电子科技大学数值分析研究生期末考试习题二

习 题 二

请尽可能提供程序

1、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。

2、选择常数a ，使得ax x x -≤≤31

0max 达到极小，又问这个解是否唯一？

3、如何选取r ，使r x x p +=2)(在[]1,1-上与零偏差最小？r 是否唯一？

4、设在[]1,1-上54323840

1653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ降低到3次多项式.

求a 、b 使⎰-+20

2]sin [π

dx x b ax 为最小。

5、设{

}x span ,11=ϕ，{}

1011002,x x span =ϕ，分别在21,ϕϕ上求一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。

6、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

i x 19 25 31 38 44

i y

19.0 32.3 49.0 73.3 97.8

7、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。

)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h

h

++-≈--⎰

8、用辛普森公式求积分

1

x e dx -⎰

并估计误差。

9、求近似求积公式)]4

3

(2)21()41(2[31)(1

0f f f dx x f +-≈⎰的代数精度。

10、用三个节点（2=n ）的Gauss 求积公式计算积分)2(14

112

π=+=⎰-dx x I 。 11、试确定常数A ，B ，C 和α，使得数值积分公式

)()0()()(2

2

ααCf Bf Af dx x f ++-=⎰

-为Gauss 型公式。

12、用三点公式求2

)1(1

)(x x f +=

在1.1,0.1=x 和1.2处的导数值，并估计误差，

)(x f 的值由下表给出：

X

1.0 1.1

1.2 1.3 1.4

)(x f

0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736

13、就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=

2

2

1相比较。 14、用改进的欧拉方法求解初值问题⎩⎨⎧=<<+='1)0(1

0,y x y x y ，取步长1.0=h 计算，

并与准确解x e x y 21+--=相比较。

15、用梯形方法解初值问题⎩⎨⎧==+'1)0(0y y y ，证明其近似解为n

n h h y ⎪⎭⎫

⎝⎛+-=22，并证明

当0→h 时，它收敛于原初值问题的准确解x e y -=。

16、取2.0=h ，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题：

⎩⎨

⎧=<<+='1

)0(1

0,y x y x y 17、证明解),(y x f y ='的下列差分公式)34(4

)(211111-+-+'+'-'++=n n n

n n n y y y h

y y y 是二阶的，并求出截断误差的首项。

18、取25.0=h ，用差分法解边值问题⎩⎨⎧===+''68

.1)1(,0)0(0

y y y y 。