专题复习·函数的图像与性质

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函数图象与性质总结

函数的图像和性质专题第1讲函数的基本性质总结（一）、函数单调性 1、函数单调性的定义（1）、设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

区间D 称为y=f(x)的单调增区间（2）、如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) 。

2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (1) 定义法：1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；2 作差f(x 1)－f(x 2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (2)图象法(从图象上看升降)_(3)要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意(0,0)by ax a b x=+>>型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b ba a-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b ba a-(4)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性 u=g(x) 增增减减 y=f(u) 增减增减 y=f [g(x)] 增减减增例、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）；注意：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．例、若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,23)）（二）、函数的奇偶性1、函数的奇偶性（1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

中考数学专题复习之一次函数的图像及性质测试卷

中考数学专题复习之一次函数的图像及性质测试卷一．选择题1．若y ＝x +2﹣3b 是正比例函数，则b 的值是（）A ．0B ．﹣C ．D ．﹣2．函数y ＝（k ﹣1）x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是（）A ．k ＜0B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ＜13．已知点M （﹣2，m ）和点N （3，n ）是直线y ＝2x +1上的两个点，那么有（）A ．m ＝nB ．m ＞nC ．m ＜nD ．不能确定mn 的大小关系4．一次函数y ＝8x 的图象经过的象限是（）A ．一、三B ．二、四C ．一、三、四D ．二、三、四5．若点(1,2)M 关于y 轴的对称点在正比例函数(32)y k x =+的图象上，则k 的值为( )A ．13B ．13-C ．43-D ．06． 1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 是一次函数2(1)2y k x =++图象上的两点，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．12y y =B ．12y y <C ．12y y >D ．不确定7．下列图形中，表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝﹣mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象不正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．下列关于一次函数y ＝﹣2x +2的图象的说法中，错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）C．当x＞0时，y＜2D．y的值随着x值的增大而减小9．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与一次函数y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则不等式组的解集为（）A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜1.5C．x＞﹣1D．x＞210．如图，直线y＝﹣x+5交坐标轴于点A、B，与坐标原点构成的△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，边O′B′与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为（）A．B．15C．10D．14二．填空题11．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＞x2，则y1y2（填“＞”或“＜”）．12．当m＝时，函数y＝（2m﹣1）x2m﹣2是正比例函数．13．一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象经过（0，3），且y随x增大而减小，则m＝．14．定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段P A最短，则线段P A的长度称为点P到图形W的距离，记为d（P，图形W）．例如，在图1中，原点O（0，0）与直线l：x＝3的各点连接的所有线段中，线段OA最短，长度为3，则d（O，直线x＝3）＝3．特别地，点P在图形W上，则点P到图形的距离为0，即d（P，图形W）＝0．①在平面直角坐标系中，原点O（0，0）与直线l：y＝x的距离d（O，y＝x）＝；②如图2，点P的坐标为（0，m）且d（p，y＝2x﹣2）＝，则m＝．15．如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线l n⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，……l n分别交于点A1，A2，A3，……A n；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，……l n分别交于点B1，B2，B3，……B n，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形A n﹣1A n B n B n﹣1的面积记作S n，那么S2020＝．16．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，4），作点C关于直线AB：y＝x+1的对称点D，则点D的坐标是．三．解答题17．已知函数y＝（m+2）x|m|﹣1+n+4．（1）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？（2）当m，n为何值时，此函数是一次函数？18．如图，已知直线y＝x+5与x轴交于点A，直线y＝kx+b与x轴交于点B（1，0），且与直线y＝x+5交于第二象限点C（m，n）．（1）若△ABC的面积为12，求点C的坐标及关于x的不等式的x+5＞kx+b解集；（2）求k的取值范围．19．如图，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3与y轴交于点A，直线y＝kx﹣1与y轴交于点B，与直线y＝2x+3交于点C（﹣1，n）．（1）求n、k的值；（2）求△ABC的面积．21．如图，已知一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线y ＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．①点C坐标是；②若点E是直线y＝x上的一个动点，且处于直线AB下方，当△APE是以∠EAP为直角的等腰直角三角形时，点E的坐标是．22．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝ax+7的图象相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图象于点B，交正比例函数的图象于点C，连接OB．（1）求a值；（2）设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；（3）当t＝2时，在正比例函数y＝x与一次函数y＝ax+7的图象上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM＝90°，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．点C为直角顶点，连接OC．（1）A点坐标为，B点坐标为．（2）请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究并证明OB+OA与CE的数量关系．（3）如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线y＝x+5于点P，求点P的坐标．。

五大类函数图像及性质总结

五大类函数图像及性质总结一次函数的图像是一条直线，写作形式为y=ax+b（a≠0），它的性质有以下几点：（1）任意两点确定一条直线，当给定任意两个点（x1,y1）,（x2,y2），则直线的斜率为：【m= (y1-y2)/(x1-x2)】（2）当x=0时，y=b，可以得出结论，一次函数图像通过原点。

（3）此外，一次函数图像也具有一定的对称性，当x=x时，y=b，则y=-(x-x)+b，图像对称轴为y=x。

二、二次函数图像及性质二次函数的图像为抛物线，写作形式为y=ax+bx+c（a≠0），它的性质有以下几点：（1）当x=0，y=c，可以得出结论，二次函数图像通过原点。

