人教版七年级数学下《平行线》知识全解
七年级数学:《平行垂直》知识点归纳
七年级数学:《平行垂直》知识点归纳一、知识梳理二、1、平行线的定义:三、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.四、2、平行的表示:五、用符号“∥”表示,读作“平行于” .六、3、同一平面内两条直线的位置关系:七、平行或相交.八、4、平行公理:九、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.十、5、平行的传递性:十一、平行于同一直线的两直线平行.十二、6、平行与角的联系:十三、若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.十四、7、垂直定义:十五、如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直.十六、其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.十七、两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直.十八、8、垂直的表示:十九、用符号“⊥”表示,读作“垂直于” .二十、9、垂直公理:二十一、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.二十二、10、点到直线的距离:二十三、直线外一点到这条直线的垂线段的长度.二十四、11、垂线段的性质:二十五、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.二十六、12、垂直与角的联系:二十七、若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.二、典型例题例1、概念辨析(1)两条不相交的直线叫做平行线.(2)两条直线不相交就平行.(3)两条射线或线段平行,是指它们所在的直线平行.(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行.(5)经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行.(7) 点A为直线l外一点,点B在直线l上,若AB=5厘米,则点A到直线l的距离为5cm.解析:(1)错误,必须加同一平面内,否则在立体几何中,会出现异面的情况.比如一个正方体,上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱,所在直线就是既不平行也不相交.(2)错误,理由同(1).(3)正确.(4)错误,反例如下图:(5)错误,必须在直线外,否则,如果这个点在直线上,所作直线就与已知直线重合.(6)正确.(7)错误,如下图,当点B在B2处,点A到直线l的距离为5cm,当点B在B1,点A到直线l的距离小于5cm.例2、试画图说明平面内三条直线的位置关系.分析:我们知道,同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系.那么到了三条直线,就会出现三条都平行,两条平行,都不平行的情况.在三条都平行的情况外,必然有相交的情况,我们可以从交点数来考虑,即有一个,有两个,有三个交点三种.解答:例3、(1)如图,P是∠AOB外一点,过点P画直线PC∥OA,交OB于点C,过点P画直线PD∥O B,交OA反向延长线于点D,量出∠AOB、∠CPD的度数,你有什么发现?点P如果在∠AOB内部呢?(2)如图,P是∠AOB外一点,过点P画直线PC⊥OA,交OA于点C,过点P画直线PD⊥O B,交OB于点D,量出∠AOB、∠CPD的度数,你有什么发现?点P如果在∠AOB内部呢?分析:本题不难,主要是根据要求作图,然后发现度数之间的联系,不是相等就是互补,最后,再关注所研究的两个角的位置关系,发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行,从而得出最后结论.解答:(1)当P是∠AOB外一点,∠AOB+∠CPD=180°当P是∠AOB内一点,∠AOB=∠CPD发现:若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.(2)当P是∠AOB外一点,∠AOB=∠CPD当P是∠AOB内一点,∠AOB+∠CPD=180°发现:若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.三、思维提升例1、网格作图(1)利用图(1)中的网格,利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线.(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形.(3)如果每个方格的边长是单位1,那么图(2)中组成的三角形的面积等于______.分析:网格作图是今后的重点内容,我们应该引起足够的重视,(1)对于作平行,有2种作法,第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线,那么,过要画的点P,也应该是构造横2竖4的长方形对角线.第二种,采用平移的方法,从点A平移到点P,需要向右4格再向下1格,那么点B也要同样平移,然后将线段两端延长,变成直线.对于作垂直,则和平行相反,过点P需要构造横4竖2的长方形对角线.(2)我们可以保持EF不动,将AB,CD平移,注意,有2种情况.(3)对于网格图形的面积,我们通常可以采用割补法,割,把大图形分成几个小图形,计算面积和,补,把大图形再补成一个更大的,可直接计算面积的图形,减去周围几个小图形的面积和.本题适合用补的方法.解答:例2、垂线段再认识如图,在6×6的正方形网格中,点P是∠AOB的边OB上的一点.过点P画OB的垂线,交OA于点C;过点P画OA的垂线,垂足为H;(1)请找出图中所有的垂线段,并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离.(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______.(用“<”号连接)分析:要找垂线段,首先要找出所有的垂足,因为垂线段是直线外一点到垂足的距离.这里的垂足显然只有P,H,那么点O,点C,可以和点P,点H组成垂线段.要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离,那么必然选择的是垂线段的两个端点中,不是垂足的那个点,到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离.解答:(1)OP,OP的长度是点O到直线PC的距离.CP,CP的长度是点C到直线OB的距离.OH,OH的长度是点O到直线PH的距离.CH,CH的长度是点C到直线PH的距离.PH,PH的长度是点P到直线OC的距离.(2)PH<PC<OC.例3、思考类作图同一平面内已知线段AB长为10cm,点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm,符合条件的直线l有_______条?分析:显然,同学们都能想到作线段AB的垂线,将线段AB分成6cm,4cm两部分.但其实,在线段AB的两侧还有两条,分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆,当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时,也符合题意,这样的直线有两条,即共有3条.到了初三,我们会知道,这三条线就是所画的两个圆的切线.解答:如图,三条红色的直线即为所求.变式如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有________个.分析:我们可以先找线,再确定点,先找出到l1距离为2的直线,到12距离为1的直线,显然,它们的交点,就满足题意.画图后,不难发现到l1距离为2的直线有2条,到12距离为1的直线有2条,这4条直线两两相交,有4个交点,这4个交点就是"距离坐标"是(2,1)的点.解答:如图,到l1距离为2的直线是2条蓝色直线,到12距离为1的直线是2条红色直线,四个交点即为所求.。
人教版七年级数学课件《平行线的判定》
B.①③
C.①④
D.③④
2.如图,下列条件中,能判断直线.l1//l2的是( B )
A.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°
B.∠1=∠3
D.∠2=∠4
达标检测
人教版数学七年级下册
3.如图,下列条件中,能判断直线l1//l2的是( C )
A.∠1=∠2
C.∠1+∠3=180°
B.∠1=∠5
D.∠3=∠5
得∠1=∠2(等量代换),
内错角相等,两直线平行
所以_________(________________________).
AE∥GF
针对练习
人教版数学七年级下册
已知如图所示,∠ = ∠,点、、在同一条直线上,
∠ = ∠ + ∠,且平分∠,试说明 ∥ 的理由.
复习回顾
人教版数学七年级下册
如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
知识精讲
人教版数学七年级下册
在用直尺和三角尺画平行线的过程中,直尺和三角尺分别
起着什么样的作用?
知识精讲
人教版数学七年级下册
可以看出,画直线AB的平行线CD,实际上就是过点P画与∠2
在用直尺和三角尺画平行线的过程中,直尺和三角尺分别
4.如图,下列结论中正确的是( C)
A.若∠1=∠4,则m//c
B.若∠1=∠2,则a//b
C.若∠1+∠3=180,则n//c
D.若∠2+∠3=180°,则m//n
达标检测
人教版数学七年级下册
5.如图(1),光线AB,CD被一个平面镜反射,此时
∥
CD
∠1=∠3,∠2=∠4,则AB // _____,BE_____DF.
人教版七年级数学下册相交线与平行线知识点
一相交线与平行线1.相交线➢关键词:邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角➢性质:对顶角相等..2.垂线➢关键词:垂直、垂足、➢定义:两条直线相交所成的四个角中;有一个角是直角时;就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫另一条直线的垂线;它们的交点叫垂足..➢性质:1在同一平面内;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中;垂线段最短.简称:垂线段最短.该垂线段的长度称为点到直线的距离..3.平行线➢定义:在同一个平面内;不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“//”表示..如图一;直线AB与CD是平行线;记作“AB//CD” ;读作“AB平行于CD”.在同一个平面内;两条直线的位置关系只有两种:相交或平行.图一➢判定:1同位角相等;两直线平行..2内错角相等;两直线平行..3 同旁内角互补;两直线平行..4 平行于同一直线的两直线平行..5垂直于同一直线的两直线平行..➢性质:1 两条平行线被第三条直线所截;同位角相等.2 两条平行线被第三条直线所截;内错角相等.3 两条平行线被第三条直线所截;同旁内角互补.4.命题➢定义:判断一件事情的语句;叫做命题.➢一般形态:1“如果……;那么…….”2“若……;则…….”3“倘若……;那么…….”➢分类:1正确的命题:如果题设成立;那么结论一定成立的命题.2如果题设成立;不能保证结论总是成立的命题.5. 数学名词➢定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理;如“内错角相等;两直线平行”、“两直线平行;内错角相等”等等.➢公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题;叫做公理;如“同位角相等;两直线平行”、“两直线平行;同位角相等”等.➢证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明.二平面直角坐标系1. 有序数对➢定义:有顺序的两个数a与b组成的数对a;b叫做有序数对..➢应用:找出平面上点的坐标..2. 平面直角坐标系➢平面直角坐标系:由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成..水平的数轴称为 X轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴..➢用坐标表示地理位置:➢用坐标表示平移:1一般地;在平面直角坐标系中;将点x;y向右或左平移 a个单位长度;可以得到对应点x+a;y或x-a;y;将点x;y 向上或下平移b个单位长度;可以得到对应点表示x;y+b或 x;y-b..2一般地;将一个图形一次沿两个坐标轴方向平移所得到的的图形;可以通过将原来的图形作一次平移得到..3一般地;在平面直角坐标系内;如果把一个图形各个点的横坐标都加或减去一个正数a;相应的新图形就是把原图形向上或向下平移a个单位长度..三二元一次方程组1.概念➢二元一次方程:含有两个未知数;并且未知数的指数都是1;像这样的方程叫做二元一次方程;一般形式是ax+by=ca≠0;b≠0..➢二元一次方程的解:一般地;使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解..➢二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起;就组成了一个二元一次方程组..➢二元一次方程组的解:一般地;二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解..2.消元法➢定义:将未知数的个数由多化少;逐一解决的想法;叫做消元思想..➢代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来;再代入另一个方程;实现消元;进而求得这个二元一次方程组的解;这种方法叫做代入消元法;简称代入法..➢加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时;将两个方程的两边分别相加或相减;就能消去这个未知数;这种方法叫做加减消元法;简称加减法..习题一一、选择题1. 如图;∠1和∠2是同位角的是A. ① ② B . ① ③ C . ② ③ D. ② ④① ② ③ ④2. 张雷同学从A 地出发沿北偏东500的方向行驶到B 地;再由B 地沿南偏西200的方向行驶到C 地;则∠ABC 的度数为A. 400B. 300C. 200D. 00 3.下列说法中;正确的是A. 相等的两个角是直角B. 同旁内角互补C. 一个角的补角一定是钝角D. 如果同位角不相等;两条直线一定不平行4.如图1;一个宽度相等的纸条;如图那么折叠一下;∠1等于 度A. 150º B . 120º C. 60º D. 75º5.点B-3;0在 上A 、 在x 轴的正半轴上B 、 在x 轴的负半轴上C 、 在y 轴的正半轴上D 、 在y 轴的负半轴上6.点C 在x 轴上方;y 轴左侧;距离x 轴2个单位长度;距离y 轴3个单位长度;则点C 的坐标为 A 、2;3 B 、 -2;-3 C 、 -3;2 D 、3;-2 7.若点Mx ;y 的坐标满足x +y =0;则点M 位于A .第二象限B .第一、三象限的夹角平分线上C .第四象限D .第二、四象限的夹角平分线上 8.某同学的座位号为2;4;那么该同学的所座位置是A 、 第2排第4列B 、 第4排第2列C 、 第2列第4排D 、 不好确定9.二元一次方程组32325x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是A .3217 (23)0122x x x x B C D y y y y =⎧⎧===⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=⎩⎩⎪⎪=⎩⎩ 10.关于x;y 的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解;则k 的值是•A .k=-34 B .k=34 C .k=43 D .k=-43 11.如果方程组1x y ax by c +=⎧⎨+=⎩有唯一的一组解;那么a;b;c 的值应当满足A .a=1;c=1B .a ≠bC .a=b=1;c ≠1D .a=1;c ≠112.方程3x+y=7的正整数解的个数是A .1个B .2个C .3个D .4个2112121213.已知x;y 满足方程组45x m y m+=⎧⎨-=⎩;则无论m 取何值;x;y 恒有关系式是A .x+y=1B .x+y=-1C .x+y=9D .x+y=9 二 填空题1.如图1所示;点A 的坐标为_______;点B 的坐标为_______;点C 的坐标为_______;点D 的坐标为_______;2.如图2所示;添加条件:_______________只需写一个;可以使AB ∥CD;理由是___________________________.ODECBAOD ECBA3. 如图3;直线AB 、CD 相交于点O ;OE ⊥AB ;O 为垂足;如果∠EOD = 38°;则∠AOC = ;∠COB = .4.写出一个解为12x y =-⎧⎨=⎩的二元一次方程组__________.5.a -b=2;a -c=12;则b -c 3-3b -c+94=________.6.已知32111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩和都是ax+by=7的解;则a=_______;b=______. 三、解答题:1.已知:如图;AD ∥BC ;∠D =100°;AC 平分∠BCD ;求∠DAC 的度数.2.已知y=3xy+x;求代数式2322x xy yx xy y+---的值.4321BAED C xy2341-1-2-3-4-3-2-12143(1)DC B A1 2 3。
