弦振动偏微分方程的求解
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
弦振动方程的导出与定解条件
弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解解决实际物理问题的关键在于对有关方程的可解性，而有关非齐次定解条件的方程解，是很多物理问题研究中不可缺少的重要内容。
本文就以弦振动方程为例，从定义开始，考察非齐次定解条件的解方式，总结出一系列可行的解决办法，以期能够对同学们对理论计算与实际解决物理问题中相关内容的了解产生一定的裨益。
2.振动方程的定义弦振动方程，即线性微分方程，是由描述弦振动现象的一种数学模型。
一般的弦振动方程的形式为:$$frac{d^2y}{dx^2}+P(x) frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$$ 式中P(x)，Q(x)和f(x)为弦振动方程的非齐次定解条件，可以通过求解这个弦振动方程来实现对弦振动的研究.3.齐次定解条件的求解非齐次定解条件的解法可以采用几种不同的方式进行求解，其中包括积分法、特解法、递推法以及解析法等。
3.1分法积分法是基于对弦振动方程进行积分求解的方法，即从未知函数的参数到函数的构建的过程，其具体实现需要解决相应的积分等价问题，但求解的复杂度很高。
3.2解法特解法是基于特解求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的特解，它可以通过积分系数的方式发现特解的解析解，而无需计算就可以求出特定的解。
3.3推法递推法是基于递推法求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的解析解，它可以通过将相关系数纳入递推式而求出解析解。
3.4析法解析法是基于解析法求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的解析解，它可以通过分解解析解的参数和系数而求出解析解。
4.语本文以弦振动方程的解为例，探讨了关于非齐次定解条件的不同解法及其实现方式。
从定义、几种不同解法到实现方式，本文对弦振动方程的解有了比较详细的介绍，以期能够对同学们在解决物理问题中的用到的非齐次定解条件有更深入的了解，为实际的应用提供前期的理论基础。
1方程导出01-弦振动方程
ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x
弦振动方程的导出与定解条件
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
在考察弦振动问题时的基本假设为：
1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度
相比可以忽略，弦的线密度 是常数。
2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲， 弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一 致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克
（Hooke）定律。（即指在弹性限度内， 物体的形变跟引起形变的外力成正比）
分量的代数和为
T0 sin 2 T0 sin 1 T0 (sin 2 sin 1).
由于小振动：
u u T0[ x |x2 x |x1 ]
sin 2
tan2
u x
|x2 ,
sin 1
tan1
u x
| x1 ,
12
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
应用微分中值定理：
T0
[
u x
|x2
接下来, 我们只须说明张力与位置 x 无关
9
u
M2
T2
1
M1
T1
O x1 x2
2
lx
我们分别把在点 M1, M2 处的张力记作 T1, T2, 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点
M1, M2 处的切线方向。
由假定，弦只作横向振动，因此张力在
弦振动频率计算公式推导
弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。
在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。
为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。
在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。
我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。
弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。
当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。
将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。
从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。
当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。
通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。
通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。
弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。
【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。
】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。
在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。
而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。
2.3.2弦振动方程的一般解
2.3.2弦振动⽅程的⼀般解（ 2-3-14 ）这⾥，是仅包含位置变量的函数；是仅包含时间变量的函数。
将（ 2-3-15 ）上式等号的左边仅与有关，右边仅与有关，⽽和都是独⽴变量，因⽽如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成⽴，则其等号两边应恒等于⼀个与，都⽆关的常数。
