高三数学二轮专题复习 三角函数
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三角函数二轮复习建议
三角函数内容主要有两块;一是三角函数的图象和性质,二是三角恒等变换.近三年高考中基本上是一个小题(三角函数的图象与性质)、一个大题(三角恒等变换),大都是容易题和中等题,难度不大,容易得分,也是必须要得分的.
第1~2课时 三角函数的图象和性质
基本题型一:求三角函数的周期
例 1 函数f (x )=3sin(2x +π3
)的最小正周期为 ;图象的对称中心是 ;对称轴方程是 ;当x ∈[0,π2
]时,函数的值域是 . 说明:
1.函数y =A sin(wx +ϕ)的图像与参数A ,w ,ϕ的关系;通过换元可将y =A sin(wx +ϕ)的图象转化为对y =A sin x 的图象的研究.
2.对于三角函数的图象与性质,周期性是最本质的内容,周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象.
3.此类问题呈现的形式有三种:①正面呈现,象例1的形式;②给出函数的一部分性质,如已知直线y =a (0<a <A )与函数y =A sin(wx +ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2,4,8,写出函数y =A sin(wx +ϕ)的一个单调增区间;③以图象形式呈现,给出函数y =A sin(wx +ϕ)的一部分图象.
例2 若函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ<2π)的图象(部分)如图所示,则ω=_________,φ=_________.
说明:方法一 由图知T =4×[2π3-(-π3)]=2π,所以ω=1,从而2π3+φ=π2+2k π,k ∈Z ,解得φ=2k π-π6
,k ∈Z .因为0≤φ<2π,所以φ=11π6
. 方法二 由图知T =4×[2π3-(-π3
)]=2π,所以ω=1,所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位,即向左移了11π6
个单位,.因为0≤φ<2π,所以φ=11π6
. 基本策略:根据函数的图像先确定振幅A ,再确定周期T .利用周期求出角速度ω,最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值.一般不用平衡点(零点)来确定.三角函数图像的变换,每一次变换前,应先将“已知”函数一般化,写成f (x )的形式,再分别按照f (x )→f (x -a ),
f (x )→f (ωx ),f (x )→f (x )+k ,f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式.
例3 如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,OA =2,B 为圆上任意一点,以AB 为一边作等边三角形ABC .问:点B 在什么位置时,四边形OACB 面积最大?
说明:
对于此类以图形为背景的应用题,重点应放在变量的选择上.
例4 已知函数f (x )=2sin x (sin x -cos x )+2,x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)求函数在区间[π8,3π4
]上的最大值和最小值; (3)若f (α)=3-425,0<α<π2
,求cos2α的值. 说明:
此类题型的考查要求虽然不高,不要深挖,但在二轮复习中还要涉及一点.
基本策略:
利用恒等变形,化为“一个角的一个三角函数的一次式y =A sin(ωx +φ)+k (ω>0,0≤φ<2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法.其中,对于函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ<2π)的单调性,要用整体化的观点,将ωx +φ看作是一个角的大小,结合y =sin x 的单调区间和ωx +φ关于x 的单调性进行判断.
第3~4课时 三角恒等变换
例1 cos(-600°)= .
说明:
利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值,也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值.
例2 若3cosα+4sinα=5(0<α<π),求tan(α+π4
)的值. 说明:
1.重视最基本方法的运用,即把cosα,sinα当成未知数,通过解方程组求得
cosα,
C
sinα;
2.在三角函数求值中要注意两点:①根据角之间的关系选择适当的三角变换;②根据角所在象限确定三角函数值的符号,要加以说明(题目条件中已经给定,角的范围太大,需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定).
例3 当0<x <π2时,函数f (x )=1+cos2x +8sin 2
x sin2x
的最小值为 . 说明:
利用二倍角公式对f (x )进行化简,转化为用基本不等式求解的最值问题.
例4 已知tan(π4+α)=12
. (1)求tan α的值;(2)求sin2α-cos 2α1+cos2α
的值.
基本策略:
在化简过程中,通过变角、变名、变次,换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数.
第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,且满足cos A 2=255
,AB →·AC →=3.
(1)求△ABC 的面积;
(2)若c =1,求a 的值.
例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,B =π3,cos A =45
,b =3. (1)求sin C 的值;
(2)求△ABC 的面积.
说明:
1.根据条件,结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.
2.向量中有关概念的理解,公式的正确使用.
例3 在平面四边形ABCD 中,∠A =60°,AD ⊥CD ,∠DBC =60°,AB =23,BD =4,求CD 的长.
说明: