华东师大版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5
2．成语是汉语言的“活化石”，具有很强的表现力．成语“空中楼阁”所描述的事件是（）A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定
3．下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
4．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）
A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m
5．为了更好地落实“双减”政策，学校设置了以实践探究为主的个性化作业．如图是某学生设计的电路图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是（）
A．B．C．D．
6．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切值是（）
A．B．C．D．2
7．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”
第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080
B．6080（1+x）+6080（1﹣x）2＝1280
C．1280（1+x）2＝6080
D．6080（1﹣x）2＝1280
8．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．75°C．105°D．120°
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E是AB的中点，P是AD边上一点（不与A、D重合），连接PC，PE，若∠EPC＝90°，则PD的值是（）
A．3B．C．6D．3或6
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan ∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）
A．2B．3C．D．2
二、填空题（共15分）
11．请写出一个未知数为x，常数项为0．且它的一个根为2的一元二次方程．12．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红
球的概率是．
13．如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为．
14．如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝120°．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB，BC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点O，交AD 于点O．则CO的长度为．
三、解答题（共75分）
16．（1）计算：tan60°；
（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
17．（8分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，△OAB的顶点都在格点（网格线的交点）上，已知点A（﹣4，﹣2），B（﹣2，﹣6）．（1）将△OAB向右平移4个单位长度得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
（2）将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出所得的△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标；
（3）以点O为位似中心，缩小△OAB，使缩小后的三角形与△OAB的位似比为1：2，画出缩小后的三角形．
19．为了弘扬中华民族优秀传统文化，某班举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题：
（1）求参加比赛的学生的总人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值为，表示“D等级”的扇形所对应的圆心角为度；
（3）该班决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出两名去参加全校中学生“汉字听写”
大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售．根据市场调查，当这种电子产品销售单价定为60元/个时，平均每天可售出100个，若每次销售单价每个提高10元，则平均每天就少售出20个，已知每个电子产品的固定成本为50元．
（1）若这种电子产品销售单价每个提高20元，则平均每天可售出多少个？
（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少合适？
22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容，例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8．试求出∠A的三个三角函数
值．
结合图1，写出解题过程．
【结论应用】（1）如图2，作图1中△ABC斜边上的高CD，求CD的长；
（2）如图3，E是图2中线段AD上的点，连结CE，将△ACE沿CE翻折得到△A'CE，使点A的对应点A'落在CD的延长线上，连结A'B，求四边形A'BCE的面积．
23．定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）并延长一倍得到AB'，把AC绕点A顺时针旋转β并延长一倍得到，连结B'C'．当α+β＝180°时，称△AB'C'是△ABC的“倍旋三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“倍旋中线”．
（1）解决问题：如图1，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则“倍旋中线”AD长为；
如图2，当△AB'C'为等边三角形时，“倍旋中线”AD与BC的数量关系为；
（2）拓展探究：在图3中，当△ABC为任意三角形时，猜想“倍旋中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥，
故选：B．
2．解：空中楼阁是不可能事件．
故选：C．
3．解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项准确；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：C．
4．解：如图，过点B作BC⊥AF于点C，
在Rt△ABC中，
∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．
∴AB＝＝．
故选：B．
5．解：列表如下：
共有6种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，能让灯泡发光的有4种情况，则能让灯泡发光的概率是＝．
故选：A．
6．解：如图，在Rt△ADB中，
AD＝＝，BD＝＝2，
则∠BAC的正切值是＝2．
故选：D．
