(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
超几何分布习题34768
1.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==． ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．2某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 解(1.) 0,1,2,3ξ=22342255189P( 0)=10050C C C C ξ=•==211123324422225555C 24P( 1 )=C 50C C C C C C C ξ=•+•=g 11122324422222555515(2)50C C C C C P C C C C ξ==•+•=g124222552(3)50C C P C C ξ==•=所以ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)=9241520123 1.250505050⨯+⨯+⨯+⨯= (2)P(2ξ≥)=15217(2)(3)505050P P ξξ=+==+=本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大3.袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率.解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C P A C ⋅⋅⋅== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为1215283101()3C C C P B C ⋅⋅==，所以12()1()133P A P B =-=-=.（II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.211222223101(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅===211242423102(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211262623103(4);10C C C C P C ξ⋅+⋅===211282823108(5);15C C C C P C ξ⋅+⋅===所以随机变量ε的概率分布为因此ε的数学期望为2345301510153E ε=⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则2313()("3""4")("3")("4")151030P C P P P εεεε=====+==+=或4.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望.解：（1）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5。
超几何分布
1、设随机变量ξ的分布列为(),1,2,3,4,5,15k p k k ξ===则15()22p ξ<<等于 （ ）A 、12B 、19C 、16D 、15【答案】D 【解析】15121()(1)(2)2215155p P P ξξξ<<==+==+=. 2、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会决赛门票中任取3张，则所取3张中于至少有2张价格相同的概率为（ ）A 、41B 、43C 、12079D 、2423【答案】B【解析】先求三张价格均不相同的概率所求概率为3、抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P(ξ≤4)为 A.21B.31C.51D.61【答案】D【解析】本题考查离散型随机变量和的概率.ξ=2对应(1,1)；ξ=3对应(1,2),(2,1)；ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4时分别对应1,2,3个基本事件. 而整个事件包含36个基本事件,由等可能事件的概率公式,得 p(ξ≤4)=p(ξ=2)+p(ξ=3)+p(ξ=4)=.4、从装有3个红球，3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则)1(≥ξP =【答案】54【解析】解：因为从装有3个红球，3个白球的袋中随机取出2个球，共有26C ，那么其中红球的个数可能是0,1,,2那么2336C 4P (1)1P (1)1P (0)1C 5ξ≥=-ξ<=-ξ==-=5、（本小题满分12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球 （Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）12713937=-=C C P ；（Ⅱ）122123243399C C C C 5()()()C C 42P B C P B P C +=+=+=. （Ⅲ）ξ的分布列为:ξ的数学期望545310123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 。
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
专题13 超几何分布(解析版)
专题13 超几何分布例1．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是( ) A ．nB ．(1)M n N- C ．M n ND ．(1)M n N+ 【解析】解：设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布即~(X H n ，M ，)N ，∴抽到的次品数的数学期望值nMEX N=故选：C ．例2．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码；②Y 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④【解析】解：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布． 故选：B ．例3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则(4)P X ==140429．（用数字表示） 【解析】解：由题意467810157658714032121(4)151413121142954321C C P X C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故答案为：140429例4．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为13． 【解析】解：从10件产品任取3件的取法共有310C ，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为2146C C ，34C ．因此所求的概率21346431013C C C P C +==． 故答案为13．例5．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为815． 【解析】解：从袋中10个球中任取4个球，共有410C 种取法，则其中恰有3个红球的取法为3182C C ．∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率3182410815C C P C ==． 故答案为815． 例6．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 35． 【解析】解：设抽到次品个数为ξ，则~(3H ξ，2，10) 323105nM E N ξ⨯∴=== 故答案为：35例7．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： （1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【解析】解：（1）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 且X 服从参数为10N =，3M =，3n =的超几何分布，因此337310()(0,1,2,3)k kC C P X k k C -===；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 所以0337310357(0)12024C C P X C ====，12373106321(1)12040C C P X C ====，2137310217(2)12040C C P X C ====，30373101(3)120C C P X C ===；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）所以X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球” 为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 由于事件1A ，2A ，3A 彼此互斥，且123A A A A =++，而123413103()20C C P A C ==，27()(2)40P A P X ===， 31()(3)120P A P X ===，⋯⋯⋯⋯（10分） 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为： 1233711()()()()20401203P A P A P A P A =++=++=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）例8．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）他能通过初试的概率．【解析】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X ，且0X =、1、2、3，X 服从超几何分布， 分布列如下：即（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况， 这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到 112(2)(2)(3)263P X P X P X ==+==+= 例9．