七下数学人教版课本知识点总结非常完整
七下数学课本知识点总结非常完整人教版七年级数学下册知识点第五章 相交线与平行线一、1、在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有 两 种: 相交 和 平行 , 垂直 是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内,不相交的两条直线叫 平行线 。
如果两条直线只有 一个 公共点,称这两条直线相交;如果两条直线 没有 公共点,称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中,有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。
邻补角的性质: 邻补角互补 。
4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ,这样的两个角互为 对顶角 。
对顶角的性质:对顶角相等。
如图1所示,∠1与∠3互为对顶角。
∠1=∠3;∠2与∠4互为对顶角,∠2=∠45、两条直线相交所成的角中,如果有一个是 直角或90°时,称这两条直线互相垂直, 其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示,当 ∠1 = 90°时, a ⊥ b 。
垂线的性质:性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:垂线段最短。
性质3:如图2所示,当 a ⊥ b 时,∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°。
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征:①在两条直线(被截线)的 同一方 ,都在第三条直线(截线)的 同一侧 ,这样的两个角叫 同位角 。
同位角呈“F ” ②在两条直线(被截线) 之间 ,并且在第三条直线(截线)的 两侧 ,这样的两个角叫 内错角 。
内错角呈“Z ”③在两条直线(被截线)的 之间 ,都在第三条直线(截线)的 同一旁 ,这样的两个角叫 同旁内角 。
同旁内角呈“U ” 7、平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等:两条平行线被一条横截线所截,形成的同位角相等。
2.内错角相等:两条平行线被一条横截线所截,形成的内错角相等。
3.同旁内角互补:两条平行线被一条横截线所截,形成的同旁内角互补,即角度和为180°。
二、性质的应用1.计算平行线的距离:利用平行线的性质,可以计算两条平行线之间的距离。
2.判断角度大小:利用平行线的性质,可以判断两条直线之间的角度大小。
3.解决实际问题:平行线的性质在实际生活中有广泛的应用,如建筑、机械制造等领域。
三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内,两条不相交的直线所具备的属性。
因此,确定两条线是否平行,首先需要确定它们是否在同一平面内。
2.平行线的性质需要通过横截线来体现,因此在证明或应用性质时,需要明确横截线的位置。
3.在实际应用中,需要根据具体情境判断两条线是否平行,并选择适当的方法来解决问题。
四、相关定理与概念1.平行线的判定定理:同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
2.垂直线的性质:垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
五、易错点提醒1.学生在应用性质时,容易出现混淆,将判定定理和性质混淆使用。
需要明确的是,判定定理用于判断两条直线是否平行,而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。
2.对于同旁内角互补的理解,学生容易出现误区,认为同旁内角之和为90°而非180°。
需要强调的是,同旁内角互补是指它们的角度和为180°,不是90°。
3.在实际解决问题时,学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件,导致解题错误。
需要提醒学生认真审题,注意细节,以免出现不必要的错误。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系,重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征,以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时,所形成的四个角具有不同的关系。
其中,对顶角是具有特殊位置关系的两个角,它们的大小相等;邻补角则是互为反向延长线的两个角,它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时,其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质:一是过一点只有一条直线与已知直线垂直;二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种:一是过直线上一点画已知直线的垂线;二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质,以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时,需要注意记忆其定义和性质,掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段,而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质,可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离,而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念,但线段是一种图形,不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线,它们的位置关系只有两种:相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定,有且只有一个公共点时两直线相交,无公共点时两直线平行,两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
同时,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角,包括同位角、内错角和同旁内角。
人教版七年级数学下册第五章《平行线的性质1
2、问题探索 问当下题直图2线)A,B前与面C所D不发平现行的时式(子如都
不成立。这说明只有AB∥CD 时,前面的式子才能成立.
如果改变AB和CD的 位置关系,即直线AB 与CD不平行,那么你 刚才发现的结论
还成立吗?请同学们 动手画出图形,并用 量角器量一量各角的 大小,验证一下你的 A 结论.
教学内容
平行线的性质
教学目标
1、知识目标:使学生理解平行线的性质,能初步运用平行 线的性质进行有关计算.
2、能力目标:通过本节课的教学,培养学生的概括能力和 “观察-猜想-证明”的科学探索方法,培养学生的辩证思 维能力和逻辑思维能力.
3、情感目标:培养学生的主体意识,向学生渗透讨论的数 学思想,培养学生思维的灵活性和广阔性.
还有一些说不出名字的角, 如 ∠1与 ∠6等,书上没有 定义.
E
A
41 32
B
C
8ห้องสมุดไป่ตู้ 76
D
F
∠1= ∠5, ∠ 2=∠6, ∠ 3=∠7, ∠4= ∠8;
∠2= ∠8, ∠3=∠5, ∠ 1=∠7, ∠4=∠6;
∠2+ ∠5=180°, ∠3+ ∠8=180°, ∠1+ ∠6=180°, ∠4+ ∠7=180°;
问题4
(1)具有相等关系的两个 角,有的是同位角,有的 是内错角,如∠1与 ∠5等
(都1是)同具位有角相; 等∠2关与系∠的8等 两都角是内有错怎角样。的还位有置一些关说 系回不∠呢答出7,名?)∠字(4的与请角∠甲,6组等如.同∠学1与 ((22))互具有补互的补两关角系又的有两个 怎角样,的有位的是置同关旁系内呢角?,如 (∠请2与乙∠组5同等都学是回同答旁)内角;
第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质(答案卷)知识点一:平行线:1.平行线的定义:在同一平面内,的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b,则记作,读作。
注意:一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法:过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤:①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变,平移三角尺,使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一:确定平行线】1.在同一个平面内,不重合的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定2.在长方体中,对任意一条棱,与它平行的棱共有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.观察如图所示的长方体,与棱AB平行的棱有几条()A.4B.3C.2D.1【类型二:作图】4.如图所示,在∠AOB内有一点P.(1)过P画l1∥OA;(2)过P画l2∥OB;(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系?5.在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1,再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2.知识点二:平行公理及其推论:1. 平行公理:经过直线外一点, 条直线与这条直线平行。
有且只有:存在且唯一。
2. 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥,∥, 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行:若c a b a ⊥⊥,,则b c 。
【类型一:对平行公理及其推论的判断理解】6.下列说法正确的是( )A .垂直于同一条直线的两直线互相垂直B .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C .如果两条直线被第三条直线所截,那么同位角相等D .从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离7.下列说法正确的是( )A .a 、b 、c 是直线,若a ⊥b ,b ∥c ,则a ∥cB .a 、b 、c 是直线,若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cC .a 、b 、c 是直线,若a ∥b ,b ⊥c ,则a ∥cD .a 、b 、c 是直线,若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c8.同一平面内有四条直线a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,则c、d的位置关系为()A.互相垂直B.互相平行C.相交D.没有确定关系9.下列说法中,正确的个数为()(1)过一点有无数条直线与已知直线平行(2)如果a∥b,a∥c,那么b∥c(3)如果两线段不相交,那么它们就平行(4)如果两直线不相交,那么它们就平行A.1个B.2个C.3个D.4个10.下列说法不正确的是()A.过马路的斑马线是平行线B.100米跑道的跑道线是平行线C.若a∥b,b∥d,则a⊥dD.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三:平行线的性质:1.两直线平行,同位角相等:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
人教版七年级数学课件《平行线》
两端可以无限延伸的三条直线.转动直线a,想象一下,在这个过
程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢?
平行线定义:
在同一个平面内,不相交的两条直线叫
做平行线.
(在同一平面内,不重合的两条直线只有
两种位置关系:相交和平行.)
知识精讲
人教版数学七年级下册
平行线在生活中是很常见的,你能在下面的图片中找出平行线吗?
A.3个
B.2个
②若与相交,与相交,则与相交;
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
C.1个
D.0个
【分析】根据平行线公理及推论可知,①正确;
若与相交,与相交,则与可能相交或平行,②错误;
对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角,③错误;
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,④错误.
情景引入
人教版数学七年级下册
你喜欢滑雪运动吗?早在5000年前,人们就把滑雪作为雪上
旅行的一种方式,今天滑雪在许多国家和地区都是一项十分普及
的运动.
你知道滑雪运动最关键是什么吗?
滑雪运动最关键是要保持两只雪橇板
的平行!
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图,分别将木条a、b与木条c钉在一起,并把它们想象成
人教版数学七年级下册
第五章第2节—
PEOPLE
EDUCATION
学校:XXXX
VERSION
OF
老师:XXXX
THE
平行线
SEVEN
GRADE
MATH
VOLUME
学习目标
1.理解平行线的定义;
2.掌握平行线的画法及平行公理及其推论.(重
点、难点)
人教版数学七年级下册
人教版七年级数学下册教学课件《平行线的性质》(第1课时)
5.3 平行线的性质
考 点 1 利用“两直线平行,同位角相等”求角的度数 如图,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=60°,∠B=60°,
∠AED=40°.(1)DE和BC平行吗?为什么?
A
(2)∠C是多少度?为什么?
D
E
解:(1)DE∥BC,
B
C
∵∠ADE=60°,∠B=60°,∴∠ADE= ∠B.
解: ∵ AB∥DE( 已知 ),
C
∴∠A= ∠__C__P_D_ ( 两直线平行,同位角相等 ).
∵AC∥DF( 已知 ),
B
DP A
E
∴∠D+ _∠__C_P_D__=180o ( 两直线平行,同旁内角互补 ).
∴∠A+∠D=180o( 等量代换 ).
课堂检测
拓广探索题
5.3 平行线的性质
如图,潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的,光线经过镜子
解: ∵a//b (已知),
∴ 1= 2(两直线平行,同位角相等). a
1
∵ 1+ 4=180°(邻补角的性质),
4
∴ 2+ 4=180°(等量代换).
b
2
c
探究新知
5.3 平行线的性质
性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
几何语言:
∵a∥b(已知),
∴∠2+∠4=180 °
a
1
b
4 2
(两直线平行,同旁内角互补).
c
探究新知
5.3 平行线的性质
考 点 1 利用“两直线平行,同旁内角互补”求角的度数
如图是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°, ∠B=115°,梯形的另外两个角的度数分别是多少?
