勾股定理第一课时
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勾股定理(第1课时)精选教学PPT课件
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 B的面积 C的面积
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
勾股定理第一课
命题１：如果直角三角形的两直角边长分
别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
a
c
b
证 a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
法
一：
用
拼 图
a
法 证
b
明
ac
b
∵S大正方形 =(a+b)2=a2+b2+2ab
b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 c a =4·1 ab+c2
2
c b =c2+2ab
法 三：
a
c
b
cb a
勾股定理（gou-gu法则)
在西方又称毕达哥拉 斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边
为c，那么 a2 b2 c2 a c
即 直角三角形两直角边的平方和等 b
于斜边的平方。
弦
表示为：Rt△ABC中，∠C=90° 勾a
c
则 a2 b2 c2
股b
合作探究
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 A 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
。
c2=a2 + b2
b
c a2=c2－b2
a c2 b2
b2 =c2-a2
b= c2-a2
C
B
a
c a2 b2
例、如图，在Rt△ABC中，
C＝ 90°，BC=a，AC=b，AB=c，
(1)已知a=3，b=4，求c (2)已知b=15，c=17，求a
a
c
b
知识应用
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
625
81
225 400
《勾股定理》PPT(第1课时)
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理第一课时PPT课件
58厘米
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理(第一课时) 初中数学 八年级数学
例：在Rt △ ABC中，∠C=90° 3 1）如果 b=4 ， c =5 ， 那么a = _____ 20 2）如果 a=15 ， c=25 ，那么 b= _____ 10 3）如果 a =6 ， b=8 ， 那么 c = ____ B 总结归纳： 直角三角 c 形中，如果知道其中的 a 任意的两边，则可以求 C A b 出第三边 像这些满足两个数的平方和等于第三个数的平方的 一组整数称为勾股数
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
课堂小结
1、这节课我的收获是＿ ＿ ＿ ；源自2、我最感兴趣的地方是＿ ＿ ＿ ；
3、我想进一步研究的问题是＿ ＿ ＿ ；
毕达哥拉斯（公元前572公元前492），古希腊著 名的哲学家、数学家、天 文学家）
推广至一般直角三角形 即：两条直角边上的正
方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积 A B
图1-1
C
SA+SB=SC
C A B
图1-2
即：直角三角形
两直角边的平方 和等于斜边的平 方。
勾股定理
c a
勾
股
b
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 为“股”，斜边称为“弦”.
17.1勾股定理(第1课时)课件(共23张PPT)
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A B 9 C A B 图2-2 4 9 4 18 8
图2-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 4 3318 2
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
弦 勾
股
图1-1
漂亮的勾股树
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 6 2
2
1 8（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
勾股定理第一课时初中数学原创课件
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程;
2.掌握勾股定理的内容并会运用;
3.在合作交流中解决问题,培养合作探究能力.
新知探索
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
做一做
1.观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
猜想：如果直角三角形两
直角边长分别为a，b，斜
边长为c，那么a2+b2=c2．
C
A
c
a
b
B
图1-2
c
a
A b
C
B
图1-3
验证猜想
下图图案是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会
的会徽．它与勾股定理有着密切联系.
问题1
这个图案由哪些基本图形组成？
由四个全等的直角三角形和一个
小正方形组成了一个大正方形.
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
c
a
斜边长为c，那么
a2+ b2=c2.
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
b
美国总统证明勾股定理
美国第17任总统加菲尔德证明勾股定理的方法：两个全
等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形.
尝试完成这个证明.
（× ）
巩固练习
练习1
求下列直角三角形中未知边的长度．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
A
5
C
x
12
（1）
x2 =52+ 122=169 ．
第1课时 勾股定理
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程;
2.掌握勾股定理的内容并会运用;
3.在合作交流中解决问题,培养合作探究能力.
新知探索
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
做一做
1.观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
猜想：如果直角三角形两
直角边长分别为a，b，斜
边长为c，那么a2+b2=c2．
C
A
c
a
b
B
图1-2
c
a
A b
C
B
图1-3
验证猜想
下图图案是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会
的会徽．它与勾股定理有着密切联系.
问题1
这个图案由哪些基本图形组成？
由四个全等的直角三角形和一个
小正方形组成了一个大正方形.
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
c
a
斜边长为c，那么
a2+ b2=c2.
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
b
美国总统证明勾股定理
美国第17任总统加菲尔德证明勾股定理的方法：两个全
等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形.