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数，（1）请列出X 的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【解析】解：（1）依题意得，随机变量X 服从超几何分布， 随机变量X 表示其中男生的人数，X 可能取的值为0，1，2，3，4．464410(),0,1,2,3,4k kC C P X k k C -===． ∴所以X 的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生， 即8119(3)(3)(4)211442P X P X P X ==+==+=． 例10．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为0.2P =．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X 的概率分布列与期望．【解析】解：设该批产品中次品有x 件，由已知0.210x=， 2x ∴=⋯（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为12283107(1)15C C P X C ===⋯（4分）（2）X 可能为0，1，2∴383107(0)15C P X C ===7(1)15P X ==21283101(2)15C C P X C ===⋯（10分）X ∴的分布为：则77130121515155EX =⨯+⨯+⨯=⋯（13分） 例11．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？【解析】解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布(5H ，2，50)．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)P X ，即051455_2_48_2_48243(1)_50_50245C C C C P X C C =+=． 答：该批产品被接收的概率是243245． 例12．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m ；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n ． （1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：（2）现规定：若m n >，则甲胜；若n m ，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？ 【解析】解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则m n>当3m=时，2n=，1，0，其概率为11111 () 84248⨯++=当2m=时，1n=，0，其概率为3119() 82432⨯+=；当1m=时，0n=，其概率为313 8432⨯=；∴甲获胜的概率为1931 832322 ++=若乙获胜，则m n当2n=时，2m=，1，0，其概率为13317() 488832⨯++=；当1n=时，1m=，0，其概率为1318() 28832⨯+=；当0n=时，0m=，其概率为111 4832⨯=；∴乙获胜的概率为7811 3232322 ++=甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．例13．某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率．【解析】解：从6件产品中，抽取2件的概率有266515 21C⨯==⨯种（1）其中两件都是正品的基本事件有：246C=种故2件都是正品的概率62155 P==（2）由于“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件故抽检的2件产品中至少有一件次品的概率23155P =-= 即至少有一件次品的概率35．例14．已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止． （1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；（2）记恰好在第k 次测试时3件次品全部被测出的概率为()f k ，求()f k 的最大值和最小值．【解析】解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；则有124374A C A 种情况，从10件产品中顺序取出5件，有510A 种情况，则第5次测试时3件次品全部被测出的概率124374510120A C A P A ==， （2）根据题意，分析可得k 的范围是39k ，当36k 时，若恰好在第k 次测试时3件次品全部被测出，则第k 次取出第3件次品，前1k -次中有2次是次品，3k -次是正品；而从10件产品中顺序取出k 件，有10kA 种情况，则1312371101()(32)240k k k kA C A f k k k A ---==-+， 则f （3）1120=，f （4）140=，f （5）120=，f （6）112=； 当7k =时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，则146737677102(7)15A C A A f A +==； 当8k =时，即恰好在第8次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，则1571173777378107(8)30A C A A C A f A +==； 当9k =时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，此时f （9）1f =-（3）f -（4）f -（5）f -（6）f -（7）f -（8）715= 故1()(3)120min f k f ==，7()(9)15max f k f ==．例15．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有(25,3)n n n ≠个，其余的球为红球．（Ⅰ）若5n =，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是415，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E ξ． 【解析】解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A ，则1()5P A =． 所以，22331412(2)()55125P C ==． 答：三次取球中恰有2个红球的概率为12125．⋯（4分） （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B ，则222372106(1)(7)(6)4()9015n n C C C n n n n P B C -+++-+--===， 整理得：27120n n -+=，解得3n =（舍)或4n =． 所以，红球的个数为3个．⋯（8分）（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且242102(2)15C P C ξ===，11432104(3)15C C P C ξ===，1123432101(4)3C C C P C ξ+===，11332101(5)5C C P C ξ===，232101(6)15C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，241111923456151535155E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．⋯（13分）。
2019高中数学第二章概率2.2超几何分布精练含解析北师大选修232019041622
§2 超几何散布A组1.一个袋中有6个相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个相同的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有以下几种变量:①X表示拿出的最大号码;②Y表示拿出的最小号码;③拿出一个黑球记2分,拿出一个白球记1分,ξ表示拿出的4个球的总得分;④η表示拿出的黑球个数.这四种变量中听从超几何散布的是()A.①②B.③④C.①②④D.①②③④答案:B2.一个盒子里装有除颜色外都相同的红球、白球共30个,此中白球4个.从中任取两个,则概率为的事件是()分析:表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率,即起码有一个白球的概率.答案:B3.一个盒中有12个乒乓球,此中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其散布列为P(X),则P(X=4)的值为()A. B. C. D.分析:由题意拿出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=.答案:C4.10名同学中有a名女生,若从中选用2人作为学生代表参加某商讨会,则恰选用1名女生的概率为,则a= ()分析:由题意知选用女生的人数听从超几何散布,因此,解得a=2或a=8.答案:B5.从一副不含大、小王的52张扑克牌中随意抽出5张,则起码有3张A的概率为()A. B.C.1-D.分析:设X为抽出的5张扑克牌中A的张数,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=.答案:D6.有学生10人,此中男生3人女生7人,现需选出3人去某地检查,则3人中既有男生又有女生的概率为.?分析:由题意得,3人中既有男生又有女生的概率为.答案:7.已知某批产品共100件,此中二等品有20件.从中随意抽取2件,ξ表示拿出的2件产品中二等品的件数,试填写以下对于ξ的散布列.