(人教版)七年级数学寒假精品课 第03讲 平行线及其判定-【寒假自学课】解析版
第03讲平行线及其判定【学习目标】1.掌握平行线的概念及表示方法.2.掌握平行公理及其推论,并能够灵活应用.3.会画已知直线的平行线.4.经历探索两直线平行的三种判定方法.5.掌握直线平行的三种判定方法,并能够灵活应用.【基础知识】1.平行线的定义及表示:(1)定义:在同一平面内内,不相交的两条直线.(2)表示:平行用“∥”符号表示,读作“平行于”.2.同一平面内,两条直线的位置关系:(1)平行(2)相交3.利用直尺和三角尺画平行线:一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀一“落”:三角板的一边落在已知直线上;二“靠”:用直尺紧靠三角板的另一边;三“移”:沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点;四“画”:沿三角板过已知点的边画直线.4.平行公理及推论:(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a,c∥a,那么b∥c. 【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”,若点在直线上,不可能有平行线.【概念辨析】(1)不相交的两条直线是平行线.(×)(2)若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD.(×)(3)若a∥b,b∥c,则a与c不相交.(√)5.平行线的判定方法1:(1)文字表述:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.(2)几何语言:∵∠1=∠5(或者∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7),∴AB∥CD.平行线的判定方法2:(1)文字表述:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.(2)几何语言:∵∠2=∠8(或者∠3=∠5),∴AB∥CD.平行线的判定方法3:(1)文字表述:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.(2)几何语言:∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°),∴AB∥CD.6.平行线的其他判定方法:(1)在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.【概念辨析】(1)同旁内角相等,两直线平行.(×)(2)两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线互相平行.(×)【注意】判定两直线平行的方法方法一:平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线就是平行线.方法二:平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.方法三:同位角相等,两直线平行.方法四:内错角相等,两直线平行.方法五:同旁内角互补,两直线平行.方法六:同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.【考点剖析】考点一:平行线及其画法例1.根据下列要求画图.(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC.(2)如图(2)所示,过点C画CE∥DA,交AB于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F. 【答案】如图所示:考点二:平行公理及其推论例2.如图,直线a,点B,点C.(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?【分析】根据平行公理及其推论解答.【详解】(1)如图,过直线a外的一点B画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行.(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:如图,因为b∥a,c∥a,所以c∥b.考点三:平行线的判定例3.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠4【答案】D.【分析】根据平行线的判定条件进行判断即可.【详解】由同位角相等,两直线平行可知A可以判定直线a与b平行;由同角的补角相等,结合同位角相等,两直线平行可知B可以判定直线a与b平行;由对顶角相等,结合同位角相等,两直线平行可知C可以判定直线a与b平行;∠3与∠4是对顶角,与直线a与b平行无关.例4已知:如图,请分别依据所给出的条件,判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据.(1)如果∠2=∠3,那么____________.(____________,____________)(2)如果∠2=∠5,那么____________.(____________,____________)(3)如果∠2+∠1=180°,那么____________.(____________,____________)(4)如果∠5=∠3,那么____________.(____________,____________)【答案】(1)EF∥DG,内错角相等,两直线平行;(2)AB∥EF,同位角相等,两直线平行;(3)AD∥BC,同旁内角互补,两直线平行;(4)AB∥DG,内错角相等,两直线平行;考点四:平行线判定的应用例5.我们知道,光线从空气射入水中会发生折射现象,光线从水中射入空气中,同样会发生折射现象.如图是光线从空气中射入水中,再从水中射入空气中的示意图.由于折射率相同,因此已知∠1=∠4,∠2=∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行?并说明理由.【答案】平行,理由如下:如图,∵∠1+∠5=∠4+∠6(邻补角的定义),∠1=∠4(已知),∴∠5=∠6(等角的补角相等),∵∠2=∠3(已知),∴∠2+∠5=∠3+∠6(等式的性质),∴c∥d(内错角相等,两直线平行).【真题演练】一、单选题1.下列说法正确的个数是().(1)两条直线不相交就平行;(2)在同一平面内,两条平行的直线有且只有一个交点; (3)过一点有且只有一条直线与已知直线平行; (4)平行于同一直线的两条直线互相平行; (5)两直线的位置关系只有相交、平行与垂直. A .0 B .1C .2D .4【答案】B 【分析】(1)(5),根据同一平面内,两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可; (2),根据平行线的定义进行判断即可;(3)(4),根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可. 【详解】(1)应该是在同一平面内,两直线不相交就平行,故错误; (2)在同一平面内,两条平行的直线没有交点,故错误;(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故错误; (4)平行于同一直线的两条直线互相平行,是平行公理的推论,故正确; (5)应为在同一平面内,两直线的位置关系只有相交与平行,故错误, 所以只有(4)一项正确, 故选:B . 【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目,涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识,掌握这些概念和定理是解题的关键. 2.下列说法正确的是( )A .在同一平面内,a ,b ,c 是直线,且//a b ,//b c ,则//a cB .在同一平面内,a ,b ,c 是直线,且a b ⊥,b c ⊥,则a c ⊥C .在同一平面内,a ,b ,c 是直线,且//a b ,b c ⊥,则//a cD .在同一平面内,a ,b ,c 是直线,且//a b ,//b c ,则a c ⊥ 【答案】A 【分析】根据平行线的判定判断即可.解:A 、在同一平面内,a 、b 、c 是直线,如果a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,故正确; B 、在同一平面内,a 、b 、c 是直线,如果a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c ,故错误; C 、在同一平面内,a 、b 、c 是直线,如果a ∥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ,故错误; D 、在同一平面内,a 、b 、c 是直线,如果a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,故错误; 故选:A . 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定,平行公理,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.如图所示,给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法,其依据是( ).A .同位角相等,两直线平行.B .内错角相等,两直线平行.C .同旁内角互补,两直线平行.D .以上都不对.【答案】A 【分析】由作图可得同位角相等,根据平行线的判定可作答. 【详解】解:由图形得,有两个相等的同位角,所以依据为:同位角相等,两直线平行. 故选:A . 【点睛】本题考查的是作平行线,熟知过直线外一点,作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键.4.如图所示,点E 在AC 的延长线上,下列条件中能判断//AB CD 的是( )A .34∠=∠B .12∠=∠C .D DCE ∠=∠ D .180D ACD ∠+∠=︒【分析】根据平行线的判定判断即可; 【详解】当34∠=∠时,BDAC ,故A 不符合题意;当12∠=∠时,//AB CD ,故B 符合题意; 当D DCE ∠=∠时,BDAE ,故C 不符合题意;当180D ACD ∠+∠=︒时,BD AE ,故D 不符合题意;故答案选B . 【点睛】本题主要考查了平行线的判定,准确分析判断是解题的关键.5.如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD ,使其拐角∠ABC =150°,∠BCD =30°,则( )A .AB //BC B .BC //CD C .AB //DC D .AB 与CD 相交【答案】C 【分析】根据同旁内角互补,两直线平行即可解答. 【详解】解:∵∠ABC =150°,∠BCD =30° ∴AB //DC . 故选C . 【点睛】本题主要考查了平行线的判定,掌握“同旁内角互补,两直线平行”成为解答本题的关键. 6.如图,下列能判定//AB CD 的条件有( )个.(1)180B BCD ∠+∠=︒;(2)12∠=∠;(3)34∠=∠;(4)5B ∠=∠.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可.【详解】解:当∠B+∠BCD=180°,AB∥CD,符合题意;当∠1=∠2时,AD∥BC,不符合题意;当∠3=∠4时,AB∥CD,符合题意;当∠B=∠5时,AB∥CD,符合题意.综上,符合题意的有3个,故选:C.【点睛】本题考查了平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.二、填空题7.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________.【答案】平行公理的推论【分析】根据平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行,进行求解即可.【详解】解:由平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行,可以知道同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,故答案为:平行公理的推论.【点睛】本题主要考查了平行公理的推论,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8.根据图完成下列填空(括号内填写定理或公理)(1)14∠=∠(已知)∴__//____(__________________________________) (2)ABC ∠+∠_____180=︒(已知)//AB CD ∴(________________________) (3)∠_____=∠__(已知) //AD BC ∴(______________________________) (4)5∠=∠____(已知) //AB CD ∴(_______________________________)【答案】AB CD 内错角相等,两直线平行 BCD 同旁内角互补,两直线平行 3 2 内错角相等,两直线平行 ABC 同位角相等,两直线平行 【分析】(1)根据内错角相等,两直线平行得出即可; (2)根据同旁内角互补,两直线平行得出即可; (3)根据内错角相等,两直线平行得出即可; (4)根据同位角相等,两直线平行得出即可. 【详解】解:(1)14∠=∠(已知),//AB CD ∴(内错角相等,两直线平行),(2)ABC ∠+∠BCD 180=︒(已知),//AB CD ∴(同旁内角互补,两直线平行),(3)∠3=∠2(已知),//AD BC ∴(内错角相等,两直线平行)(4)5∠=∠ABC (已知),//AB CD ∴(同位角相等,两直线平行),故答案为:AB ;CD ;内错角相等,两直线平行;BCD ;同旁内角互补,两直线平行;3;2;内错角相等,两直线平行;ABC ;同位角相等,两直线平行. 【点睛】本题考查了平行线的判定,能正确运用定理进行推理是解此题的关键,注意:平行线的判定有:①同位角相等,两直线平行,②内错角相等,两直线平行,③同旁内角互补,两直线平行. 9.两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外):(1)两条直线被第三条直线所截,如果______________,那么____________.这个判定方法2可简述为:____________,____________.几何语言表述为:如图,∠_______=∠________ //AB CD ∴(2)两条直线被第三条直线所截,如果_______________,那么_____________.这个判定方法3可简述为:___________,_________________.几何语言表述为:∠______ +∠______180=︒ //AB CD ∴【答案】内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5【分析】(1)根据“内错角相等,两直线平行”回答即可;(2)根据“同旁内角互补,两直线平行”回答即可.【详解】解:(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行.这个判定方法2可简述为:内错角相等,两直线平行.几何语言表述为:如图,∵∠2=∠8,∴AB //CD ;(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行.这个判定方法3可简述为:同旁内角互补,两直线平行.几何语言表述为:∵∠2+∠5=180°,∴AB //CD . 故答案为:内错角相等;两直线平行;内错角相等;两直线平行;2;8;同旁内角互补;两直线平行;同旁内角互补;两直线平行;2;5.【点睛】本题考查了平行线的判定,掌握“内错角相等,两直线平行”以及“同旁内角互补,两直线平行”是解题的关键.10.如图,AC 平分∠DAB ,∠1=∠2,试说明AB ∥CD .证明:∵AC 平分∠DAB ( ),∴∠1=∠____( ),又∵∠1=∠2( ),∴∠2=∠____( ),∴AB ∥____( ).【答案】已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等,两直线平行【解析】【分析】根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.【详解】证明:∵AC 平分∠DAB ( 已 知 ),∴∠1=∠ 3 (角平分线的定义),又∵∠1=∠2( 已 知 ),∴∠2=∠ 3 (等量代换),∴AB ∥CD (内错角相等,两直线平行).【点睛】本题主要考察平行线证明的书写,正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.三、解答题11.已知:如图,点D ,E 分别在AB 和AC 上,CD 平分ACB ∠,40DCB ∠=︒,80AED ∠=︒.求证:DE BC ∥.【答案】证明见解析.【分析】根据角平分线定义可求224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒,然后利用等量代换可得BCE AED ∠=∠,再利用平行线判定定理同位角相等,两直线平行可得//DE BC .【详解】证明:∵CD 平分ACB ∠(已知),∴224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒(角平分线的定义).∵80AED ∠=︒(已知),∴BCE AED ∠=∠(等量代换).∴//DE BC (同位角相等,两直线平行).【点睛】本题考查角平分线定义,平行线判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.【过关检测】一、单选题1.三条直线a b c 、、,若 / / , / /a c b c ,则a 与b 的位置关系是( )A .a b ⊥B .a / / bC .a b ⊥或a / / bD .无法确定【答案】B【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行”进行分析,得出正确答案.【详解】解:由于直线a 、b 都与直线c 平行,依据平行公理的推论,可推出a ∥b .故选B .【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行. 2.若直线a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 的依据是( )A .平行公理B .等量代换C .等式的性质D .平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D【详解】因为直线a ∥b ,b ∥c ,所以a ∥c 的依据是平行于同一条直线的两条直线互相平行,故选D.3.下列说法中正确的个数有( )①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;②在同一平面内不重合的两条直线有平行、相交和垂直三种位置关系;③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;④在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】分别根据直线的位置关系、点到直线的距离、平行线的判定方法即可解答.【详解】解:两直线平行内错角相等,故①错误;在同一平面内不重合的两条直线有平行和相交两种位置关系,故②错误;直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,故③正确;在同一平面内,根据同位角相等两直线平行可知④正确;故选B .【点睛】本题考查了平行线定理、两直线位置关系和点到直线的距离等知识,熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键.4.如图,1,2,,8∠∠∠是两条直线,a b 被直线c 所截后形成的八个角,则能够判定直线//a b 的是( )A .34180∠+∠=B .18180∠+∠=C .57180∠+∠=D .26180∠+∠=【答案】B【分析】 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.【详解】A. ∠3+∠4=180°不能判定任何直线平行,故本选项错误;B. ∵∠1=∠3,∠1+∠8=180°,∴∠3+∠8=180°,∴a ∥b ,故本选项正确;C. ∠5+∠7=180°不能判定任何直线平行,故本选项错误;D. ∠2+∠6=180°不能判定任何直线平行,故本选项错误.故选B.【点睛】此题考查平行线的判定,解题关键在于掌握其判定定理.5.如图所示,下列推理中,错误的是( )A .∵12∠=∠(已知),∴12l l //(同位角相等,两直线平行)B .∵45180︒∠+∠=(已知),∴12l l //(同旁内角互补,两直线平行)C .