复数的向量表示
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
复数的向量表示
复数的向量表示引言在数学中，复数是由实数和虚数组成的，可以用向量来表示。
复数在多个领域中有着广泛的应用，如电路分析、信号处理和量子力学等。
本文将介绍如何使用向量来表示复数，并讨论一些常见的运算和性质。
复数的定义复数是由实数部分和虚数部分组成的数。
一般形式为a + bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
虚数单位i定义为i² = -1。
复数表示了实数和虚数在数轴上的相互关系。
复数向量的表示复数可以用向量来表示。
在复平面上，横轴代表实数部分，纵轴代表虚数部分。
将一个复数视为一个向量，实数部分作为向量在横轴上的投影，虚数部分作为向量在纵轴上的投影。
通过在复平面上绘制向量，我们可以更直观地理解复数的性质和运算。
向量运算向量的加法复数的加法可以通过向量的加法来实现。
将两个复数的实数部分和虚数部分分别相加即可得到结果复数的实数部分和虚数部分。
例如，对于复数a + bi和c + di，它们的和计算如下：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i向量的乘法复数的乘法也可以通过向量的乘法来实现。
将两个复数的实数部分和虚数部分相乘并进行适当的运算即可得到结果复数的实数部分和虚数部分。
例如，对于复数a + bi和c + di，它们的乘积计算如下：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i向量的长度在复平面上，向量的长度称为模。
复数的模表示了复数到原点的距离，即复数的大小。
对于复数a + bi，它的模计算如下：|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)其中，sqrt表示开方运算。
向量的共轭对于复数a + bi，它的共轭复数记为a - bi。
共轭复数的实数部分与原复数相同，虚数部分取符号相反。
向量的除法复数的除法需要使用到共轭复数。
将除数与被除数乘以除数的共轭复数，然后进行适当的运算即可得到结果复数的实数部分和虚数部分。
复数的向量表示
复数的向量表示教学目标（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；学习数学学习教学建议一、知识结构物理二、重点、难点分析本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．三、教学建议学习物理2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．2．这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。
复数的几何意义知识点总结
复数的几何意义知识点总结一、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
- 例如，复数z = 3 + 2i，在复平面内对应的点为(3,2)，其中3是实部，对应实轴上的坐标；2是虚部，对应虚轴上的坐标。
2. 复数的向量表示。
- 复数z = a+bi(a,b∈ R)与复平面内的向量→OZ=(a,b)一一对应，其中O为坐标原点，Z(a,b)为复数z对应的点。
- 向量的模|→OZ|=√(a^2)+b^{2}，这个模就等于复数z = a + bi的模|z|=√(a^2)+b^{2}。
例如，对于复数z = 1 + i，其模| z|=√(1^2)+1^{2}=√(2)，在复平面内对应的向量→OZ=(1,1)，向量的模也是√(2)。
3. 复数的加减法的几何意义。
- 设复数z_1=a + bi，z_2=c+di(a,b,c,d∈ R)，它们在复平面内对应的向量分别为→OZ_1=(a,b)，→OZ_2=(c,d)。
- 复数的加法：z_1+z_2=(a + c)+(b + d)i，其几何意义是对应的向量相加，即→OZ_1+→OZ_2=(a + c,b + d)。
- 例如，z_1=1+2i，z_2=3 - i，z_1+z_2=(1 + 3)+(2-1)i = 4 + i，在复平面内→OZ_1=(1,2)，→OZ_2=(3,-1)，→OZ_1+→OZ_2=(1 + 3,2-1)=(4,1)。
- 复数的减法：z_1-z_2=(a - c)+(b - d)i，其几何意义是对应的向量相减，即→OZ_1-→OZ_2=(a - c,b - d)。
例如，z_1=3+2i，z_2=1 + i，z_1-z_2=(3 - 1)+(2 - 1)i=2 + i，在复平面内→OZ_1=(3,2)，→OZ_2=(1,1)，→OZ_1-→OZ_2=(3 - 1,2 - 1)=(2,1)。
复数的向量表示4
模为零的向量， ⑷ 零向量： 模为零的向量，所有的零向 量都相等。 量都相等。
练习 1
如图： 是正方形 是正方形ABCD的中心，E、F分别为 的中心， 、 分别为 分别为CD 、AB的中 如图：O是正方形 的中心 点： ⑴ 描出向量OA、OB、OC、OD、OE 。 、 、 描出向量 、 、
为实轴正向， 为原点建立复平面 为原点建立复平面， ⑵ 以OE为实轴正向，O为原点建立复平面，设向量 为实轴正向 │OE│= 1，则点 、B、C、D所对应的复数分别为： 所对应的复数分别为： ，则点A、 、 、 所对应的复数分别为 ----------------------------------------------------------。 。
y
Z(a,b)
●
复数
(a , b ∈R)
（唯一） 点Z（a,b) （唯一）
唯一
O
x
OZ 结论：复数集C与以原点为起点的向量集之间亦存 结论：复数集 与以原点为起点的向量集之间亦存 在一一对应关系。
注：1.就上述对应关系,复数z =
可以说成点Z（a,b)或说成向量 OZ 返回总结
a + b i (a , b ∈R)
√ 2+42 3
1
- √2 2
i 的模，并
=5,
√
√ 1)2 + (│z2│= (- 2
因为 5＞ ＞
3
)2 = 2
3
2
2
所以 │z1│＞│z2│. ＞
返回复数的模
练习 3
√ 1. 求复数
3
+i, - 2+4i, - 2i, 4的模.