（2）当x=x,y=0时，判断抛物线是向上还是向下凹，只需判断系数a的正负性即可：若a>0，则抛物线向上凹；若a<0，则抛物线向下凹。

（3）此外，当y＝0时，可得出二次函数的两个根：【x = [-b± (b-4ac)]/(2a)】。

三、单调函数图像及性质单调函数的图像为一次或多次函数的图像，它的性质有以下几点：（1）单调函数图像在任意一点上发生的变化方向是确定的，不管是向上还是向下，它只能沿着一个方向变化；（2）单调函数图像满足单调性；（3）单调函数图像是连续变化图像，就是说图像在每到一个点处，图像均无折现现象。

四、指数函数图像及性质指数函数的图像为一条曲线，写作形式为y=ax（a≠0），它的性质有以下几点：（1）当x=0，y=a，可以得出结论，指数函数图像通过原点。

（2）指数函数图像具有一定的对称性，当x=x时，y=a，则y=a/x，图像对称轴为y=x。

（3）此外，指数函数与有理函数具有相同的极限性质，当x趋于正无穷时，y趋于正无穷；当x趋于负无穷时，y趋于零。

五、对数函数图像及性质对数函数的图像为一条曲线，写作形式为y=loga(x)（a>0，a≠1），它的性质有以下几点：（1）当x=1，y=loga(1)，可以得出结论，对数函数图像通过原点。

函数与图像的基本概念与性质

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。

2024年中考数学专题复习：一次函数的图像与性质-试卷

2024年中考数学专题复习：一次函数的图像与性质一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023•沈阳)一次函数y ＝-3x+1的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. (2023八上·太原期中)课堂上,同学们研究正比例函数y=-x 的图象时,得到如下四个结论,其中错误的是( )A.当x=0时,y=0,所以函数y=-x 的图象经过原点B.点P(t,-t)一定在函数y=-x 的图象上C.当x>0时,y<0,当x<0时,y>0,所以函数y=-x 的图象经过二、四象限D.将函数的图象向左平移2个单位,即可得到函数y=-x+2的图象3. (2023·太原模拟)已知y 是x 的正比例函数,当x ＝3时,y ＝－6,则y 与x 的函数关系式为( )A.y ＝2xB.y ＝－2xC.y ＝12 xD.y ＝－12x 4. (2023•柳州)若一次函数y ＝kx+b 的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.k ＞0B.b ＝2C.y 随x 的增大而增大D.x ＝3时,y ＝0 5. (2023·贵州毕节·二模)已知正比例函数y=kx(k ≠0)的图象过点(2,3),把正比例函数y=kx(k ≠0)的图象平移,使它过点(1,-1),则平移后的函数图象大致是( )A. B. C.D. 6. (2023秋•会宁县)已知关于x 的一次函数y ＝(k 2+1)x-2图象经过点A(3,m)、B(-1,n),则m,n 的大小关系为( )A.m ≥nB.m ＞nC.m ≤nD.m ＜n7. (2023·随州模拟)如图,在平面直角坐标系中,动点A,B 分别在x 轴上和函数y ＝x 的图象上,AB ＝4,CB ⊥AB,BC ＝2,则OC 的最大值为( )A.222B.224C.2 5D.2528. (2023·鄂州中考)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y ＝2x －1与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x 的不等式2x －1＞kx ＋b 的解集是( )A.x ＜2B.x ＜3C.x ＞2D.x ＞39. (2023•贵阳)小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线y ＝k n x+b n (n ＝1,2,3,4,5,6,7),其中k 1＝k 2,b 3＝b 4＝b 5,则他探究这7条直线的交点个数最多是( )A.17个B.18个C.19个D.21个10. (2023·湖南永州·中考真题)已知点P(x 0,y 0)和直线y=kx+b,求点P 到直线y=kx+b 的距离d 可用公式0021kx y b d k -+=+计算.根据以上材料解决下面问题:如图,⊙C 的圆心C 的坐标为(1,1),半径为1,直线l 的表达式为y=-2x+6,P 是直线l 上的动点,Q 是⊙C 上的动点,则PQ 的最小值是( )A.355B.3515-C.6515-D.2二、填空题（本大题共8道小题）11. (2023•毕节市)将直线y ＝-3x 向下平移2个单位长度,平移后直线的解析式为 .12. (2023·四川成都市)在正比例函数y=kx 中,y 的值随着x 值的增大而增大,则点P(3,k)在第_____象限.13. (2023·贵州黔西·二模)如图,平面直角坐标系中,经过点B(-4,0)的直线y ＝kx+b 与直线y ＝mx+2相交于点3(,1)2A --,则关于x 的方程mx+2＝kx+b 的解为________.14. (2023秋•宁化县)若函数y ＝4x ﹣1与y ＝﹣x+a 的图象交于x 轴上一点,则a 的值为( )A.4B.﹣4C.D.±415. (2023黔西南州)如图,正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P,点P 到x 轴的距离是2,则这个正比例函数的解析式是 .16. (2023·湖南湘西·中考真题)在平面直角坐标系中,O 为原点,点A(6,0),点B 在y 轴的正半轴上,∠ABO=30o .矩形CODE 的顶点D,E,C 分别在OA,AB,OB 上,OD=2.将矩形CODE 沿x 轴向右平移,当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为63时,则矩形CODE 向右平移的距离为___________.17. (2023•毕节市)如图,在平面直角坐标系中,点N 1(1,1)在直线l:y ＝x 上,过点N 1作N 1M 1⊥l,交x 轴于点M 1;过点M 1作M 1N 2⊥x 轴,交直线于N 2;过点N 2作N 2M 2⊥l,交x 轴于点M 2;过点M 2作M 2N 3⊥x 轴,交直线l 于点N 3;…,按此作法进行下去,则点M 2023的坐标为 .18. (2023•泰安)如图,点B 1在直线l:y ＝21x 上,点B 1的横坐标为2,过点B 1作B 1A 1⊥l,交x 轴于点A 1,以A 1B 1为边,向右作正方形A 1B 1B 2C 1,延长B 2C 1交x 轴于点A 2;以A 2B 2为边,向右作正方形A 2B 2B 3C 2,延长B 3C 2交x 轴于点A 3;以A 3B 3为边,向右作正方形A 3B 3B 4C 3,延长B 4C 3交x 轴于点A 4;…;照这个规律进行下去,则第n 个正方形A n B n B n+1∁n 的边长为 (结果用含正整数n 的代数式表示).三、解答题（本大题共6道小题）19. (2023秋•安徽月考)已知经过点A(4,-1)的直线y ＝kx+b 与直线y ＝-x 相交于点B(2,a),求两直线与x 轴所围成的三角形的面积.20. (2023春•西丰县)如图,一次函数y＝kx+b的图象经过A(2,4),B(﹣2,﹣2)两点,与y轴交于点C.(1)求k,b的值,并写出一次函数的解析式;(2)求点C的坐标.21. (2023秋•兰州)如图,直线l1:y＝-x+4分别与x轴,y轴交于点D,点A,直线l2:y x+1与x轴交于点C,两直线l1,l2相交于点B,连AC.(1)求点B的坐标和直线AC的解析式;(2)求△ABC的面积.22. (2023•滨州)如图,在平面直角坐标系中,直线y x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P,并分别与x轴相交于点A、B.(1)求交点P的坐标;(2)求△PAB的面积;(3)请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y x﹣1上方的部分描黑加粗,并写出此时自变量x的取值范围.23. (2023·河北中考真题)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l ,如图.而某同学为观察k,b 对图象的影响,将上面函数中的k 与b 交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l '.(1)求直线l 的解析式; (2)请在图上画出．．直线l '(不要求列表计算),并求直线l '被直线l 和y 轴所截线段的长; (3)设直线y=a 与直线l ,l '及y 轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接．．写出a 的值.24. (2023•黑龙江)如图,矩形ABOC 在平面直角坐标系中,点A 在第二象限内,点C 在y 轴正半轴上,OA 2-9x+20＝0的两个根.解答下列问题:(1)求点A 的坐标;(2)若直线MN 分别与x 轴,AB,AO,y 轴交于点D,M,F,N,E,S △AMN ＝2,tan ∠AMN ＝1,求直线MN 的解析式;(3)在(2)的条件下,点P 在第二象限内,使以E,F,P,Q 为顶点的四边形是正方形？若存在;若不存在,请说明理由.。