∵42∠=∠(已知),∴34//l l (内错角相等,两直线平行)D .∵14∠=∠(已知),∴12l l //(内对角相等,两直线平行)【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】A. ∵12∠=∠(已知),∴12l l //(同位角相等,两直线平行),正确;B. ∵45180︒∠+∠=(已知),∴12l l //(同旁内角互补,两直线平行),正确;C. ∵42∠=∠(已知),∴34//l l (内错角相等,两直线平行),正确;D. ∵∠1与∠4不具备特殊位置关系,∴由14∠=∠不能判断12l l //,故不正确;故选D.【点睛】本题考查了行线的判定方法,熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法:①两同位角相等,两直线平行; ②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行.6.如图,不能说明AB//CD 的有( )①∠DAC=∠BCA ;②∠BAD=∠CDE ;③∠DAB+∠ABC=180°;④∠DAB=∠DCBA .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【分析】选项①∠DAC 和∠BCA 属于内错角,选项②∠BAD 和∠CDE 属于同位角,选项③∠DAB 和∠ABC 属于同旁内角,根据两直线平行的三大定理进行判断,选项④不符合两直线平行的判定定理,不能判定哪两条直线平行.【详解】选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD ∥BC (内错角相等,两直线平行);选项②∵∠BAD=∠CDE ∴AB ∥CD (同位角相等,两直线平行);选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD ∥BC (同旁内角互补,两直线平行);选项④不符合两直线平行的判定定理,不能判定哪两条直线平行.故选C .【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理:(一)同位角相等,两直线平行;(二)内错角相等,两直线平行;(三)同旁内角互补,两直线平行.找准两个角是同位角,内错角还是同旁内角,然后再进行判断.7.如图,下列条件中,不能判定//AD BC 的是( )A .12∠=∠B .180BAD ADC ︒∠+∠= C .34∠=∠D .180ADC DCB ︒∠+∠=【答案】B【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果.【详解】A. ∠1=∠2,AD ∥BC(同位角相等,两直线平行),此选项不符合题意;B. ∠BAD+∠ABC=180°,AB ∥DC(同旁内角互补,两直线平行),但此选项符合题意;C. ∠3=∠4,AD ∥BC(内错角相等,两直线平行),此选项不符合题意;D. ∵∠ADC+∠DCB=180°,∴AD ∥BC,(同旁内角互补,两直线平行)此选项不符合题意;故选B.【点睛】此题考查平行线的判定,解题关键在于掌握判定定理.8.如图所示,AE 平分BAC ∠,CE 平分ACD ∠,不能判定//AB CD 的条件是( )A .12∠=∠B .1290︒∠+∠=C .3490︒∠+∠=D .2390︒∠+∠=【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】∵AE 平分∠BAC ,CE 平分∠ACD ,21,22BAC ACD ∴∠=∠∠=∠.若∠1=∠2,则BAC ACD ∠=∠,不能判定//AB CD ,故A 符合题意;若∠1+∠2=90°,则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=,∴AB ∥CD ,故B 不符合题意;若∠3+∠4=90°;则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=,∴AB ∥CD ,故C 不符合题意;若∠2+∠3=90°.则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=,∴AB ∥CD ,故D 不符合题意;故选A.【点睛】本题考查了行线的判定方法,熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法:①两同位角相等,两直线平行; ②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行.二、填空题9.如图所示,直线,a b 被直线l 所截,158︒∠=,当2∠=________时,直线//a b .【答案】58°【解析】【分析】根据∠3与∠1相等时,a 与b 平行解答即可.【详解】当2∠=58°时,直线//a b .∵∠2=∠3,2∠=58°,∴∠3=58°. ∵158︒∠=,∴∠1=∠3,∴//a b .故答案为58°.【点睛】本题考查了行线的判定方法,熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法:①两同位角相等,两直线平行; ②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行.10.如图,E 在AD 的延长线上,下列四个条件:①∠3=∠4;②∠C +∠ABC =180°;③∠A=∠CDE ;④∠1=∠2,其中能判定AB ∥CD 的是________.(填序号)【答案】②③④【分析】根据平行线的判定定理,逐一判断,即可得到答案.【详解】∠=∠,∵34BC AD,∴//∴①不符合题意;∵∠C+∠ABC=180°,∴AB∥CD;∴②符合题意;∵∠A=∠CDE,∴AB∥CD;∴③符合题意;∵∠1=∠2,∴AB∥CD.故答案为:②③④.【点睛】本题主要考查平行线的判定定理,掌握平行线的判定定理是解题的关键.平行线的判定:内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.11.如图所示,若12∠=∠,则______//________,根据是_____________.∠=∠,则___//__,根据是_______________________________.若13【答案】AB CE 内错角相等,两直线平行 AC DE 内错角相等,两直线平行【分析】根据内错角相等两直线平行解题.【详解】解:若12∠=∠,则AB // CE ,根据是内错角相等两直线平行;若13∠=∠,则AC //DE ,根据是内错角相等两直线平行,故答案为:AB ,CE ,内错角相等,两直线平行,AC ,DE ,内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查平行线的判断:内错角相等,两直线平行,是重要考点,掌握相关知识是解题关键. 12.已知:如图,直线AB 、CD 被直线GH 所截,1112,268∠=︒∠=︒,求证: AB // CD . 完成下面的证明:证明:∵AB 被直线GH 所截,1112,∠=︒∴1∠=∠ 112,︒= ∵268∠=︒∴13∠+∠=∴ // ( )(填推理的依据).【答案】见解析.【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数,进而得到∠2+∠3=180°,即可判定AB ∥CD .【详解】证明:∵AB 被直线GH 所截,∠1=112°,∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°,∴∠2+∠3=180°,∴AB ∥CD ,(同旁内角互补,两直线平行)故答案为∠3,180°,AB ,CD ,同旁内角互补,两直线平行.【点睛】本题主要考查了平行线的判定,两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 13.已知:如图,在三角形ABC 中,CD AB ⊥于点D ,连接DE ,当1290∠+∠=时,求证:DE //BC . 证明:∵CD AB ⊥(已知),∴90ADC ∠=︒(垂直的定义).∴1∠+________90=︒,∵1290∠+∠=︒(已知),∴________2=∠(依据1:________),∴//DE BC (依据2:________).【答案】EDC ∠;EDC ∠;同角的余角相等;内错角相等,两直线平行【分析】根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空.【详解】∵CD AB ⊥(已知),∴90ADC ∠=︒(垂直的定义).∴1∠+EDC ∠90=︒,∵1290∠+∠=︒(已知),∴EDC ∠2=∠(同角的余角相等),∴//DE BC (内错角相等,两直线平行).故答案为:EDC ∠;EDC ∠;同角的余角相等;内错角相等,两直线平行.【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记 “内错角相等,两直线平行”是解题的关键.三、解答题14.如图,直线AB ,CD 被直线EF 所截,∠1=∠2,求证:AB ∥CD;【答案】证明见解析【分析】根据对顶角的性质以及平行线的判定方法进行证明即可.【详解】解: ∵∠1=∠3,∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴AB ∥CD .【点睛】本题主要考查了对顶角的性质以及平行线的判定定理,熟练掌握对顶角相等与判定线段平行的判定定理是解题的关键.15.已知:如图,1C ∠=∠,2∠和D ∠互余,1∠和D ∠互余,求证://AB CD .【答案】证明见详解【分析】根据题意先由∠1和∠D 互余,∠2和∠D 互余,得到∠1=∠2,再由已知∠C=∠1,所以得∠C=∠2,从而证得AB ∥CD .【详解】解:证明:∵∠1和∠D 互余,∠2和∠D 互余,∴∠1=∠2,∵∠C=∠1,∴∠C=∠2,∴AB ∥CD .【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定,解题的关键是利用内错角相等两直线平行进行求证. 16.填写理由:如图,∠1=∠2,∠3=∠4,4BAE ∠=∠,试说明//AD BE .解:∵∠1=∠2(已知)∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠(______)即BAF ∠=∠______∵∠3=∠4,4BAE ∠=∠(已知)∴∠3=∠______(______)∴∠3=∠______∴//AD BE (______)【答案】见解析【分析】由∠1=∠2易得BAF ∠=DAC ∠,由等量代换可得∠3=∠DAC ,再根据内错角相等判定//AD BE .【详解】∵∠1=∠2(已知)∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠(等式的性质)即BAF ∠=∠ DAC∵∠3=∠4,4BAE ∠=∠(已知)∴∠3=∠BAE (等量代换)∴∠3=∠DAC∴//AD BE (内错角相等,两直线平行)【点睛】本题考查平行线的判定,灵活运用等量代换得到内错角相等是解题的关键.。
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线与平行线知识点总结5、1相交线 1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:注意点:⑴对顶角就是成对出现的,对顶角就是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果∠α与∠β就是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定就是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定就是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:如图所示:AB ⊥CD,垂足为O⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:ABCD O⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象就是线段的线。
4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO ⊥AB,同P 到直线AB 的距离就是PO 的长。
PO 就是垂线段。
PO 就是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都就是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别:垂线就是一条直线,不可度量长度;垂线段就是一条线段,可以度量长度。
七年级数学:《平行垂直》知识点归纳
七年级数学:《平行垂直》知识点归纳一、知识梳理二、1、平行线的定义:三、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.四、2、平行的表示:五、用符号“∥”表示,读作“平行于” .六、3、同一平面内两条直线的位置关系:七、平行或相交.八、4、平行公理:九、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.十、5、平行的传递性:十一、平行于同一直线的两直线平行.十二、6、平行与角的联系:十三、若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.十四、7、垂直定义:十五、如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直.十六、其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.十七、两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直.十八、8、垂直的表示:十九、用符号“⊥”表示,读作“垂直于” .二十、9、垂直公理:二十一、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.二十二、10、点到直线的距离:二十三、直线外一点到这条直线的垂线段的长度.二十四、11、垂线段的性质:二十五、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.二十六、12、垂直与角的联系:二十七、若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.二、典型例题例1、概念辨析(1)两条不相交的直线叫做平行线.(2)两条直线不相交就平行.(3)两条射线或线段平行,是指它们所在的直线平行.(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行.(5)经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行.(7)点A为直线l外一点,点B在直线l上,若AB=5厘米,则点A到直线l的距离为5cm.解析:(1)错误,必须加同一平面内,否则在立体几何中,会出现异面的情况.比如一个正方体,上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱,所在直线就是既不平行也不相交.(2)错误,理由同(1).(3)正确.(4)错误,反例如下图:(5)错误,必须在直线外,否则,如果这个点在直线上,所作直线就与已知直线重合.(6)正确.(7)错误,如下图,当点B在B2处,点A到直线l的距离为5cm,当点B在B1,点A到直线l的距离小于5cm.例2、试画图说明平面内三条直线的位置关系.分析:我们知道,同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系.那么到了三条直线,就会出现三条都平行,两条平行,都不平行的情况.在三条都平行的情况外,必然有相交的情况,我们可以从交点数来考虑,即有一个,有两个,有三个交点三种.解答:例3、(1)如图,P是∠AOB外一点,过点P画直线PC∥OA,交OB于点C,过点P画直线PD∥O B,交OA反向延长线于点D,量出∠AOB、∠CPD的度数,你有什么发现?点P如果在∠AOB内部呢?(2)如图,P是∠AOB外一点,过点P画直线PC⊥OA,交OA于点C,过点P画直线PD⊥O B,交OB于点D,量出∠AOB、∠CPD的度数,你有什么发现?点P如果在∠AOB内部呢?分析:本题不难,主要是根据要求作图,然后发现度数之间的联系,不是相等就是互补,最后,再关注所研究的两个角的位置关系,发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行,从而得出最后结论.解答:(1)当P是∠AOB外一点,∠AOB+∠CPD=180°当P是∠AOB内一点,∠AOB=∠CPD发现:若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.(2)当P是∠AOB外一点,∠AOB=∠CPD当P是∠AOB内一点,∠AOB+∠CPD=180°发现:若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.三、思维提升例1、网格作图(1)利用图(1)中的网格,利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线.(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形.(3)如果每个方格的边长是单位1,那么图(2)中组成的三角形的面积等于______.分析:网格作图是今后的重点内容,我们应该引起足够的重视,(1)对于作平行,有2种作法,第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线,那么,过要画的点P,也应该是构造横2竖4的长方形对角线.第二种,采用平移的方法,从点A平移到点P,需要向右4格再向下1格,那么点B也要同样平移,然后将线段两端延长,变成直线.对于作垂直,则和平行相反,过点P需要构造横4竖2的长方形对角线.(2)我们可以保持EF不动,将AB,CD平移,注意,有2种情况.(3)对于网格图形的面积,我们通常可以采用割补法,割,把大图形分成几个小图形,计算面积和,补,把大图形再补成一个更大的,可直接计算面积的图形,减去周围几个小图形的面积和.本题适合用补的方法.解答:例2、垂线段再认识如图,在6×6的正方形网格中,点P是∠AOB的边OB上的一点.过点P画OB的垂线,交OA于点C;过点P画OA的垂线,垂足为H;(1)请找出图中所有的垂线段,并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离.(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______.(用“<”号连接)分析:要找垂线段,首先要找出所有的垂足,因为垂线段是直线外一点到垂足的距离.这里的垂足显然只有P,H,那么点O,点C,可以和点P,点H组成垂线段.要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离,那么必然选择的是垂线段的两个端点中,不是垂足的那个点,到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离.解答:(1)OP,OP的长度是点O到直线PC的距离.CP,CP的长度是点C到直线OB的距离.OH,OH的长度是点O到直线PH的距离.CH,CH的长度是点C到直线PH的距离.PH,PH的长度是点P到直线OC的距离.(2)PH<PC<OC.例3、思考类作图同一平面内已知线段AB长为10cm,点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm,符合条件的直线l有_______条?分析:显然,同学们都能想到作线段AB的垂线,将线段AB分成6cm,4cm两部分.但其实,在线段AB的两侧还有两条,分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆,当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时,也符合题意,这样的直线有两条,即共有3条.到了初三,我们会知道,这三条线就是所画的两个圆的切线.解答:如图,三条红色的直线即为所求.变式如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有________个.分析:我们可以先找线,再确定点,先找出到l1距离为2的直线,到12距离为1的直线,显然,它们的交点,就满足题意.画图后,不难发现到l1距离为2的直线有2条,到12距离为1的直线有2条,这4条直线两两相交,有4个交点,这4个交点就是"距离坐标"是(2,1)的点.解答:如图,到l1距离为2的直线是2条蓝色直线,到12距离为1的直线是2条红色直线,四个交点即为所求.。
人教版七年级下册数学《平行线的判定》相交线与平行线说课研讨复习教学课件
是为什么?
