六年级~9容斥原理
六年级数学专题详解 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
容斥原理问题公式
容斥原理问题公式嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理问题公式。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多复杂问题的谜团呢！你想想看，生活中好多情况不就像一团乱麻嘛。
比如你去参加一个聚会，有的人喜欢吃蛋糕，有的人喜欢喝饮料，还有的人既喜欢吃蛋糕又喜欢喝饮料。
那怎么才能清楚知道到底有多少人有不同的喜好呢？这时候容斥原理问题公式就派上用场啦！它就好像是一个超级整理大师，能把那些重叠的、交叉的部分都给理清楚。
就好比整理一个杂乱的房间，把相同的东西放在一起，不同的东西区分开来。
咱说个具体的例子哈。
假设有一群小朋友，有的喜欢画画，有的喜欢唱歌，还有的既喜欢画画又喜欢唱歌。
如果我们只简单地把喜欢画画的人数和喜欢唱歌的人数加起来，那不就重复计算了那些既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友嘛。
这时候，容斥原理问题公式就能帮我们准确地算出真正的人数啦！它是不是很厉害？就像一个聪明的小助手，默默地帮我们把事情都处理得妥妥当当。
再比如，在一个班级里，有同学擅长数学，有同学擅长语文，还有同学两门都擅长。
我们要是想知道到底有多少同学在这两门学科上有特长，不用容斥原理问题公式可不行哦！不然可就糊涂啦。
这容斥原理问题公式啊，真的是无处不在呢。
它就像是我们生活中的小秘密武器，能让我们在面对各种复杂情况时都能游刃有余。
你说，要是没有它，我们得多头疼啊！好多问题都会变得像一团解不开的毛线球。
但有了它，就像找到了线头，能一点点把问题都解开。
容斥原理问题公式不就是这么神奇嘛！它让我们能更清楚地看到事物的本质，把那些看似混乱的局面变得清晰明了。
它真的是我们解决问题的好帮手啊！所以啊，大家可一定要好好掌握这个神奇的公式哦！。
六年级容斥原理求阴影部分面积
六年级容斥原理求阴影部分面积容斥原理是数学中一种常用的计数方法，可以用于解决一些重叠问题。
在六年级数学课程中，容斥原理也被引入，用来求解一些具体问题。
本文将着重介绍如何利用容斥原理来求解阴影部分的面积问题。
问题描述我们考虑一个简化的问题：一个正方形A和一个圆形B被放置在坐标系中，如图所示。
我们需要求解阴影部分的面积。
________| 正方形A ||________|___| || B ||___|已知正方形A的边长为2，圆形B的半径为1。
我们需要计算出阴影部分的面积。
解决思路利用容斥原理容斥原理可以帮助我们解决一些重叠问题。
在这个问题中，我们可以利用容斥原理来求解阴影部分的面积。
容斥原理的基本思想是，我们可以通过求解各个部分的面积，再进行一些相应的加减运算，来得到最后的结果。
分解问题首先，我们可以将问题分解为两个简单的部分：正方形A的面积和圆形B的面积。
然后，我们再分别求解这两部分的面积。
求解正方形A的面积正方形A的边长为2，那么它的面积就是2乘以2，即4平方单位。
求解圆形B的面积圆形的面积公式为：面积= π * 半径的平方。
圆形B的半径为1，那么它的面积就是π * 1的平方，即π平方单位。
求解阴影部分的面积接下来，我们需要求解阴影部分的面积。
根据容斥原理，我们可以通过以下公式求解：阴影部分的面积 = 正方形A的面积 - 圆形B的面积将之前计算得到的数值代入公式，我们可以得到：阴影部分的面积 = 4 - π平方单位这就是阴影部分的面积的具体数值。
结论根据我们之前的计算，阴影部分的面积为4 - π平方单位。
以上就是利用容斥原理来求解阴影部分面积的具体步骤。
通过将问题分解为一些简单的部分、计算各个部分的面积，并利用容斥原理进行加减运算，我们可以得到最后的结果。
在这个例子中，我们通过容斥原理求解了一个简单的阴影面积问题，但容斥原理在更复杂的问题中也同样有着广泛的应用。
希望本文对你理解容斥原理的求解过程有所帮助！。
容斥原理公式及运用
容斥原理公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1 ：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B 两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→ A，语文得满分人数→ B，数学、语文都是满分人数→ A∩B，至少有一门得满分人数→ A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23 人至少有一门得满分。
二、容斥原理 2 ：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了 1 次，三个集合公共部分被重复计算了 2 次。
如下图所示，灰色部分A∩ B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C 都被重复计算了 1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了 2 次，因此总数A∪B∪C=A+B+C- (A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】某班有学生45 人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25 人，参加排球队的有22 人，参加游泳队的有24 人，足球、排球都参加的有12 人，足球、游泳都参加的有9 人，排球、游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→ A，参加排球队→ B，参加游泳队→ C，足球、排球都参加的→ A∩B，足球、游泳都参加的→ C∩A，排球、游泳都参加的→ B∩C，三项都参加的→ A∩B ∩C。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
小升初容斥原理
小升初容斥原理
容斥原理是指通过排除重叠的部分，计算出两个或多个集合的并集的方法。
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决集合与运算的问题。