数学公式知识：函数图像的性质与特点

数学公式知识：函数图像的性质与特点函数图像是数学中比较重要的一个概念，它具有多种性质和特点。

在本文中，我们将重点论述函数图像的性质与特点。

一、函数图像的定义和基本形态函数是一个规定了自变量与因变量之间关系的集合。

当自变量取遍不同的值时，函数的值也会随之变化。

函数的图像就是由函数的自变量和因变量构成的点的集合，每个点的坐标是(x,y)，其中x表示自变量的值，y表示函数的值。

函数图像的基本形态包括以下几种：1.直线函数图像：直线函数的图像是一条直线，表现出自变量和因变量之间的线性关系。

2.二次函数图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线，表现出自变量和因变量之间的二次关系。

3.反比例函数图像：反比例函数的图像是一个双曲线，表现出自变量和因变量之间的反比例关系。

4.正弦函数图像：正弦函数的图像是一条波浪线，表现出自变量和因变量之间的正弦函数关系。

二、函数图像的性质函数图像具有多种性质，这些性质不仅能够帮助我们更好地理解函数图像，还能够帮助我们解决一些函数相关的问题。

以下是函数图像的一些常见性质：1.奇偶性：如果一个函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=f(x)，那么该函数就是偶函数；如果函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=-f(x)，那么该函数就是奇函数。