解题秘方:找出AB,CD 被
AE 所截形成的同旁内角,利
用两个角之间的数量关系来
说明这两条直线平行.
感悟新知
解:因为∠ 1= ∠ AOD(对顶角相等),∠ 1=70°, 所以∠ AOD=70°. 又因为∠ A=110°, 所以∠ A+ ∠ AOD=180°. 所以AB ∥ CD(同旁内角互补,两直线平行).
(3)直线l1,l2位置关系如何?
两直线平行
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历:课件/jianli/
课件
课件
手抄报:课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
.P
A
B
1
相关概念:判定1:同位角相等,两直线平行
平行线判定1:
两条直线被第三条直线所截 ,
如果同位角相等, 课件 课件 课件 课件 课件
2. 表达方式:如图5.2-12, 因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已 知), 所以a ∥ b(同旁内角互补, 两直线平行).
感悟新知
特别解读 利用同旁内角说明两直线平行时,同旁内角之
间的关系是互补,不是相等.
感悟新知
例 3 如图5.2-13, 直线AE,CD 相交于点O, 如果
∠ A=110°,∠ 1=70°,就可以说明AB ∥ CD,这
【例1】如图,∠1=∠2=35°,
则AB与CD的关系是___A__B_∥_C_D____,
理课 课 课件 件 件 由课课课件件件 是___同___位__角__相__等__,__两__直__线__平__行__.
人教版七年级下数学 小专题 平行线的性质与判定(含解析)
小专题(一)平行线的性质与判定1.填写推理理由:如图,CD∥EF,∠1=∠2.求证:∠3=∠ACB.证明:∵CD∥EF,∴∠DCB=∠2( ).∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1( ).∴GD∥CB( ).∴∠3=∠ACB( ).2.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.3.如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,求证:∠1=∠2.4.已知:如图,AD∥EF,∠1=∠2.求证:AB∥DG.5.(蓟县期中)已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数.6.如图,已知AB∥CD,∠B=40°,CN是∠BCE的平分线,CM⊥CN,求∠BCM的度数.7.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=130°,∠FEC=15°,求∠ACF的度数.9.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.10.已知:如图,直线EF分别交AB,CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF的度数;(2)若已知直线AB∥CD,求∠P的度数.12.(萧山区月考)如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1,l2交于点C和D,直线l3上有一点P.(1)如图1,若P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化,并说明理由;(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与点C,D不重合,如图2和3),试直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系,不必写理由.小专题(一)平行线的性质与判定1.填写推理理由:如图,CD∥EF,∠1=∠2.求证:∠3=∠ACB.证明:∵CD∥EF,∴∠DCB=∠2(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1(等量代换).∴GD∥CB(内错角相等,两直线平行).∴∠3=∠ACB(两直线平行,同位角相等).2.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.解:∠B=∠C.理由:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC.∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.∴∠B=∠C.3.如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,求证:∠1=∠2.证明:∵AD∥BE,∴∠A=∠EBC.∵∠A=∠E,∴∠EBC=∠E.∴DE∥AB.∴∠1=∠2.4.已知:如图,AD∥EF,∠1=∠2.求证:AB∥DG.证明:∵AD ∥EF , ∴∠1=∠BAD. ∵∠1=∠2, ∴∠BAD =∠2. ∴AB ∥DG .5.(蓟县期中)已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK 平分∠DOH ,求∠KOH 的度数.解:∵∠1+∠2=180°,∴AB ∥CD.∴∠GOD =∠3=100°.∴∠DOH =180°-∠GOD =180°-100°=80°. 又∵OK 平分∠DOH ,∴∠KOH =12∠DOH =12×80°=40°.6.如图,已知AB ∥CD ,∠B =40°,CN 是∠BCE 的平分线,CM ⊥CN ,求∠BCM 的度数.解:∵AB ∥CD , ∴∠BCE +∠B =180°. ∵∠B =40°,∴∠BCE =180°-40°=140°. ∵CN 是∠BCE 的平分线,∴∠BCN =12∠BCE =12×140°=70°.∵CM ⊥CN ,∴∠BCM =90°-70°=20°.7.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.解:∵AD∥BC,∠EFG=55°,∴∠2=∠GED,∠1+∠GED=180°,∠DEF=∠EFG=55°.由折叠知∠GEF=∠DEF=55°.∴∠GED=110°.∴∠1=180°-∠GED=70°,∠2=110°.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=130°,∠FEC=15°,求∠ACF的度数.解:∵AD∥BC,∴∠ACB+∠DAC=180°.又∵∠DAC=130°,∴∠ACB=50°.∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.∴∠BCE=∠FEC=15°.又∵CE平分∠BCF,∴∠BCF=2∠BCE=30°.∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=20°.9.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.解:AD平分∠BAC.理由:∵AD⊥BC,EG⊥BC,∴∠ADC=∠EGC=90°.∴∠3=∠2,∠E=∠1.∵∠3=∠E,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC.10.如图所示,已知∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE=140°,试确定AB与DE的位置关系,并说明理由.解:AB∥DE.理由:过点C作FG∥AB,∴∠BCG=∠ABC=80°.又∠BCD=40°,∴∠DCG=∠BCG-∠BCD=40°.∵∠CDE=140°,∴∠CDE+∠DCG=180°.∴DE∥FG.∴AB∥DE.11.如图,直线l1,l2均被直线l3,l4所截,且l3与l4相交,给定以下三个条件:①l1⊥l3;②∠1=∠2;③∠2+∠3=90°.请从这三个条件中选择两个作为条件,另一个作为结论组成一个真命题,并进行证明.解:已知:l1⊥l3,∠1=∠2.求证:∠2+∠3=90°.证明:∵∠1=∠2,∴l1∥l2.∵l1⊥l3,∴l2⊥l3.∴∠3+∠4=90°.∵∠4=∠2,∴∠2+∠3=90°.12.已知:如图,直线EF分别交AB,CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF 的度数;(2)若已知直线AB ∥CD ,求∠P 的度数. 解:(1)∵∠AEF =66°,∴∠BEF =180°-∠AEF =180°-66°=114°. 又∵EP 平分∠BEF ,∴∠PEF =∠PEB =12∠BEF =57°.(2)过点P 作PQ ∥AB. ∴∠EPQ =∠PEB =57°. ∵AB ∥CD ,∴PQ ∥CD ,∠DFE =∠AEF =66°. ∴∠FPQ =∠PFO. ∵FP 平分∠DFE , ∴∠PFD =12∠DFE =33°.∴∠FPQ =33°.∴∠EPF =∠EPQ +∠FPQ =57°+33°=90°.13.(萧山区月考)如图,已知直线l 1∥l 2,直线l 3和直线l 1,l 2交于点C 和D ,直线l 3上有一点P.(1)如图1,若P 点在C ,D 之间运动时,问∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系是否发生变化,并说明理由; (2)若点P 在C ,D 两点的外侧运动时(P 点与点C ,D 不重合,如图2和3),试直接写出∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系,不必写理由.解:(1)当P 点在C ,D 之间运动时, ∠APB =∠PAC +∠PBD. 理由:过点P 作PE ∥l 1, ∵l 1∥l 2,∴PE ∥l 2∥l 1.∴∠PAC =∠APE ,∠PBD =∠BPE.∴∠APB =∠APE +∠BPE =∠PAC +∠PBD.(2)当点P 在C ,D 两点的外侧运动时,在l 2下方时,则∠PAC =∠PBD +∠APB ; 在l 1上方时,则∠PBD =∠PAC +∠APB.。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一.平行线1.定义:在同一平面内,__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析(1):平行线的特征:在同一平面内;是直线;没有公共点。
(2)在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种,重合的直线视为一条直线。
(3)平行线是指的两条直线的位置关系,两条射线或线段平行,是指的它们所在的直线平行。
二.平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三.平行公理及其推论1.平行公理:经过直线外一点,_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论:如果两条直线都与_________直线平行,那么这两条直线也互相平行四.平行线的判定1.同位角相等,两直线_________2.内错角相等,两直线_________3.同旁内角互补,两直线___________4.在同一平面内,垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1:1.如图,取一张长方形的硬纸板ABCD,将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合,EF 为折痕.把长方形ABEF平放在桌面上,另一个面CDEF无论怎么改变位置,总有CD∥AB存在,你知道为什么吗?例2:2.如图,取一张长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,把ABNM平摊在桌面上,另一个面CDMN不论怎样改变位置,总有MN∥∥.因此∥.题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1:3.如图,∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°,那么BC与DE平行吗?AB与CD呢?为什么?例2:4.阅读下面的推理过程,在括号内填上推理的依据,如图:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)所以∠1=∠4,()所以a∥c.()又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6()所以∠2+∠6=180°,()所以a∥b.()所以b∥c.()题型3 平行线判定的开放探究题例1:5.如图,∠A=60°,∠1=60°,∠2=120°,猜想图中哪些直线平行,并证明.例2:6.如图,直线a,b被c所截,∠1=50°,若要a∥b,则需增加条件(填图中某角的度数);依据是.题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1:7.如图所示,给你两块同样的三角板和一根直尺(直尺比桌子长),请你设计一个方案,检验桌子的相对边缘线是否平行?例2:8.在铺设铁轨时,两条直轨必须是互相平行的,如图,已经知道∠2是直角,那么再度量图中已标出的哪个角,就可以判断两条直线是否平行?为什么?课后提高训练9.下列说法错误的是()A.平行于同一条直线的两直线平行B.两直线平行,同旁内角互补C.对顶角相等D.同位角相等10.如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是()A.∠1=∠2B.∠4=∠C C.∠1+∠3=180°D.∠3+∠C=180°11.如图,平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5,根据所标角度,下列说法正确的是()A.l1∥l2B.l2∥l3C.l1∥l3D.l4∥l512.如图,在下列条件中,能判断AB∥CD的是()A.∠1=∠4B.∠BAD=∠BCDC.∠BAD+∠ADC=180°D.∠2=∠313.如图所示,下列推理正确的是()A.∵∠1=∠4(已知)∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)B.∵∠2=∠3(已知)∴AE∥DF(内错角相等,两直线平行)C.∵∠1=∠3(已知)∴AB∥DF(内错角相等,两直线平行)D.∵∠2=∠2(已知)∴AE∥DC(内错角相等,两直线平行)14.下列说法中正确的个数为()①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截,同位角相等③经过两点有一条直线,并且只有一条直线④在同一平面内,不重合的两条直线不是平行就是相交A.1个B.2个C.3个D.4个15.如图,下列能判定AB∥CD的条件有(填序号)①∠B+∠BCD=180°;②∠2=∠3;③∠1=∠4;④∠B=∠5;⑤∠D=∠5.16.如图,要使BE∥DF,需补充一个条件,你认为这个条件应该是(填一个条件即可).17.