例如，假设A和B是两个集合，我们要求A和B的并集中元
素的个数。
容斥原理告诉我们，可以通过计算A的元素个数
加上B的元素个数，然后减去A和B的交集中元素的个数来
得到并集中元素的个数。
用数学公式表示就是：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决排列组合类问题。
通过应用容斥原理，可以将一个复杂的问题转化为更简单的子问题，从而简化解题过程。
需要注意的是，在应用容斥原理时，需要注意重叠部分的计算。
有时候，重叠部分需要进行递推计算，或者使用其他方法来求解。
总之，容斥原理是小升初数学中常用的一个解题方法，通过排除重叠部分，可以简化解题过程，提高解题效率。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
1、例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
2、例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
3、例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
4、例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
[第48讲]容斥原理
![[第48讲]容斥原理](https://img.taocdn.com/s3/m/2ba0411eae45b307e87101f69e3143323868f556.png)
[第48讲]容斥原理容斥原理是组合数学中的一个重要思想和方法，广泛应用于概率、数论、代数等领域。
它的提出可以追溯到17世纪法国数学家皮埃尔·韦尔马（Pierre de Fermat）和格雷戈里·笛卡尔（René Descartes）的时代。
容斥原理主要用于解决包含多个集合的问题。
具体而言，假设有n个集合A1,A2,…,An，我们希望求出这些集合的并集的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，我们可以定义一个指示函数χ，它的定义如下：χ(Ai)=1，如果元素x属于集合Ai；χ(Ai)=0，如果元素x不属于集合Ai。
然后，我们可以利用这个指示函数来表示并集的元素个数：A1∪A2∪…∪An，=Σχ(Ai)。
根据容斥原理，我们可以得到如下的计数公式：A1∪A2∪…∪An，=Σχ(Ai)=∑（-1）^k+1*Σ1≤j₁<j₂<…<jₖ≤nχ(Aj₁∩Aj₂∩…∩Ajₖ)。
这个公式的具体含义是：首先，我们将所有集合Ai的指示函数相加。
然后，对于所有k个集合的交集，我们分别计算它们的指示函数，并根据交集的个数来调整正负号。
最后，将所有这些结果相加，就可以得到并集的元素个数。
容斥原理的一个重要应用是求解包含多个限制条件的问题。
考虑一个问题，有n个物品，每个物品分别满足条件Ci。
我们希望求解满足所有条件的物品个数。
假设集合Ai表示满足条件Ci的物品集合，那么根据容斥原理，我们可以得到如下的计数公式：A₁∩A₂∩…∩An，=Σ(-1)^(k+1)*Σ₁≤j₁<j₂<…<jₖ≤n，Aj₁∩Aj₂∩…∩Ajₖ。
这个公式的具体含义是：首先，我们将所有满足条件Ci的物品集合的交集个数相加。
然后，对于所有k个集合的交集，我们分别计算它们的个数，并根据交集的个数来调整正负号。
最后，将所有这些结果相加，就可以得到满足所有条件的物品个数。
容斥原理在解决概率问题时也非常有用。
容斥原理
容斥原理1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、两量重叠问题【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（2级）C BA【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？（2级）C BA【巩固】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？⑵ 只写完语文作业的有多少人？ （2级）【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）【例 3】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？（4级）两部分全对的两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的【例 4】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？（4级）会打篮球的会游泳的两项都会的两项都不会的BA【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？（4级）两项比赛都参加的只参加军棋比赛的只参加象棋比赛的BA【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？（4级）AB既采樱桃又采杏的既没采樱桃又没采杏的【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（4级）【例 7】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？（4级）丙乙甲BA【例 8】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？（4级）两门都不在95分以上的数学95分以上的语文95分以上的两门95分以上的AB【巩固】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ （4级）【例 9】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？（4级）【巩固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？（4级）【巩固】科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？