实数与向量的积(一)

●课题

§5.3.1 实数与向量的积(一)

●教学目标

(一)知识目标

1.实数与向量的积的定义；

2.实数与向量的积的运算律；

3.两向量共线的充要条件.

(二)能力目标

1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；

2.掌握实数与向量的积的运算律；

3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.

●教学重点

1.实数与向量积的定义；

2.实数与向量积的运算律；

3.两个向量共线的充要条件.

●教学难点

对向量共线的充要条件的理解.

●教学方法

启发引导式

实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.

在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.

●教具准备

投影仪、幻灯片

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

师：前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.

Ⅱ.讲授新课

师：在代数运算中，ａ＋ａ＋a＝３ａ,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.

已知非零向量ａ，我们作出ａ＋ａ＋ａ和(－ａ)＋（－ａ）＋（－ａ）.

由图可知，OC＝OA＋AB＋BC＝ａ＋ａ＋ａ，我们把ａ＋

ａ＋ａ记作3ａ，即OC＝３ａ，显然3ａ的方向与ａ的方向相同，3

ａ的长度是ａ的长度的3倍，即

｜3ａ｜＝３｜ａ｜.

同样，由图可知，PN＝PQ＋QM＋MN＝（－ａ）＋（－ａ）＋（－ａ），我们把(－ａ)＋

（－ａ）＋（－ａ）记作－３ａ，即＝－３ａ，显然－３ａ的方向与ａ的方向相反，－

３ａ的长度是ａ的长度的3倍，即｜－３ａ｜＝３｜ａ｜.

上述过程推广后即为实数与向量的积.

1.实数与向量的积

实数λ与向量ａ的积是一个向量，记作λａ，其长度和方向规定如下：

(1)｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜

(2)当λ＞０时，λａ与ａ同向；

当λ＜０时，λａ与ａ反向；

当λ＝０时，λａ＝0.

师：根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.

2.实数与向量的积的运算律

(1)λ（μａ）＝（λμ）ａ

(2)（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ

(3)λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ

说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.

3.向量ｂ与非零向量ａ共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使ｂ＝λａ.

说明：(1)推证过程引导学生自学；

(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，原充要条件是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.

师：下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.

［例1］若3ｍ＋２ｎ＝ａ，ｍ－３ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ. 分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ. 解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①

ｍ－３ｎ＝ｂ②

3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③

①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.

∴ｎ＝111ａ－11

3ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝

113ａ＋112ｂ 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.

［例2］凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证＝2

1(+). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三

角形中位线定理解决.

过点C 在平面内作＝，则四边形ABGC 是平行四边

形，故F 为AG 中点.

∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF ?

DG 21, ∴EF ＝21DG .

而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ， ∴EF ＝2

1（AB ＋DC ）.

解法二：创造相同起点，以建立向量间关系

如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，

＝＋，

又∵E 是AD 之中点， ∴有EA ＋ED ＝0. 即有＋＝＋； 以与为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点. ∴＝21＝21（＋）＝2

1（＋） Ⅲ.课堂练习

课本Ｐ105练习1，2，3，4.

Ⅳ.课时小结

师：通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.

Ⅴ.课后作业

(一)课本Ｐ107习题5.3 1，2，3，4

(二)1．预习P 105～Ｐ107

2．预习提纲：

(1)平面向量基本定理.

(2)定理的应用有哪些？ 1.实数与向量的积 2. ３.两向量共线的充要条件

(2)λ＞０，λａ与ａ (2)（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ

λ＜０，λａ与ａ (3)λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ

●备课资料

1.错例分析

［例1］判断向量ａ＝－２e 与ｂ＝２e 是否共线?

对此题，有同学解答如下：

解：∵ａ＝－２e ，ｂ＝２e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.

分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现

其解答存有问题，这是因为，原题已知中，对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的