尝试完成这个证明.
（× ）
巩固练习
练习1
求下列直角三角形中未知边的长度．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
A
5
C
x
12
（1）
x2 =52+ 122=169 ．
勾股定理(第一课时)课件 人教版八年级下册数学课件 (2)
13 单位面 积.
勾命股题定1 理
如果直角三角形的两直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 么a2+b2=c2.
x
赵爽弦图
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾 股之差自相乘为中 黄实。加差实，亦 成弦实。
aB
c
a
b
C
c
朱实
b
朱实
A
朱实
朱实
学以致用
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求：
积. C的面积是 18 单位面
积.
好奇是人的本性! 观察图1-2，回答问题：
图1-1
图1-2
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积.
2.B的面积是 4 单位面
积. C的面积 是
8 单位面 积.
好奇是人的本性! 观察图1-3，填表：
图1-3
图1-4
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 16 个小 方格,即A的面 积是 16 单位 面积.
2.B的面积是 9 单位面
积. C的面积是 25 单位面
积.
好奇是人的本性! 观察图1-4，填表：
图1-3
图1-4
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积.
2.B的面积是 9 单位面
积. C的面积 是
⑴已知： a＝3， b＝4，求c
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ab
活学活用
探究1
一个门框尺寸如图所示，一
块长3m，宽2.2m的薄木板
勾命股题定1 理
如果直角三角形的两直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 么a2+b2=c2.
x
赵爽弦图
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾 股之差自相乘为中 黄实。加差实，亦 成弦实。
aB
c
a
b
C
c
朱实
b
朱实
A
朱实
朱实
学以致用
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求：
积. C的面积是 18 单位面
积.
好奇是人的本性! 观察图1-2，回答问题：
图1-1
图1-2
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积.
2.B的面积是 4 单位面
积. C的面积 是
8 单位面 积.
好奇是人的本性! 观察图1-3，填表：
图1-3
图1-4
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 16 个小 方格,即A的面 积是 16 单位 面积.
2.B的面积是 9 单位面
积. C的面积是 25 单位面
积.
好奇是人的本性! 观察图1-4，填表：
图1-3
图1-4
探索勾股定理
1.正方形A中 含有 4 个小 方格,即A的面 积是 4 单位 面积.
2.B的面积是 9 单位面
积. C的面积 是
⑴已知： a＝3， b＝4，求c
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ab
活学活用
探究1
一个门框尺寸如图所示，一
块长3m，宽2.2m的薄木板
勾股定理(第1课时)ppt课件
∵x>0 ∴ x=10
y=0
学海无涯
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
S3
S4
结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6
S2 S1 S5
S6
S7
=S7
y=0
练一练
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 10 则c=＿＿＿＿ 2.在Rt△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的值 3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、 4,则第三边的长为________
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B
A
E
C
例3：三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC 方向对折，再将CD折叠到CA边上， 折痕CE，求三角形三角形ACE的面积
在Rt△ABC中,. ∠C=90
(6)已知, ∠A=30 , c=8 , 则 a=_____, b=____ (7)如果c=10，a-b=2，则 b= 。
探究 y=0 1
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m， 宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为 什么？
Ｄ Ｃ
2m
Ａ
Ｂ
1m
分析 y=0
A
6
C
AC AD2 DC2 82 62 10
2 2 2 2
A
AB AC BC 10 10 200
八年级下数学课件勾股定理(第一课时)
米吗？
勾股定理，想得再多一点
回头再看看
国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明
妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85 厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员
搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是 为什么吗？~
内容总结：
（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa c
b B
SA+SB=SC探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 1 ab 4 c2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
X=__4__2________
x 62 22 32 4 2
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
勾股定理，想得再多一点
回头再看看
国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明
妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85 厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员
搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是 为什么吗？~
内容总结：
（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa c
b B
SA+SB=SC探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 1 ab 4 c2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
X=__4__2________
x 62 22 32 4 2
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
17.1勾股定理第一课时p22-p24
赵爽弦图的证法
朱实
中黄实 c b (b-a)2
化简得： c2 =a2+ b2．
a
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
a2+b2=c2
弦
c
股
b
变式
┏
勾a
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
朱实
中黄实 c b (b-a)2
a
活动 3
看左边的图案，这个图案是 公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出：四个全等的直角三角 形（红色）可以如图围成一个大 正方形，中间的部分是一个小正 方形 （黄色）．
17.1.1
勾股定理
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.