2.周期性：如果函数图像在x=a处存在一个正数T，使得f(a+x)=f(a+x+T)，那么该函数就是具有周期性的。

3.对称性：函数图像可以具有多种对称性，其中最常见的有x轴对称和y轴对称。

4.单调性：如果函数图像随着自变量的增加而单调递增或递减，那么该函数就是具有单调性的。

5.渐近线：函数图像可能会逐渐接近某个数值或者一条直线，我们称其为渐近线。

6.极值点：函数图像可能会在某些点处取得最大值或最小值，我们称其为极值点。

三、函数图像的特点除了上述常见的函数图像性质外，函数图像还有很多独特的特点。

函数性质图像知识点总结

函数性质图像知识点总结一、函数的定义在数学上，函数可以定义为一种特殊的关系，它将输入（自变量）映射到输出（因变量）。

具体来说，如果对于每一个自变量值，函数都有唯一的对应因变量值，那么这个关系就是一个函数。

形式上，我们可以用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。

例如，y = 2x + 3就是一个函数，其中y是因变量，x是自变量。

二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。

在图像上，定义域通常表示为x轴上的取值范围，而值域则表示为y轴上的取值范围。

例如，对于函数f(x) = x²，其定义域为所有实数，而值域为非负实数集合。

2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数是函数的对称性质。

如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就是偶函数。

奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。

3.单调性函数的单调性是指在定义域上，函数值的增减关系。

如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)就是递减的。

4.周期性如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数。

其中最小的T称为函数的周期，通常用P来表示。

常见的周期函数有sin(x)和cos(x)。

5.有界性函数的有界性是指函数值的范围限制。

如果存在两个实数M和N，使得对于任意的x，有|f(x)| ≤ M，那么函数f(x)就是有界的。

如果函数在定义域上有上界和下界，则称为有界函数。

6.反函数若对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。

函数的图像与性质

函数的图像与性质函数是数学领域中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

函数的图像是指函数的输入与输出之间的关系在坐标平面中所形成的图形。

函数的图像不仅反映了函数的性质，还能帮助我们更好地理解和应用函数。

一、函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的图表或者绘制函数的曲线来展示。

在绘制函数的图像时，我们通常使用直角坐标系，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。

例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过选取不同的x值，计算出对应的f(x)值，并将这些点在坐标平面上连接起来，就得到了函数f(x) = x^2的图像。

这个图像是一个抛物线，开口朝上，并且经过点(0,0)。

二、函数的性质函数的图像可以反映函数的一些重要性质，例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入可能取值的范围，而值域是指函数的输出可能取值的范围。

通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。

2. 奇偶性：一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = -f(x)；一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = f(x)。

通过观察函数的图像，我们可以确定函数的奇偶性。

3. 单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是增函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)；一个函数在其定义域内的某个区间上是减函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)。

通过观察函数的图像，我们可以确定函数的单调性。

三、函数图像的应用函数的图像不仅仅是一种美观的几何形状，它还能帮助我们更好地理解和应用函数。

1. 函数的最值：通过观察函数的图像，我们可以确定函数的最大值和最小值。

最大值和最小值对于解决实际问题和优化函数的应用非常重要。

2. 函数的零点：函数的零点是指使得函数等于零的输入值。

在函数的图像上，零点对应的是函数与横轴的交点。

(完整版)高中的常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x ）=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x ）的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0，b ∈R ）1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k ｜越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定义域:R 值域:R单调性：当k 〉0时；当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f （x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x ）没有奇偶性；反函数:有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候)。

补充：反函数定义：例题:定义在r y=f （x ）； y=g （x ）都有反函数,且f （x-1）和g —1(x ）函数的图像关于y=x 对称，若f （4）=周期性:无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：xy b Of (x )=bx yOf (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f (x ）=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远）图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k 〉0时，函数f (x ）的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x ）的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性:无奇偶性：奇函数反函数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积)—-入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1）、y=1/（x —2）和y=1/x —2的图像移动比较 2)、y=1/(—x)和y=—（1/x)图像移动比较3）、f （x ）= dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0）（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容)二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当0<a 时。

函数的性质和图像

函数的性质和图像函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数的性质和图像是我们理解和研究函数的重要工具。

首先，让我们来谈谈函数的定义。

简单来说，如果对于给定的一个变量 x 的取值范围，都有唯一确定的变量 y 的值与之对应，那么我们就说 y 是 x 的函数。

比如说，y ＝ 2x 就是一个函数，当 x 取 1 时，y就是 2；x 取 2 时，y 就是 4，而且对于每个 x 的值，对应的 y 值都是唯一确定的。

函数的性质有很多，其中单调性是一个关键的性质。

单调性指的是函数值随着自变量的增大是增大还是减小。

如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减的。

比如说，一次函数 y ＝2x 就是单调递增的，而 y ＝－2x 就是单调递减的。

再来说说奇偶性。

如果对于函数 f(x)，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果 f(x) ＝ f(x)，那就是奇函数。

偶函数的图像关于y 轴对称，比如 y ＝ x²；奇函数的图像关于原点对称，比如 y ＝ x³。

还有周期性。

如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。

像正弦函数 y ＝ sin x 就是周期函数，其周期为2π。

接下来，我们聊聊函数的图像。

函数的图像可以直观地展现函数的性质。

以一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，它的图像是一条直线。

我们可以通过找两个点，比如当 x ＝ 0 时，y ＝ 1；当 x ＝ 1 时，y ＝ 3，然后连接这两个点就得到了函数的图像。

从图像上，我们可以很容易地看出这个函数是单调递增的。

二次函数 y ＝ x²的图像是一条抛物线。

它的顶点在原点，开口向上。

通过图像，我们能清楚地看到函数的最小值在顶点处取得。

函数的图像和性质

用到数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，用好这些思想方法解题就会事半功倍。
函数的图象和性质专题复习
课堂练习
1. 设函数 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ，则 f ( x) 是（ A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数，且在 (0,1) 上是增函数
函数的图象和性质
专题复习
董波
重庆市江津第八中学校
函数的图象和性质专题复习
学过的初等函数
一次函数二次函数指数函数对数函数
反比例函数
三角函数
幂函数
……….
函数的图象和性质专题复习
函数的主要性质
定义域值域奇偶性周期性
最值
单调性
对称性
………
函数的图象和性质专题复习
考向分析
函数的图象和性质
y 的取值范围是 x 1
3 0， 4
作图分析
函数的图象和性质专题复习
考点突破
y