如果令这⼀常数为，并且，那么 (2-1-15) 式可写成（ 2-3-16 ）于是可以分别得到两个独⽴的⽅程（ 2-3-17 ）（ 2-3-18 ）经过上⾯分离变量后，就把⼀个偏微分⽅程分解成两个具有单⼀独⽴变量的常微分⽅程。
⽽这种形式的微分⽅程我们在第 1章中⼰遇到过，因此我们可以仿照⽅程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) ⽅程的解为（ 2-3-19 ）（ 2-3-20 ）式中都是待定常数。
将上⾯⼆式代⼈（ 2-3-14 ）可得（ 2-3-21 ）其中仍是待定常数。
如果弦的两端固定，可以利⽤对任意时间都满⾜的边界条件（ 2-3-8 ）式。
将代⼈ (2-1-21) 式可以定得常数，再将代⼈ (2 － 1-21) 式可得如下关系（ 2-3-22 ）这时不能为零，否则和都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。
因此要得到⾮零解就必须令（ 2-3-23 ）要正弦函数等于零。
显然应该使其宗量满⾜如下关系（ 2-3-24 ）⽤⼀新的符号来代替，于是（ 2-3-24 ）式可写成（ 2-3-25 ）或（ 2-3-26 ）从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是⼀简谐函数，因⽽应该代表振动的圆频率，⽽代表弦的振动频率。
从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具有⼀系列持定的数值，即，并且仅同弦本⾝的固有⼒学参量有关，因⽽称为弦的固有频率。
但是它与第 1 章讨论的质点振动之间有⼀明显区别，⼀个单振⼦系统仅有⼀个固有频率，旧弦的固有频率不⽌⼀个，⽽有个，亦即⽆限多个。
并且固有频率的数值不是任意的，其变化也不是连续的，⽽是以等次序离散变化的。
弦振动方程中D'Alembert公式的算子算法
其 中 ， 是 （ （ 的任意连续可微 函数． 由上式可得
（， ｅ
Ｇ ＋Ｊ （
啦
个主要方 法． 本文主要 从 另一角 度 即算子 的方法 进一 步
令 Ｆ 一Ｊ （ （ ， 啦， 则
（ ， 一Ｇ（ ＋ Ｆ（ ｅ
讨论了 ＤＡ ｅ ｅｔ ｌｍｂｒ 公式的推导过程 ， 面将作 简单介绍． 下
其中 ｃ，ｚ ｃ 为任 意常数． 作变量变换
￣
我们首先引入另两个定解 问题
＋口 ￡
ｅ ｘ－ ａ ， ＝ － ｔ叩
ｆ 一 口 Ｍ 一 Ｏ ～ ∞ ＜ ＜ ＋ ∞ ，＞ Ｏ ｔ （＊１ ｕ ｘ， ） ） （ ０ 一 （ 或（Ｄ 钾 ， ｕ 一０
加原理知道
ｕ ｘ，） “ （ ，） Ｕ （ ｆ （ ｆ 一 １ ｆ ＋ ２ ，） （） ６
詈＋ 一（ ｎ ｎ ＋￡ ）
再联立 （ ｚ 中的初始条件 Ｕ ，） ， ＊） ｚ ０ 一０ 则问题（ ＊ｚ的求解 等价于下列问题 （ 。 的求解 ： ＊）
公式．
关键 词 ： 弦振动 方程 ＤＡｌ ｅｔ ｅ ｒ 公式 ； ｍｂ 算子方法
中图 分 类 号 ： ７ ． ７ Ｏ１５ ２ 文献标识码 ： Ａ
特 征线 的方法是求解 一维 双 曲型方程 Ｃ ｕ ｈ ａｃ ｙ问题 的
最基本方法 ， 也是 推导弦振 动方程 中的 ＥＡ ｅ ｅｔ ｒ ｌｍｂ ｒ 公式 的
弦振动方程中 ＤＡｌｍｂ ｒ 公 式的算子算法 ＇ ｅ ｅｔ
陈 名 中
（成 宁学 院 数 学 系 ，湖北
摘
成宁
４７ Ｏ ） ３ １Ｏ
要： 主要讨论 了运用算子的方法推导 出弦振动 方程 中的 ＥＡｌ ｅｔ 式． ｒ ｅ ｒ公 ｍｂ 弦振 动方程 中的 ＤＡ ｅ ｅｔ ｌｍｂ ｒ 公式
基本波动方程的求解方法
基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题的解)0(≥τ，则⎰=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。
以下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。
考虑一个常见的一维热传导方程：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}\]假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。
二、变换方法变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。
通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。
以下介绍两种常见的变换方法。
1. 傅立叶变换法傅立叶变换法被广泛应用于分析和求解各种偏微分方程。
通过将原方程进行傅立叶变换，可以将其转化为代数方程，并通过解代数方程来得到原方程的解。
具体来说，假设原方程为：\[L[u(x,t)] = f(x,t)\]将其进行傅立叶变换，可以得到：\[L[\hat{u}(k,\omega)] = \hat{f}(k,\omega)\]然后通过解代数方程来求得 \(\hat{u}(k,\omega)\)，再进行逆傅立叶变换即可得到 u(x,t) 的解。
第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解
at x
0
c ( )d 2
固得：
u( x , t ) f 2 ( ( x at )) f 2 ( x at ) 1 1 [ (at x ) ( x at )] x ( )d 2 2a at
at x
综上得：
( x at ) ( x at ) 1 x at at ( )d , x at 2 2a x u( x , t ) x at (at x ) ( x at ) 1 x ( )d , x at 2 2a at
解：
0 ( x) 0 ( x ) 0
x at x at
x1 x x2 x1 x , x2 x
x at
1 1 1 u( x, t ) at ( )d 2a ( )d 2a ( )d 2a x
1 ( x) ( )d 2a
( x) 0
(x)
u0
x
x1
x1 x2 2
x2
u( x , t )
1 ( x) 2
x1
u0
x2
x x x
1 u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
例：初位移为0，在 x1 x x2 范围有恒定速度。 相当于用一定宽度的物件敲击弦。
2 代入方程 utt a uxx
得: u 0
u c( )
u( , ) c( )d f1 ( ) f 2 ( )
代回原变量得: u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
容易验证,只要这两个任意函数具有二阶连续偏导数,则 上式就是所求弦振动方程的的解,且是通解(一般解).