ξ=k 0 1 2P(ξ=k)分析:ξ的可能取值为0,1,2,ξ听从参数为N=100,M=20,n=2的超几何散布,则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=.答案:8.导学号43944030某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此获得样本的频次散布直方图,以下图.(1)依据频次散布直方图,求重量超出505克的产品数目;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超出505克的产品数目,求Y的散布列.解(1)依据频次散布直方图可知,重量超出505克的产品数目为40×××5)=40×0.3=12.(2)Y的可能取值为0,1,2,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,故Y的散布列为Y 0 1 2PB组1.一个小组有6人,任选2名代表,则此中甲入选的概率是()A. B. C. D.分析:设X表示2名代表中含有甲的个数,X的可能取值为0,1,由题意知X听从超几何散布,此中参数为N=6,M=1,n=2,则P(X=1)=.答案:B2.有10件产品,此中3件是次品,从中任取2件,若失散型随机变量X表示获得次品的件数,则P(X<2)等于()分析:P(X=0)=,P(X=1)=,∴P(X<2)=.答案:C3.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个,此中白球的个数记为X,则等于的是()A.P(0<X≤2)B.P(X≤1)C.P(X≥1)D.P(X≥2)分析:由条件知,随机变量X听从参数为N=26,M=4,n=2的超几何散布,此中X的不一样取值为0,1,2,且P(X=k)=(k=0,1,2).∴P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.答案:B4.口袋内装有10个大小、形状、质地相同的球,此中5个球标有数字0,5个球标有数字1,若从口袋中摸出5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是(用数字作答).?分析:{ξ=i}表示“摸出的5个球所标数字之和为i”(i=0,1,2,3,4,5),则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=,故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=4)+P(ξ=5)=.答案:5.盒中装有除颜色外,其他完整相同的5个球,此中红色球3个,黄色球2个.若从中随机拿出2个球,则所拿出的2个球颜色不一样的概率等于.?分析:由题意知,从5个球中随机拿出2个球共有=10种不一样取法,而拿出的球颜色不一样共有=6种不一样取法,故所拿出的2个球颜色不一样的概率为P=.答案:6.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里起码有1张中奖的概率大于0.5,n起码为.?分析:设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”,则X听从超几何散布,此中N=50,M=2,X可取0,1,2,∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=>0.5,且n∈N+,解得n≥15.答案:157.导学号43944031从某小区抽取100户居民进行月用电量检查,发现其月用电量都在50千瓦时至350千瓦时之间,频次散布直方图以下图.(1)依据频次散布直方图求x的值,并预计该小区100户居民的月均用电量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)从该小区已抽取的100户居民中,随机抽取月用电量超出250千瓦时的3户参加节俭用电知识普及讲座,此中恰有ξ户月用电量超出300千瓦时,求ξ的散布列.解(1)由已知得50×(0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+0.006 0)=1,解得x=0.004 4.设该小区100户居民的月均用电量为S,则S=0.002 4×50×75+0.003 6×50×125+0.006 0×50×175+0.004 4×50×225+0.002 4×50×275+0.001 2×50×325=9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186(千瓦时).(2)月用电量在(250,300]的用户数为0.002 4×50×100=12,月用电量在(300,350]的用户数为0.001 2×50×100=6,ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,因此ξ的散布列为ξ0 1 2 3P8.导学号43944032某大学志愿者协会有10名同学,成员组成以下表:专业性别中文英语数学体育男n 1 m 1女 1 1 1 1已知从这10名同学中随机抽取一名,抽到的同学为数学专业的概率为.现从这10名同学中随机选用3名同学参加社会公益活动.(1)求m,n的值;(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;(3)设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数,求随机变量ξ的散布列.解(1)设事件A为从10名同学中随机抽取一名,抽到的同学为数学专业.由题意可知,P(A)=,解得m=3.因此n=10-6-3=1.(2)设事件B为选出的3名同学恰为专业互不相同的男生.由题意得P(B)=.(3)ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,因此ξ的散布列为ξ0 1 2 3P。
高考数学2.2超几何分布专题1
高考数学2.2超几何分布专题12020.031,①互斥事件A、B的并即A∪B表示②以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A表示2,抛掷一个均匀的正方体物体（各个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上的一面的数是奇数”，事件B表示“朝上的一面的数不超过3”，求P（A∪B）3,甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下和的概率为50%，则乙获胜的概率为 .4,某年级进行数学考试，下表是统计的成绩①90分以上; ②60分以上 .5,抛掷一个筛子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”判别下列每对事件是否是互斥事件，如果是再判别它们是不是对立事件①A与B; ②A与C ; ③B与C .6,袋子里有10个形状质地相同但是颜色不同的球，其中红球有5个，白球有3个，其余的是黑球，那么从袋子中摸一个球，摸到的球是黑球的概率是，摸到的球是红球或白球的概率是 .7,抛掷一枚骰子，出现1点的概率为，出现偶数点的概率为，那么出现除1以外的奇数点的概率为 .8,在10瓶饮料中有2瓶过了保质期，现从中任取一瓶，取到未过保质期的概率为 .9,气象台预报、：“明天我市降雨的概率为30%”，则下列说法正确的是（）A．本市明天降雨的地区为30% B．本市明天降雨的时间为30%C．明天出行不带雨具淋雨的可能性为30% D．明天本市降雨的可能性不太大10,某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，计算这个射手在一次射击中①射中10环或9环的概率②不够8环的概率11,两事件互斥是这两事件对立的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要答案1, ①事件A与B至少有一个发生②甲种产品滞销或乙种产品畅销2, 因为A∪B这一事件包括四中结果，即出现了1、2、3和5这四种情形，故P（A∪B）=4/6=2/33, 20%4, ①43/645≈0.067②1-（62+8）/645≈0.8915, ①是互斥事件也是对立事件②不是互斥事件③不是互斥事6, 1/5；4/57, 1/6；1/2；1/38, 4/59, D10, ① P = 0.24 + 0.28 = 0.52② P = 1-（0.24+0.28+0.19）= 0.2911, B。
9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k07．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k08．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为X 0 1 2P所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．∴Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络偶尔或从不进行网络合计购物购物男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k0【分析】（1）由列联表数据求出K2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X012P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
,将X改为Y）
2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布
:设中奖为事件A(下求中奖的概率)
即
X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.
.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调
使鱼类受到污染。人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．
15条作样
15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布
P(X=1)=
A，由题意可知该事件满足古典概型。
P(A)=
Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.