-1
3 k= 4
.
o
1 2
k=0

x
函数的图象和性质专题复习
考点二：函数的性质
考点突破
2
例 2.已知函数 f ( x) x sin x( x R) ，且 f ( x 3x) f ( x 8) 0 ，
有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围为
1 由方程t bt 1 0得b t ， t 典型错误！！！且t 0,4 ，则b 2, .
2
函数的图象和性质专题复习
考点突破
分析：方程t bt 1 0有两不同根t 、t , 1, 且t t b,t t 1, 对于b t 1 中的 t 和 t t 就应视为t ,t ,

初中数学函数三大专题复习

初中数学函数三大专题复习
一、函数的定义与性质
1. 函数的定义：函数是一个将一个集合的每一个元素映射到另
一个集合的规则。

2. 函数的性质：
- 定义域：函数定义中的所有可能输入的集合称为定义域。

- 值域：函数所有可能的输出值的集合称为值域。

- 单调性：函数是递增的或递减的，称为函数的单调性。

- 奇偶性：函数在定义域内的奇偶性可以根据函数的对称性来
确定。

二、函数的图像与性质
1. 函数的图像：函数的图像是表示函数值和自变量之间对应关
系的图形。

2. 基本函数的图像：
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图像特点。

- 图像的对称性特点，如奇函数关于原点对称，偶函数关于y
轴对称。

3. 函数的性质与图像：
- 函数的最大值和最小值可以通过图像上的关键点来确定。

- 函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。

三、函数的运算与应用
1. 函数之间的运算：
- 函数的加法、减法、乘法和除法的定义与性质。

- 复合函数的概念和计算方法。

2. 函数的应用：
- 实际问题中常用的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数等。

- 函数的图像在实际问题中的应用，如求函数的最小值、最大值等。

总结：
初中数学函数的三大专题复习包括函数的定义与性质、函数的图像与性质以及函数的运算与应用。

掌握这些知识可以帮助我们理解函数的基本概念和特点，提高数学问题的解题能力。

三角函数复习专题专题一、三角函数的图像和性质

｜，
进行图像变换．利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，
２．三角函数的单调区间：
但先伸缩后平移也经常出现．无论哪种变形．请切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看 “ 变
厶厶
ｙ＝ｓｉｎｘ的递增区间是［２Ｊｊ｝７ｒ一７１＂，２ｋｃｒ＋］（ｋ ∈ Ｚ），
二
３￣ｒ
２／
／＿７ｒ一
２
Ｄ
仃／／７ｒ３７ｒ
线ｙ＝Ｂ的交点都是该图像的对称中心．４．由ｙ＝ｓｉｎｘ的图像变换出ｙ＝ｓｉｎ（ｗｘ＋￣）的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活
为基本三角函数的标准式，要特别注意Ａ、 ∞的正负，
Ｃ
Ｄ
考虑特殊点．：仃时，ｙ＝一７ｒ＜０，排除Ａ，再考虑Ｃ，
Ｄ．再考虑为一个很小的正数时，ｙ＞０．所以选Ｄ．评析：高考关于三角函数图像的考察有时会出现个非常规函数．这时主要思考的方向是考虑函数的性质．有时结合特殊点进行排查．
二、知识点精讲
、
考点归纳
１．能画出ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ的图像，了解三角函数的周期性：
２．理解正弦函数、余弦函数在［０，２７ｒ］，正切
函数在（一，
二二
）上的性质（如单调性、最大值和

