5第五章线性方程组习题解答
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13．确定常数 ,使向量组 可由向量组 ， ， 线性表示，但向量组 不能由向量组 线性表示．
解对矩阵 作初等行变换，有
=
，
当 时，
解对增广矩阵施行初等行变换，得
，
当 且 时， 方程组无解．
当 时，有
，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为
故原方程组的解为
．
当 时，有
与原方程组同解的方程组为
故方程组的解为
．
7．设 问 为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解．
解系数行列式
．
当 且 时，方程组有惟一解．
．
可见每个 都是 的解向量．因 ，可知 的解空间的维数是 ，所以向量组 的秩小于等于 ，从而 ，于是 ．
11．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．
（1）证明方程组的系数矩阵 的秩 ；
（2）求 的值及方程组的通解．
解（1）设 是方程组 的3个线性无关的解，其中
．
则有 ，即 是对应齐次线性方程组 的解，且线性无关．（否则，易推出 线性相关，矛盾）．
当 时，有
，方程组有无穷多解，此时
通解为
．
当 时，有
，
，故方程组无解．
8．问 为何值时，非齐次线性方程组
(1)有惟一解，求出惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解，并写出通解．
解方程组的增广矩阵
当 时， ，方程组有惟一解．此时
所以， ．
当 时，有
，
所以，当 且 时， ， ，方程组无解．
而当 且 时，有
（A）①，②；（B）①，③；（C）②，④；（D）③，④．
答（B）．
（7）设 是 矩阵， 是 矩阵，则线性方程组 ．
（A）当 时仅有零解；（B）当 时必有非零解；
（C）当 时仅有零解；（D）当 时必有非零解．
答（D）．
（8）设 是 阶矩阵， 是 维列向量．若秩 秩 ，则线性方程组．
（A） 必有无穷多解；（B） 必有惟一解；
当 时， ，于是 ；
当 时， ，于是 或 ．
①对于 ，由 可得
和 ．
由于 线性无关，故 为 的一个基础解系，于是 的通解为 ，其中 为任意常数．
②对于 ，分别就 和 进行讨论．
如果 ，则 的基础解系由一个向量构成．又因为 ，所以 的通解为 ，其中 为任意常数．
如果 ，则 的基础解系由两个向量构成．又因为 的第 行是 ，且 不全为零，所以 等价于 ．不妨设 ， 是 的两个线性无关的解，故 的通解为 ，其中 为任意常数．
习题五
A组
1．填空题
（1）当方程的个数等于未知数的个数时， 有惟一解的充分必要条件是．
解因为 是 有惟一解的充要条件．故由 可得 ．
（2）线性方程组
有解的充分必要条件是．
解对方程组的增广矩阵施行初等行变换
．
所以方程组有解的充要条件是 ，即
．
（3）设 阶方阵 的各行元素之和均为零，且 ，则线性方程组 的通解为．
解 ．
（6）设方程 有无穷多个解，则 ．
解 ．
2．单项选择题
（1）齐次线性方程组 解的情况是．
(A)无解；(B)仅有零解；
(C)必有非零解；(D)可能有非零解，也可能没有非零解．
答（C）．
（2）设 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，且 为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是．
(A) ；(B) ；
解令
显然 满足方程组，又因为 ，所以 ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为
，k为任意常数．
（4）设 为 阶方阵， ，且 的代数余子式 （其中， ； ），则 的通解．
解因为 ，又 ，所以 ，并且有
所以 是方程组的解，又因为 ，可知方程组的通解为
，
其中c为任意常数．
（5）设
，
其中， ，则非齐次线性方程组 的解是 ．
(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；
(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量．
答（B）．
（6）设有齐次线性方程组 和 ，其中 ， 均为 矩阵，现有4个命题：
①若 的解均是 的解，则 ；
②若 ，则 的解均是 的解；
③若 与 同解，则 ；
④若 ，则 与 同解．
以上命题正确的是．
(C) ；(D) ．
答（A）．
（3）要使 ， 都是线性方程组 的解，只要 为．
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) ．
答（A）．
（4）已知 是 的两个不同的解， 是相应的齐次方程组 的基础解系， 为任意常数，则 的通解是．
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) ．
答（B）．
（5）设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系是．