4-k）
1） 解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张
2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的
ξ的分布列及EξΒιβλιοθήκη ②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布
③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布
④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布
(完整版)超几何分布典型例题(附答案)
1.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染。
人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ.【分析】①不放回→超几何分布②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布法2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布∴P(X=1)=（每个概率的求得过程必须有公式和最简结果，再画表格）设“学生持满意态度”为事件A，由题意可知该事件满足古典概型。
∴P(A)=(Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.（右上角为4-k）（1）解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张设抽取2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
故由题意可得，即解得M=4则抽奖者获奖的概率为（为防止与第二问雷同,将X改为Y）（2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布解:设中奖为事件A(下求中奖的概率)即则X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.补充：数学期望。
课时作业12：2.1.3 超几何分布
2.1.3 超几何分布1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100答案 D解析 记取出的10个球中红球个数为X ，则X 服从超几何分布，即P (X ＝6)＝C 680C 420C 10100，故选D.2．一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用(用完即为旧的)，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755 C.27220 D.2125 答案 C解析 由题意知，取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47×C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015，所求事件数为C X 7C 10－X8，∴P (X ＝4)＝C 47×C 68C 1015.4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________． 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 45解析 设所选女生数为随机变量X ，则X 服从超几何分布，所以P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.5．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．解 (1)X 的分布列为X 0 1 P3747(2)∵P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，∴X 的分布列为X 0 1 P1767超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N ，M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M ，N ，n ，k 的含义.一、选择题1．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB ．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC ．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数考点 超几何分布 题点 超几何分布的概念 答案 B解析 由超几何分布的定义可知B 正确．2．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为( ) A.C 35C 350 B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350D.C 15C 25＋C 25C 145C 350考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案 C解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为C 345C 350，故答案为1－C 345C 350.3．一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则等于C 14C 122＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ≥1)D ．P (X ≥2)答案 B解析 由条件知，随机变量X 服从参数为N ＝26，M ＝4，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k 4C 2－k 22C 226(k ＝0,1,2)，∴P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，P (X＝2)＝C 24C 022C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 14C 122C 226.4．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为( ) A.310 B.130 C.13 D.23 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 答案 C解析 P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 24C 16C 310＋C 34C 310＝13. 5．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( ) A.2845 B.1145 C.1745 D.1645 答案 D解析 记取出的次品件数为X ，则X 服从超几何分布．由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 18C 210＝1645.6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 设“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C.7．若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则事件{X ＝k }中含有的基本事件个数为( )A ．C k M C n －kN B ．C k M C n －kN －M C ．C k M C n －k M －ND ．C n －k M C k M －N考点 超几何分布 题点 超几何分布的概念 答案 B解析 事件{X ＝k }表示从含M 件次品的N 件产品中，任取n 件产品，其中恰有k 件次品，则必有n －k 件正品，因此事件{X ＝k }中含有C k M C n －kN －M 个基本事件．二、填空题8．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示) 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 C 13C 397＋C 497C 4100解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．9．某手机经销商在已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案1538解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.10．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案512解析 设10个球中有白球m 个， 则C 210－mC 210＝1－79，解得m ＝5.所以P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.三、解答题11．在15人的数学兴趣小组中，有5名三好学生，现从中任意选出8人参加“希望杯”数学竞赛，求一定有三好学生参加的概率．解 设X 为选出的8人中三好学生的人数，则X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝8的超几何分布． 由于P (X ＝0)＝C 810C 815＝1143，因此，一定有三好学生参加的概率为 P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝142143≈0.993.故一定有三好学生参加的概率约为0.993.12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X 的分布列； (2)他能及格的概率． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，C 3106所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P1303101216(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.13．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一个‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，得X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (X ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (X ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，C 31255因此，X 的分布列为四、探究与拓展14．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为15.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8)，其中女校友6人，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现从中随机选出2名校友代表，若选出的是一男一女，则为“最佳组合”．(1)若随机选出2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)若n ＝12，被选出的2名校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)由题意得C 1n －6C 16C 2n ≥12，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16. (2)ξ的可能取值为0,1,2，且 P (ξ＝0)＝C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (ξ＝2)＝C 26C 212＝522，所以ξ的分布列为。
高中试卷-7.4.2超几何分布 -B提高练(含答案)
