复数的向量表示

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例5.设复数z满足条件 z z 2 i, 那么z __43__i____.
例6.设z C,解方程z 2 z 7 4i.
z 3 4i或z 5 4i 3
例7.已知z z 1 i,求复数z.
zi
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(2)位于x轴的负半轴上.
-7<m<3
m=4
例2.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设 z 在复平面中的对应点为
Z.
(1) 求证:复数z不能是纯虚数;
(2)若点Z在第三象限,求x的取值范围;
(3)若点Z在直
线x-2y+1=0上,求x的值.
（2）3 21 x 4 2
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设复平面内的点Z表示复数z= a + bi ,连结OZ,
则向量
是由点Z唯一确定的;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量
唯一确定. OZ
y
OZ
Z :a+bi
o
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x
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Z
Z 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 关于实轴对称.
y
Z :a+bi
Z :a+bi
y
b
b
o
x
-b
ox -b
Z :a+bi
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Z :a+bi
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5.IT最SM大/ IT值IL ,最小值问题
例1.若复数z对应点集为圆:
(x, y) (x 1)2 (y 3)2 1, x, y R
试求│z│的最大值与最小值.
3
1
y
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2o
x
o11 1
复数z= a + bi ( a , b∈R)
一一对应
复平面上的点Z(a,b)
向量OZ
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OZ 向量 的模 r 叫做复数 z= a + bi 的模(或绝对值),记作 |z|或| a +
集合所表示的图形:
(1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且
0<│y│<2; (3) │z│≤2且x+y=2;
(4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9.
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zz12（z2
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0）
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例1.求复数z1
3
4i及z2
1 2
并且比较它们的模的大小.
2i的模,
例2.设 z ∈C , 满足下列条件的点 z 的集合是什么图形?
非负实数的一切性质.
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模的几何意义:
OZ 复数的模表示向量 的长度,也就是复平面上的点到原点的距离,
由此可得到复平面上两点间的距离公式: d=│z1 - z2│(z1 , z2∈C)
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OZ 点Z(a,b), 向量 是复数z= a + bi ( a , b∈R)的另外两种表示形
式,它们都是复数z= a + bi的几何表示.
例2.复数z
sin
3
i cos
6
,则 z
6
__2___
例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________. -3 < t < 3
例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,
则m的取值范围是_________. 1 m 8 8
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b
Z :a+bi
o
a
x
实轴上的点都表示实数; 除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
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按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应; 反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此得
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|z|=| a + bi |有以下几种情况:
(1)实数a（z a bi，b 0）
a（a 0）
a
a（a
. 0)
几何意义:在数轴上a的对应点到原点的距离.
(2)z与它的共轭复数z的模相等,即 z z .
z的模是一个非负实数,即 z 0,它具有
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4.IT复SM数/ IT,复IL 数模的图形问题
例1.复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是( )
(A)虚轴;
(B)虚轴除去原点;
(C) 线段PQ,点P,Q的坐标
分别为(0,1),(0,-1);
(D) C中线段PQ,但应
除去原点.
C
例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满足下列条件的点Z的
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复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零 向量对应),即
复数z = a + bi
一一对应 平面向量 OZ
为方便起见,常把复数z= a + bi 说成点Z或者说成向量
定:相等的向量表示同一个复数.
OZ
,并且规
复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点O.若起点不统 一,是原点以外的其它点,复数与向量就不能建立一一对应关系.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的. 即
一一对应
复数z = a + bi
复平面内的点Z(a , b)
这是复数的一种几何意义.
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bi |.
如果 b=0 , 那么z= a + bi是一个实数 a ,它的模等于 | a | (即实数
的绝对值).
由模的定义可知,
| z || a bi | r a2 b2
(显然 r ≥0, r ∈R)
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例2.已知复数z 2,求复数1
的最大值与最小值.
y
4
0
3i z的模
2
o
x
2
z1
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共轭复数有如下一些性质:
(1)z z.
(2)z z z 2 z 2.(3)z z 2a, z z 2bi.
(4)z1 z2 z1 z2 (可推广到有限个）
（5）z1 z2 z1 z2.
(6)z1z2 z1 z2 (可推广到有限个）
z z 1
1
(7)( ) (z 0). 2
当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭 复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数.
复数 z 的共轭复数用 表示,即如Z果z= a + bi ,那么 = a – bi .
Z
当复数z= a + bi 的虚部 b =0时, 有 z =
数仍是它本身.
,即任一实数Z的共轭复
z C, z z z R.
这是判断一个数是否是实数的一个准则.
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在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 表示
Z
复数 ,那么点Z和 关于实轴对称.
Z
5.2 复数的向量表示 ITSM / ITIL
任何一个复数z = a + bi ,都可以由一个有序实数对( a , b) 唯一确 定;有序实数对( a , b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.
复数z = a + bi 可用点Z(a,b)表示,这个建
y
立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复
平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.
（3）x 15
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2.IT共SM轭/ IT复IL 数问题
例1.已知复数 z1 =m2+1+(m2+m)i
与
z2 =2+(1-3m)i
(m∈R)是共轭复数,求mm=1.
例2.已知复数z1 sin 2 i cos ,
z2 cos 3i sin (0 ).
(1 2a)x2 (1 a2 ) 0恒成立.等价于(1) :1 2a 0 a 1 , 2
此时上式恒成立;或(2)
:
1 2a 0 4(1
2a)(1
a2
)
0
1
a
1 2
.
1 a 1 . 2
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例8.已知z1 x2 i x2 1, z2 (x2 a)i, 对于任意的x R,均有 z1 z2 成立,求 实数a的取值范围.
解 : z1 z2 x4 x2 1 x2 a x4 x2 1 (x2 a)2
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复数模的性质： ITSM / ITIL
（1）z z
（2）z1 z2 z1 z2 z1 z2 （3）z1 z2 z1 z2
（4）z1 z2
(1)若z1 z2 ,求的值;
6
(2)若z1 z2 ,求的值. Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
5
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3.IT复SM数/ IT模IL 的有关问题
例1.复数z=1+itan2000的模__________. sec200
(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
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o
x
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1.IT复SM平/ IT面IL 问题
例1.当实数m为何值时,复数
(m2-
8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应点: (1)位于第四象限;
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在IT平SM面/ IT直IL 角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表 示,而有序实数对与复数是一一对应的,这样,可以用平面向量来表示 复数.