（C） 仅有零解；（D） 必有非零解．
答（D）．
3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系
(1)
解对系数矩阵施行初等行变换，有
．
与原方程组同解的方程组为
或写为
，
其中 为任意常数．所以，基础解系为
．
(2)
解
，
与原方程组同解的方程组为
或写为
其中， 可取任意常数 ，故
．
所以，基础解系为
．
(3)
解
，
，方程组组只有零解．
所以 ，即 ．又矩阵 中有一个2阶子式 ，所以 ．因此 ．
（2）因为
又 ，则
对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，
，
故原方程组与下面的方程组同解
．
选 为自由变量，则
．
故所求通解为
， 为任意常数．
12．已知三阶矩阵 的第一行是 ， 不全为零，矩阵 （ 为常数），且 ，求线性方程组 的通解．
解由于 ，故 ，又由 不全为零，可知 ．
，
，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为
或写为
故原方程组的通解为
，
其中 为任意实数．
9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 ，已知 是它的三个解向量，且
，
求该方程组的通解．
解 ，所以 ，令
，
则 为基础解系，故方程组的通解为
，
其中 可取任意常数．
10．设 都是 阶方阵，且 ．证明
．
证明设 ，则有
(4)
解
，
与原方程组同解的方程组为
或写为
故
．
所以基础解系为
．
4．求解下列非齐次线性方程组．
(1)
解对增广矩阵施行初等行变换
，
所以 ．无解．
(2)
解
，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为
故
．
(3)
解
，
，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为
所以原方程组的通解为
．
(4)
解
，
，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为
故通解为
．
5．问 取何值时，非齐次线性方程组
(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？
解系数行列式
．
当 且 时 ，方程组有惟一解．
当 时，对增广矩阵施行初等行变换
，Biblioteka Baidu
则 ，故原方程组有解且有无穷多解．
当 时，对增广矩阵施行初等行变换
,
．所以方程组无解．
6．非齐次线性方程组
当 取何值时有解？并求出它的全部解．
解对矩阵 作初等行变换，有
=
，
当 时，
解对增广矩阵施行初等行变换，得
，
当 且 时， 方程组无解．
当 时，有
，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为
故原方程组的解为
．
当 时，有
与原方程组同解的方程组为
故方程组的解为
．
7．设 问 为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解．
解系数行列式
．
当 且 时，方程组有惟一解．
．
可见每个 都是 的解向量．因 ，可知 的解空间的维数是 ，所以向量组 的秩小于等于 ，从而 ，于是 ．
11．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解．
（1）证明方程组的系数矩阵 的秩 ；
（2）求 的值及方程组的通解．
解（1）设 是方程组 的3个线性无关的解，其中
．
则有 ，即 是对应齐次线性方程组 的解，且线性无关．（否则，易推出 线性相关，矛盾）．
当 时，有
，方程组有无穷多解，此时
通解为
．
当 时，有
，
，故方程组无解．
8．问 为何值时，非齐次线性方程组
(1)有惟一解，求出惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解，并写出通解．
解方程组的增广矩阵
当 时， ，方程组有惟一解．此时
所以， ．
当 时，有
，
所以，当 且 时， ， ，方程组无解．
而当 且 时，有
（A）①，②；（B）①，③；（C）②，④；（D）③，④．
答（B）．
（7）设 是 矩阵， 是 矩阵，则线性方程组 ．
（A）当 时仅有零解；（B）当 时必有非零解；
（C）当 时仅有零解；（D）当 时必有非零解．
答（D）．
（8）设 是 阶矩阵， 是 维列向量．若秩 秩 ，则线性方程组．
（A） 必有无穷多解；（B） 必有惟一解；
当 时， ，于是 ；
当 时， ，于是 或 ．
①对于 ，由 可得
和 ．
由于 线性无关，故 为 的一个基础解系，于是 的通解为 ，其中 为任意常数．
②对于 ，分别就 和 进行讨论．
如果 ，则 的基础解系由一个向量构成．又因为 ，所以 的通解为 ，其中 为任意常数．
如果 ，则 的基础解系由两个向量构成．又因为 的第 行是 ，且 不全为零，所以 等价于 ．不妨设 ， 是 的两个线性无关的解，故 的通解为 ，其中 为任意常数．
习题五
A组
1．填空题