7.4.2超几何分布 ---B 提高练一、选择题1． 12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X 表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则C 35C 37C 612为( )A ．P (X ＝6)B ．P (X ＝5)C ．P (X ＝3)D ．P (X ＝7)【答案】C【详解】由题意可知随机变量X 服从参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6的超几何分布．由公式P (X ＝k )＝C kM C n －k N －M C nN ，易知C 35C 37C 612表示的是X ＝3的取值概率．2．（2021·全国高二单元测）纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（）．A ．34B ．3742C ．2137D ．542【答案】B【详解】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以3539543371198742C P C ´´=-=-=´´，故选：B.3．（2021·贵州高二期末）甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则()E X =( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】B【解析】由已知得0123X =，，，．336333661020C C P X C C ===（）， 12265333669120C C C P X C C ===（），31164333669220C C C P X C C ===（）， 336333661320C C P X C C ===（）19910123 1.520202020E x \=´+´+´+´=． 故选B ．4.（2021·全国高二专题练）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村【答案】B【详解】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k k C C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===，()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===，()()6127P X P X =+==.故选：B 5．（2021·广东中山一中高二月考）甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则()E X =( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】B【解析】由已知得0123X =，，，．336333661020C C P X C C ===（）， 12265333669120C C C P X C C ===（）， 31164333669220C C C P X C C ===（） 336333661320C C P X C C ===（），19910123 1.520202020E x \=´+´+´+´=． 6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）A ．取出的最大号码X 服从超几何分布B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布C ．取出2个白球的概率为114D ．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114【答案】BD【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于A ，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，故A 错误；对于B ，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的黑球个数Y 服从超几何分布，故B 正确；对于C ，取出2个白球的概率为226441037C C p C ==，故C 错误；对于D ，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，\总得分最大的概率为46410114C P C ==，故D 正确．故选：BD ．二、填空题7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.4.2超几何分布(带答案)
4．2 超几何分布必备知识基础练知识点一 超几何分布的概念1.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的点数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的分布列．知识点二 超几何分布的概率2.已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于C 47 ·C 68C 1015的是( )A ．P(X ＝2)B ．P(X≤2)C ．P(X ＝4)D ．P(X≤4)3．某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．知识点三 超几何分布与二项分布间的关系4.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．关键能力综合练一、选择题1．30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从超几何分布的是( )A ．抽取的5件产品中的一等品数B ．抽取的5件产品中的二等品数C ．抽取的5件产品中的三等品数D ．30件产品中的三等品数 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A ．C 34 C 248 C 552B ．C 348 C 24 C 552C ．1－C 148 C 44 C 552D ．C 34 C 248 ＋C 44 C 148 C 5523．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P(X ＝4)＝( )A ．1220B ．2755C ．2125D ．272204．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是( ) A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村5．[探究题]两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从所有面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率为170.”则根据这位负责人的话可以推断出参加面试的总人数为( )A ．21B ．35C ．42D ．70 二、填空题6．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为____________(用式子表示).7．从3个男生和n 个女生中，任选3人参加比赛，若3人中至少有1个女生的概率为3435，则n ＝________．8．[双空题]为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，则事件A 发生的概率是________；设X 为选出的4人中种子选手的人数，则随机变量X 均值EX ＝________．三、解答题 9．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望．学科素养升级练1.[多选题]口袋中有n 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X ，若P(X ＝2)＝730，则下列结论正确的是( ) A ．n ＝7 B ．P(X ＝3)＝7120C ．EX ＝118D ．DX ＝122．[学科素养——数学运算与逻辑推理]教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； (2)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．4．2 超几何分布必备知识基础练1．解析：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X 表示抽取n 件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X 的分布列，所以不属于超几何分布问题．2．解析：由题意得，变量X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015 ，所求事件数为C X7 C10－X 8，∴P (X ＝4)＝C 47 ·C 68C 1015.故选C.答案：C3．解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33 C 34C 36 C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100 ＝99100 .(2)根据题意，知X 的所有的可能取值为1，2，3. P (X ＝1)＝C 13 C 33 C 46 ＝15 ，P (X ＝2)＝C 23 C 23 C 46 ＝35 ，P (X ＝3)＝C 33 C 13 C 46 ＝15 .所以X 的分布列为4.解析：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0，1，2，X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228 C 240 ＝63130 ，P (X ＝1)＝C 112 C 128 C 240 ＝2865 ，P (X ＝2)＝C 212 C 240 ＝11130 ，∴X 的分布列为∴X 的均值为方法一：EX ＝0×63130 ＋1×2865 ＋2×11130 ＝35 .方法二：EX ＝2×1240 ＝35.(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0，1，2，且Y ～B (2，310)，P (Y ＝k )＝C k 2 ×(310 )k ×(1－310)2－k ，k ＝0，1，2， ∴P (Y ＝0)＝C 02 ×(710 )2＝49100，P (Y ＝1)＝C 12 ×310 ×710 ＝2150， P (Y ＝2)＝C 22 ×(310)2＝9100. ∴Y 的分布列为关键能力综合练1．解析：选项A ，B ，C 中的产品数都是变量，且满足超几何分布的形式和特点；而选项D 中的三等品数是常数，不是变量．答案：D2．解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34 C 248 C 552 ＋C 44 C 148C 552. 答案：D3．解析：因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为X ＝4，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P (X ＝4)＝C 19 C 23 C 312 ＝27220 .故选D.答案：D4．解析：用X 表示选到的3个村中深度贫困村的个数，则X 服从参数N ＝7，M ＝3，n ＝3的超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 3 C 3－k 4 C 37 (k ＝0，1，2，3)，则P (X ＝0)＝C 03 C 34 C 37 ＝435 ，P (X ＝1)＝C 13 C 24 C 37 ＝1835 ，P (X ＝2)＝C 23 C 14 C 37 ＝1235 ，P (X ＝3)＝C 33 C 04 C 37 ＝135.所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝67 ，即有1个或2个深度贫困村的概率为67.答案：B5．解析：设共有n (n ∈N ＋，n ≥3)个人参加面试，则从n 个人中招聘3人的结果共有C 3n种，其中两位同学同时被招进的结果有C 22 C 1n －2 种，所以两位同学同时被招进的概率为P ＝C 22 C 1n －2 C 3n ＝170，解得n ＝21. 答案：A6．解析：二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为C 13 C 397 ＋C 497 C 4100 . 答案：C 13 C 397 ＋C 497 C 41007．解析：由题意得，参赛的3人中没有女生的概率为C 33 C 0n C 3n ＋3 ＝1－3435 ＝135 ，解得n ＝4.答案：48．解析：由已知得P (A )＝C 22 C 23 ＋C 23 C 23 C 48 ＝635 ，∴事件A 发生的概率为635 .随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k5 C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4).∴随机变量X 的分布列为EX ＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.答案：635 529．