中线倍长法及截长补短经典讲义

几何证明中常用辅助线

(一)中线倍长法:

例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤

2

1

(AB+

AC)

小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

例2、中线一倍辅助线作法

△ABC中

方式1：延长AD到E，AD是BC边中线

使DE=AD，

连接BE

方式2：间接倍长

AD于F，MD到N，

作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，

连接BE 连接CD

例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE

交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，

求证：∠C=∠BAE

C

作业：

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

（二）截长补短法

教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.

已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD

平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2

∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，

⎩⎨

⎧==CD

AD DF

DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.

D

A

B

C

M T

E

A

B

C

D

图1-1

F

E

D

C

B

A

图1-2

例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .

求证：CD =AD +BC .

分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2

在△FCE 与△BCE 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.

又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE

DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .

例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .

求证：∠BAP +∠BCP =180°.

分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2

∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，

⎩⎨

⎧==BP

BP PD

PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .

∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即

DC =BE -AB =AE .

在Rt △APE 与Rt △CPD 中,

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°

例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

A

D

B C

E

F

1

234图2-2

A

B

C

D

P

12

N

图3-1

P

12

N

A

B

C

D E 图3-2

D

C

B A

12

图4-1