第4章功和能习题集解答

第4章功和能

4-1如图，质量为 m 的小球由长为I 的轻质细绳悬挂在天花板上 o 点，求小球沿圆弧从最低位置

a 运动到细绳与竖直方向夹角为

0的过程中重力

mg 所做的功。（不考虑空气阻力）

r n

dW G dr mg cos( )ds mgs in ds

式中ds 是位移dr 所对应的圆弧，ds ld ，细绳与竖直方向夹角为

°

dW 0 mgl sin d = mgl (1

4-2 如图，一根长为I ，质量为M 的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位

解方法一，建立如解用图

1所示的直角坐标系，重力 G

r r r

mgj ，位移 dr dxi dyj

r r r r

dW G dr ( mgj) (dxi

细绳与竖直方向夹角为

*方法二，如解用图

y

W dW o mgdy

2 ，设质点位置与竖直方向夹角为

dyj) mgdy mgy mgl (1 cos 0)

r

r

n

，重力G 与位移dr 的夹角为(-

cos 0

)

习题4-1图

习题4-1解用图1

置。现将细杆在拉力F的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成0角的位置。求在此过程中重力矩所作的功(不考虑空气阻力)。

解如图，设刚体与竖直方向夹角为，此时重力矩M mg*sin

l

0 0 l

重力矩做的功W o Md 0 mg —sin d mg—(1 cos 0) Array习题4-2解用图

r

4-3质量为5kg的质点在变力F的作用下沿空间曲线运动，其位矢

r r r I

r 3 4 2 2

r (2t t)i (3t t +8)j 12t k m。求力F 的功率。

r dr 2r 3r r

=(6t2 1)i (12t3 2t)j 24tk m/s

dt

r r d r r 2 r r

F ma m 60ti (180t2 10)j 120k N

dt

r r 53

P F (2160t -120t +2960t )W

4-4质量m 2 kg的质点在力作用下沿x轴运动，其运动方程为x t t3 m，求力在最初2.0

秒内所做的功。

果物体在沿着x轴方向的作用力F 3 4x N的作用下运动了3米，计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少?

3

解力F在3米内做的功W Fdx

F 15 / 2 彳 u /

2

a m/s 1.5m/s

m 10

4-6质量为m的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时，阻力近似为速度的线性函数km ，式中k是正常数。试证明物体以初速度°开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等于物体损失的动能。

证物体开始时速度为0后来静止，则在此过程中损失的动能E k 0 1 2 m 0 2

x

阻尼力所做的功W fdx mk dx

0 0

由牛顿第二定律得

, d d dx d

mk m m一或dx

dt dx dt k

0 1 2

代入功的表达式积分得W m d m 0 E k

0 2

4-7质量分布均匀的柔软绳子,

一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂,

未找到引用源。。开始时下垂部分为错误！未找到引用源。，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）。

错误!未找到引用源。时，绳子所受合力为m yg错误! 未

dx 1 3t2 m/s dt d2x

d2

6t m/s2 F ma 12t N

力在最初 2.0秒内所做的功

W F 2

dt q 12t(1

2

3t )dt 168J

方法二dx

1 3t

2

m/s，(1) 1 m/s

，(2) dt

应用动能定理

W 1

2 1 m⑵

2

m ⑴168J

2 （） 2

13 m/s

10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t 0时，物体位于原点，速率为零。如

3

o(3 4x)dx 27J

根据质点的动能定理^m 20 W得

2

2.32m/s m

质点处于3米处的力F 15N，加速度

绳全长为错误!

解以整个绳子为研究对象，下垂部分为

4-5 质量为m

找到引用源。。若在此力作用下，绳子下移了错误！未找到引用源。，则合力做的元功 错误！未找到引用源。 整个绳全部离开桌面时合力所做的功

W dW : mpygdy 2L m g （L " L 0）

血- L 0）错误！未找到引用源。

4-8 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第 一次时，能将小钉击入木板内 1cm ，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。

解 由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁 钉时的速度。铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能

E k 全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所

以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。阻力对它所作的功即为其动能的变化。

设木板对铁钉的阻力为 F kx ，第一次击入深度为 为，则阻力的功

X i

X|

W 0 Fdx 0 kxdx

设第二次打击钉后深度达 x 2，则阻力所做的功

X 2

W 2

kxdx

x i

根据动能定理得力 F 所做的功

由动能定理可得

| 2 2

k （x ；

铁锤两次打击时的速度相同，w W 2，解得

x 2 - 2为

第二次击入深度为

x 2 x 2x 1 x 1 0.41cm

4-9 质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小

孔，使小球限制在一光滑水平面上运动，先使小球以速度 0绕小孔做

半径为r 0的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为 r 1，求力

右所做的功。

解 小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，还受绳子的拉力作用，拉力对小孔的力 矩为零，满足角动量守恒条件，设小球速度的大小变为 ，则

r 0m 0

r 1m

或

r