解析：(1)P ＝1－C 26 C 210 ＝1－1545 ＝23 ，即该顾客中奖的概率为23.(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60， 且P (X ＝0)＝C 26 C 210 ＝13 ，P (X ＝10)＝C 13 C 16 C 210 ＝25 ，P (X ＝20)＝C 23 C 210 ＝115 ，P (X ＝50)＝C 11 C 16 C 210 ＝215 ，P (X ＝60)＝C 11 C 13 C 210 ＝115 .故X 的分布列为：EX ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16(元).学科素养升级练1．解析：由P (X ＝2)＝730 ，得C 1n C 13 C 1n ＋3 C 1n ＋2 ＝730 ， 即3n （n ＋3）（n ＋2） ＝730，整理得90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)，即7n 2－55n ＋42＝0.解得n ＝7或n ＝67(舍去).X 的可能取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 17 C 110 ＝710 ，P (X ＝2)＝C 13 C 17 C 110 C 19 ＝730 ，P (X ＝3)＝C 13 C 12 C 17 C 110 C 19 C 18 ＝7120 ，P (X ＝4)＝C 13 C 12 C 11 C 17 C 110 C 19 C 18 C 17 ＝1120 ，所以EX ＝1×710 ＋2×730 ＋3×7120 ＋4×1120 ＝118 ，DX ＝(1－118 )2×710＋(2－118 )2×730 ＋(3－118 )2×7120 ＋(4－118 )2×1120 ＝77192.故选ABC. 答案：ABC2．解析：(1)5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取的概率为25 ，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为P ＝C 13 25 ×(35 )2＝54125.(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人．理由如下：设ω表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，ω可能的取值有0，1，2， 则P (ω＝0)＝C 22 C 25 ＝110 ，P (ω＝1)＝C 12 C 13 C 25 ＝35 ，P (ω＝2)＝C 23 C 25 ＝310，设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，则ξ可能的取值为0，1，2，第二次抽到的无支教经验的教师人数对应的概率，是在第一次抽取结果的基础上得到的，是条件概率，则有P (ξ＝0)＝C 22 C 25 ·C 22 C 25 ＋C 12 C 13 C 25 ·C 23 C 25 ＋C 23 C 25 ·C 24 C 25 ＝37100 ；P (ξ＝1)＝C 22 C 25 ·C 12 C 13 C 25 ＋C 12 C 13 C 25 ·C 12 C 13 C 25 ＋C 23 C 25 ·C 14 C 11 C 25 ＝54100； P (ξ＝2)＝C 22 C 25 ·C 23 C 25 ＋C 12 C 13 C 25 ·C 22 C 25 ＋C 23 C 25 ·0＝9100 .因为P (ξ＝1)>P (ξ＝0)>P (ξ＝2)，故第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.。
9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．(3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数618-12现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．？5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]10 12 8 4数量~6（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：~ 经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性50501006040100/女性合计11090200*（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）&k0[7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）…男02472女1（3731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型<消极型总计男女/总计附：．P（K2≥k0）)k0—8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数!女性录用比例A26916762%402460% /B401230%2026231%C$1775732%1845932%D44）59%382258%263267%E32…67%16936%总计53326450%·467（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”…（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5]不获奖合计<200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）'k-9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析…一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为：；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：@X0123 P(…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．!（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P =1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k ）=，>P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123P&【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：;步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812:现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，)所以，所以X的分布列为X 0 1 2P&所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．，【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．?∴Y的分布列为：Y012P，期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）#[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12【84（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X ，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，|所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0—12 3 4P:∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物-合计偶尔或从不进行网络购物男性5050100100女性60}40合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；/（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）`k0【分析】（1）由列联表数据求出K 2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．、（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，^由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别—（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02~472女1373&1（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男}女总计》附：．P（K2≥k0）《k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k 2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．*【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X 0[231P·则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9—156女41115总计13—3017k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位.男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A269、16762%402460%B4012}30%2026231%C1775732%，1845932%D442659%38.2258%E3267%32：67%总计53326450%46716936%$（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，?所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X01]2P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．'∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k07．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）步数性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k08．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+d P（K2≥k）k9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为X 0 1 2P所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．∴Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k0【分析】（1）由列联表数据求出K2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人男性录用人男性录用比女性应聘人女性录用人女性录用比数数例数数例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X012P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高中试卷-专题7.4 二项分布与超几何分布(含答案)
专题7.4 二项分布与超几何分布姓名： 班级：重点二项分布与超几何分布的特征难点二项分布与超几何分布的计算一、超几何分布例1-1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）。
A 、41004901C C -B 、4100390110490010C C C C C ⋅+⋅C 、4100110C CD 、4100390110C C C ⋅【答案】D【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为4100110390C C C ⋅，故选D 。
例1-2．有8名学生，其中有5名男生。
从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为=)(X E （ ）。