│4│=4.
√ 5
答案:│√ + i│=2; │-2+4i│=2 5 √ 3 ; │-2i│=2;
复数的向量表示课件
复数 z a bi
一一对应
点 Z (a, b)
向量 OZ
注意点：（1）复数z a bi 用小写z来表示
(2)向量 OZ 与点Z (a, b)用大写字母表示
例:1.用复平面的点和向量分别表示表示复数:
2, i, 3 2i, 3 2i,
如图:两个共轭复数 3 2i, 3 2i,
0 -1
-2
-3
D
1 2 3x
B(1,-3)
3
3
5
如图(左),正方形的面积
5
S 88 64
5
3
如图(下),长方形的面积
S 135 65
tan 2
5 tan 3
8
21485 203322
5
8
3
5 3
小结、布置作业
1.复数与点的对应关系 2.复平面的建立 3.复数的向量表示 4.复数的模
是关于实轴 x 轴对称的.
结论:两个共轭复数 z 和
z , 它们在复平面内所对C(-3,2)
应的点是关于 x 轴对
y
3 2 1 A(2,0)
称的-----共轭复数的几
-3
-2
-1
0 -1
12 B(0,-1)
3x
何性质
-2 D(-3,-2) -3
测试题
1.在复平面内,下列复数所对应的点在 第四象限的是( B ).
对 Z (a, b) 一一对应。
2 .复平面的建立
在直角坐标系中,
y
b
z : a bi
横坐标为实部 a ,
纵坐标为虚部 b 的
o
a
x
点 Z(a,b) 来表示复数 z a bi.
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
u和i的向量表达式
u和i的向量表达式
u和i的向量表达式是指用向量来表示u和i的值。
例如，如果u是一个实数，而i是一个复数，则u和i的向量表达式
可以表示为：u = uxi + uyii = ix + iy其中，u和i分别表示实数
和复数，xi和yi分别表示实数和虚数的基本单位，这些单位
是由i定义的，其定义为：i = √-
u和i的向量表达式在数学中有很多应用，其中最重要的
一个应用是在线性代数中，它可以用来表示矩阵的向量，这些矩阵的向量可以用来表示一组由矩阵构成的系统的状态。
u和i的向量表达式也可以用来表示复数的模和相角，例如，如果一个复数的模为M，而它的相角为θ，则该复数的向
量表达式可以表示为：z = M（cosθ + isinθ）上述表达式表示
的是复数的空间表示，这种表示可以用来描述复数的模和相角。
此外，u和i的向量表达式还可以用来表示复数的傅立叶
变换，傅立叶变换可以将时域函数转换为频域函数，从而分析号的频率组成。
总而言之，u和i的向量表达式可以用来表示实数、复数、矩阵、复数的模和相角以及傅立叶变换等，这些表达式在数学上有很多应用，可以用来解决许多复杂的数学问题。
复数的向量表示
学科：数学教学内容：复数的向量表示【基础知识导引】1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义．2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的基本性质．3．掌握复数的向量表示，理解复数z 、复平面内的点Z 及向量之间的一一对应关系． 4．理解复数的模的概念及其几何意义，掌握复数的模的计算方法．【教材内容全解】1．复数的几何表示是指用复平面内的点Z(a ，b)来表示复数z=a+bi ．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。
x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．任何一个复数z=a+bi ，都是由一个有序数对(a ，b)惟一确定，所以复数集与复平面内所有的点构成的集合是一一对应的．2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，实数的共轭复数就是本身．由共轭复数的定义，有下列结论：(1)z 为实数z z =⇔； (2)z 为纯虚数0=+⇔z z ，且z ≠0；(3)z z =)(；(4)互为共轭复数的两个复数，在复平面内对应的点关于实轴对称．3．设z=a+bi 在复平面内对应的点为Z ，用向量可以表示复数z 。
显然是由点Z 惟一确定，因此，复数集C 与复平面内由原点出发的向量也是一一对应的，即复数z=a+bi ，点Z(a ，b)，向量三者之间有如下对应关系：4．关于复数的模，应从以下几个方面来加深对这一概念的理解． （1）计算公式：)0(||||22≥+==+=r b a r bi a z 。
