴C=．

∵cosB=;∴sinB=;

∴sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=+=．

4．2016 台州模拟已知a;b;c分别是△ABC的三个内角A;B;C所对的边;且c2=a2+b2﹣ab．

1求角C的值；

2若b=2;△ABC的面积;求a的值．

解：1∵c2=a2+b2﹣ab;∴cosC==;

∵0°＜C＜180°;∴C=60°；

2∵b=2;△ABC的面积;

∴=;

解得a=3．

5．2016 惠州模拟如图所示;在四边形ABCD中;∠D=2∠B;且AD=1;CD=3;cosB=．Ⅰ求△ACD的面积；

Ⅱ若BC=2;求AB的长．

解：Ⅰ因为∠D=2∠B;;

所以．…3分

因为∠D∈0;π;

所以．…5分

因为AD=1;CD=3;

所以△ACD的面积．…7分

Ⅱ在△ACD中;AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．

所以．…9分

因为;;…11分

所以．

所以AB=4．…13分

6．2015 山东△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c;已知

cosB=;sinA+B=;ac=2;求sinA和c的值．

解：①因为△ABC中;角A;B;C所对的边分别为a;b;c已知cosB=;

sinA+B=;ac=2;所以sinB=;sinAcosB+cosAsinB=;

所以sinA+cosA=;结合平方关系sin2A+cos2A=1;

得27sin2A﹣6sinA﹣16=0;

解得sinA=或者sinA=﹣舍去；

②由正弦定理;由①可知sinA+B=sinC=;sinA=;

所以a=2c;又ac=2;所以c=1．

8．2015 湖南设△ABC的内角A;B;C的对边分别为a;b;c;a=btanA．

Ⅰ证明：sinB=cosA；

Ⅱ若sinC﹣sinAcosB=;且B为钝角;求A;B;C．

解：Ⅰ证明：∵a=btanA．∴=tanA;

∵由正弦定理：;又tanA=;

∴=;∵sinA≠0;∴sinB=cosA．得证．

Ⅱ∵sinC=sinπ﹣A+B=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB;

∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=;由1sinB=cosA;

∴sin2B=;∵0＜B＜π;∴sinB=;∵B为钝角;∴B=;

又∵cosA=sinB=;∴A=;∴C=π﹣A﹣B=;

综上;A=C=;B=．

10．2015 湖南设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c;a=btanA;且B为钝角．Ⅰ证明：B﹣A=；

Ⅱ求sinA+sinC的取值范围．

解：Ⅰ由a=btanA和正弦定理可得==;

∴sinB=cosA;即sinB=sin+A

又B为钝角;∴+A∈;π;

∴B=+A;∴B﹣A=；

Ⅱ由Ⅰ知C=π﹣A+B=π﹣A++A=﹣2A＞0;

∴A∈0;;∴sinA+sinC=sinA+sin﹣2A

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2sinA﹣2+;

∵A∈0;;∴0＜sinA＜;

∴由二次函数可知＜﹣2sinA﹣2+≤

∴sinA+sinC的取值范围为;

11．2015 四川已知A、B、C为△ABC的内角;tanA;tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0p∈R 两个实根．

Ⅰ求C的大小

Ⅱ若AB=3;AC=;求p的值．

解：Ⅰ由已知;方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=p2﹣4﹣p+1=3p2+4p﹣4≥0;所以p≤﹣2;或p≥．

由韦达定理;有tanA+tanB=﹣p;tanAtanB=1﹣p．

所以;1﹣tanAtanB=1﹣1﹣p=p≠0;

从而tanA+B==﹣=﹣．

所以tanC=﹣tanA+B=;所以C=60°．

Ⅱ由正弦定理;可得sinB===;

解得B=45°;或B=135°舍去．