第三课讲：绝对值与最值

绝对值与最值

对绝对值概念有几何、代数两种描述方法•其中几何方法的描述是：|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此，我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用.

一、利用绝对值的几何意义求最短距离

2014-09-17 sunny 学数学

|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.

|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a. b对应数轴上两点间的距离.

典型例题分析：

例1、数轴上到原点距离是5个单位长度的点表示的数是

到原点距离是5的点有两个，原点左右各一个，分别表示±5

例2、数轴上到3的距离是5个单位长度的点表示的数是

答案同样有两个，分别是8和-2

例3、当x取何值时，3+|x-2|有最小值，是多少？

理解方法有两种：

代数方法：因为|x-2|表示的是非负数，所以，最小是0,此时，x=2,整个式子

的最小值是3

几何方法：因为|x-2|表示的是数轴上的点x到点2的距离，只有当x=2时，距离最小是0.整个式子的最小值是3.

例4、当x取何值时，|x-2|+|x+4|的值最小，最小值是多少？

分析：由上面的知识可知，|x-2|+|x+4|表示的是数轴上的点x到点2和点-4的距离之和。分

别用红色和蓝色的线段表示到两点的距离

点2和点-4，把整个数轴分成了三个部分，

当点x在这三个不同的部分时，会分别出现以下情况，

1点x在-4的左侧

2、点x在-4和2之间，此时，到2和-4的距离之和恒等于6

3、点x在2的右侧

4、如果点x恰好在-4或者2,就会出现某一个距离是0，可以归入情况2.

由以上的几种情况，可以看出，只有点x在-4和2之间时，彩色线段没有重合的部分，距离之和才最小，

所以当点x在-4和2之间时，|x-2|+|x+4|最小，最小值是 6.

例5、求|x-2|+|x+4|+|x+1| 的最小值

|x-2|+|x+4|+|x+1|表示的是数轴上的点x到点2、点-4和点-1的距离之和。分别用红色和蓝色

和黄色的线段表示距离

点2、点-4和点-1把整个数轴分成了4个部分，分别进行研究

1•点x在-4的左侧，可以看到三条彩色的线段有重合的部分

2 •点x在2的右侧

3.点x在-4和-1之间

4.点x在-1和2之间

以上四种情况，三条彩色线段都有重叠的部分，相加的结果一定不是最小的。所以我们必须再考虑，点x在4-1或者2的时候，

结果发现，只有当点x在点-1时，线段没有重合的部分，

所以当x=-1时，|x-2|+|x+4|+|x+1 的值最小，是6。

绝对值可以表示数轴上两点间的距离，根据这一几何意义，我们可以求若干个距离之和的最

小值。在解题的过程中，利用关键点把数轴分为几个部分，然后各个部分分别讨论，这个是关键。-

二.利用几何方法求最值-1

例1已知y=|x-2|-|x-5|, 求y的最大值与最小值.

分析此题常见的方法是根据x的取值范围，去绝对值，然后分别讨论求出最大值、最小值. 但根据绝对值几何意义解，那就容易多了.

解设数轴上表示数2、5、x的点分别为A B C.C可在数轴上移动，那么

y=|x-2|-|x-5|=AC-BC, 如图1,当C点在B点右边时，AC-BC=AB=5-2=3;

5 -4 -3 ^2 -1 0 1 3 3 4 5

图1

当C点在A点左边时（如G处），

AC-BC=-AB=-3 ;

当C点在线段AB上（包括A B点）（如在C处）时，-3 < AC-BC< 3. 综上所述，y的最大值为3,最小值为-3.

例2已知y=|x-2|+|x-1|, 求y的最小值.

-5 -4 -3 -2 -1 o 1C 2J 3 4 5

图2

解设数轴上表示数 2、1和的点分别为 A 、B 、C,则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC （ 如图2）, 当 C 点在A 点右边时，AC+BO AB 即y > 1.当C 点在B 点左边时（如在 G 处），AC+BO AB, 即y > 1.当C 点在线段AB 上（包括A 、B 点）（如在C 2

处）时，

y=AC+BC=AB=1, 综上所述y > 1,y 的最小值为1.

通过上述两题，我们知道，利用绝对值几何意义解决此类问题

，显得直观又简单，同时

我们还能得出一些有用的结论 ： 如果y=|x-a|-|x-b|, 那么y 有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.

如果y=|x-a|+|x-b|, 那么y 有最小值|a-b|,无最大值.

并且还求出最大值,最小值时对应的x 值的范围.

二.利用界点分段法求最值

例3.求代数式I x-1 | + I x-2 | + I x-3 |的最小值

分析：根据上题很容易找到三个分界点是 x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，

工A 灵然后分段讨论。|

1、2、3 x — 1) — (x — 2) — (x — 3)=6 — 3x 这时x=1时 x — 1 — (x — 2) — (x — 3)=4 — x 这时 x = 2 时有最 x —1+(x — 2) — (x — 3)=x 这时x 没有最小值 1 + x — 2 + x — 3 = x 这时x 没有最小值 综合以上几种情况，原式的最小值是

说明：形如|x-ai|+|x-a2|+……+|x-an|n 个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当 奇数时取中间分界点即

x=最小值=,当n 为偶数时w x < +1时，最小值= ,当n 为偶数时取中间两个分界点 x 的取值或中间两个分界点之间的任意实数，

求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。因为有奇数个分界点，所以当

有最小值 6 , 如求 |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4| 的最小值 有偶数个分界点，所^-3

例 4 已知 y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求 y 的最大值。

分析：首先，对式子|2x+6| — 4|x+1| + |x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中 大值，再加以比较可得。

解：找分界点，得x= — 3, — 1, 1

3时,_y=—（2工4~佛十箱（工十1）+© —囂）=囂一1

-x = — 3 ・・x — 1= — 4

^•x=—3时，y 的最小值为一4

当一3

解：这里有三个分界点：

当x = 1时，原式=—（

有最小值3

当1 VxW2时，原式= 小值2

当2

x>3时，原式=x — 即（如 x 取中间界点-3时 因为 y 的最