高考数学复习考点题型专题讲解29 函数的图象与性质

高考数学复习考点题型专题讲解专题29 函数的图象与性质高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.1.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝11＋2x，则对任意实数x，有( )A.f(－x)＋f(x)＝0B.f(－x)－f(x)＝0C.f(－x)＋f(x)＝1D.f(－x)－f(x)＝1 3答案 C解析函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝11＋2－x ＝2x1＋2x，所以f(－x)＋f(x)＝2x1＋2x＋11＋2x＝1，故选C.2.(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cos x在区间[－π2，π2]的图象大致为( )答案 A解析法一(特值法) 取x ＝1，则y ＝(3－13)cos 1＝83cos 1＞0 ；取x ＝－1，则y ＝(13－3)cos(－1)＝－83cos 1＜0.结合选项知选A. 法二令y ＝f (x )，则f (－x )＝(3－x －3x )cos(－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )，所以函数y ＝(3x －3－x )cos x 是奇函数，排除B ，D ；取x ＝1，则y ＝(3－13)cos 1＝83cos 1＞0，排除C.故选A.3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )，f (1)＝1，则∑22k ＝1f (k )＝( ) A.－3 B.－2 C.0 D.1 答案 A解析因为f (1)＝1，所以在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中，令y ＝1，得f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )f (1)，所以f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )，① 所以f (x ＋2)＋f (x )＝f (x ＋1).② 由①②相加，得f (x ＋2)＋f (x －1)＝0，故f (x ＋3)＋f (x )＝0，所以f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为6. 在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中，令y ＝0，得f (x )＋f (x )＝f (x )f (0)，所以f (0)＝2.令x ＝y ＝1，得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)，所以f (2)＝－1. 由f (x ＋3)＝－f (x )，得f (3)＝－f (0)＝－2，f (4)＝－f (1)＝－1，f (5)＝－f (2)＝1，f (6)＝－f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，∑22k ＝1f (k )＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. 4.(2021·新高考Ⅰ卷)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________. 答案 1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞). ①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x.当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，显然f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1. 综上，f (x )min ＝1.热点一函数的概念与表示1.复合函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域.(2)若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域. 2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.例1 (1)(2022·济宁质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0，则f (f (－1))＝()A.－2B.2C.－12D.12(2)已知函数f (x )＝x 1－2x，则函数f （x －1）x ＋1的定义域为( )A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(－∞，－1)∪(－1，1) 答案 (1)A (2)D解析(1)∵f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0，∴f (－1)＝22＝4，∴f (f (－1))＝f (4)＝log 124＝－2，故选A.(2)令1－2x >0，即2x <1，即x <0. ∴f (x )的定义域为(－∞，0). ∴函数f （x －1）x ＋1中，有⎩⎨⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1. 故函数f （x －1）x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1).规律方法 1.形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 训练1 (1)设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数.若f (x )的图象绕原点按逆时针方向旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A.3B.32C.33D.0 (2)(2022·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－e x，x ＞0，x 2＋2x ＋4，x ≤0.若f (f (a ))＝4，则a ＝________.答案 (1)B (2)ln 2解析 (1)根据题设知，函数f (x )的图象绕原点按逆(顺)时针方向旋转k π6(k ＝0，1，…，11)后仍与原图象重合.若f (1)＝0，即点A (1，0)是f (x )的图象上的点，将其分别绕原点按逆(顺)时针方向旋转π6，得到点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12和A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12两点，它们都在f (x )的图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝±12，与函数的定义矛盾，所以排除D ；类似地，若f (1)＝33，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33绕原点按顺时针方向旋转π3，可得f (1)＝－33；若f (1)＝3，可得f (1)＝－3，都不符合函数的定义，故选B. (2)∵x ＞0时，f (x )＝－e x ＜0，x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3， ∴由f (x )＝4，得x 2＋2x ＋4＝4(x ≤0)，解得x ＝0或x ＝－2， ∴f (a )＝0不存在，舍去，∴f (a )＝－2，则－e a ＝－2，解得a ＝ln 2. 热点二函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)； f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x ).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称.(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于(a ，b )对称.考向1 奇偶性与单调性例2 若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3] 答案 D解析因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，画出函数f (x )的大致图象如图(1)所示，则函数f (x －1)的大致图象如图(2)所示.当x ≤0时，要满足xf (x －1)≥0，则f (x －1)≤0，得－1≤x ≤0. 当x ＞0时，要满足xf (x －1)≥0，则f (x －1)≥0，得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 考向2 奇偶性、周期性与对称性例3 (1)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( )A.－94B.－32C.74D.52(2)(2022·全国乙卷)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7.若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，g (2)＝4，则∑22k ＝1f (k )＝( ) A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 答案 (1)D (2)D解析 (1)由于f (x ＋1)为奇函数，所以函数f (x )的图象关于点(1，0)对称，即有f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0，即a ＋b ＝0.