矢量分析与场论

矢量分析与场论

矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析

在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数

与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念

定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作

A =A )(t （1.1.1）

并称D 为矢函数A 的定义域。

在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成

A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢

函数相当于三个数性函数。

本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O 也

称为矢端曲线的极。

由于终点为),,(z y x M 的矢量OM 对于原点O 的矢径为

zk yj xi OM r ++==

当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即

)(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3）

此式就是曲线l 的参数方程。

只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。

2、矢函数的极限和连续性

定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使当t 满足δ<-<00t t 时，就有

|A )(t －A 0|< ε

成立，则称A 0为A )(t 当0t t →时的极限，记作

l i m t t →A )(t =A 0 （1.1.4）

矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如

)(lim t t t u →A )(t =0

)(lim t t t u →·0

lim t t →A )(t （1.1.5）

lim t t →[A )(t ±B )(t ]=0

lim t t →A )(t ±0

lim t t →B )(t （1.1.6）

lim t t →[A )(t ·B )(t ]=0

lim t t →A )(t ·0

lim t t →B )(t （1.1.7）

lim t t →[A )(t ×

B )(t ]=0

lim t t →A )(t ×0

lim t t →B )(t （1.1.8） 其中)(t u 为数性函数，A )(t ，B )(t 为矢函数；且0t t →时，)(t u ，A )(t ，B )(t 的极限均存在。 若设

A )(t = )(t A x i+ )(t A y j+)(t A z k 则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有

lim t t →A )(t =0

lim t t →)(t A x i+0

lim t t →)(t A y j+0

lim t t →)(t A z k （1.1.9）

即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。 定义1.1.3 若矢函数A )(t 在o t 的某个邻域内有定义，且有

lim t t →A )(t =A )(0t （1.1.10）

则称A )(t 在0t t =处连续。

即矢函数A )(t 在o t 处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数

)(),(),(t A t A t A z y x 都在o t 处连续。

若矢函数A )(t 在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A )(t 在该区间内连续。或称A )(t 是该区间内的连续函数。

§1.2 矢函数的导数与微分

矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。 1、矢函数的导数

设有起点在原点O 的矢函数A )(t ，当数性变量t 在其定义域内从t 变到

)0(≠∆∆t t 时，对应的矢量分别为

A OM t =)( A ON t t =∆+)( 如图1.2.1，则

A ON t t =∆+)(-A )(t =MN

称为矢函数A )(t 的增量，记作∆A )(t ，即

∆A )(t =A )(t t ∆+- A )(t （1.21.） 据此，我们给出矢函数的导数定义。