（2）几何意义：复数z=a+bi 的模是点Z(a ，b)到原点的距离，即向量的模（长度）。
（3）||||z z =。
（4）复数的模是实数的绝对值概念的推广。
（5）两个不全为实数的复数不能比较大小，但任何两个复数的模是可以比较大小的。
【难题巧解点拨】例1 已知复数)()23(222R x i x x x x ∈+-+-+是4-20i 的共轭复数，求x 的值。
复数向量求导
复数向量求导
复数向量是指由实数构成的有序数组，其中每个实数都可以表示为特定形式的实数与虚数的和。
在数学中，复数向量通常表示为(x+yi)，其中x和y分别表示实部和虚部。
在计算复数向量的导数时，需要将其视为两个分别关于实部和虚部的函数。
具体来说，如果有一个复数向量z=(x+yi)，其中x和y都是实数，那么它的导数可以分别计算为实部x和虚部y的导数。
对于实部x的导数，可以将其视为一个关于x的实函数。
因此，可以使用常规的微积分规则来计算它的导数。
例如，如果x是一个多项式，那么可以使用多项式的导数规则来计算x的导数。
对于虚部y的导数，可以将其视为一个关于y的实函数。
同样地，可以使用微积分规则来计算它的导数。
在计算复数向量的导数时，需要注意保持实部和虚部之间的关系。
即使实部和虚部分别导数为0，它们仍然是相关的，因为它们组成了复数向量。
在实际应用中，复数向量的导数通常用于求解复数函数的导数。
复数函数是指将复数向量映射到复数向量的函数。
通过计算复数向量的导数，可以确定函数在给定点的切线或曲线的斜率，从而了解函数在该点的行为。
计算复数向量的导数需要将其视为两个分别关于实部和虚部的函数，并使用微积分规则来计算它们的导数。
通过计算复数向量的导数，可以了解复数函数在给定点的行为。
这对于理解和解决复数函数相关的问题非常重要。
复数的向量表示
复数的向量表示在数学和物理学中，复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a是实部，b是虚部，而i是虚数单位。
在向量表示中，复数可以被视为一个二维向量，由实部和虚部组成。
复数向量的表示可以提供更加简洁和方便的计算方式，尤其在涉及到向量运算和旋转操作的时候。
1. 复数向量的定义复数可以表示为一个向量(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
这个向量可以用来表示复数的位置和方向。
2. 复数向量的运算对复数向量进行加法和乘法操作时，可以将其视为二维向量的运算。
具体地，复数向量的加法和乘法运算如下：加法：对于两个复数向量(a1, b1)和(a2, b2)，它们的加法运算为(a1 + a2, b1 + b2)。
乘法：对于两个复数向量(a1, b1)和(a2, b2)，它们的乘法运算为(a1 * a2 - b1 * b2, a1 * b2 + a2 * b1)。
3. 复数向量的表示和坐标系复数向量可以使用笛卡尔坐标系或极坐标系来表示。
在笛卡尔坐标系中，复数向量可以被视为一个有序对(a, b)，其中a是复数的实部，b是虚部。
而在极坐标系中，复数向量可以通过模长和幅角来表示。
笛卡尔坐标系：复数向量(a, b)可以被视为从坐标原点开始的有向线段，其中a表示线段的水平长度，b表示线段的垂直长度，且a和b的单位相同。
极坐标系：复数向量可以使用模长（也叫向量的长度）r和幅角（也叫向量的方向）θ来表示，即(r, θ)。
模长r表示复数向量与原点的距离，幅角θ表示向量与水平轴之间的夹角。
4. 复数向量的旋转由于复数向量可以表示为一个有向线段，因此可以通过旋转操作来改变复数向量的方向。
假设有一个复数向量(a, b)，我们希望将它顺时针旋转θ角度。
那么，我们可以通过以下公式计算旋转后的复数向量(a', b')：a' = a * cos(θ) - b * sin(θ)b' = a * sin(θ) + b * cos(θ)同样，如果我们希望将复数向量(a, b)逆时针旋转θ角度，那么可以使用以下公式计算旋转后的复数向量(a', b')：a' = a * cos(θ) + b * sin(θ)b' = -a * sin(θ) + b * cos(θ)5. 总结复数的向量表示为(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
复数的三角形式
的辐角主值 [0, ] [ 7 ,2) .
