参考三角函数导数推导
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三角函数的导数 公式的推导
2018年6月4日星期W
（一）复习： 1. 求函数 y = f (x) Βιβλιοθήκη Baidu点 x0 处的导数的步骤：
(1) 求 函 数 的 增 量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) ； y f ( x0 x ) f ( x0 ) (2) 求 平 均 变 化 率 ； x x y (3) 取 极 限 ， 得 导 数 f ( x0 ) lim . x 0 x
x x y sin( x x) sin x 2 cos x sin , 2 2 x sin y x 2 cos x x 2 x 2 x sin 2 1 （ 利 用lim sin x 1 ) . lim x x x 0 x 0 2 y y (sin x ) lim x 0 x x sin x 2 lim cos x lim cos x . 2 x x 0 x 0 2
2.
(tan x) sec2 x .
cos x cos x sin x ( sin x ) sin x 证明： (tan x ) cos 2 x cos x
1 2 sec x . （用到商的求导公式）. 2 cos x
小结： 三角函数的导数：
证明：设 y = sin x .
（四）余弦函数和正切函数的导数：
1.
证明： (cos x) sin x cos x (1) 2 2
(cos x) sin x .
sin x
（用到复合函数的求导法则）.
2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 sin ; cos 2 sin cos ; 2 sin 2 cos2 1 ; cos x sec x 1 .
cos
;
（二）两个重要极限简介：
sin x 1. lim 1. x 0 x
x 1 2. xlim 1 e . x
其 中e 为 自 然 对 数 的 底 ， 它一 是无 理 数 ， e 2.71828 .
• （三） (sin x ) cos x 的推导：
3. 两个函数的和、差、积、商的导数：
(u v ) u v .
(u v ) uv uv .
u uv uv (v 0) . v 2 v
其中 u，v 都是关于 x 的函数，并且都是可导的.
4. 本节要用到的三角公式：
sin sin 2 sin
2. 复合函数的求导法则：
设 函 数 u ( x ) 在 点 x 处 有 导 数u x ( x )， 函 数 y f (u) 在 点 x 的 对 应 点u 处 有 导 数 y u f ( u), 则 复 合 函 数y f ( ( x )) 在 点 x 处 也 有 导 数 ， 且 y x yu u x . 或写作 ( ( x )) f (u) ( x ) . fx
(sin x ) cos x ; (cos x ) sin x ; (t an x ) sec2 x ; (cot x ) csc 2 x .
余切函数的导数公式由同学自己推导 .
2018年6月4日星期W
（一）复习： 1. 求函数 y = f (x) Βιβλιοθήκη Baidu点 x0 处的导数的步骤：
(1) 求 函 数 的 增 量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) ； y f ( x0 x ) f ( x0 ) (2) 求 平 均 变 化 率 ； x x y (3) 取 极 限 ， 得 导 数 f ( x0 ) lim . x 0 x
x x y sin( x x) sin x 2 cos x sin , 2 2 x sin y x 2 cos x x 2 x 2 x sin 2 1 （ 利 用lim sin x 1 ) . lim x x x 0 x 0 2 y y (sin x ) lim x 0 x x sin x 2 lim cos x lim cos x . 2 x x 0 x 0 2
2.
(tan x) sec2 x .
cos x cos x sin x ( sin x ) sin x 证明： (tan x ) cos 2 x cos x
1 2 sec x . （用到商的求导公式）. 2 cos x
小结： 三角函数的导数：
证明：设 y = sin x .
（四）余弦函数和正切函数的导数：
1.
证明： (cos x) sin x cos x (1) 2 2
(cos x) sin x .
sin x
（用到复合函数的求导法则）.
2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 sin ; cos 2 sin cos ; 2 sin 2 cos2 1 ; cos x sec x 1 .
cos
;
（二）两个重要极限简介：
sin x 1. lim 1. x 0 x
x 1 2. xlim 1 e . x
其 中e 为 自 然 对 数 的 底 ， 它一 是无 理 数 ， e 2.71828 .
• （三） (sin x ) cos x 的推导：
3. 两个函数的和、差、积、商的导数：
(u v ) u v .
(u v ) uv uv .
u uv uv (v 0) . v 2 v
其中 u，v 都是关于 x 的函数，并且都是可导的.
4. 本节要用到的三角公式：
sin sin 2 sin
2. 复合函数的求导法则：
设 函 数 u ( x ) 在 点 x 处 有 导 数u x ( x )， 函 数 y f (u) 在 点 x 的 对 应 点u 处 有 导 数 y u f ( u), 则 复 合 函 数y f ( ( x )) 在 点 x 处 也 有 导 数 ， 且 y x yu u x . 或写作 ( ( x )) f (u) ( x ) . fx
(sin x ) cos x ; (cos x ) sin x ; (t an x ) sec2 x ; (cot x ) csc 2 x .
余切函数的导数公式由同学自己推导 .