一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点C、D重合,若固三角板定ABC,改变三角板AED的位置(其中A点位置始终不变),当∠CAD=时,ED∥AC.18.如图,直线a、b被直线c所截,现给出的下列四个条件:①∠4=∠7;②∠2=∠5;③∠2+∠3=180°;④∠2=∠7.其中能判定a∥b的条件的序号是.19.已知:∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,求证:AB∥CD.20.如图,若∠1=42°,∠2=53°,∠3=85°,则直线l1与l2平行吗?判断并说明理由.21.如图,已知CD⊥AD于点D,DA⊥AB于点A,∠1=∠2,试说明DF∥AE.解:因为CD⊥AD(已知),所以∠CDA=90°().同理∠DAB=90°.所以∠CDA=∠DAB=90°().即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.因为∠1=∠2(已知),所以∠3=∠4().所以DF∥AE().22.完成下列证明过程,并在括号内填上依据.如图,点E在AB上,点F在CD上,∠1=∠2,∠B=∠C,求证AB∥CD.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(),∴∠2=∠4(等量代换),∴().∴∠3=∠C().又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD().参考答案与解析1.解:∵四边形FECD是矩形,∴CD∥EF;又∵四边形ABEF是矩形,∴AB∥EF,∴CD∥AB.2.解:∵长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,∴MN∥AB,MN∥CD,即MN∥AB∥CD,∴AB∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行).故各空依次填AB、CD、AB、CD.3.解:BC∥DE,AB∥CD.理由如下:∵∠1=47°,∠2=133°,而∠ABC=∠1=47°,∴∠ABC+∠2=180°,∴AB∥CD;∵∠2=133°,∴∠BCD=180°﹣133°=47°,而∠D=47°,∴∠BCD=∠D,∴BC∥DE.4.解:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),所以∠1=∠4,(同角的补角相等)所以a∥c.(内错角相等,两直线平行)又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(对顶角相等)所以∠2+∠6=180°,(等量代换)所以a∥b.(同旁内角互补,两直线平行)所以b∥c.(平行于同一条直线的两条直线平行).故答案为:同角的补角相等;内错角相等,两直线平行;对顶角相等;等量代换;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.5.解:如图,∵∠A=60°,∠1=60°,∴∠A=∠1,∴DE∥AC.又∵∠A=60°,∠2=120°,∴∠A+∠2=180°,∴EF∥AB.6.解:∵∠3=50°,1=50°,∴∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,两直线平行).故答案为:∠3=50°;同位角相等;两直线平行.7.解:(1)将直尺放在桌面上,使其与桌面一组对边相交;(2)将三角板一边贴近直尺,斜边贴近桌面边缘;(3)使另一个三角形同样方法放置,如果相符合说明对边平行,原理如图所示,若∠1=∠2则a∥b,再检查另一组对边是否平行.8.解:①通过度量∠3的度数,若满足∠2+∠3=180°,根据同旁内角互补,两直线平行,就可以验证这个结论;②通过度量∠4的度数,若满足∠2=∠4,根据同位角相等,两直线平行,就可以验证这个结论;③通过度量∠5的度数,若满足∠2=∠5,根据内错角相等,两直线平行,就可以验证这个结论.9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解:选项①中∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),所以正确;选项②中,∵∠2=∠3,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),所以错误;选项③中,∵∠1=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),所以正确;选项④中,∵∠B=∠5,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),所以正确;选项⑤中,∠D=∠5,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),所以错误;故答案为:①③④.16.解:添加条件为:∠D=∠COE.理由如下:∵∠D=∠COE,∴BE∥DE(同位角相等,两直线平行).故答案为:∠D=∠COE(答案不唯一).17.解:如图所示:当ED∥AC时,∠CAD=∠D=30°;如图所示,当ED∥AC时,∠E=∠EAC=60°,∴∠CAD=60°+90°=150°;故答案为:30°或150°.18.解:当∠4=∠7时,a∥b,故①正确;当∠2=∠5时,无法证明a∥b,故②错误;当∠2+∠3=180°时,无法证明a∥b,故③错误;当∠2=∠7时,a∥b,故④正确;故答案为:①④.19.证明:∵∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,∴∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,∴AB∥EF,CD∥EF,∴AB∥CD.20.解:直线l1与l2平行,理由:∵∠1=∠4,∠2=∠5,∠1=42°,∠2=53°,∴∠4=42°,∠5=53°,又∵∠3=85°,∴∠3+∠5=85°+53°=138°,∴∠3+∠5+∠4=138°+42°=180°,∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行).21.解:因为CD⊥AD(已知),所以∠CDA=90°(垂直的定义),同理∠DAB=90°.所以∠CDA=∠DAB=90°(等量代换),即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.因为∠1=∠2(已知),所以∠3=∠4(等式的性质1),所以DF∥AE(内错角相等,两直线平行).22.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等),∴∠2=∠4(等量代换),∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行).∴∠3=∠C(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故答案为:对顶角相等;CE∥BF;同位角相等,两直线平行;C;两直线平行,同位角相等;内错角相等,两直线平行.。
初中数学《平行线的判定》_1
达标检测:基 础 巩 固 题
4.如图所示,FE⊥CD,∠2=26°,猜想当∠1=____6_4_°____时,AB∥CD.
5∴、AD同//旁BC内(角内互错补角,相两等直,线两平直行线.平行) 5问、题同1旁:内画角图互过补程,中两,直 什线么平角行始.终保持相等? 与5、C同D平旁行内,角A互C补与,DE两也直平线行平行. 探经究过1直:线如外图一,点由,有3且= 只2有,一可条推直出线a/与/b吗已?知如直何线推平出行?。 如图3=所示2(,对FE顶⊥角C相D等,)∠2,=26°,猜想当∠1=__________时,AB∥CD.
内错角相等,两直线平行。
∴ 2= 3(同角的补角相等)
如图,三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a , 观察∠1,∠2满足什么条件时直线a与b平行.
∵
(已知),
5、同旁内角互补,两直线平行.
初步了解推理论证的方法,会正确的书写简单的推理过程;
12
∴a//b(同位角相等,两直线平行)
同旁内角互补,两直线平行。
人教版数学七年级下册
第五章 相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
学习目标:
1. 掌握平行线的判定,并能解决一些简单的问题;
2. 初步了解推理论证的方法,会正确的书写简单的 推理过程;
新课导入:
回顾与思考 问题1 两条不重合的直线的位置关系有哪几种? 相交(包括垂直)和平行两种。 问题2 怎样的两条直线平行? 在同一平面内,不相交的两条直线平行。
a
如果同位角相等,那么这两条直线平行。
平行线的性质(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.12平行线的性质(知识讲解)【学习目标】1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理;2.了解平行线的判定与性质的区别和联系,理解两条平行线的距离的概念;【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.特别说明:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.特别说明:(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2)两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.【典型例题】类型一、平行线的性质➽➼同位(内错)相等✮✮同旁内角互补➻➸两直线平行1.阅读下列推理过程,在括号中填写理由.如图,已知AD BC ⊥,EF BC ⊥,12∠=∠,试证明:∥DG BA .解:AD BC ⊥ ,EF BC ⊥(已知),90EFB ADB ∴∠=∠=︒(______)∴______∥______(______)1BAD ∴∠=∠(______)又12∠=∠ (已知),∴______(______)∴∥DG BA (______)【答案】垂直的定义;EF AD ;;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;2BAD ∠=∠;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可.解:AD BC ⊥ ,EF BC ⊥(已知),∴90EFB ADB ∠=∠=︒(垂直的定义),∴EF AD ∥(同位角相等,两直线平行),∴1BAD ∠=∠(两直线平行,同位角相等),又12∠=∠ (已知),∴2BAD ∠=∠(等量代换),∴∥DG BA (内错角相等,两直线平行),故答案为:垂直的定义;EF ;AD ;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;2BAD ∠=∠;等量代换;内错角相等,两直线平行.【点拨】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.举一反三:【变式1】将下列证明过程及依据补充完整.如图,在ABC 中,CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,E ,F 分别为BC ,AB 上的点,且AC DE ∥,CD EF ∥,求证:EF 平分DEB∠证明:∵CD 平分ACB ∠(已知),∴DCA DCE ∠=∠(角平分线的定义).∵AC DE ∥(已知),∴DCA CDE ∠=∠()∴DCE CDE ∠=∠(等量代换),∵CD EF ∥(已知),∠=∠()∴DEF CDE∠=∠()DCE BEF∴_____=______(等量代换),∴EF平分DEB∠()【答案】两直线平行,内错角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;DEF∠;BEF∠;角平分线的定义.【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可.∠(已知),证明:∵CD平分ACB∠=∠(角平分线的定义).∴DCA DCE∥(已知),∵AC DE∴DCA CDE∠=∠(两直线平行,内错角相等)∠=∠(等量代换),∴DCE CDE∵CD EF∥(已知),∠=∠(两直线平行,内错角相等)∴DEF CDEDCE BEF∠=∠(两直线平行,同位角相等)∴DEF∠=BEF∠(等量代换),∴EF平分DEB∠(角平分线的定义)故答案为:两直线平行,内错角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;DEF∠;BEF∠;角平分线的定义.【点拨】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用,明确相关性质及定理是解题的关键.【变式2】填空,将本题补充完整.如图,已知EF AD,∠1=∠2,∠BAC=65°.将求∠AGD的过程填写完整.解:∵EF AD (已知)∴∠2=()又∵∠1=∠2(已知)∴∠1=(等量代换)∴AB GD ()∴∠BAC +=180°()∵∠BAC =65°(已知)∴∠AGD =°【答案】∠3;两直线平行,同位角相等;∠3;内错角相等,两直线平行;∠AGD ;两直线平行,同旁内角互补;115°【分析】由EF AD ,可得∠2=∠3,由等量代换可得∠1=∠3,从而得到DG BA ,根据平行线的性质可得∠BAC +∠AGD =180°,即可求解.解:∵EF AD (已知)∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠2(已知)∴∠1=∠3(等量代换)∴AB GD (内错角相等,两直线平行)∴∠BAC +∠AGD =180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC =65°(已知)∴∠AGD =115°.【点拨】本题考查了平行线的性质与判定,此题比较简单,解题的关键是注意掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补定理;内错角相等,两直线平行的应用.2.如图,已知AD BC ⊥,EF BC ⊥,12∠=∠.(1)求证:EF AD ∥;(2)求证:180BAC AGD ∠+∠=︒.【分析】(1)根据垂直得出90EFB ADB ∠=∠=︒,根据平行线的判定得出EF AD ∥;(2)根据平行线的性质得出1BAD ∠=∠,由12∠=∠得出2BAD ∠=∠,根据平行线的判定得出DG BA ∥,再根据平行线的性质即可得解.(1)证明:∵AD BC ⊥,EF BC ⊥,∴90EFB ∠=︒,90ADB ∠=︒(垂直的定义),∴∠=∠EFB ADB (等量代换),∴EF AD ∥(同位角相等,两直线平行);(2)证明:∵EF AD ∥,∴1BAD ∠=∠(两直线平行,同位角相等),又12∠=∠ (已知),∴2BAD ∠=∠(等量代换),∴DG BA ∥(内错角相等,两直线平行),∴180BAC AGD ∠+∠=︒(两直线平行,同旁内角互补).