A 、2B 、5.2C 、3D 、5.3【答案】B【解析】随机变量X 的所有可能取值为1、2、3、4，141)1(483315=⋅==C C C X P 、73)2(482325=⋅==C C C X P 、73)3(481335=⋅==C C C X P 、141)4(48345=⋅==C C C X P ，X 的分布列为：X1234P1417373141∴2514137337321411)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，故选B 。
例1-3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则==)2(X P 。
【答案】103【解析】X 满足超几何分布，∴103)2(4102723=⋅==C C C X P 。
例1-4．一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望 。
【答案】109【解析】由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0、1、2、3，247)0(3103703=⋅==ξC C C P ，4021)1(3102713=⋅==ξC C C P ，407)2(3101723=⋅==ξC C C P ，1201)3(310733=⋅==ξC C C P ，109120134072402112470)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。
超几何分布
练习：现有10张奖券，其中8张1元，2张 5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布 列．
【例 3】 (12 分)现有来自甲、乙两班的学生共 7 名，从中任选 1 2 名是甲班的概率为 . 7 (1)求 7 名学生中甲班的学生数； (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 X，求 X 的分布列， 并求甲班学生数不少于 1 人的概率．
超几何分布一般地，设有 源自 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任 取 n(n≤N)件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件
n－k Ck C M N－M 数，那么 P(X＝k)＝ Cn (其中 k 为非负整数)． N
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X服从参数
为N ， M，n的超几何分布
练习： 袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从 袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分， 取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6的概率．
练习：盒中装有一打(12个)乒乓球，其 中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用 完后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机 变量，求X的分布列．
超几何分布
思考：设6件产品中，有3件次品，3件正品， 现从中抽取4件，求抽得次品件数X的分布列与 均值．
1.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛， 设X表示所选女生人数，求其分布列。 2、从一副扑克牌（去掉大小王）中取出3张牌， 用X表示取出的红桃数，求其分布列。 3、已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选 人A，现随机采访他们中间的4位，用X表示支持A 的人数，求其分布列。
．
应用举例
例1.某乒乓球队9名队员，其中2名是种子选手，现 挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数， 求X的分布列与均值。
校本超几何分布的综合问题(答案)第七章7
校本作业（38） 7.4.2（2） 超几何分布的综合问题 参考答案1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( ) A.2845 B.1645 C.1145 D.1745 答案 B解析 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 18C 210＝1645.2．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)等于( ) A.79 B.29 C.512 D.12 答案 C解析 设袋中白球个数为x ，由题意得1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5.X 服从超几何分布，其中P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.3．一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X ，则E (X )为( ) A.98 B.78 C.12 D.6256 答案 A解析 由题意可知，随机变量X 的可能取值有0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝3056，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.因此随机变量X 的均值E (X )＝0×1056＋1×3056＋2×1556＋3×156＝98.4．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )A.C 35C 350 B.C 12＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350 D.C 15C 25＋C 25C 145C 350答案 C解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为C 345C 350，则出现二级品的概率为1－C 345C 350.5．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X 表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E (X )等于( ) A.34 B.89 C.38 D.45 答案 D解析 方法一 (公式法)由题意得随机变量X 服从超几何分布n ＝2，M ＝4，N ＝10，则E (X )＝nM N ＝2×410＝45.方法二 由题意知，X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 26C 210＝1545＝13，P (X ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445＝815，P (X ＝2)＝C 06C 24C 210＝645＝215.则X 的分布列为E (X )＝1×815＋2×215＝45.6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 D解析 设所选3人中的女生人数为X ，则X 服从参数为N ＝6，M ＝2，n ＝3的超几何分布，且P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36(k ＝0,1,2)，故所求概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45.7．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为67，则口袋中白球的个数ξ为________． 答案 3解析 设口袋中有白球x 个，则ξ服从超几何分布，由超几何分布的均值公式得，E (ξ)＝2x 7＝67，解得x ＝3.8．某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿者活动，若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的安排方案，则该支教队女老师的人数为______；记X 为选出的2位老师中女老师的人数，则X 的均值为____________．答案 3 34解析 不妨设男老师总共有x 人，则女老师共有8－x 人(1≤x ≤8，x ∈N *)，从这8位老师中选出至少1名女老师，共有C 28－C 2x ＝28－x (x －1)2＝18(种)不同的方法， 即有x (x －1)＝20，解得x ＝5,8－x ＝3， 所以该支教队共有女老师3人． 所以X 可取值为0,1,2， X ＝0表示选派2位男老师，这时P (X ＝0)＝C 25C 28＝1028＝514，X ＝1表示选派1位男老师与1位女老师，这时P (X ＝1)＝C 15C 13C 28＝1528，X ＝2表示选派2位女老师，这时P (X ＝2)＝C 23C 28＝328，X 的分布列为E (X )＝1×1528＋2×328＝34.9．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3. 故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为10．根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X ，求X 的分布列及均值；(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p ，并根据p 的值解释该试验方案的合理性．(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 25C 210＝29，P (X ＝1)＝C 15C 15C 210＝59，P (X ＝2)＝C 25C 210＝29，∴X 的分布列为X 0 1 2 P295929E (X )＝0×29＋1×59＋2×29＝1.(2)新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，∴p ＝C 010⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1210＋C 110⎝⎛⎭⎫12×⎝⎛⎭⎫129＝111 024≈0.01<0.05.故实验方案合理． 11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案 C解析 由题意可知，10个数中，1,3,5,7,9是阳数，2,4,6,8,10是阴数， 若任取3个数中有2个阳数，则P ＝C 25C 15C 310＝10×5120＝512，若任取3个数中有3个阳数，则P ＝C 35C 310＝10120＝112，故这3个数中至少有2个阳数的概率P ＝512＋112＝12.12．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是( ) A ．E (ξ)＜E (η)，D (ξ)＜D (η) B ．E (ξ)＞E (η)，D (ξ)＜D (η) C ．E (ξ)＜E (η)，D (ξ)＞D (η) D ．E (ξ)＞E (η)，D (ξ)＞D (η) 答案 A解析 当n ＝3时，ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 13×C 33C 46＝15，P (ξ＝2)＝C 23×C 23C 46＝35，P (ξ＝3)＝C 33×C 13C 46＝15，∴E (ξ)＝15＋2×35＋3×15＝2，D (ξ)＝15＋15＝25；当n ＝4时，η可取1,2,3,4，P (η＝1)＝C 14×C 33C 47＝435，P (η＝2)＝C 24×C 23C 47＝1835， P (η＝3)＝C 34×C 13C 47＝1235， P (η＝4)＝C 44×C 03C 47＝135， ∴E (η)＝435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167，D (η)＝435×⎝⎛⎭⎫1－1672＋1835×⎝⎛⎭⎫2－1672＋1235×⎝⎛⎭⎫3－1672＋135×⎝⎛⎭⎫4－1672＝2449， ∴E (ξ)<E (η)，D (ξ)<D (η)．13．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X 表示取得白子的个数，则X 的均值E (X )＝________.答案 35解析 方法一 随机变量X 的取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17×C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.