第10章概率专题2 古典概型常考题型专题练习——【含答案】

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
5
读万卷书 行万里路
由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有
(种)猜字结果，
其中满足
的有：
当 时，
；当 时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
，共有 种，
旗开得胜
所以他们“心有灵犀”的概率为
，故选 A.
9、从分别写有 1, 2, 3, 4, 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一 张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
共有 m 10 个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 P
10 25
2 5
．
6 读万卷书 行万里路
旗开得胜 10、袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个 球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
函数
既不是奇函数，也不是偶函数；
和
都是偶函数；
是奇函数，从 4 个函数中任取 2 个，有 6 种取法， 其中这两个函数的奇偶性相同的取法
有 1 种，故所求概率为 ，故选 D.
8、甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字， 把乙猜的数字记为 b，且 a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现 任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率．
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii） 5 21
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用 分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽 取 3 人，2 人，2 人．
【巩固练习】
1、已知 a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是( )
1 读万卷书 行万里路
3 A.10
旗开得胜 3 B.5
2
1
C.5
D.5
解析：选 C 若函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2,0,1,2,3}， 故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率
13、已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层 抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
8 读万卷书 行万里路
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
旗开得胜
（Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学 承担敬老院的卫生工作．
1
1
A.2
B.4
1
1
C.6
D.8
解析：选 B A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A44＝24 种排法.当 A，C 之间是 B 时，
2 读万卷书 行万里路
旗开得胜 4＋2 1 有 2×2＝4 种排法，当 A，C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所求概率 P＝ 24 ＝4.
4、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每 个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机 选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
所求概率 p 6 3 10 5
15、40 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
旗开得胜
（1）求频率分布直方图中 a 的值；
（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；
（3）从成绩在50,70 的学生中任选 3 人，求这 3 人的成绩都在60,70 中的概率．
19 满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率 P＝36.
6、从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 n,则向量 =(m,n) 与向量 =(1,-1)垂直的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 ,有 4 种方法；
7Biblioteka Baidu
读万卷书 行万里路
1 球，求：
旗开得胜
(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；
(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率．
【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为 3 . (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
4 11 . 12
【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球共有 12 种结果；
从中随机选取三个， 3 个数中含有 1 个 2 ； 2 个 2 ，没有 2 ， 3 种情况，
所有的事件总数为：C
3 5
10 ，
这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有： 5 ， 3 ，1 或 5， 2 ， 2 两个，
所以：这三个砝码的总质量为
9
克的概率是：
2 10
1 5
，
12、一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球．从中随机取出
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D， E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所 有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．
所以，事件 M 发生的概率为 P（M）= 5 ． 21
概率是多少？
3 【答案】(1) 57 分钟. (2)58 分钟；(3)
5
【解析】（1）设中位数为 x ，则 0.002320 0.0120 0.015 x 40 0.5
解得： x 170 57 （分钟） 3
这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是 57 分钟 （2）平均每天使用手机时间为：0.0510 0.230+0.350+0.270+0.2590 58（分
5、将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和 b，则方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解的概率是( )
7
1
A.36
B.2
19 C.36
5 D.18
1≤a≤6，a∈N*，
[解析]投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为
所以 a 和 b 的
1≤b≤6，b∈N*，
3 读万卷书 行万里路
从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 ，有 3 种方法，
所以，所有的 共有
个，
由向量
与向量
垂直,可得
，即 ,
故满足向量
与向量
垂直的 共有 2 个：
，
所以向量
与向量
垂直的概率为
，故选 A.
4 读万卷书 行万里路
7、给出下列函数:
旗开得胜
①
；②
；③y=log
函数的奇偶性相同的概率为 （ ）
；④y= xsinx.从中任取两个函数，则这两个
2×2 2 是5×2＝5.
2.从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
5
4
A.18
B.9
5
7
C.9
D.9
5×4×2 5 解析：选 C 由题意得，所求概率 P＝ 9×8 ＝9.
3.将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰 好有 1 名同学”的概率是( )
组合有 36 种.
旗开得胜
若方程 ax2＋bx＋1＝0 有实数解，
则 Δ＝b2－4a≥0，所以 b2≥4a.
当 b＝1 时，没有 a 符合条件；当 b＝2 时，a 可取 1；当 b＝3 时，a 可取 1,2；当 b ＝4 时，a 可取 1,2,3,4；当 b＝5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6；当 b＝6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.
【答案】（1） a 0.005 ；（2）77.14，75；（3） 1 6
满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有 9 种结果，
∴概率为
．
（2）由题意知本题是一个古典概型， 试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球共有 12 种结果； 满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有 11 种结果，
∴概率为
．
即取出的 1 球是红球或黑球的概率为 ；
取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率为 ．
1 A.12
1 B.14
1 C.15
1 D.18
[解析] 不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同 的数，共有 C210＝45 种情况，而和为 30 的有 7＋23,11＋19,13＋17 这 3 种情况，所以所
31 求概率 P＝45＝15.
A. 5 21
B. 10 21
C. 11 21
D.1
答案： B
解析： 这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有C125 105 ； 基本事件总数为 105 ；
设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球”为事件 A ；
则 A 包含的基本事件个数为C110
C
1 5
50 ；
P(A)
（1）根据频率分布直方图，估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精
确到整数) （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中 点的值作代表)
（3）在抽取的100名手机使用者中在 20, 40和 40,60 中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成 研究小组，然后再从研究小组中选出 2 名组长.求这 2 名组长分别选自 20, 40和 40,60 的
14、智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构
从 500 名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直
方图(如图所示),其分组是: 0, 20,20, 40 ， 40,60,(60,80,(80,100.
9
读万卷书 行万里路
旗开得胜
A.
1 10
B.
1 5
C.
3 10
D.
2 5
答案： D ．
解析： 从分别写有 1, 2, 3, 4, 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，
基本事件总数 n 5 5 25 ，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
2, 1 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 4, 3 , 5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , 5, 4
（Ⅱ）（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}， {B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}， {F，G}，共 21 种．
古典概型
【知识总结】
1、古典概型：
①试验的结果具有有限性和等可能性的概率模型；
②概率公式为 P A
事件A包含的基本事件数 基本事件的总数
；
2、求解古典概型概率的基本步骤：
1）算出所有基本事件的个数 N
2）求出所有事件 A 包含的所有所有基本事件个数 M
PA
3）利用
M
N ,求概率。
旗开得胜
3、古典概型中基本事件的个数探究基本方法： 1)枚举法：适用于基本事件比较少且容易一一列举的问题. 2)树状图法：适用于较为复杂的问题中基本事件的探究，尤其是有序问题
钟）
即手机使用者平均每天使用手机时间为 58 分钟
（3）设在 20, 40内抽取的两人分别为 a, b ，在 40,60 内抽取的三人分别为 x, y, z ，
10 读万卷书 行万里路
则从五人中选出两人共有以下10 种情况：
a,b,a, x,a, y,a, z,b, x,b, y,b, z,x, y,x, z, y, z 两名组长分别选自 20, 40和 40,60 的共有以下 6 种情况： a, x,a, y,a, z,b, x,b, y,b, z
50 105
10 21
．
11、有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中 随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 （结果用最简分数表示）．
答案：
1 5
解析： 编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，