弦振动方程
演奏弦乐器（如提琴、二胡）的人用弓在 弦上来回拉动. 弓所接触的只是弦的很小一段， 似乎应该只引起这个小段的振动. 实际上，振 动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来. 人们力求用数学方法研究这种弦振动传播现 象.
弦振动方程
考虑一根绷紧的弦，它在不振动时是一根 直线，就取此直线作为x 轴. 在时刻t=0 将此弦 拨动一下使其振动. 令u(x,t)表示弦上对应与横 坐标x 的点在时刻t 的横向位移. 则用讨论张力 的方法可推得u(x,t)满足偏微分方程
2u 2u ξ 2u η 2u ξ 2u η = 2 + + + 2 2 x ξ x ξη x ξη x η x 2u 2u 2u = 2 +2 + 2 ξ ξη η
弦振动方程
u u ξ u η u u = + = a( ) t ξ t η t ξ η
2u 2u ξ 2u η 2u ξ 2u η = a[ 2 + 2 ] 2 t ξ t ξη t ξη t η t 2u 2u 2u = a2 ( 2 2 + 2) ξ ξη η
代入原方程得 先对 η 积分，得
2u =0 ξη u = f (ξ ) ξ
弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动方程
再对 ξ 积分，就得到通解
u = ∫ f (ξ )dξ + f 2 (η ) f1 (ξ ) + f 2 (η )
= f1 ( x + at ) + f 2 ( x at )
其中f1，f２为任意函数. 通解有很鲜明的物理意义. 事实上，凡f(x-at) 形状的函数描述的是沿x 的正方向传播的波， 其速度为a. 而f(x+at)形状的函数描述的是沿x 的负方向传播的波，其速度也为a.
偏微分方程及其求解实例ppt课件
(hn1-2.*h(k,n)+h(k,n-1))./dr.^2);
end plot(r(3:n)./ra,p(k,3:n).*theta.*2./rb)
h hi1 hi1 r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
P
1 rb 4
1
r
h r
2h r 2
偏微分方程的求解实例2:
2u A x2
2u B
xy
C
2u y 2
D u x
E u y
Fu
f
x,
y,u,
u x
,
u y
(1) 导热方程:
u 2u
t x2 (2) 拉普拉斯方程: 如稳态静电场和稳态温度分布模型
2u 2u 0
x2 y2
(3) 波动方程: 一维弦振动模型
2u 2 2u
t 2
x2
偏微分方程的边界条件
function PDE1Dd_CrankNicolson % 使用Crank-Nicolson有限差分方法求解一维动态传
热模型
c1 = 100; c2 = 0; a = 10; b = 8; alpha = 2; n = 6; m = 8; U = CrankNicolson(@ic,c1,c2,a,b,alpha,n,m)
h t 3 9c
9c
h3 h33
4h r 4
3
h5 4h4
6h3 4h2 r 4
h1
h t
n
V
r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
3h r 3
hi2
2hi1 2hi1 2r 3
波动方程和振动方程的表达式(3篇)
第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。
常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。
以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。
假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。
2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。
假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。
3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。
假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。
二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。
常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。
以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。
假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。
2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。
假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
弦振动 偏微分方程
弦振动偏微分方程弦振动是一种自然现象，指的是弦线在受到外力驱动后产生的振动。
这种振动可以通过偏微分方程进行描述和分析，以便更好地理解和预测弦线振动的特性。
偏微分方程是一种数学表达式，用于描述多个变量之间的关系。
在弦振动的分析中，最常使用的偏微分方程为一维波动方程。