7．解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，∴第二个月进馆1280（1+x）人次，第二个月进馆1280（1+x）2人次．
根据题意得：1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080．
故选：A．
8．解：由题意得，sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，
即sin A＝，＝cos B，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，
∴∠APE+∠AEP＝90°，
∵∠CPE＝90°，
∴∠PDC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠CPD，
∴△APE∽△DCP，
∴＝，
∵AE＝，AP＝AD﹣PD＝9﹣PD，
∴＝，
∴PD＝3或6，
故选：D．
10．解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．解：构造方程：x2﹣2x＝0（答案不为一）．
故答案为：x2﹣2x＝0（答案不为一）．
12．解：∵通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%，∴估计摸到红球的概率为0.25，
故答案为：0.25．
13．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝3，
又∵DE是中位线，
∴DE＝BC＝．
故答案为：．
14．解：∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，AC＝6，
∴CD＝，
∴sin，
∴sin∠EBC＝，
故答案为：．
15．解：由作图知，BP平分∠ABC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABP＝∠PBC＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∴∠APB＝∠PBC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB＝2，
∵AD∥BC，
∴△AOP∽△COB，
∴＝＝＝，
过A作AG⊥BC交CB的延长线于G，
∴∠AGB＝90°，∠ABG＝60°，
∴BG＝AB＝1，AG＝AB＝，
∴AC＝＝＝2，
∴OC＝AC＝．
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．解：（1）tan60°＝2+3﹣1﹣
＝2+3﹣1﹣3
＝1；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
17．解；原式＝[]•
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝＝2
18．解：（1）如图，△O1A1B1即为所求．
（2）如图，△OA2B2即为所求．
A2（﹣2，4），B2（﹣6，2）．
（3）如图，△OA3B3和△OA4B4即为所求．
19．解：（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），
∴参赛学生共20人，
则B等级人数20﹣（3+8+4）＝5人．
补全条形图如下：
（2）C等级的百分比为×100%＝40%，即m＝40，
表示“D等级”的扇形的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：40，72．
（3）记所选的两名学生分别为第一名和第二名．根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
第二名第一名男女1女2
男（男，女1）（男，女2）
女1（女1，男）（女1，女2）
女2（女2，男）（女2，女1）
由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴P（所选两名学生恰好是1名男生和1名女生）＝．
20．解：如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan37°＝，
∴AH＝＝，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴＝，
∵AC＝CB，
∴AH＝HD，
∴＝x+5，
∴x＝≈15，
∴AE＝AH+HE＝+15≈35km，
∴E处距离港口A有35km．
21．解：（1）（个）．
答：平均每天可售出60个．
（2）设销售单价每个提高x元．
根据题意，得．
解得x1＝30，x2＝10．
∵要让利于消费者，
∴x＝10．
∴60+x＝70．
答：这种电子产品的销售单价定为70元/个合适．
22．解：【教材呈现】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理，得AB＝＝＝＝17．
sin A＝，
cos A＝，
tan A＝．
【结论应用】
（1）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，
∵sin A＝，
∴CD＝AC•sin A＝15×＝．
（2）∵将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，∴AC＝A'C＝15，∠A＝∠EA'C，
∴tan∠A＝tan∠EA'C＝，
∵CD＝，
∴A'D＝A'C﹣CD＝15﹣＝，
∴ED＝A'D•tan∠EA'D＝＝，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°，
∴tan A＝tan∠BCD＝，
∴BD＝CD•tan∠BCD＝＝，
∴BE＝DE+BD＝＝8，
∵BE⊥A'C，
∴S四边形A'BCE＝×BE×A'C＝×8×15＝60．23．解：（1）∵∠BAC＝90°，α+β＝180°，
∴∠B'AC'＝90°＝∠BAC，
根据题意知，AB'＝2AB，AC'＝2AC，
∴＝2，
∴△AB'C'∽△ABC，
∴＝2，
∴B'C'＝2BC，
在Rt△AB'C'中，AD是斜边中线，
∴B'C'＝2AD，
∴AD＝BC＝4；
如图2，
∵△AB'C'是等边三角形，
∴AB'＝AC'＝B'C'，∠B'AC'＝60°，
∵AD是△AB'C'的中线，
∴∠B'AD＝∠B'AD＝30°，B'D＝B'C'，AD⊥B'C'，∴∠ADB'＝90°，
∴AD＝B'D＝×B'C'＝B'C'＝AB'，
由题意知，AB'＝2AB，AC'＝2AC，
∴AB＝AC，AD＝×2AB＝AB
由题意知，∠BAB'＝α，∠CAC'＝β，
∴∠BAC＝360°﹣（α+β）﹣∠B'AC'＝120°，
过点A作AE⊥BC于E，
∴BC＝2BE，
在Rt△ABE中，BE＝AB cos B＝AB cos30°＝AB，
∴BC＝2BE＝AB，
∴AD＝BC，
故答案为：4，AD＝BC；
（2）AD＝BC，理由：由题意知，AB'＝2AB，AC'＝2AC，如图3，延长AD到M，使DM＝AD，连接B'M'，C'M'，∴AM＝2AD，
∵AD是△AB'C'的中线，∴B'D＝C'D，
∴四边形AB'MC'是平行四边形，
∴AC'＝B'M＝2AC，∠B'AC'+∠AB'M＝180°，
∵∠BAB'+∠CAC'＝180°，
∴∠BAC+∠B'AC'＝180°，
∴∠BAC＝∠AB'M，
∵AB'＝2AB，
∴＝2，
∴△BAC∽△AB'M，
∴＝2，
∴AM＝2BC，
∴AD＝BC．。