（1）当方程的个数等于未知数的个数时， 有惟一解的充分必要条件是．
解因为 是 有惟一解的充要条件．故由 可得 ．
（2）线性方程组
有解的充分必要条件是．
解对方程组的增广矩阵施行初等行变换
．
所以方程组有解的充要条件是 ，即
．
（3）设 阶方阵 的各行元素之和均为零，且 ，则线性方程组 的通解为．
解 ．
（6）设方程 有无穷多个解，则 ．
解 ．
2．单项选择题
（1）齐次线性方程组 解的情况是．
(A)无解；(B)仅有零解；
(C)必有非零解；(D)可能有非零解，也可能没有非零解．
答（C）．
（2）设 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，且 为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是．
(A) ；(B) ；
解令
显然 满足方程组，又因为 ，所以 ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为
，k为任意常数．
（4）设 为 阶方阵， ，且 的代数余子式 （其中， ； ），则 的通解．
解因为 ，又 ，所以 ，并且有
所以 是方程组的解，又因为 ，可知方程组的通解为
，
其中c为任意常数．
（5）设
，
其中， ，则非齐次线性方程组 的解是 ．
(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；
(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量．
答（B）．
（6）设有齐次线性方程组 和 ，其中 ， 均为 矩阵，现有4个命题：
①若 的解均是 的解，则 ；
②若 ，则 的解均是 的解；
③若 与 同解，则 ；
④若 ，则 与 同解．
以上命题正确的是．
(C) ；(D) ．
答（A）．
（3）要使 ， 都是线性方程组 的解，只要 为．
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) ．
答（A）．
（4）已知 是 的两个不同的解， 是相应的齐次方程组 的基础解系， 为任意常数，则 的通解是．
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) ．
答（B）．
（5）设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系是．
（C） 仅有零解；（D） 必有非零解．
答（D）．
3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系
(1)
解对系数矩阵施行初等行变换，有
．
与原方程组同解的方程组为
或写为
，
其中 为任意常数．所以，基础解系为
．
(2)
解
，
与原方程组同解的方程组为
或写为
其中， 可取任意常数 ，故
．
所以，基础解系为
．
(3)
解
，
，方程组组只有零解．
所以 ，即 ．又矩阵 中有一个2阶子式 ，所以 ．因此 ．
（2）因为
又 ，则
对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，
，
故原方程组与下面的方程组同解
．
选 为自由变量，则
．
故所求通解为
， 为任意常数．
12．已知三阶矩阵 的第一行是 ， 不全为零，矩阵 （ 为常数），且 ，求线性方程组 的通解．
解由于 ，故 ，又由 不全为零，可知 ．
，
，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为
或写为
故原方程组的通解为
，
其中 为任意实数．
9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 ，已知 是它的三个解向量，且
，
求该方程组的通解．
解 ，所以 ，令
，
则 为基础解系，故方程组的通解为
，
其中 可取任意常数．
10．设 都是 阶方阵，且 ．证明
．
证明设 ，则有
(4)
解
，
与原方程组同解的方程组为
或写为
故
．
所以基础解系为
．
4．求解下列非齐次线性方程组．
(1)
解对增广矩阵施行初等行变换
，
所以 ．无解．
(2)
解
，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为
故
．
(3)
解
，
，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为
所以原方程组的通解为
．
(4)
解
，
，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为
故通解为
．
5．问 取何值时，非齐次线性方程组
(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？
解系数行列式
．
当 且 时 ，方程组有惟一解．
当 时，对增广矩阵施行初等行变换
，Biblioteka Baidu
则 ，故原方程组有解且有无穷多解．
当 时，对增广矩阵施行初等行变换
,
．所以方程组无解．
6．非齐次线性方程组
当 取何值时有解？并求出它的全部解．