弦 勾
股图1-1活动源自2相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
《勾股定理》第一课时ppt
图1-1
图1-2
在中国古代大约是战国时期西汉的数学 著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一 段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股 修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条 直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径 隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事 实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股 定理”或“商高定理”
25
A
a Bb c
C
（每一小方格表示1平方厘米）
割 补法
正方形 面积 （cm2）
A
9
B
16
C
25
Sc S大正方形 4S直角三角形 72 4 1 34 2 49 24
25
探究二：
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
c a
b
解：由勾股定理得：
(3) a c2 b2 202 162
12
例2： 已知Rt△ABC的三条边分别长为3、4、x，
求第三边x长度？
分析：
情况一：
当3和4分别为两条直角边时
x2 42 32
4
x x2 25
情况二： 当4为斜边时
4 x
42 x2 32 x2 42 32 x2 7
x
8
6
（2）
解：由勾股定理得： x2 52 42
x 52 42
x3
5 4
x
公式的变形
在直角三角形中，两直角边的平方和等于 斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
A
a2=c2 － b2 b2 =c2 －a2
人教版 初二 数学 勾股定理 第一课时 完美课件
1、勾股定理的证明 2、勾股定理的应用
作业：1、作一个斜边长为 20 cm的
直角三角形（简述作法） 2、作业本P26-28 18.1
不确定
（2）这两边的夹角确定，第三边的长确定吗？
确定
（3）这两边的夹角为90°，第三边的长确定吗？
确定
你能求出第三边的长吗？
相传在2500年前，毕达哥拉斯有一 次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形 的三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前 572--前492年），古 希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。
SA+SB=SC
C Aa c
b
图乙 a
bc C
图甲 B
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼 图 法 证
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理： AC2=AB2+BC2=12+22=5
∴AC= 5 ≈2.236＞2.2
所以，木板能从门框内通过。
练习： 一判断题.
1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
作业：1、作一个斜边长为 20 cm的
直角三角形（简述作法） 2、作业本P26-28 18.1
不确定
（2）这两边的夹角确定，第三边的长确定吗？
确定
（3）这两边的夹角为90°，第三边的长确定吗？
确定
你能求出第三边的长吗？
相传在2500年前，毕达哥拉斯有一 次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形 的三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前 572--前492年），古 希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。
SA+SB=SC
C Aa c
b
图乙 a
bc C
图甲 B
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼 图 法 证
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理： AC2=AB2+BC2=12+22=5
∴AC= 5 ≈2.236＞2.2
所以，木板能从门框内通过。
练习： 一判断题.
1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理第1课时课件
吗？
第六页，共十二页。
你发现(fāxiàn)了
吗？
直角(zhíjiǎo)三角形的两直角(zhíjiǎo)边的平方和等于
斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，
那共十二页。
数学 小 (shùxué) 知识我国古代称直角三角形的较短的直角(zhíjiǎo)边为勾， 较长的直角(zhíjiǎo)边为股，斜边为弦，这便是勾股定 理的由来。
第一章 勾股定理(ɡōu
1 探索 勾股 ɡǔ dìnɡ lǐ)
(tàn suǒ)
定理
第1课时(kèshí) 勾股定理（1）
第一页，共十二页。
情景(qíngjǐng)导入 我们知道，任意三角形的三条(sān tiáo)边必须满足 定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于一些特殊的三角形，是否(shì fǒu)还存在 其他特殊的关系？
3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，c=10， 则b= 。 5 3
4.在直角三角形ABC中，它的两直角(zhíjiǎo)边长的比 是 3:4，斜边长是20，则两直角边长分别是 、 。
12 16
第十一页，共十二页。
内容 总结 (nèiróng)
第1课时 勾股定理（1）。第1课时 勾股定理（1）。我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边。对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系。你发现A、B、C的面积之间有什 么关系。如果直角(zhíjiǎo)三角形两直角(zhíjiǎo)边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，前面所猜想的数量关 系式还成立吗。如果直角(zhíjiǎo)三角形的两条直角(zhíjiǎo)边为a、b，斜边为c，那么有a2+b2=c2.。1.求下图中 字母所代表的正方形的面积