该方程可表示为：∂^2y/∂t^2=c^2∂^2y/∂x^2其中，y表示弦线上任意一点的位移（以某个平衡位置为基准），t表示时间，x表示该点在弦线上的位置，c表示波速。
该方程表达的是弦线上任意一点的位移随时间和位置的变化情况。
解一维波动方程需要使用波动方程的通解形式。
通解形式有多种，其中最常用的是分离变量法。
首先，将y分解为关于时间t和位置x的两个未知函数F和G的积：y=F(t)G(x)由于y随时间的变化是二阶导数，所以F需要满足二阶常微分方程：∂^2F/∂t^2+c^2kF=0其中，k为常数，由于F只是时间t的函数，所以k只是一个常数。
同样，由于y随空间位置的变化是二阶导数，所以G需要满足二阶常微分方程：∂^2G/∂x^2+kG=0利用该方程的通解形式，可以得到F和G的解析形式：F=Acos(ct)+Bsin(ct)G=Ccos(kx)+Dsin(kx)其中，A、B、C和D均为常数。
将F和G合并为y，即可得到y关于时间t和位置x的通解形式。
波动方程的解析解无法描述所有情况，但可以帮助我们了解弦振动的特性。
通过偏微分方程的求解，我们可以得到弦振动的幅度、波长、波速等参数，从而更好地进行振动相关的工程设计和控制。
在日常生活中，弦振动广泛应用于乐器演奏、声波传递、振动摄影等领域。
了解弦振动的特性和使用偏微分方程进行分析，可以更好地理解这些现象，同时也有助于我们将弦振动应用于更多的领域。
【数理方程】92偏微分方程的定解问题
即
（ u n
u）S
u1
S
其中 k1 / k
因此，边界条件可以写成：
（u n
u）S
g( x,
y, z,t)
其中u 表示u沿边界上的单位外法线方向n的方向
n
导数，g( x, y, z, t)表示点（x, y, z) 上的已知函数，
k1 / k为已知正数.
例
杆的热传导问题，x =L 的一端处在一种自由
稳定的解有实用价值，否则所得的解就无使用价值。
注意
1）定解条件通常总是利用实验的方法获得的， 因此所得的结果总是有一定的误差。 2）当所得的解变动很大时，这种解显然是 不符合客观实际要求的。 3）如果一个定解问题存在唯一且稳定的解， 则此问题称为适定的。 4）讨论定解问题的适定性往往十分困难， 而我们所讨论的定解问题，它们的适定性都 是经过证明了的。在以后的讨论中，我们应 把着眼点放在讨论定解问题的解法上。
面流入的热量为q），杆的初始温度分布是 x(l x)，
试写出相应的定解问题。
2
答案
热传导温度的微分方程为：
u t
a2
2u x 2
这 里a2 k .
c
x(l x) 初始条件： u t0 2
边界条件： u x0 0
定解问题为：
u
k x
xl
q
u t
a2
2u x 2
x(l x)
u t0
答案
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x 2
初始条件：
e u t0 l x
u t t0 0
边界条件：
u x0 0
u x
xl
0
定解问题为：
微积分对弦振动等力学问题的应用则引导到另一门新的数学分支—解析
微积分对弦振动等力学问题的应用则引导到另一门新的数学分支—偏微分方程，一般将达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》（Recherches sur lai courbe que forme une corde tendue mise en vibration ）看作为偏微分方程论的发端。
虽然在达朗贝尔之前，泰勒和约翰。
伯努利等也曾对弦振动进行过数学描述，但他们均未采用偏导数概念。
达朗贝尔在上述论文中则明确推导出了弦的振动所满足的偏微分方程：22222u u c t x∂∂=∂∂， 并给出了形如()()(,)u t x x t x t ϕψ=++-的通解。
达朗贝尔还讨论了初始条件()0,()u x f x =，他坚持18世纪标准的函数概念（即某种解析表达式）而要求初始函数和方程的解都是解析的。
达朗贝尔是法国启蒙运动的领头人物之一，曾与哲学家狄德罗（D 。
Diderot ，1713—1784）共同主编了卷帙浩繁的《科学、艺术和工艺百科全书》（简称《百科全书》，1751—1772）。
达朗贝尔原是某贵妇的私生子，出生后被抛弃在巴黎一教堂旁，被一对穷苦的玻璃匠夫妇收养并接受教育，后竟成为巴黎科学院院士和终身秘书。
在达朗贝尔发表他的弦振动研究后不久，欧拉也做了这方面的工作并写成一篇论文《论弦的振动》（1749年发表），欧拉沿用了达朗贝尔的方法，但引进了初始形状为正弦级数()10,sinn n n x u x a lπ∞==∑ 的特解()1,sincos n n n x n x u t x a l lππ∞==∑。
与达朗贝尔不同的是，欧拉允许任意种类的初始曲线，这方面的研究促使他对函数概念进行新的思考。
几年之后，约翰。
伯努利之子丹尼尔。
伯努利（Daniel Bernoulli ，1700—1782）也发表了他的《弦振动问题新思考》（1753），他假定了所有可能的初始曲线均可表为正弦级数，从而弦振动问题所有可能的解都能是正弦周期模式的迭加：()1,sincos n n n x n x u t x a l lππ∞==∑。
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弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。
关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute ofAeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。
