流体力学讲义 第四章 恒定总流基本方程

第四章恒定总流基本方程本章是流体力学在工程上应用的基础。

它主要利用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程在工程应用上的分析计算方法。

第一节总流分析法一、概念1.流管（stream tube ):在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。

判断：棱柱形明渠不存在流管。

错图4-1 流管与元流图4-22.元流（tube flow)流管中的液流称为元流或微小流束（图4-1）。

元流的极限是一条流线（图4-2）。

3.总流（total flow）：把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。

4.过水断面（cross section）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，如图4-3中的1-1，2-2断面。

判断：均匀流过水断面是一平面，渐变流过水断面近似平面。

对5.控制体：即在流场中划定的一个固定的空间区域，该区域完全被流动流体所充满。

6.控制断面：即控制体（流管）有流体流进流出的两个断面，如图4-4中的3-3，4-4断面。

图4-3 过水断面图4-4 总流、控制体与控制断面判断：恒定总流的能量方程可通过元流的能量方程在整个总流上积分而得。

对二、控制断面的选取1.渐变流的性质渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于平行直线的流动。

均匀流是渐变流的极限。

动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静压强的规律（2-11）式分布，如图4-5，即图4-5求证：在恒定渐变流的同一过流断面上各点动水压强按静水压强规律分布，即：。

证明：列出z1方向的N—S方程有：对恒定流，当地加速度为0；对渐变流，迁移加速度近似为0，故根据欧拉加速度的定义：又如图4-6所示：图4-6积分得：即证。

注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。

想一想：图4-7中，过水断面上的动压强分布符合静压强分布规律的为：直管处弯管处图4-7 图4-82.急变流动压强特性：在断面上有因为急变流时，流线的曲率较大，沿垂直流向方向的加速度不能忽略，如图4-8。

3.选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀流断面上。

问题1：如图所示管路系统中流体作实际运动，恒定。

圆管等直径，则下述判断正确的是：A.该管路系统上点3和5的测压管水头相等；B.该管路系统上点7的测压管水头大于6点的测压管水头；C.该管路系统上点1的动水压强p1=g水·h1；D.该管路系统上点2和8的动水压强p1=p8=p a。

问题2：一等直径水管，A-A为过流断面，B-B为水平面，1,2,3,4为面上各点，各点的运动物理量有以下关系：A.；B.；C.；D.。

问题3：渐变流任意两个过水断面的。

错三、流量与断面平均流速1. 流量（discharge）：是指单位时间内通过河渠、管道等某一过水横断面的流体量。

体积流量（m3/s）：（4-1）质量流量（kg/s）：2. 断面平均流速v总流过水断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断面平均流速v。

图4-9中，（4-2）图4-9几何意义：以底为A，高为u的柱体体积等于流速分布曲面与过水断面所围成的体积。

想一想：为什么在总流分析法中需引入断面平均流速？因为总流过水断面上各点的流速是不相等的。

为了简化总流的计算，所以引入了断面平均流速来代替各点的实际流速。

四、动量及动量修正系数动量（momentum)是物体运动的一种量度，是描述物体机械运动状态的一个重要物理量。

元流中单位时间内通过过水断面的动量为：总流通过整个过水断面的动量值为（在过水断面mn方向上）：（4-3）式中：β——动量修正系数，是指实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值，β＞1 。

对于层流：β =4/3；紊流：β =1.02~1.05，计算值一般取1.0。

可求证β＞1 ：(因为)得证。

动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，β值越小，越接近于1.0。

五、动能及动能修正系数动能（kinetic energy）：是指物体由于机械运动而具有的能量。

（4-4）——单位重量流体的平均动能（流速水头）。

——动能修正系数（层流α=2.0，紊流α=1.05~1.1，一般工程计算中常取α=1.0 ），是实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值，即（因为）动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，α值越小，越接近于1.0。

层流与紊流的比较（图4-10）图4-10断面流速分布动能修正系数动量修正系数圆管层流旋转抛物面α=2.0β=4/3圆管紊流对数规律α=1.05~1.1β=1.02~1.05想一想：动能校正系数α及动量校正系数β的物理意义是什么？动能（动量）校正系数指按实际流速分布计算的动能（动量）与按断面平均流速计算的动能（动量）的比值。