4 4
此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容 易出问题的是的范围的确定.仅有-1≤tg≤1 是不够的，还 应当注意到 =1+(a-1)i 的实部为 1，虚部 a-1 在[-1，1]内， 所以 所对的辐角只能在第一和第四象限.
解该题时，很多同学由于不注意、以及+的范 围，从而得出错误结论. 、分别在[0, 2)内，但+不一定在这个范围内， 要结合 z1·z2=-13+13i 对应的点在第二象限内，且
5 7 ，最后确定+的值. 2 2
3 1 2 2 2 3 i, i ，复数 z, z 在 例 2．已知复数 z 2 2 2 2
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 1 z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
∴ z cos( ) i sin ( ) cos i sin , 6 4 6 4 12 12 ) ∴ z cos( ) i sin ( 12 12 3 3 2 3 又 z [cos( ) i si n ( )](cos i si n ) 3 3 4 4 5 5 cos i si n . 12 12 5 因此 OP，OQ 的夹角为 ( ) ， 12 12 2
复数向量求导
复数向量求导复数向量求导是微积分中的一个重要概念，它在许多应用领域中都有广泛的应用。
本文将介绍复数向量求导的基本概念、求导规则以及一些常见的应用。
一、复数向量的定义复数向量是指具有大小和方向的向量，可以用复数表示。
复数向量可以在复平面上表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
复数向量通常用字母加箭头表示，如a→。
二、复数向量的导数复数向量的导数表示了向量的变化率。
对于复数向量a→=(x+yi)→，其中x和y表示实部和虚部，我们可以对其分别对x和y求导，即求导数∂a→/∂x和∂a→/∂y。
三、复数向量的求导规则1. 对于常数c，其导数为0。
2. 对于复数向量a→=(x+yi)→和b→=(u+vi)→以及常数c，有以下求导规则：(a) ∂(a→+b→)/∂x = ∂a→/∂x + ∂b→/∂x(b) ∂(ca→)/∂x = c(∂a→/∂x)(c) ∂(a→b→)/∂x = (∂a→/∂x)b→ + a→(∂b→/∂x)(d) ∂(a→/b→)/∂x = (∂a→/∂x)b→ - a→(∂b→/∂x)/(b→)^2(e) ∂(a→*b→)/∂x = (∂a→/∂x)*b→ + a→*(∂b→/∂x)1. 在电路分析中，复数向量求导可以用于计算电流和电压的变化率。
2. 在信号处理中，复数向量求导可以用于计算信号的频率特性。
3. 在机器学习中，复数向量求导可以用于计算损失函数对模型参数的梯度。
4. 在物理学中，复数向量求导可以用于描述粒子在空间中的运动。
五、总结复数向量求导是微积分中的重要概念，它可以用于描述向量的变化率。
本文介绍了复数向量的定义、导数的求法以及一些常见的应用。
通过学习复数向量求导，我们可以更好地理解和应用微积分的知识。
希望本文对读者有所帮助。
复数的向量表示
例2:解方程:3z+|z|=1-3i. 解:设z=x+yi(x,y∈R),则3(x+yi)+|x+yi|=1-3i,即 3x+ x 2 y 2 +3yi=1-3i.