如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。
对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。
对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。
选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。
理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。
一、无界弦的自由振动问题无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1]：⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=)(),(),0(),(),0(),0,(2x x x u x x u t x u a u t xx tt φϕ 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。
做变量代换at x -=ξ，at x +=η，代入偏微分方程，整理可得：02=∂∂∂ηξu，得方程的通解为：)()()()(at x g at x f g f u ++-=+=ηξ 再代入初始条件，有：⎩⎨⎧='+'-==+=)2()()()(),0()1()()()(),0(x x g a x f a x u x x g x f x u t φϕ 对(2)式积分:)3()(1)()(0c d ax g x f x+=+-⎰λλφ将（1）式和（3）式联立，解之则得：2)(212)()(0cd a x x f x --=⎰λλφϕ2)(212)()(0cd a x x g x ++=⎰λλφϕ 于是我们便得到了：⎰+-+++-=++-=atx atx d a at x at x at x g at x f x t u λλφϕϕ)(212)()()()(),( 这便是一维无界弦的自由振动解的表达式， 称作达朗贝尔公式。
由于对u 没有任何限制，只要一维波动方程有解，解必由达朗贝尔公式给出，且解是唯一的。
二、有界弦的自由振动问题。
描述两端固定的有界弦的自由振动的混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧====>+∞<<-∞=（初始条件）边界条件），),(),0(),(),0((0),()0,()0,(2x x u x x u l t u t u t x u a u t xx tt φϕ 对于该问题，适合用分离变量方法进行求解。
第一步，分离变量，分析求一族满足泛定方程和边界条件的分离变量形式的非零特解，可以先不估计初始条件。
令：)()(),(t T x X x t u =，把它代入方程，得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''两边除以)()(2t T x X a ，得)()()()(2x X x X t T a t T ''='' 此式左端仅是t 的函数，右端仅是x 的函数，而x 与t 是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，令这个常数为λ-，就得到一个常微分方程：02=+''T a T λ及其边值问题（因,0)()0()0,(==t T X t u 所以0)0(=X ;同理,0)()(),(==t T l X l t u 所以0)(=l X ） 故第二个常微分方程是：⎩⎨⎧==<<=+''0)(0)0(0))(l X X l x x X x X ）（（λ第二步，解固有值问题怎么找到满足条件的固有值λ，使常微分方程的边值问题有非零解。
分三种情况讨论。
（1）0=λ,这时方程为：, 0=''X ,通解为：B Ax X +=,由边界条件0)()0(==l X X ，得A=0;B=0，0)(≡x X ，不满足要求。
（2）0<λ，不妨设2k -=λ，这时方程0))(2=-''x X k x X （的通解为：kx kx Be Ae X -+=由边界条件0)()0(==l X X ，得⎩⎨⎧=+=+-0klkl Be Ae B A 不难求出A=B=0，同样不满足要求。
（3）0>λ，不妨设2k =λ（0>k ），这时方程0))(2=+''x X k x X （的通解为：kx B kx A X sin cos +=由条件X(0)=0，知，A=0，再由条件0)(=l X ，得0sin =kl B ，由于B 不能再为零，则必有),2,1( ==n ln k π或者：),2,1(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n l n πλ我们把),2,1(2=⎪⎭⎫⎝⎛=n l n n πλ叫做固有值，与固有值对应的非零解为：lx n B x X n n πsin)(=，n B 是任意常数。
求固有值和固有函数的边值问题称为固有值问题。
把固有值2⎪⎭⎫⎝⎛=l n n πλ代入确定T 的常微分方程：latn D l at n C t T n n n ππsincos)(+=，n C ,n D 为任意常数。