【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.举一反三:【变式1】如图,已知AB ∥CD ,BC 平分∠ABD 交AD 于点E .(1)证明:∠1=∠3;(2)若AD ⊥BD 于点D ,∠CDA =34°,求∠3的度数.【答案】(1)见解析;(2)∠3=28°.,根据等量代【变式2】P是∠BAC内一点,射线PD//AB,射线PE//AC,连接BC,当点D在线段BC上,点E在射线AB上时,(1)补全图形;(2)猜想∠DPE与∠A的数量关系,并证明.【答案】(1)补全图形见解析;(2)∠DPE +∠A =180°,证明见解析【分析】(1)根据题中的要求直接补全图形即可;(2)根据平行线的性质得到BEP A ∠=∠,180BEP DPE ∠+∠=︒,等量代换即可证得结论.(1)解:补全图形,如下图所示:(2)解:180DPE A ∠+∠=︒.理由如下:PE AC ∥ ,BEP A ∴∠=∠,PD AB ∥ ,180BEP DPE ∴∠+∠=︒,即180DPE A ∠+∠=︒.【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用,解题的关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补.类型二、平行线的性质➽➼由平行线性质探索角的关系3.如图:(1)若AB EF ∥,猜想图①中,B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系并加以证明;(2)若AB EF ∥,如图②,直接写出B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系:.(3)学以致用:一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示,BA 垂直地面AE 于A ,CD 平行于地面AE ,若150BCD ∠=︒,则ABC ∠=.【答案】(1)BDF B F ∠=∠+∠,证明见解析;(2)360B BDF F ∠+∠+∠=︒;(3)120︒【分析】(1)过点D 作CD AB ∥;通过平行线的性质倒角即可;(2)过点D 作CD AB ∥;根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解;(3)由(2)中的结论计算即可;(1)解:BDF B F ∠=∠+∠;理由如下:如图,过点D 作CD AB ∥;∴B BDC∠=∠∵AB EF∥∴CD EF∥∴CDF F∠=∠∵BDF BDC CDF∠=∠+∠∴BDF B F∠=∠+∠(2)解:360B BDF F ∠+∠+∠=︒;理由如下:如图,过点D 作CD AB ∥;∵AB EF∥∴AB CD EF∥∥∴180B BDC =∠+∠︒,180CDF F ∠+∠=︒∴360B BDF F B BDC CDF F ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒(3)解:由(2)可知:BCD ABC BAE ∠+∠+∠=︒360∴90BAE ∠=︒∴ABC BAE BCD ∠=︒-∠-∠=︒360120【点拨】本题考查了平行线的性质以及传递性;熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键.举一反三:【变式1】如图,已知三角形EFG 的顶点E ,F 分别在直线AB 和CD 上,且AB CD .若90EFG ∠=︒,30FEG ∠=︒.(1)当221∠=∠时,求1∠的度数.(2)设AEG α∠=,CFG β∠=,求α和β的数量关系(用含α,β的等式表示).∴180AEG EGM ∠+∠=︒,∴∥GM CD ,∴180MGF CFG ∠+∠=︒,∴360AEG EGM MGF CFG ∠+∠+∠+∠=︒,即360AEG EGF CFG ∠+∠+∠=︒,∵在Rt EGF 中,90EFG ∠=︒,30FEG ∠=︒,∴60EGF ∠=︒,∴36036060300AEG CFG EGF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒,∵AEG α∠=,CFG β∠=,∴300αβ+=︒.【点拨】本题主要考查平行线与三角形的综合运用,掌握平行线的性质,三角形内角和定理是解题的关键.【变式2】请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1,AB CD ∥,E 为AB 、CD 之间一点,连接AE ,CE 得到AEC ∠.求证:AEC A C ∠=∠+∠,小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点E 作EF AB ∥,∴1B ∠=∠,∵AB CD ∥,EF AB ∥,∴EF CD∥∴2C ∠=∠,∵12AEC ∠=∠+∠,∴AEC A C ∠=∠+∠,请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.(1)如图2,若AB CD ∥,60E ∠=︒,求B C F ∠+∠+∠的度数;(2)灵活应用:如图3,一条河流的两岸AB CD ∥当小船行驶到河中E 点时,与两岸码头B 、D 所形成的夹角为64︒(即64BED ∠=︒),当小船行驶到河中点F 时,恰好满足ABF EBF =∠∠,EDF CDF ∠=∠,请你直接写出此时点F 与码头B 、D 所形成的夹角BFD ∠=_________.∵EN AB ∥,FM AB ∥,DC ∥∴EN CD ∥,FM CD ∥,EN ∴∠B =∠BEN ,∠NEF =∠EFM ∵∠BEN +∠NEF =∠BEF ,∠EFM类型三、平行线的性质➽➼由平行线性质求角度4.(1)如图AD 平分CAB ∠,DE AC ∥,28CAD ∠=︒.求1∠的度数.(2)如图已知1180C ∠+∠=︒,CF BE ∥.求证:B C ∠=∠.【答案】(1)1∠的度数为56︒;(2)见解析【分析】(1)根据角平分线的定义得到256CAB CAD ∠=∠=︒,由平行线的性质即可得到结论.(2)先证明AB CD ∥,再利用平行线的性质证明B CHE ∠=∠,C CHE ∠=∠,即可证明B C ∠=∠.解:(1)∵AD 平分CAB ∠,28CAD ∠=︒,∴256CAB CAD ∠=∠=︒,∵DE AC ∥,∴156CAB ∠=∠=︒;(2)证明:∵1180C ∠+∠=︒,1180AGC ∠+∠=︒,∴AGC C ∠=∠,∴AB CD ∥,∴B CHE ∠=∠,∵CF BE ∥,∴C CHE ∠=∠,∴B C ∠=∠.【点拨】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握“同旁内角互补,两直线平行”、“内错角相等,两直线平行”及“两直线平行,内错角相等”是解答此题的关键.举一反三:【变式1】如图,已知点B 、C 在线段AD 的异侧,连接、AB CD ,点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点,连接CE BF 、,分别与AD 交于点G ,H ,且AEG AGE ∠=∠,C DGC ∠=∠.(1)求证:AB CD ∥;(2)若180AGE AHF ︒∠+∠=,求证:B C ∠=∠;(3)在(2)的条件下,若117BFC C ∠=∠,求AHB ∠的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)70︒【分析】(1)只需要证明AEG C ∠=∠即可证明AB CD ∥;(2)先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE 则B AEG =∠∠,再由AEG C ∠=∠即可证明B C ∠=∠;(3)根据平行线的性质得到180BFC C ∠+∠=︒,AHB DGC ∠=∠,再结合已知条件求出C ∠的度数即可得到答案.(1)证明:∵AEG AGE ∠=∠,C DGC ∠=∠,AGE DGC ∠=∠,∴AEG C ∠=∠,【变式2】类型四、平行线的性质➽➼平行线性质的应用5.如图,一条公路修在湖边,需拐弯绕道而过,如果第一次向右拐75°,第二次拐弯形成的拐角∠B =135°,第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行,那么第三次是如何拐弯的?【答案】向左拐30°【分析】过点B 作BM OA ∥,延长BC 到点P .可得BM CN ∥.从而得到∠ABM =∠A =105°.再由∠ABC =135°,可得∠MBC =30°即可求解.解:过点B 作BM OA ∥,延长BC 到点P .∵BM OA ∥,OA CN ∥,∴BM CN ∥.∵第一次向右拐75°,即∠A =105°,∴∠ABM =∠A =105°.∵∠ABC =135°,∴∠MBC =30°又∵BM CN ∥,∴∠NCP =∠MBC =30°.答:第三次应向左拐30°.【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质,熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.举一反三:【变式1】ABC ∠和BCD ∠,量得63ABC ∠=︒,要保持两次拐弯前后的路线平行,BCD ∠的度数应为多少?为什么?【答案】117°,理由:同旁内角互补,两直线平行【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD 的度数.【详解】解:根据题意得,AB ∥CD ,∠ABC =63°∴∠BCD =180°-∠ABC =117°,∴要保持两次拐弯前后的路线平行,∠BCD 为117°,理由是同旁内角互补,两直线平行.【点拨】题目主要考查平行线的性质,理解题意是解题的关键.【变式2】潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的,如图1,光线经过镜子反射时,12∠=∠,3=4∠∠,那么2∠和3∠有什么关系?为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的?先画几何图形,如图2,再写已知未知.如图,//,12,34AB CD ∠=∠∠=∠,(1)猜想2∠和3∠有什么关系,并进行证明;(2)求证://PM NQ .【答案】(1)23∠∠=,证明见解析;(2)见解析【分析】(1)根据两面镜子是互相平行放置的可知//AB CD ,再根据平行线的性质(两直线平行,内错角相等)即可直接证明23∠∠=.(2)结合题意可证明1234∠=∠=∠=∠,再由125180∠+∠+∠=︒,346180∠+∠+∠=︒,即可证明56∠=∠,最后由平行线的判定定理(内错角相等,两直线平行),即可证明//P M N Q .解:(1)根据题意可知//AB CD ,∴23∠∠=(两直线平行,内错角相等).(2)∵23∠∠=,∴1234∠=∠=∠=∠;∵125180∠+∠+∠=︒,346180∠+∠+∠=︒,∴56∠=∠,∴//P M N Q (内错角相等,两直线平行).【点拨】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用.掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键.类型五、平行线的性质➽➼平行线间的距离✮✮应用6.探究规律:我们有可以直接应用的结论:若两条直线平行,那么在一条直线上任取一点,无论这点在直线的什么位置,这点到另一条直线的距离均相等.例如:如图1,两直线//m n ,两点H 、T 在m 上,HE n ⊥于E ,TF n ⊥于F ,则HE TF =.如图2,已知直线//m n ,A 、B 为直线n 上的两点,C 、D 为直线m 上的两点.(1)请写出图中面积相等的各对三角形:__________.(2)如果A 、B 、C 为三个定点,点D 在m 上移动,那么无论D 点移动到任何位置总有:_______与ABC 的面积相等;理由是:___________.【答案】(1)ABC 和ABD △,DCA △和DCB △,ACO △和DBO ;(2)ABD △,同底等高的两个三角形的面积相等【分析】(1)写出面积相等的各对三角形,我们拿ABC 与ABD △为例:两个三角形用公共边AB 为底,再由图1的结论知道高相等,由三角形面积公式知两个三角形面积相等,其它对分析类似;(2)根据同底等高的两个三角形的面积相等,可以得出结论.解:(1)有三对分别是:ABC 和ABD △,DCA △和DCB △,ACO △和DBO ,分析如下:ABC 和ABD △,两个三角形用公共边AB 为底,再由图1的结论知道高相等,由三角形面积公式知两个三角形面积相等;DCA △和DCB △,两个三角形以CD 为底,高相等,即面积相等;ACO △和DBO ,根据DCA △和DCB △面积相等,两个三角形同时减去CDO ,得ACO △和DBO 面积相等.故答案为:ABC 和ABD △,DCA △和DCB △,ACO △和DBO ,(2)如果A 、B 、C 为三个定点,点D 在m 上移动,那么无论D 点移动到任何位置总有:ABD △与ABC 的面积相等,分析如下:ABD △与ABC 同底,点D 在m 上移动,那么无论D 点移动到任何位置,点D 到另一条直线的距离相等,使得这两个三角形是:同底等高的两个三角形,即面积相等.故答案为:同底等高的两个三角形的面积相等【点拨】本题考查了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题,解题的关键是:理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等.举一反三:【变式1】如图,已知直线m//n ,A ,B 为直线m 上的两点,C ,P 为直线n 上的两点.(1)请写出图中面积相等的各对三角形:;(2)如果A ,B ,C 为三个定点,点P 在直线n 上移动,那么,无论P 点移动到任何位置,总有.理由是:.【答案】(1)ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △;(2)题(1)中三对面积相等的三角形,理由见解析.【分析】(1)根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得;(2)根据两平行线之间的距离处处相等即可得.【详解】(1)设平行线m 与n 之间的距离为h则ACP △和BCP 的边CP 上高均为h ,ABC 和ABP 的边AB 上高均为h由同底等高得:ACP △与BCP 的面积相等,ABC 与ABP 的面积相等又AOC ACP COP S S S =- ,BOP BCP COPS S S =- AOC BOPS S ∴= 即AOC 与BOP △的面积相等故答案为:ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △;(2)总有题(1)中三对面积相等的三角形理由:两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等.【点拨】本题考查了平行线之间的距离,掌握平行线之间的距离是解题关键.【变式2】作图并写出结论:如图,直线CD与直线AB相交于C,根据下列语句画图.(1)过点P作PR⊥CD,垂足为R.