（4级）C BA【例 10】一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16．求甲、乙都答对的题目数.（6级）【例 11】小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排．其中小孙和小周不能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻)．则不同的排列方法共有________种．（6级）模块二、三量重叠问题【例 12】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？（6级）C BA【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？（6级）【例 13】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）【解析】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）【例 14】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．（6级）【巩固】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．（6级）【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？（6级）【例 15】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？（8级）ABC【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．（8级）【例 16】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么， ⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？（8级）【巩固】 五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A 、B 、C 、D 、E 五个小组，若参加A 组的有15人，参加B 组的人数仅次于A 组，参加C 组、D 组的人数相同，参加E 组的人数最少，只有4人．那么，参加B 组的有_______人．（8级）【例 17】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？（8级）【例 18】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？ ① 有 人摘了山莓；② 有 人同时摘了三种水果； ③ 有 人只摘了山莓；④ 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； ⑤ 有 人只摘了草莓.（6级）李子草莓山莓F G E D C B A【例 19】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？（8级）科学51人文艺56人17154体育55人x模块三、图形中的重叠问题【例 20】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【例 21】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？（2级）图32厘米4厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．（2级）图348【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．（2级）106412【例 22】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？（4级）C BA10【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．（4级）【例 23】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？（6级）【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？（6级）天天学教育个性化学习中心 天天学·个性化1对111 ABC。
第8讲容斥原理
第8讲容斥原理容斥原理是概率论和组合数学中的重要概念之一，它是一种用于计算多个事件的概率的推理方法。
容斥原理的核心思想是通过减去不重叠的事件的概率来计算多个事件的概率，从而得到它们的交集的概率。
容斥原理的一般形式可以表示为：P(A_1∪A_2∪A_3...)=S(A_1)+S(A_2)+S(A_3)-S(A_1∩A_2)-S(A_1∩A_3)-S(A_2∩A_3)+S(A_1∩A_2∩A_3)+...其中，P表示概率，A_i表示事件，S(A_i)表示事件A_i的概率，∪表示事件的并集，∩表示事件的交集。
容斥原理的核心思想是通过减去重叠部分的概率来计算多个事件的概率。
在上述公式中，第一项表示单独发生每个事件的概率，第二项表示两个事件同时发生的概率，第三项表示三个事件同时发生的概率，以此类推。
最后，通过交替相加和相减，得到多个事件的交集的概率。
容斥原理可以用来解决各种计数问题，如排列组合问题、集合的计数问题等。
它在概率论、组合数学、数论等领域里都有广泛的应用。
下面通过一个例子来理解容斥原理的具体应用。
例题：已知集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，求集合A和集合B的并集中元素个数的期望值。
解答：首先，我们计算集合A中的元素在并集中出现的概率。
由于A中的每个元素在并集中的出现概率都相同，所以我们只需要计算一个元素出现的概率即可。
假设元素i出现在并集中的概率为p_i，那么由于每个元素的出现概率都相同，所以p_1+p_2+...+p_n=1而当一个元素出现在并集中时，它同时也是集合A和集合B中的元素，所以我们可以用容斥原理来计算元素i出现在并集中的概率。