方法二 由题意知，随机变量X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝2，则由超几何分布的均值公式知E (X )＝nM N ＝2×310＝35.14．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．答案 243245解析 以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245，故该批产品被接收的概率是243245.15．甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其均值； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？解 (1)设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得X 服从超几何分布，且N ＝6，M ＝4，n ＝3，∴P (X ＝1)＝C 14×C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24×C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34×C 02C 36＝15，∴X 的分布列为∴E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， ∴P (Y ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫230⎝⎛⎭⎫133＝127， P (Y ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29， P (Y ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49， P (Y ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫130＝827， ∴Y 的分布列为∴E (Y )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(2)D (X )＝15×(1－2)2＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25， D (Y )＝np (1－p )＝3×23×13＝23，∵D (X )<D (Y )，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．。
校本超几何分布(答案)第七章7
校本作业（37） 7.4.2（1） 超几何分布 参考答案1．(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是( )A ．超几何分布的模型是不放回抽样B ．超几何分布的总体里可以有两类或三类C ．超几何分布中的参数是N ，M ，nD ．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成答案 ACD解析 由超几何分布的定义易知A ，C ，D 均正确，因为超几何分布的总体里只有差异明显的两类，故选项B 错误．2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )A.150B.125C.1825D.14 950答案 C解析 记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825. 3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( )A.C 38C 14C 412B.C 18C 34＋C 28C 24C 412C ．1－C 44C 412D ．1－C 48C 412答案 D解析 从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为N ＝12，M ＝8，n ＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P (X ≤3)＝1－P (X ＝4)＝1－C 48C 412. 4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0<X ≤2) B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)答案 B解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( ) A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的答案 C解析 设“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)，所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C. 6．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有( )A ．2本B ．3本C ．4本D ．5本答案 C解析 设语文课本有n 本，则数学课本有(7－n )本(n ≥2)，则2本都是语文课本的概率是C 2n C 07－n C 27＝27. 所以n 2－n －12＝0，所以n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.7．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________.答案 1538 解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.8．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为______(用式子表示)．答案 C 13C 397＋C 497C 4100解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为C 13C 397＋C 497C 4100. 9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X 的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k 4C 310，k ＝0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310， P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16. 所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23. 10．某高中为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10,15,25名学生代表进行调研． (1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X 表示抽到的高一年级学生代表人数，求X 的分布列．解 (1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为C 250＝1 225.记“2名学生代表来自不同年级”为事件M ，则事件M 包含的样本点个数为C 110C 115＋C 110C 125＋C 115C 125＝775.根据古典概型的概率计算公式，得P (M )＝7751 225＝3149. (2)高一、高二年级分别有10,15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 010C 215C 225＝720， P (X ＝1)＝C 110C 115C 225＝12，P (X ＝2)＝C 210C 015C 225＝320. 所以X 的分布列为11．在某次学校的春游活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：一个纸箱里放了5个红球和5个白球，这些球除颜色外其余完全相同，若一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即中奖，则中奖的概率是(精确到0.001)( )A ．0.114B ．0.112C ．0.103D ．0.121答案 C解析 设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝5，于是中奖的概率为P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝C 45C 15C 510＋C 55C 05C 510≈0.103. 12．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( )A.542B.435C.1942D.821答案 A解析 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P ＝C 44C 410＝1210，当1个正品3个次品时，P ＝C 16C 34C 410＝24210＝435，所以正品数比次品数少的概率为1210＋435＝542. 13．(多选)10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 BD解析 由题意知，C 110－a C 1a C 210＝1645， 整理，得a 2－10a ＋16＝0，解得a ＝2或8.14．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X ，则X ≥8的概率P (X ≥8)＝________.答案 56解析 由题意知P (X ≥8)＝1－P (X ＝6)－P (X ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56. 15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．答案 15解析 用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15. 16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数为X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的样本点数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的样本点数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310，k ＝0,1,2,3. ∴随机变量X 的分布列为(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，又P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740， P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120. ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.。
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1.20世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染。
人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．
罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ.
【分析】①不放回→超几何分布
②N=15，汞含量超标的鱼为X，则X服从一个参数为15(N).5(M).3(n)的超几何分布
③由频率估计概率/由样本估计总体 2句都等价于将N无限化→不是超几何分布
④做n次独立重复实验，每次实验成功的概率都相同→二项分布
法2：设3条鱼中汞含量超标的鱼的条数为X.则X服从一个参数为15、5、3的超几何分布
∴P(X=1)=
（每个概率的求得过程必须有公式和最简结果，再画表格）
设“学生持满意态度”为事件A，由题意可知该事件满足古典概型。
∴P(A)=
(Ⅱ)由题意可知，服从参数为14、3、4的超几何分布.
（右上角为4-k）
（1）解:设“扫黑除恶利国利民”的卡片有M张
设抽取2张卡片中“扫黑除恶利国利民·”的卡片数为X,则X服从参数为9、M、2的超几何分布。
故由题意可得，即解得M=4
则抽奖者获奖的概率为
（为防止与第二问雷同,将X改为Y）（2）【分析】甲乙丙三人在抽奖过程中互不影响,各自独立,可看作3次独立重复实验,故为二项分布解:设中奖为事件A(下求中奖的概率)
即
则X服从参数为3(抽奖的人数)、5/9(中奖概率)的二项分布.
补充：数学期望。