2014-2015(1)线性代数试题(A)解答

广州大学2014-2015学年第一学期考试卷

课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________

一、填空题（每空3分，本大题满分18分）

1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB 101

.

2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A

的 左边乘三阶阵⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛021010100.

3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R 0 .

4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a 2-.

5．已知⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=3332

31

131211333

a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A 2-.

二、选择题（每小题3分，本大题满分15分） 1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ C ）. （A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.

2．齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321

3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。若存在三阶阵O B ≠，

使得O AB =，则（ C ）.

（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ； （C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .

3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解

的（ B ）.

（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.

4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下

列向量组线性相关的为( C ).

(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.

5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( A )成立.

(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组; (C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R 三、（本题满分12分）

设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .

解：由于X A AX 2+=，则A X E A =-)2(，这样A E A X 1)2(--=--------------3分

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=-321011330121011332),2(M M M

A E A ------------------------------------------5分

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→321330011121332011M M M ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-→300352011110310011M M M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011352011100310011M M M

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-→011321330100010001M M M

,-----------------------------------------------------10分 则=X ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-011321330-----------------------------------------------------------12分

四、（本题满分8分）

计算行列式6

74121206

0311512-----.

解：

2167

41

212060

311512

r r ↔=-----6

7

4

1

21201512

603

1------

----------------------------------3分

1

31

2)1()2(r r r r ⨯-+⨯-+= 12

7

7

212013570603

1------

12

7721

2

1357----=------------------------------------5分

1

20212

13571

3)1(-----=⨯-+r r 1

20

212

13

57--=221372

1257---=27=---------------------8分 五、（本题满分6分）

设PB AP =,其中⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A . 解: 1||-=P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1121*P ,则⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=-11211

P .----------------------2分

由PB AP =得1

-=PBP A ,----------------------------------------------3分

于是1

1010-=P PB A ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11211002112110

-------------------------4分

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112110010241121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11211102421024⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=2047102320461022--------6分