通过容斥原理，我们可以得到集合A和集合B的并集中元素i出现的概率为：p_i=P(A_i)+P(B_i)-P(A_i∩B_i)其中P(A_i)表示元素i出现在集合A中的概率，P(B_i)表示元素i出现在集合B中的概率，P(A_i∩B_i)表示元素i同时出现在集合A和集合B中的概率。
6年级 奥数 容斥原理
姓名
居室
门厅
厨房
厕所
总面积
小明家
14
12
8
4
38
小龙家
20
12
8
4
44
他们住的这套房子共有多少平方米？
课后作业
1.100个小朋友做游戏，每人至少拿一面旗，其中56人拿小红旗，52人拿小黄旗。几人既拿小红旗又拿小黄旗？
容斥原理
专题解读：
在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。
例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的学生数？
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
短跑、篮球
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
课堂检测
1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。
短跑
投掷
跳远
短跑、跳远
短跑、投掷
几何容斥原理总结
几何容斥原理总结容斥原理：包含两种类型，第二种类型包含一种新题型（我把它看成第三类）。
第一种类型：是两项比赛的。
参加总人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-两项比赛都参加的人数全班总人数=参加总人数+什么都不参加的人数两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-参加总人数两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-（全班总人数-什么也不参加的人数）所以上面两种比赛的题型，需要看清楚，到底是全班所有人都参加了，还是有一部分人什么都不参加的。
简而言之：全班总人数=参加人数+不参加人数参加人数=A+B-同时A、B同时A、B=A+B-参加人数或者A+B-（全班总人数-不参加人数）第二种类型：参加三项比赛的。
全班总人数=参加人数+不参加人数参加人数=全班总人数-不参加人数参加人数=A+B+C-同时A、B-同时A、C-同时B、C+同时A、B、C第三种类型：如果题目当中出现了“只参加某某比赛”出现了“只”这个字眼。
那么都是需要通过画出图来标上字母，再把题目的条件翻译成含有字母的方程，然后再通过扩倍，加减等方式算出题目的字母，进而求出答案。
我一般说成：1、把文字翻译成方程、2、解方程。
补充拓展关于方程中字母个数与方程个数的关系1、当字母个数≤方程个数，那么这个方程可以直接解出来；2、当字母个数＞方程个数，那么这个方程只能通过讨论，得出解，而且必须结合实际的条件，比如说是整数啊，什么范围啊。
上面的第三类，出现了字眼“只”的，一般都是翻译成7个方程，刚好有7个字母，所以是可以解出来的。
7个字母：只参加A的，只参加B的，只参加C的，只参加AB的，只参加AC的，只参加BC的，只参加ABC的，一共是7个不同部分。
当然如果出现了，什么都不参加的人，那么就是8个字母，当然也可以对应列出8个方程，所以还是可以直接求解的。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。
容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。
下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。
假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。
我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。
首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。
根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。
容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。
下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。
例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。
首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。
根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。
小学奥数知识点 —— 容斥原理
容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
六年级~9容斥原理
(一) 容斥原理包含与排除问题也叫重叠问题，它实际上是一种集合方面的问题。
解答这类问题的主要根据是容斥原理1.容斥原理一：设A 、B 是两类有重叠部分的量（如图）. 如果A 对应的量为a , B 对应的量为b , A 与B 重叠部分对应的量为ab,那么这两类量 的总量可以用下面的公式计算：总量=a +b —ab.2.容斥原理二：设A,B,C 是三类有重叠的部分的量，如果A 对应的量为a ，B 对应的量为b ,C 对应的量为c , A 与B 重叠部分对应的量为ab. B 与C 重叠部分对应的置为bc,C 与A 重叠部分对应的量为ca,A 、B 、C 三部分重叠部分对应的量为abc,那么，这三类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc例1:在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的 数共有多少个？例2：六年级一班有45名同学，每人都参加体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，游泳、篮球都报者有12人。