六、总流分析方法1.以元流为基础；2.控制断面恒选在均匀流或渐变流断面上。

3.有关物理量（如流速）断面平均化。

判断：当流速分布比较均匀时，则动量修正系数越接近于零。

错第二节连续性方程取控制体，考虑到条件（1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变；（2）不可能有流体经流管侧面流进或流出；（3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙；（4）忽略质量转换成能量的可能。

图4-11根据质量守恒原理（图4-11）（1）有固定边界域的总流连续方程式（4-5）物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于密度变化在单位时间里所增加的质量相等。

适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、理想流体、实际流体。

（2）恒定流的总流连续性方程对于恒定流，有，则（4-5）式为（4-6）适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可压缩流体、理想流体、实际流体。

（3）不可压缩流的总流连续性方程（图4-12）：对于不可压缩流体有：ρ=const，则（4-5）式为图4-12（4-7）或：（4-8）物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集的地方流速大，而流线疏展的地方流速小。

适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。

（4）分叉流的总流连续性方程（图4-13）（4-9）图4-13或：（4-10）或：（4-11）或：（4-12）式中：n——支管数。

流入节点的流量为“+”，流出节点的流量为“—”。

q——为节点流量。

问题：变直径管的直径d1=320mm，d2=160mm，流速υ1=1.5m/s，υ2为：A.3m/s；B.4m/s；C.6m/s；D.9m/s。

思考题：不可压缩总流的连续性方程与连续性微分方程有无联系？将连续性微分方程在微元体上积分，并引入断面平均流速的定义，可得连续性方程。

设总流的体积为V,其微体积为d V，则有：假定总流的表面积为s，其微面积为d s，根据数学分析中的高斯定理：式中u n为总流表面的法向分速，则对于总流的形状不随时间改变的流动，注意到总流侧面上的法向分速等于零，而过水断面上的流速即为法向流速，则上式为式中第一项为正值是因u2与A2的外法向一致，而第二项为负值是因u１与A１的外法向相反。

利用断面平均流速的概念，上式可改写为或：第三节恒定总流能量方程一、实际流体元流能量方程对图4-14中控制体进行受力分析（s方向）两端面积力：重力：粘滞性引起的摩阻力：恒定流（)的加速度：由牛顿第二定律得：（1）实际流体元流微分能量方程图4-14等式两边同除以ρg d A，并将代入得实际流体元流微分能量方程：（4-13）适用范围：不可压缩或可压缩的恒定流。

（2）不可压缩流体的元流能量方程对于不可压缩流体，有g=const，积分上式可得不可压缩流体的元流能量方程：（4-14）式中：——比能损失，它表明：在实际流体流动中，由于粘性作用，一部分有效能因阻力作用作负功被转化成热能而消耗掉，造成流动流体能量的损失，即比能损失：L——断面1及2之间流程长度。

二、恒定总流能量方程1.恒定总流能量方程的推导设元流的流量为d Q=u1d A1=u2d A2，则在上述元流能量方程（4-14）的等式两端同乘以ρg d Q可得单位时间内元流两过水断面的重量能量关系式：然后沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有，则：（2）动能积分：（3）损失积分：实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）(4-15)式中：z ——比位能（位置水头）——比压能（压强水头，测压管高度）——比动能（流速水头）——比势能（测压管水头）——总比能（总水头）——平均比能损失（水头损失）,单位重流体克服流动阻力所做的功。

问题：水平放置的渐扩管如图所示，如忽略水头损失，断面形心点的压强有以下关系：A.p1>p2；B.p1=p2 ；C.p1<p2；D.不定。

问题：能量方程中表示：A.单位重量流体具有的机械能；B.单位质量流体具有的机械能；C.单位体积流体具有的机械能；D.通过过流断面单位重量流体的总机械能。

判断：在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能都相等。

错运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。

你的回答：对2.总流能量方程在推导过程中的限制条件（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。

（5）总流的流量沿程不变。

（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。

（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ，即：（4-16）3.能量方程的解题步骤三选一列1.选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。

例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。

2.选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。

3.选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。

对同一个方程，必须采用相同的压强标准。

4.列能量方程解题注意与连续性方程的联合使用。

问题1：在应用恒定总流的能量方程，可选用图中的那几个断面，作为计算过水断面。

A.1，2，3，4，5；B.1，3，5；C.2，4；D.2，3，4。

例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为h w1,2=0.6v2/(2g)和h w2,3=0.5v2/(2g) ，试求断面2的平均压强。

解：取0-0，列断面1，2的能量方程（取α1=α2=1）（a）而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量方程图4-15（b）可得：代入式（a）中得：可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。