线性代数向量空间自测题(附答案)
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《第四章 向量空间》 自测题 (75分钟)
一、选择、填空(20分,每小题4分)
1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是( )。
(A )R n 中,分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; (B )R n 中,分量是整数的所有向量;
(C )R n 中,分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量;
(D )R n 中,分量满足x 1=1,x 2,…,x n 可取任意实数的所有向量。 2.设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令
414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=,
则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ,它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 , 它的一组基为 。
4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间,即⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a a
a a W ij 2212
1211,则它的维数为 ,一组基为 。
5.若A=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021
021b a 为正交矩阵,且|A|=-1,则a = ,b = 。
二、计算题(60分) 1.(15分)设R 3的两组基为:
T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ,
向量α=(2,3,3)T
(1)求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 (2)求α关于这两组基的坐标。
(3)将321,,βββ化为一组标准正交基。
2. (15分)在R 4 中,求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基,
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=-+-=+-+0
1113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x 3.(20分)已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基,向量组321,,βββ满足
3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+
(1)证明:321,,βββ是一组基。
(2)求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。 (3)求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。 4.(10分)已知A 是2k+1阶正交矩阵,且|A|=1,求|A -E|。 三、证明题(20分)
1. (5分)设0321=++γβαk k k ,且031≠k k 。证明:),(),(γββαL L =。
2. (5分)设A 为正交矩阵,证明:A *为正交矩阵。
3.(10分)设A 、B 为n 阶正交矩阵,且|A||B|。证明:A+B 为不可逆矩阵。
参考答案
一、选择、填空 1. A
2. dimW=3,一组基为.,,321βββ
3. dimW=n-2,一组基为T n T T )0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(221 ==-=-ααα
4. dimW =3,一组基为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,1000,0001。
5. a =
2
1
,b =
2
1
二、计算题
1.(1)基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121
(2) α关于321,,ααα的坐标是(0,1,1)
α关于321,,βββ的坐标是(1,1,2) (3)⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛02121,626161,313131。 2.解空间的维数是2,一组基为T T )1,0,3
7,92(,)0,1,38
,91(21-=-=αα。
3.(1)提示:证明321,,βββ与321,,ααα等价,从而r(321,,βββ)=3,线性无关。 (2)基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001211010
。
(3)向量α关于基321,,βββ的坐标为(2,-5,1)。
4. ()
()0)1(121=-⇒--=--=--=-=-=-+-E A E A E A E A A E A E A E A T
k T T 。
三、证明题
1. 提示:证明两个向量组等价,即},{},{γββα≅,则生成子空间),(),(γββαL L =。
2. 证明: ()
()
E AA A A A A A A A A A T T
T
T ====----1
12
1
1*)(*。
3.提示:0111=+⇒+-=+=+=+---B A B A B A B A B A E A B A
.