高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

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第三章 三角恒等变换

一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴()cos

cos cos sin sin αβαβαβ-=+; ⑵()cos

cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin

sin cos cos sin αβαβαβ-=-; ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+;

⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=

+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒221cos 2cos

1cos 2sin 22αααα+=-=, ⇒2cos 21cos 2

αα+=,21cos 2sin 2αα-=.

⑶22tan tan 21tan ααα

=-. 三、辅助角公式:

()

22sin cos sin α+=++a x b x a b x ,2222cos sin a b a b a b ϕϕϕ=

=++其中由,决定

四、三角变换方法:

来源于网络 (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可

根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:

①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是2α的二倍;2α是4

α的二倍; ②2304560304515o

o o o o o =-=-=; ③()ααββ=+-;④()424π

ππ

αα+=--; ⑤2()()()()44

ππ

ααβαβαα=++-=+--;等等 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数

中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。

(3)“1”的代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角

函数值,例如常数“1”的代换变形有:

221sin cos sin90tan45o o αα=+== (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用

降幂处理的方法。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。

(5)三角函数式的变换通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;

基本原则是:见切化弦,异角化同角,倍角化单角,异名化同名,高次降低次,

特殊值与特殊角的三角函数互化等。

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