(2)过点P作PQ∥CD,交AB于点Q.(3)若∠DCB=135°,则∠PQC度.(4)点Q到直线PR的距离是线段的长度.)∵PQ∥CD(已作),)∴∠DCB+∠PQC=180°,∵∠DCB=135)因为PR⊥CD,所以点Q到直线【点拨】本题的关键是掌握基本作图,并能运用平行线的性质知识解决问题类型六、平行线的性质➽➼平行线性质与判定综合➽➼证明✮✮计算7.如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,∠=∠.已知12∠=∠,3C(1)求证:AB CD ∥;(2)若24180∠+∠=︒,求证:180BFC C ∠+∠=︒;(3)在(2)的条件下,若3021BFC ∠-︒=∠,求B ∠的度数.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)50B ∠=︒【分析】(1)已知12∠=∠,所以32∠=∠,又因为3C ∠=∠,可以得出1C ∠=∠即可判定AB CD ∥;(2)已知23∠∠=,24180∠+∠=︒,可以得出//BF EC ,即可得出180BFC C ∠+∠=︒;(3)由(1)(2)可知AB CD ∥,//BF EC ,可以得出1C ∠=∠,180BFC C ∠+∠=︒;可以得出30212BFC C ∠-︒=∠=∠,可以得出C ∠,又因为1C B ∠=∠=∠,即可求出B ∠的度数.(1)证明:12∠=∠ ,3C ∠=∠,23∠∠=,1C ∴∠=∠,//AB CD ∴;(2)证明:24180∠+∠=︒ ,23∠∠=,34180∴∠+∠=︒,//BF EC ∴,180BFC C ∴∠+∠=︒;(3)180BFC C ∠+∠=︒ ,30212BFC C ∠-︒=∠=∠ ,230BFC C ∴∠=∠+︒,230180C C ∴∠+︒+∠=︒,50C ∴∠=︒,130BFC ∴∠=︒,//AB CD ,180B BFC ∴∠+∠=︒,50B ∴∠=︒.【点拨】本题考查了对顶角相等,平行线的性质与判定,掌握平行线的性质与判定是解题的关键.举一反三:【变式1】如图,已知点E ,F 在直线上AB 上,点G 在线段CD 上,ED 与FG 交于点H ,180C EFG CED GHE ︒∠=∠∠+∠=,.(1)试判断AED ∠与D ∠之间的数量关系,并说明理由.(2)若7030EHF D ∠︒=︒∠=,,求AEM ∠的度数.【答案】(1)180AED D ∠+∠=︒,理由见解析;(2)100︒.【分析】(1)根据同旁内角互补,两直线平行可得CE ∥GF ,根据平行线的性质等量代换可得∠FGD =∠EFG ,进而判定AB ∥CD ,即可得出∠AED +∠D =180°;(2)根据平行线的性质可得∠CED =70EHF ∠=︒,∠DEF =∠D =30°,求出∠CEF ,依据对顶角相等即可得到∠AEM 的度数.(1)解:∠AED +∠D =180°;理由:∵180CED GHE ∠+∠=︒,∴CE ∥GF ,∴∠C =∠FGD ,∵∠C =∠EFG ,∴∠FGD =∠EFG ,∴AB ∥CD ,∴∠AED +∠D =180°;(2)解:∵CE ∥GF ,70EHF ∠=︒,∴∠CED =70EHF ∠=︒,∵∠D =30°,AB ∥CD ,∴∠DEF =∠D =30°,∴∠CEF =∠CED +∠DEF =70°+30°=100°,∴∠AEM =∠CEF =100°.【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系,平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.如图,1245EF BD BAC ∠=∠∠=︒,,∥.求ADG ∠的度数.【答案】135ADG ∠=︒【分析】根据两直线平行,同位角相等,得出23∠∠=,,再根据等量代换,得出13∠=∠,再根据内错角相等,两直线平行,得到DG AB ∥,最后再根据两直线平行,同旁内角互补,计算即可得出答案.解:∵EF BD ∥,∴23∠∠=,∵12∠=∠,∴13∠=∠,∴DG AB ∥,∴180ADG BAC ∠+∠=︒,∵45BAC ∠=︒,∴18045135AGD ∠=︒-︒=︒.【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质,掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.【变式2】完成下面的证明:如图,点B 在AG 上,AG CD ∥,连接BC ,CF 平分BCD ∠,ABE FCB ∠=∠,BE AF ⊥于点E .求证:90F ∠=︒.证明:∵AG CD ∥,∴ABC BCD ∠=∠(_____________________).∵ABE FCB ∠=∠,∴ABC ABE BCD FCB ∠-∠=∠-∠,即EBC FCD ∠=∠.∵CF 平分BCD ∠,∴FCB ∠=______(__________________).∴EBC FCB ∠=∠,∴BE CF ∥(________________________)∴__________________F =∠(________________________).∵BE AF ⊥,∴BEF ∠=______︒(______________________).∴90F ∠=︒.∴90BEF ∠=︒(垂直的定义).∴90F ∠=︒.故答案为:两直线平行,内错角相等;FCD ∠;角平分线的定义;内错角相等,两直线平行;BEF ∠;两直线平行,内错角相等;90;垂直的定义.【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定,角平分线的定义,垂直的定义,熟知相关知识是解题的关键.中考真题专练一、单选题1.(2022·山东东营·中考真题)如图,直线a b ,一个三角板的直角顶点在直线a 上,两直角边均与直线b 相交,140∠=︒,则2∠=()A .40︒B .50︒C .60︒D .65︒【点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算,平行线的性质,三角板中角度的计算,熟知平行线的性质是解题的关键.2.(2022·湖北襄阳·中考真题)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC(∠ABC =30°,∠BAC=60°)按如图方式放置,点A,B分别落在直线m,n上.若∠1=70°.则∠2的度数为()A.30°B.40°C.60°D.70°故选:B.【点拨】本题主要考查了平行线的性质,关键是熟练掌握平行线的性质.∥,将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置.若3.(2022·贵州安顺·中考真题)如图,a b∠=︒,则2∠的大小是()115A.20︒B.25︒C.30︒D.45︒【答案】C∥,根据平行线的性质,可得【分析】如图,过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a23,14∠=∠∠=∠,根据三角板可知3445∠+∠=︒,进而等量代换结合已知条件即可求解.∥解:如图,过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a∵a∥b,∴∥∥,a b c∴∠=∠∠=∠,23,14,∠+∠=︒3445\Ð+Ð=°,1245Q,Ð=°115∴∠=︒.230故选:C.【点拨】本题考查了平行线的性质与判定,掌握平行线的性质是解题的关键.二、填空题,则α∠的度数是______.4.(2022·辽宁阜新·中考真题)一副三角板如图摆放,直线AB CD【答案】15︒##15度【分析】根据题意可得:90EBD ∠=︒,45BDE ∠=︒,30EDC ∠=︒,然后利用平行线的性质可得180ABD BDC ∠∠+=︒,从而进行计算即可解答.解:如图:由题意得:90EBD ∠=︒,45BDE ∠=︒,30EDC ∠=︒,//AB CD ,180ABD BDC ∠∠∴+=︒,180EBD BDE EDC∠α∠∠∠∴=︒---180904530=︒-︒-︒-︒15=︒,故答案为:15︒.【点拨】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.5.(2022·湖北宜昌·中考真题)如图,C 岛在A 岛的北偏东50︒方向,C 岛在B 岛的北偏西35︒方向,则ACB ∠的大小是_____.【答案】85︒##85度【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ,根据方位角的定义,结合平行线性质即可求解.解: C 岛在A 岛的北偏东50︒方向,50DAC ∴∠=︒,C 岛在B 岛的北偏西35︒方向,35CBE ∴∠=︒,过C 作CF DA ∥交AB 于F ,如图所示:DA CF EB ∴∥∥,50,35FCA DAC FCB CBE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒,85ACB FCA FCB ∴∠=∠+∠=︒,故答案为:85︒.【点拨】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度,理解方位角的定义,并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键.三、解答题6.(2022·湖北武汉·中考真题)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,80B ∠=︒.(1)求BAD ∠的度数;(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ,50BCD ∠=︒.求证:AE DC ∥.【答案】(1)100BAD ∠=︒;(2)详见解析【分析】(1)根据两直线平行,同旁内角互补,即可求解;(2)根据AE 平分BAD ∠,可得50DAE ∠=︒.再由AD BC ∥,可得50AEB DAE ∠=∠=︒.即可求证.(1)解:∵AD BC ∥,∴180B BAD ∠+∠=°,∵80B ∠=︒,∴100BAD ∠=︒.(2)证明:∵AE 平分BAD ∠,∴50DAE ∠=︒.∵AD BC ∥,∴50AEB DAE ∠=∠=︒.∵50BCD ∠=︒,∴BCD AEB ∠=∠.∴AE DC ∥.【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质,熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
an dAl l t h i ng s人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.。
重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
1243符号语言记作:如图所示:AB ⊥CD ,垂足为O⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
人教版七年级下册数学课本知识点归纳完整版(最新最全)
人教版七年级下册数学课本知识点归纳第五章相交线与平行线一、相交线两条直线相交,形成4个角。
1.邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角,互为邻补角。
如:∠1、∠2。
2.对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。
如:∠1、∠3。
3.对顶角相等。
二、垂线1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
2.垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。
4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1.同位角:在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如:∠1和∠5。
2.内错角:在在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如:∠3和∠5。
3.同旁内角:在在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如:∠3和∠6。
四、平行线(一) 平行线1.平行:两条直线不相交。
互相平行的两条直线,互为平行线。
a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
)2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。
②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
(二)平行线的判定:1.同位角相等,两直线平行。
2.内错角相等,两直线平行。
3.同旁内角互补,两直线平行。
(三)平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《平行线》知识全解
课标要求
掌握平行线的概念,理解平行公理及推论,会过一点做已知直线的平行线。
知识结构
这一小节的主要结构是平行线的概念,平行公理及推论.
(1)平行线的概念和表示方法
平行线的概念是通过一个两条直线被第三条直线所截的模型,说明在转动a的过程中,存在两条直线不相交的情况,由此给出平行线的概念和表示方法,所以平行线的概念没有用具体的语言来叙述,什么是平行线应结合具体的图形来理解.
(2)平行公理及推论
同样利用两条直线被第三条直线所截的模型,在转动a的过程中,只有一个位置使得a 与b平行,以及通过动手过直线外一点画平行线的活动,引出了平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.并进一步给出了平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
内容解析
(1)用一个两条直线被第三条直线所截的模型,既可以引出平行线的概念,又可以引出平行公理,还是三线八角的模型,也可以用它来引入平行线的判定方法的学习.因此,要重视这个模型在教学中的应用.
(2)平行线是用“不相交”这种否定方式来定义的,这种否定的方式包含了对空间的想象,因此,对平行线概念的理解,要使学生发挥想象力,把三个木条看成是三条直线,想象在转动过程中不相交的情况.实际生活中,大量存在的是平行线段,要把它们看成是平行直线.
(3)画平行线是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,常常会遇到画平行线的问题.因此,在画图时,要注意画平行线时要使用工具,不能徒手画.
(4)平行线公理是几何中的重要公理,在本节中不要求会推理,只要能通过观察,实
验,体验这些结论就可以了.
重点难点
重点:平行线的概念和平行公理及推论.难点:理解平行线是无限延伸的,无论怎样延伸都不会相交.
教法导引
主要是在教师的指导下,学生带着问题认真阅读课本,自主学习,然后讨论,小组代表发言,师生达成共识.
学法建议
认真阅读课本和动手画图并探究从中发现几何结论.。