问三项都报者有多少人？例3：某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加；语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组 的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
例4某班同学参加升学考试.得满分人数如下:数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多是多少人？最少是多少人？例5：向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的53，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外 对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的31多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？例6 李老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对， 第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
容斥原理
a 注会
计算机
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有 63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计 算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人， 准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一 种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人? A.120 B.144 C.177 六级 24 c b D.192
【例3】(安徽2008)某单位职工24人中， 有女性11人，已婚的有16人。已婚的 16人中有女性6人。问这个单位的未婚 男性有多少人？ A．1 C. 9 B.3 D. 12
【例4】一名外国游客到北京旅游。他要 么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要 么上午休息，下午出去游玩，而下雨天 他只能一天都呆在屋里。期间，不下雨 的天数是12天。他上午呆在旅馆的天数 为8天。下午呆在旅馆的天教为12天。他 在北京共呆了（ ） A.16天 C.22天 B.20天 D.24天
【例6】（国家2006）某工作组有12名外国人，其 中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙 语，有3人即会说英语又会说法语，有2人即会说 法语又会说西班牙语，有2人即会说西班牙语又会 说英语，有1人三种语言都会说。则只会说一种语 言的人比一种语言不会说的人多多少人？ A.1 B.2 C.3 D.5 2 1
【例5】对某单位的100名员工进行调查，结 果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。其 中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧 58人喜欢看球赛 人喜欢看戏剧，52 58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏 既喜欢看球赛又喜欢看戏 剧的有18 18人 剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧 的16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜 三种都喜欢看的有12 三种都喜欢看的有12人 欢看电影的有多少人？ A .22 B.28 C.30 D.36
集合容斥原理公式
集合容斥原理公式
集合容斥原理的定义
集合容斥原理（Inclusion–Exclusion Principle）是求一个总集合中满足一定条件的元素个数的一种方法，即在一个若干超集及其子集装入容器（container）中，通过容斥（exclusion）原理来求出结果。
为了记住这个公式，我们可以将容斥原理看作是一个"把这里装入容器，把那里不装入容器"的一种公式。
其公式的推导由欧几里得提出：
假设总集合A含有n个元素，A1和A2是A的超集，Ai（i=3,4…n）是A1和A2的子集，即A1,A2,A3,…,An是A的一些超集和子集，那么有：|A|=|A1|+|A2|- (|A1 ∩A2| +|A1 ∩A3| +|A2 ∩A3|+…+|A1∩
An|+|A2∩…∩An|)
+ (|A1 ∩A2 ∩A3| +…+|A1∩A2∩…∩An|).
上式中|A|代表A集合中元素的个数，|A1|代表A1中元素个数，|A2| 代表A2中元素个数，|Ai|代表Ai 中元素的个数，|A i ∩Aj|代表Ai,Aj的交集中元素的个数，|A1…An|代表A1...An的交集中元素的个数。
根据上面的公式，可以求出总集合A中满足一定条件的元素个数。
下面针对容斥原理做个简单的例子：
假设有可能出现的情况有A, B, C三种，共有50个人，要求统计A或B或C的人数。
A,B,C各有m1，m2，m3人。
根据容斥原理的公式，可以求得
|A∪B∪C|=m1＋m2+m3-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|
=50-20-10-10+5=15人。
由此可以看出，A或B或C的人数为15人。
容斥原理集合公式card
容斥原理集合公式card容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，它用于计算多个集合的交集和并集。
容斥原理是一个基于互补事件的概率问题计算方法，可用于确定多个事件的交集和并集的计算。
为了说明容斥原理的运用，我们先来看一个简单的例子。
假设有两个集合A和B，我们希望计算它们的并集的大小。
在不考虑重叠部分的情况下，可以通过简单地将两个集合的大小相加来计算并集的大小。
但是，如果两个集合之间有重叠部分，那么简单相加就会导致重复计数，这是我们不希望看到的。
为了解决这个问题，我们可以使用容斥原理。