3 x x 2 y2 1 x 0 . 由复数相等的条件得: 3 y 3 y 1
所以z=-i. 延伸1:已知z=|z|i,求复数z的对应点的轨迹.
解:设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi=
x 0 x 0 . 2 2 x y y 0 y
x
2
y i.
2
所以复数z的对应点的轨迹是虚轴的上半轴和原点 (即轨迹是一条射线).
例3:设全集为C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z ∈C},若z∈A∩(CCB),求复数z在复平面内对应点的 轨迹. 解:由||z|-1|=1-|z|∈R,得|z|-1≤0,即|z|≤1;
b O a x
复数z=a+bi
一一对应
复平面点Z(a，b)
这是复数的一种几何意义.
2.共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数 称为共轭复数.特别地,虚部不等于0的两个共轭复数 也叫做共轭虚数. __ __ 复数z的共轭复数用 z 表示,即z=a+bi,则 z =a-bi. __ z R 的充分必要条件是 z z . __ z∈{纯虚数}的充分必要条件是 z z_且z 0. _ 复平面内与一对共轭复数对应的点Z和 Z 关于实轴 对称. y Z:a+bi
-b O a b __ x
Z :a-bi
3.复数的向量表示 设复数z=a+bi对应点Z(a,b),连结OZ,则向量OZ表示复 数z,(规定实数0与零向量对应). y 一一对应 Z:a+bi 复数z=a+bi 平面向量OZ b 我们常把复数z=a+bi说成点Z或向 量OZ,并规定,相等的向量表示同 O a x 一个复数. 向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模(绝对值),记作|z|或 |a+bi|.即|z|=|a+bi|=r=a2+b2≥0. 模的几何意义:表示该复数在复平面内对应点与原点 之间的距离. __ 显然有 | z | | z | . z 0 | z | 0 . 注意:任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模 由于都是非负的实数,所以一定能比较大小.
高数学复数的向量表示及复数的三角形式
复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示：2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：||||OZ Z =，即Z 点到原点O 的距离，一般地||21Z Z -即1Z 点到4、复数的指数形式：把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数θθsin cos i +用记号θi e 表示，即θθθsin cos i e i +=，由此任何一个复数)sin (cos θθi r Z +=就可以表示为θi re Z =形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式． 三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程． 如圆：r Z Z =-||0；线段中垂线：||||21Z Z Z Z -=-；椭圆：|)|2(2||||2121Z Z a a Z Z Z Z ->=-+- ； 双曲线：|)|2(2||||||2121Z Z a a Z Z Z Z -<=--- ．典型例题解析： 方法一： ∵11||1||=+≤-ZZ Z Z ．||Z 、R Z ∈||1．∴1||1||1≤-≤-Z Z ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+01||||01||||22Z Z Z Z ，∴215215+≤≤-r ．ZZ Z Z 1||1|+=-， ∴当i Z 215-±=时，215min -=r ；而当i Z 215+±=时，max =r 方法二：设)sin (cos θθi r Z +=．215+≤≤r ，且当i Z215-±=时，215min -=r ； 当i Z 215+±=时，max =r 高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．基础练习一、选择题 1、复数)()1(2224Z n i i Z n ∈--=+ 的辐角主值是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个A ．iB ．1-C ．0D ．1A ．1B ．2C ．5D ．7（ ）A ．8、1Z 、2Z 是两个非零复数，且分别对应点1Z 、2Z ，则21OZ OZ ⊥的充要条件是（ ）A ．i Z Z 21±=9、复数Z 满足条件：|||12|i Z Z -=+，则||Z 的最大值是（ ）A 10、设yi x Z +=（x 、R y ∈），且x Z =-|2|，则复数Z 的对应点Z 的轨迹是（ ） A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线 二、综合题值范围．数Z ．（1）求Z 点的轨迹方程，并指明轨迹类型； （2）求||Z 的最小值．13、已知复数1Z 、2Z 、3Z 的辐角主值分别是α、β、γ，又1||1=Z ，k Z =||2，k Z -=2||3，且0321=++Z Z Z ，问k 取何值时，)cos(γβ-分别取得最大值和最小值？并求出)cos(γβ-的最大值和最小值？。
复数的向量表示
复数模的性质： （） = z 1 z （2）z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 （3） 1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z z1 z1 （4） = （z 2 ≠ 0） z2 z2
1 例1.求复数z1 = 3 + 4i及z 2 = − − 2i的模, 2 并且比较它们的模的大小.