这样得到： ),2,1(sinsin cos )()(),( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n l x n l at n D l at n C t T x X x t u n n n n n πππ 把n B 归入常数n C ,n D第三步，写出级数形式解由于方程和边界条件都是线性齐次的，故由叠加原理，级数:∑∑+∞=+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sinsin cos ),(),(n n n n n l x n l at n D l at n C x t u x t u πππ 仍满足方程和边界条件。
第四步，确定级数解中的系数n C 和nD由初始条件：∑+∞===1sin),0()(n nlxn Cx u x πϕ及 ∑+∞===1sin ),0()(n n t l xn D l a n x u x ππφ,由正弦展开的系数公式，得： ⎰=l n dx l xn x l C 0sin )(2πϕ⎰=l n dx lx n x a n D 0sin )(2πφπ 这样我们得到该问题的定解为：∑⎰⎰+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=100sin sin sin )(2cos sin )(2),(n l ll x n l at n d l n a n l at n d l n lx t u ππξπξξφππξπξξϕ三、无界弦的受迫振动问题 该问题的偏微分方程为：⎩⎨⎧==>+∞<<-∞+=（初始条件）),(),0(),(),0()0,(),(2x x u x x u t x t x f u a u t xx tt φϕ 对该问题，用拉普拉斯变换计算比较方便[2]。
对泛定方程施行拉普拉斯变换dt e t x u x p u pt ⎰+∞-=0),(),(得：0),(2002=----==p x f u a u u p u p xx t tt代入初始条件得：0),(22=----p x f u a p u p xx φϕ该非齐次常微分方程的通解是d p p f pe e a d p pf pe e a BeAep x u x apx a px x a px a px apx apx )](),()([21)](),()([21),()()(ξϕξξφξξϕξξφ+++++-+=⎰⎰---考虑到+∞→x 和-∞→x 时u 不应为无穷大，所以A=0，B=0，另为保证积分收敛，第一个积分下限取∞+，第二个积分下限取∞-。
所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++++=+++++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞---∞+--∞---∞+--∞---∞+--∞---∞+--∞---∞--ξξϕξξϕξξξξξξφξξφξξϕξξφξξϕξξφξξϕξξφξξϕξξφξξξξξξξξξξd p p e a d p p e a d p f p e a d p f p e a d p e a d p e a d p p f p e a d p p f p e a d p p f p e a d p p f pe a p x u x x p x a x p x ax p x a x p x a x p x a x p x x p x a x p x x p x ax p )(21)(21),(21),(21)(21)(21)](),()([21)](),()([21)](),()([21)](),()([21),()()()()()()()()()()(对于第一个中括号，运用延迟定理，),(1t H P⇔则⎩⎨⎧+>+<=--⇔--)(0)(1)()(at x at x a x t H p e a x p ξξξξ所以ξξφξξφξd a d p e a atx x x a x p )(21)(21)(⎰⎰+∞+--⇔ 同理ξξφξφξd ad pe a x at x x a x p )(21)(21)(⎰⎰-∞---⇔ 对第三个中括号，)(ξϕ代替了）（ξφ且多了一个因子p ，则对第一个中括号中原函数中）（ξφ替换行为)(ξϕ并对t 求导即得第三个中括号里的原函数分别为： ξξϕξd p pe a x x p )(21)(⎰∞+--)(21at x a +⇔ϕ ξξϕξd p p e a x x p )(21)(⎰∞---)(21at x a-⇔ϕ对第二个中括号，运用卷积定理⎰-⇔td t f f p f p f 02121)()()()(ττττξτξτξξττξξξτξd d f a d d axt H f a d p f p e a t t a x xt x x a x p ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞+--=---=0)(0)(),(21)(),(21),(21同理：τξτξξξτξd d f ad p f pe a t x t a x x a x p ⎰⎰⎰--∞---=0))()(),(21),(21 于是得到该问题解的表达式为：⎰⎰⎰+--+--++-++=at x at x t t a x t a x d d f ad a at x at x t x u τξτξξξφϕϕττ0)()(),(21)(21)]()([21),( 四、半无界弦的自由振动问题该问题即求下面问题的解[3]：⎪⎩⎪⎨⎧===>+∞<≤=∞→（初始条件）边界条件）有限，,),0(,0),0((,0)0,()0,0(2b x u x u u t u t x u a u t x xx tt 对t 做拉普拉斯变换。