导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题

导数中的不等式证明

命题角度1 构造函数

【典例1】 已知函数()ln 1

1,()x x ae f x g x bx x e x

=-

=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．

（1）求,a b 的值；

（2）证明：当1x ≥时，()2

()f x g x x

+≥．

命题角度2 放缩法

【典例2】 已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；

（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.

【典例3】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.

（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：222

3

1ln 2ln ln 242

1

n n n

n n n +<+++<++

【典例4】 已知函数()2ln 2

x

x f x e +=

. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e

+'+<+.

命题角度3 切线法

【典例5】 已知函数()2x f x e x =-.

（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21

ln 1x e e x x x

+--≥+.

命题角度4 二元或多元不等式的解证思路

【典例6】 若,,x a b 均为任意实数，且()()2

2

231a b ++-=，则()()2

2

ln x a x b -+-的最小值为

.A .18B .1C .19D -

【变式训练】 设2D a =

+，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为

.A .B .1C .1A

【能力提升】 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2

2

2

2ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的

最大值为

.A .2B .C e .3A

命题角度4 二元或多元不等式的解证思路

【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切

线方程为2y x =.

（1）求实数,a b 的值；

（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：

0F '

<.

【典例8】 已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.

（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；

（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，

【典例9】 已知函数()212

x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).

（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.

【典例10】 已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是

9.24A ⎫⎛-- ⎪⎝⎭

， 9. 04B ⎫

⎛- ⎪⎝⎭ ，

().2 0C - ， ().1 D +∞ ，

命题角度5 函数凹凸性的应用

【典例11】 已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．

（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；

（2）求证：()()2*2

ln 2ln 2ln723...2,1632

n n n n n -++++>≥∈-N ．

【典例12】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.

（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：()

21ln x

e x x x x e

-<<-.

【典例13】 已知函数()ln f x x x =，()()22

a x x g x -=

.

（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

+++⎢⎥⎢⎥

⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

【典例14】 函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．

（1）求a 的值；

（2）证明：对于任意正整数n ，()11

2

2!

!

n n n

n

n n n e

n e

n ++⋅<

<⋅.