容斥原理告诉我们，我们可以通过减去相交部分的大小来纠正重复计数。
换句话说，我们相加两个集合的大小，然后减去它们的交集的大小，即可以得到它们的并集的大小。
这个原理可以用如下公式表示：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A∪B，表示集合A和集合B的并集的大小，A，表示集合A的大小，B，表示集合B的大小，A∩B，表示集合A和集合B的交集的大小。
这个公式可以很容易地推广到多个集合的情况。
假设有n个集合A1,A2,...,An，我们希望计算它们的并集的大小。
根据容斥原理，我们可以使用以下公式来计算：A1∪A2∪...∪An，=Σ(，Ai，)-Σ(，Ai∩Aj，)+Σ(，Ai∩Aj∩Ak，)-...+(-1)^(n+1)*，A1∩A2∩...∩An其中，Σ(，Ai，)表示集合Ai的大小的和，Σ(，Ai∩Aj，)表示集合Ai和集合Aj的交集大小的和，以此类推。
(-1)^(n+1)表示交替的正负符号，以便在计算时正确减去或加上相交部分的大小。
容斥原理的这个公式非常有用，可以用于计算任意个集合的并集的大小，避免了重复计数的问题。
容斥原理的应用远不止于计算集合的交集和并集大小，还可以用于解决一系列涉及互斥事件的计数问题。
例如，容斥原理可以用于计算满足特定条件的整数个数、计算满足多个条件的排列组合数量等等。
总结起来，容斥原理是一种用于计算多个集合的交集和并集的计数方法。
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(一) 容斥原理
包含与排除问题也叫重叠问题，它实际上是一种集合方面的问题。
解答这类问题的主要根据是容斥原理
1.容斥原理一：
设A 、B 是两类有重叠部分的量（如图）. 如果A 对应的量为a , B 对应的量为b , A 与B 重叠部分对应的量为ab,那么这两类量 的总量可以用下面的公式计算：总量=a +b —ab.
2.容斥原理二：
设A,B,C 是三类有重叠的部分的量，
如果A 对应的量为a ，B 对应的量为b ,C 对应的量为c , A 与B 重叠部分对应的量为ab. B 与C 重叠部分对应的置为bc,C 与A 重叠部分对应的量为ca,A 、B 、C 三部分重叠部分对应的量为abc,那么，这三类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc
例1:在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的 数共有多少个？
例2：六年级一班有45名同学，每人都参加体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，游泳、篮球都报者有12人。
问三项都报者有多少人？
例3：某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加；语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组 的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
例4某班同学参加升学考试.得满分人数如下:数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多是多少人？最少是多少人？
例5：向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的5
3，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外 对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的3
1多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例6 李老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对， 第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人？
(2)两题都不対的有几人？
【练习】
1.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽 毛球的有7人。
不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
问，仅会打羽毛球 的有多少人？
2.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2个频道，有34个人看过8个频道，11人两个频道都看过。
问：两个频道都没有看过的有多少人？
3. —次数学小测验只有两道题.结果全班有10人全对，第一题有25 人作对.第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？
4.育才学校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都參加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的有多少人？
5.在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？z
6.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没有划船也没有爬山，他们游览了长廊。
问：既爬山又划船的同学有多少人？
应用经验归纳法
有些数学竞赛题直接解答有困难，我们可以从该竞赛的几个简单而特殊的情况入手去分析、归纳出一般规律、
并在这一规律的指导下解决问题。
这种解题方法叫经验归纳法。
例1：在操场上划50条直线，他们最多会有多少个交点？
例2：求两个多位数99……9×99……9乘积的各位数字之和。
1994个9 1994个9
练习
1.111…1×999…..9上面这个算式的乘积里有多少个奇数？
20个1 20个9
2.甲、乙、丙三个杯子中各装了一些水，乙杯中的水量等于甲、丙杯中的水量的平均数。
如果给丙杯中增加15毫升的水，那么，甲杯中的水量等于乙、丙两杯中的平均数。
问：甲、乙两杯中的水量哪一个多呢？多多少毫升呢？。