是复数z= 点Z(a,b), 向量 OZ 是复数 a + bi ( a , b∈R) ∈ 的另外两种表示形式,它们都是复数 它们都是复数z= 的另外两种表示形式 它们都是复数 a + bi 的几何表示. 的几何表示
复数z= 复数 a + bi ( a , b∈R) ∈
一一对应
复平面上的点Z(a,b) 复平面上的点
2 2
4.复数 复数模的图形问题 复数,复数模的图形问题 复数 复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是 ) 的几何表示是( 例1.复数 复数 ∈ 的几何表示是 (A)虚轴 (B)虚轴除去原点 虚轴; 虚轴除去原点; 虚轴 虚轴除去原点 (C) 线段 线段PQ,点P,Q的坐标分别为 的坐标分别为(0,1),(0,-1); 点 的坐标分别为 (D) C中线段 中线段PQ,但应除去原点 但应除去原点. 中线段 但应除去原点 C 例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满 设 ∈ 在复平面上画出满 足下列条件的点Z的集合所表示的图形 的集合所表示的图形: 足下列条件的点 的集合所表示的图形 (1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且0<│y│<2; (3) ∈ ∈ 且 │z│≤2且x+y=2; 且 (4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9. 且
复平面和复数表示式 (复习知识点)
复平面与复球面这部分的内容包括：复平面、复数的向量式、复数的三角式、复数的指数式、复数的乘幂与n 次方根、无穷远点与复球面．一个复数由一对有序的实数x 与y 惟一确定，反之亦然．复数在“量”上的这个特征能否在“形”上有所反映呢？下面首先讲复平面。
一、复平面我们称用建立了笛卡尔直角坐标系的平面来表示复数的平面为复平面．二、复数的向量式在复平面上，由于点),(y x M 与向量是一一对应的，所以，复数i y x z +=可看成一个起点在原点，终点在点),(y x M 的向量．复数的向量形式是复数在复平面上的又一几何解释．∙ y xO M (x , y ) ∙ y xO M (x , y )复数的三角式复数0≠z 的辐角复数z 的辐角记作Arg z ，它是向量与x 轴正向之间的夹角，其方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负．显然，对复数0=z 无辐角可言，而对每一个复数 0≠z ，其辐角有无穷多个值，若0ϕ是复数z 的一个辐角，则π2Arg 0k z +=ϕ（k ：整数）就是复数z 的全部辐角．若用z arg 表示满足条件π2arg 0<≤z的一个特定值，则称z arg 为复数z 的主辐角或辐角主值．显然，有π2arg Arg k z z += （k ：整数）若0≠z)sin i (cos ϕϕ+=r z称上式为复数的三角式．复数的指数式引入记号θθθsin i cos e i ⋅+= (1.1) 则由复数的三角式得到θi e r z = (1.2)称上式为复数)0(≠z 的指数式，其中r 是z 的模，θ是z 的辐角．值得注意的是，(1.1)式在这里尽管暂时规定为一个记号，但后面我们将看到它实际是著名的欧拉公式．这里的e 正是我们熟知的自然对数的底e ，并且关于指数的有关规则在这里也是使用的，举例看⎪⎭⎪⎬⎫==⋅-+)(i i i )(i i i 21212121e e e e e e θθθθθθθθ (1.3) 我们仅验证第一个等式，事实上)sin i (cos )sin i (cos e e 2211i i 21θθθθθθ⋅+⋅⋅+=⋅)sin sin cos (cos 2121θθθθ-⋅=)cos sin cos sin (i 1221θθθθ⋅+⋅+ )sin(i )cos(2121θθθθ+⋅++=)(i 21e θθ+= 以上介绍了复数的指数式，这种表示式在两个复数作乘法和除法时会带来很多方便。
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例2.复数z
sin
3
i cos
6
,则 z
6
__2___
例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________. -3 < t < 3
例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,
则m的取值范围是_________. 1 m 8 8
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(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
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o
x
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1.IT复SM平/ IT面IL 问题
例1.当实数m为何值时,复数
(m2-
8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应点: (1)位于第四象限;
5.2 复数的向量表示 ITSM / ITIL
任何一个复数z = a + bi ,都可以由一个有序实数对( a , b) 唯一确 定;有序实数对( a , b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.
