高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练

第二讲 三角函数的图象与性质
1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)，再向右平移π
6
个单位，则所得函数图象的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.
答案：B
2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π3在一个周期内的图象是( )
解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0，代入解析
式，不成立，故选A. 答案：A
3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x
的图象( )
A ．向左平移π
3个单位长度
B ．向左平移π
6
个单位长度
C ．向右平移π
6个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π
6个单位长度．
答案：B
4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π
2
，则该函数的一个单调增区间为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π6，2π3
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3
解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋
π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.
答案：A
5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π
4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，
则ω＝( ) A ．2
B.3
2 C ．1
D.12
解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2π
ω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A
6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，
其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的
最小值是( ) A ．1 B.π2
C ．2
D.π
解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个
周期，即T 2＝πω＝π
2
.
答案：B
7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，
|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π
6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的
一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12
B.x ＝π4
C ．x ＝π3
D.x ＝2π3
解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6·ω＋φ＝0，
又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π
6
·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以
f (x )＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2x ＋
2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π
2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对
称轴方程是x ＝π
12，故选A.
答案：A
8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低
点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π
12
，则ω，
φ的值为( )
A ．ω＝2，φ＝π
3
B.ω＝2，φ＝π
6
C ．ω＝12，φ＝π
3
D.ω＝12，φ＝π12
解析：由题意知T ＝4×⎝
⎛⎭
⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.
因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.
答案：A
9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，
若f (x )
在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )
A.2
3 B.2 C.143
D.
263
解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
ω－π6＝－12，
∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π
6
，k ∈Z ，
∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.
答案：C
10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ＝f (x )，且
f (π)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )
A.π6
B.π5
C.π3
D.
π2
解析：因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π
6对称，
即函数f (x )在x ＝π
6时取得最值，
①当函数f (x )在x ＝π
6时取得最大值时，
又因为函数f (x )的周期为π，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π
6时取得最小值时，
又因为函数f (x )的周期为π，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：
函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π
6.
故选A. 答案：A
11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sin
ωx
2
·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π2内有且仅有
一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)
B.[1,5)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sin
ωx
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx 2
＋π2＝12sin ωx ，
当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋
π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且
仅有一个最大值，
即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π2内
单调递增，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧
π2≤ωπ2<5π
2，－3π2<－ωπ
3
或⎩⎪⎨⎪⎧
π2≥ωπ
2，－π2≤－ωπ
3
，
解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，
又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，92，故选C. 答案：C
12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2
x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为
g (θ)，则( )
A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝π
B ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝π
C ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝π
D ．∃θ0∈R ，使⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π
解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝5
4
＋sin θsin(2x ＋φ)＋1
2，
所以G (θ)＝
54＋sin θ＋1
2
，g (θ)＝－54＋sin θ＋1
2
， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋1
2
＝1，显然不满足题意，即A 错误，
②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝
54＋sin θ＋1
2＋54＋sin θ－1
2＝25
4
＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，
④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪
⎪G (θ)g (θ)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪1
54＋sin θ－
12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪
G (θ0)g (θ0)＝π，
故D 正确， 故选D. 答案：D
13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．
解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋
2cos 2
x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
∴f (x )max ＝2. 答案：2
14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，
且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π6，π2上具有单调性，
且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π
3均不是f (x )的极值点，
其极值应该在x ＝π2＋2π
32＝7π
12
处取得，
∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，
∴x ＝π
6
也不是函数f (x )的极值点，
又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝
π6－⎝
⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π
12
为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝
⎛⎭
⎪
⎫7π12－π12＝π.
答案：π
15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．
解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，
即T ≥π，即2π
ω
≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.
答案：2
16．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；
②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．
解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2
a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；
对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π
4(k ∈Z)，∴x ＝
2k ＋
1
4ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋
34
ω
(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个
距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧
2k ＋
14
ω＝2，
2k ＋
3
4ω＝4，
解得k ＝1
8
∉Z ，即不存在
这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。