①由于f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，即有f (x )－f (4－x )＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a －b ＋a ＋b ＝－3a ＝6.② 根据①②可得a ＝－2，b ＝2，所以当x ∈[1，2]时，f (x )＝－2x 2＋2.根据函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f (x )的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2＝52.(2)由y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，可得g (2＋x )＝g (2－x ).由g (x )－f (x －4)＝7得g (2＋x )－f (x －2)＝7，又f (x )＋g (2－x )＝5即f (x )＋g (2＋x )＝5，所以f (x )＋f (x －2)＝－2，由f (x )＋f (x －2)＝－2得f (x －2)＋f (x －4)＝－2，所以f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数. 由f (x )＋g (2－x )＝5可得f (0)＋g (2)＝5，又g (2)＝4，所以可得f (0)＝1，又f (x )＋f (x ＋2)＝－2，所以f (0)＋f (2)＝－2，f (－1)＋f (1)＝－2，得f (2)＝－3，f (1)＝f (－1)＝－1，又f (3)＝f (－1)＝－1，f (4)＝f (0)＝1，所以∑22k ＝1f (k )＝6f (1)＋6f (2)＋5f (3)＋5f (4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.规律方法 1.若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），其中f (x )≠0，则f (x )的周期为2|a |.2.若f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称，则f (x )的周期为2|a －b |.3.若f (x )的图象关于点(a ，0)和直线x ＝b 对称，则f (x )的周期为4|a －b |.训练2 (1)(2022·西安模拟)设y ＝f (x )是定义在R 上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是( ) A.y ＝f (x )为[0，＋∞)上的减函数 B.y ＝f (x )为(－∞，0]上的增函数 C.y ＝f (x ＋1)为偶函数 D.f (0)不是函数的最大值(2)(2022·台州模拟)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，f (5.5)＝2，g (x )＝(x －1)f (x ).若g (x ＋1)是偶函数，则g (－0.5)＝( ) A.－3 B.－2 C.2 D.3答案(1)A (2)D解析(1)由y＝f(x＋1)为偶函数，得函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，假设A，B正确，则有f(x)max＝f(0)，所以D错误，y＝f(x＋1)不可能为偶函数，由此判断出C，D错误，与已知矛盾，由此判断答案A，B中一个正确一个错误，C，D正确，而A，C矛盾，由此确定A错误.(2)因为g(x)＝(x－1)f(x)，g(x＋1)是偶函数，所以g(x＋1)＝xf(x＋1)是偶函数，因为y＝x是奇函数，所以f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，用－x－1替换x，得f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x)为R上偶函数，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，所以g(－0.5)＝－1.5f(－0.5)＝1.5f(1.5)＝1.5f(5.5)＝1.5×2＝3.热点三函数的图象1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等问题.例4 (1)(2022·上饶二模)函数f(x)＝x2x＋2－x的大致图象为( )(2)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案(1)B (2)D解析(1)f(－x)＝－x2－x＋2x＝－f(x)，函数为奇函数，排除C；0＜f(2)＝222＋2－2＜24＝12，排除AD，故选B.(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图. 由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).规律方法确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.训练3 (1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )A.y ＝－x 3＋3x x 2＋1B.y ＝x 3－x x 2＋1C.y ＝2x cos x x 2＋1D.y ＝2sin xx 2＋1(2)(2022·佛山质检)函数f (x )＝2（x －b ）2a的图象如图所示，则( )A.a >0，0<b <1B.a >0，－1<b <0C.a <0，－1<b <0D.a <0，0<b <1 答案 (1)A (2)D解析 (1)对于选项B ，当x ＝1时，y ＝0，与图象不符，故排除B ；对于选项D ，当x ＝3时，y ＝15sin 3＞0，与图象不符，故排除D ；对于选项C ，当0＜x ＜π2时，0＜cos x ＜1，故y ＝2x cos x x 2＋1＜2x x 2＋1≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.(2)由题图可知，f (0)＝2b 2a <1＝20，故b 2a <0，故a <0，函数f (x )＝2（x －b ）2a的图象关于直线x ＝b 对称，由题图可知，0<b <1，故选D.一、基本技能练1.(2022·重庆八中测试)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 的定义域为( ) A.(－2，3] B.[－2，3] C.(0，3] D.(0，3) 答案 A解析函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 有意义需满足⎩⎨⎧x ＋2>0，3－x ≥0，解得－2<x ≤3.2.(2022·海南模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝ln x B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1 D.y ＝3－|x | 答案 B解析对于A ，函数y ＝ln x 定义域是(0，＋∞)，不是偶函数，A 不是；对于B ，函数y ＝|x |＋1定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 是；对于C ，函数y ＝－x 2＋1定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 不是；对于D ，函数y ＝3－|x |定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，D 不是.故选B.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋2，x ＞0，－x ＋a ，x ≤0的值域为[1，＋∞)，则a 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析由已知得当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，值域为[1，＋∞)；当x ≤0时，f (x )＝－x ＋a ，值域为[a ，＋∞)； ∵函数f (x )的值域为[1，＋∞)， ∴a ≥1，则a 的最小值为1.故选A.4.函数f (x )＝ln |x |＋1＋cos x 在[－π，π]上的大致图象为( )答案 C解析由题知f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，排除A ；f (π)＝ln π＋1－1＜ln e －1＝0，排除B ，D.故选C.5.(2022·梅州二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（6－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 26)＝( ) A.2 B.6C.8D.10 答案 B解析因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2（6－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1.所以f (－2)＝log 28＝3，f (log 26)＝2log 26－1＝3，所以f (－2)＋f (log 26)＝6.故选B.6.已知函数f (x )＝－x |x |，且f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0，则实数m 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞答案 D解析对f (x )＝－x |x |，其定义域为R ，且f (－x )＝x |x |＝－f (x )，故f (x )为R 上的奇函数；又当x ＞0时，f (x )＝－x 2，其在(0，＋∞)单调递减；当x ＜0时，f (x )＝x 2，其在(－∞，0)单调递减；又f (x )是连续函数，故f (x )在R 上是单调递减函数；则f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0，即f (m ＋2)＜f (1－2m )，则m ＋2＞1－2m ，解得m ＞－13.