第六页，共十二页。
你发现(fāxiàn)了
吗？
直角(zhíjiǎo)三角形的两直角(zhíjiǎo)边的平方和等于
斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，
那共十二页。
数学 小 (shùxué) 知识我国古代称直角三角形的较短的直角(zhíjiǎo)边为勾， 较长的直角(zhíjiǎo)边为股，斜边为弦，这便是勾股定 理的由来。
第一章 勾股定理(ɡōu
1 探索 勾股 ɡǔ dìnɡ lǐ)
(tàn suǒ)
定理
第1课时(kèshí) 勾股定理（1）
第一页，共十二页。
情景(qíngjǐng)导入 我们知道，任意三角形的三条(sān tiáo)边必须满足 定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于一些特殊的三角形，是否(shì fǒu)还存在 其他特殊的关系？
3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，c=10， 则b= 。 5 3
4.在直角三角形ABC中，它的两直角(zhíjiǎo)边长的比 是 3:4，斜边长是20，则两直角边长分别是 、 。
12 16
第十一页，共十二页。
内容 总结 (nèiróng)
第1课时 勾股定理（1）。第1课时 勾股定理（1）。我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边。对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系。你发现A、B、C的面积之间有什 么关系。如果直角(zhíjiǎo)三角形两直角(zhíjiǎo)边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，前面所猜想的数量关 系式还成立吗。如果直角(zhíjiǎo)三角形的两条直角(zhíjiǎo)边为a、b，斜边为c，那么有a2+b2=c2.。1.求下图中 字母所代表的正方形的面积
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勾股定理（第一课时）
教学目标：
1、理解并掌握勾股定理的证明；并且能初步运用勾股定理解决问题。
2、在探索过程中，让学生亲历“观察—猜想—归纳—证明”的过程，并且能体
会特殊到一般、数形结合的数学思想和方法。
3、通过了解与定理有关的中外数学史，激发学生的学习兴趣和研究精神。
特别
是通过了解中国古代的数学成就，激发学生的民族自豪感。
教学重点：勾股定理的证明和运用
教学难点：勾股定理的证明
教案
（一）合作交流，探究新知
早在2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了灵感，并且对此展开研究，下面我们也来重温数学家的发现之路，探究这个“饭局中诞生的定理”。
活动一探究：等腰直角三角形三边的关系
思考：（1）你能发现图中的三个正方形的面积之间有什么联系吗？
（2）、你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?
（3）、你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
初步猜想：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
活动二 探究：一般直角三角形三边之间的关系是否也是如此？
（1）图形A 的面积= ，图形B 的面积=
交流：图形C 的面积如何求出？
（2）、你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?
（3）、你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
进一步猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
以上仅仅是我们的猜想，这个命题如何来进行证明呢？
得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
学案
我国古代人民早在几千万年以前就已经发现和运用勾股定理，在已有的文献
记载中，最早给出证明的是三国时期的吴国数学家赵爽在《周髀算经》注中已
经给出了勾股定理的证明。
指导学生利用手中4个全等的直角三角形进行拼图。
大正方形的面积可以表示为2c
也可以表示为4×ab 21+2)(a b -，于是可得：2c =4×ab 21+2)(a b - 整理的：2
22c b a =+ 得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、传说中的毕达哥拉斯证法
由于拼图前后面积没有发生变化，因此
Ｓ大正方形=22214b a ab ++⨯=222b a ab ++ Ｓ大正方形=22
14c ab +⨯=22c ab + 所以：222b a ab ++= 22c ab + 得到：222c b a =+
2、 总统证法（自主完成）
巩固案
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；
a
c a
b b a b c
A B
D
⑷三边之间的关系：。
3、一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，那么它的宽是（）
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）5．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。
6、在Rt△ABC中，a、b、c分别是角A 、B 、C所对的三条边，∠C=900
如果：(1)a=3,b=4,求c （2）c=13，b=12，求a
(3)c=17,a=8,求b （4）b=6，c=10，求a
7、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙距离是
多少?
教学反思
本节课从实际问题引入，激发学生的学习兴趣。
数学家毕达哥拉斯的发现之路也体现了数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的研究热情。
然后整个教学流程从特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，从最初的猜想到最后的证明，既体现了数学的严谨，又符合学生的认知特点，便于学生接受和理解。
其中勾股定理的证明方法多样化，利用数形结合，给出严密的证明。
在给出证明方法的同时对学生进行数学史教育，中外都有所涉及，特别是通过中国古代对勾股定理的证明和利用，激发民族自豪感和爱国热忱。