大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案

《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；

B．在平面上；

C．垂直于平面；

D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；

C．不连续、偏导数存在；

D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；

C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；

B．；

C．；

D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；

B．；

C．；

D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；

2．设，则＝；

3．设为正向一周，则0 ；

4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：

，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：

由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收

敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：

从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》测试题二一、选择题1．设，且可导，则为A．；

；

B．；

C．；

D．．2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方程是A．；

B．；

C．；

D．．3．微分方程的通解是A．；

B．；

C．；

D．．4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于A．； B．；

C．；

D．．5．累次积分＝A．；

B．；

C．；

D．．二．填空题1．曲面在点处的切平面方程是；

. 2．微分方程的待定特解形式是；

3．设是球面的外测，则曲面积分＝．三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：都相交，求该直线方程．解：先求两已知直线与平面的交点，由由由两点式方程得该直线：

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．解：

沿梯度方向上函数的方向导数五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．解：观察得知该用极坐标，七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．解：解：观察得知该用先二后一的方法八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取折线九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．解：由于，故为上半球面，则原

式十、求微分方程的解．解：

由，得十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．解：沿着直线，依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

而十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为因此为非齐次方程的另一个特解，故，，通解为附加题：1．求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数．解：

由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为看，则从而2．求函数在处的幂级数展开式．解：

3．将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围．解：作周期延拓，从而《高等数学》测试题三一、填空题1．若函数在点处取得极值，则常数．2．设，则．3．设S是立方体的边界外侧，则曲面积分 3 ．4．设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为．5．微分方程用待定系数法确定的特解的形式为．二、选择题1．函数在点处．无定义；

无极限；

有极限但不连续；

连续．2．设，则．；

；

；

．3．两个圆柱体，公共部分的体积为．；

；

；

．4．若，，则数列有界是级数收敛的．充分必要条件；充分条件，但非必要条件；

必要条件，但非充分条件；

既非充分条件，又非必要条件．5．函数是微分方程的．通解；

特解；

是解，但既非通解也非特解；

不是解．三、求曲面上点处的切平面和法线方程．解：切平面为法线为四、求通过直线的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线．解：设过直线的平面束为即第一个平面平行于直线，即有从而第一个平面为第二个平面要与第一个平面垂直，也即从而第二个平面为五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．解：直线为，从而有定解条件，特征方程为方程通解为，由定解的初值条件，由定解的初值条件从而，特解为六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程试求出函数．解：因为特征方程为七、计算曲面积分，其

中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为原式，投影域为，用柱坐标原式另解：用球坐标原式八、试将函数展成的幂级数．解：

九、判断级数的敛散性．解：

当，级数收敛；

当，级数发散；

当时级数收敛；

当时级数发散十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取，围成半圆的正向边界则原式十一、求曲面：到平面：的最短距离．解：问题即求在约束下的最小值可先求在约束下的最小值点取时，这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。