复数z = a + bi 可用点Z(a,b)表示,这个建
y
立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复
平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.
(1)若z1 z2 ,求的值;
6
(2)若z1 z2 ,求的值. Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
5
6 Sino-i Technology Ltd.
3.IT复SM数/ IT模IL 的有关问题
例1.复数z=1+itan2000的模__________. sec200
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的. 即
一一对应
复数z = a + bi
复平面内的点Z(a , b)
这是复数的一种几何意义.
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例2.已知复数z 2,求复数1
的最大值与最小值.
y
4
0
3i z的模
2
o
x
2
z1
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集合所表示的图形:
(1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且
0<│y│<2; (3) │z│≤2且x+y=2;
(4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9.
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z z 2 2 Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
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在IT平SM面/ IT直IL 角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表 示,而有序实数对与复数是一一对应的,这样,可以用平面向量来表示 复数.
这是判断一个数是否是实数的一个准则.
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在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 表示
Z
复数 ,那么点Z和 关于实轴对称.
Z
非负实数的一切性质.
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模的几何意义:
OZ 复数的模表示向量 的长度,也就是复平面上的点到原点的距离,
由此可得到复平面上两点间的距离公式: d=│z1 - z2│(z1 , z2∈C)
zz12（z2
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0）
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例1.求复数z1
3
4i及z2
1 2
并且比较它们的模的大小.
2i的模,
例2.设 z ∈C , 满足下列条件的点 z 的集合是什么图形?
(1 2a)x2 (1 a2 ) 0恒成立.等价于(1) :1 2a 0 a 1 , 2
此时上式恒成立;或(2)
:
1 2a 0 4(1
2a)(1
a2
)
0
1
a
1 2
.
1 a 1 . 2
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5.IT最SM大/ IT值IL ,最小值问题
例1.若复数z对应点集为圆:
(x, y) (x 1)2 (y 3)2 1, x, y R
试求│z│的最大值与最小值.
3
1
y
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2o
x
o11 1
当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭 复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数.
复数 z 的共轭复数用 表示,即如Z果z= a + bi ,那么 = a – bi .
Z
当复数z= a + bi 的虚部 b =0时, 有 z =
数仍是它本身.
,即任一实数Z的共轭复
z C, z z z R.
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4.IT复SM数/ IT,复IL 数模的图形问题
例1.复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是( )
(A)虚轴;
(B)虚轴除去原点;
(C) 线段PQ,点P,Q的坐标
分别为(0,1),(0,-1);
(D) C中线段PQ,但应
除去原点.
C
例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满足下列条件的点Z的
设复平面内的点Z表示复数z= a + bi ,连结OZ,
则向量
是由点Z唯一确定的;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量
唯一确定. OZ
y
OZ
Z :a+bi
o
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x
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(2)位于x轴的负半轴上.
-7<m<3
m=4
例2.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设 z 在复平面中的对应点为
Z.
(1) 求证:复数z不能是纯虚数;
(2)若点Z在第三象限,求x的取值范围;
(3)若点Z在直
线x-2y+1=0上,求x的值.
（2）3 21 x 4 2
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例5.设复数z满足条件 z z 2 i, 那么z __43__i____.
例6.设z C,解方程z 2 z 7 4i.
z 3 4i或z 5 4i 3
例7.已知z z 1 i,求复数z.
zi
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复数z= a + bi ( a , b∈R)
一一对应
复平面上的点Z(a,b)
向量OZ
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OZ 向量 的模 r 叫做复数 z= a + bi 的模(或绝对值),记作 |z|或| a +
（3）x 15
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2.IT共SM轭/ IT复IL 数问题
例1.已知复数 z1 =m2+1+(m2+m)i
与
z2 =2+(1-3m)i
(m∈R)是共轭复数,求mm=1.
例2.已知复数z1 sin 2 i cos ,
z2 cos 3i sin (0 ).
Z
Z 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 关于实轴对称.
y
Z :a+bi
Z :a+bi
y
b
b
o
x
-b
ox -b
Z :a+bi