故选D.7.(2022·金华质检)已知定义域为R 的偶函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( )A.－32B.－1C.1D.32答案 C解析因为函数f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f (x )＝f (－x )，又因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (2－x )＝f (x )，则f (2－x )＝f (－x )，即f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )的周期为T ＝2. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1. 8.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (x )≥12的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋12，2k ＋32(k ∈Z )答案 C解析由题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )是周期为4的函数，又由f (x )为R 上的奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称，因为当0≤x ≤1时f (x )＝x ，可得函数f (x )的图象，如图所示，当x ∈[－1，3]时，令f (x )＝12，解得x ＝12或x ＝32，所以不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z ).故选C.9.(多选)(2022·漳州一模)已知函数f (x )＝2xx 2＋9，则( )A.f (x )的定义域为RB.f (x )是偶函数C.函数y ＝f (x ＋2 022)的零点为0D.当x ＞0时，f (x )的最大值为13答案 AD解析对A ，由解析式可知f (x )的定义域为R ，故A 正确；对B ，因为f (x )＋f (－x )＝2x x 2＋9＋－2xx 2＋9＝0，可知f (x )是奇函数，故B 不正确；对C ，y ＝f (x ＋2 022)＝2（x ＋2 022）（x ＋2 022）2＋9＝0，得x ＝－2 022，故C 不正确；对D ，当x ＞0时，0＜f (x )＝2x x 2＋9＝2x ＋9x≤22x ·9x＝13，当且仅当x ＝3时取等号，故D 正确.故选AD.10.(多选)对于函数f (x )＝x |x |＋x ＋1，下列结论中错误的是( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )在定义域上是单调递减函数C.f (x )的图象关于点(0，1)对称D.f (x )在区间(0，＋∞)上存在零点答案 ABD解析 f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ＋1，x ＜0，x 2＋x ＋1，x ≥0，由图象可知，图象关于点(0，1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(0，＋∞)上没有零点. 故选ABD.11.(2022·盐城质检)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 27)＝________. 答案－17解析因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 27)＝－f (－log 27)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 217＝－2log 217＝－17.12.(2022·赤峰模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )＝________. ①f (－x )＝f (x )；②当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0；③f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2). 答案 x 2(答案不唯一)解析由题意，要求f (x )为偶函数且值域为(0，＋∞). 若满足f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，则f (x )可以为幂函数，则有f (x )＝x 2满足条件. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·沈阳模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，若当x ∈[0，2]时，f (x )＝12log 3(x ＋a 2)，下列结论正确的是( )A.a ＝1B.f (1)＝f (3)C.f (2)＝f (6)D.f (2 022)＝－12答案 BD解析根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (－x )＝f (4＋x )，即有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝12log3(x＋a2)，可得f(0)＝12log3a2＝0，所以a2＝1，a＝±1，A错；由f(x＋4)＝f(－x)，可得f(1)＝f(3)，B正确；f(6)＝f(－2)＝－f(2)，C错；f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－12log3(2＋1)＝－12，D正确.故选BD.14.(多选)(2022·济南二模)已知函数f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(2－x)，则下列结论一定正确的是( )A.f(x)的图象关于点(－2，0)中心对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称D.f(x＋4)为偶函数答案AD解析因为f(x＋2)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(－2，0)中心对称和关于直线x＝4轴对称，所以f(x＋4)为偶函数.故选AD.15.(多选)(2022·泰州模拟)已知定义在R上的单调递增函数f(x)满足：任意x∈R，有f(1－x)＋f(1＋x)＝2，f(2＋x)＋f(2－x)＝4，则( )A.x∈Z时，f(x)＝xB.任意x∈R，f(－x)＝－f(x)C.存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x＋T)＝f(x)D.存在非零实数c，使得任意x∈R，|f(x)－cx|≤1答案ABD解析对于A，令t＝1－x，则x＝1－t，则f(t)＋f(2－t)＝2，即f(x)＋f(2－x)＝2，又f(2＋x)＋f(2－x)＝4，∴f(x＋2)＝4－f(2－x)＝4－(2－f(x))＝f(x)＋2；令x＝0，得f(1)＋f(1)＝2，f(2)＋f(2)＝4，∴f(1)＝1，f(2)＝2，则由f(x＋2)＝f(x)＋2可知：当x∈Z时，f(x)＝x，A正确；对于B，令t＝－(1－x)，则x＝1＋t，则f(－t)＋f(2＋t)＝2，即f(－x)＋f(2＋x)＝2，∴f(－x)＝2－f(2＋x)＝2－(4－f(2－x))＝f(2－x)－2，由A的推导过程知：f(2－x)＝2－f(x)，∴f(－x)＝2－f(x)－2＝－f(x)，B正确；对于C，∵f(x)在R上的增函数，∴当T>0时，x＋T>x，则f(x＋T)>f(x)；当T<0时，x＋T<x，则f(x＋T)<f(x)，∴不存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x＋T)＝f(x)，C错误；对于D，当c＝1时，|f(x)－cx|＝|f(x)－x|；由f(1－x)＋f(1＋x)＝2，f(2＋x)＋f(2－x)＝4知，f(x)关于(1，1)，(2，2)成中心对称，则当a∈Z时，(a，a)为f(x)的对称中心；当x∈[0，1]时，∵f(x)为R上的增函数，f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(x)∈[0，1]，∴|f(x)－x|≤1；由图象对称性可知：此时对任意x∈R，存在非零实数c，|f(x)－cx|≤1，D正确.故选ABD.16.(多选)(2022·杭州质检)已知函数f(x)＝lg(x2－2x＋2－x＋1)，g(x)＝2x＋62x＋2，则下列说法正确的是( )A.f(x)是奇函数B.g(x)的图象关于点(1，2)对称C.若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[1－m，1＋m]上的最大值、最小值分别为M，N，则M ＋N＝4D.令F(x)＝f(x)＋g(x)，若F(a)＋F(－2a＋1)>4，则实数a的取值范围是(－1，＋∞)答案BCD解析对于A，因为x2－2x＋2－x＋1＝（x－1）2＋1－(x－1)>0恒成立，所以函数f(x)的定义域为R.因为f(0)＝lg(2＋1)≠0，所以f(x)不是奇函数，故A选项错误；对于B，将g(x)的图象向下平移2个单位长度得y＝2x＋62x＋2－2＝2－2x2＋2x，再向左平移1个单位长度得h(x)＝2－2x＋12＋2x＋1＝1－2x1＋2x，h (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－h (x )，所以h (x )的图象关于(0，0)对称，所以g (x )的图象关于(1，2)对称，所以B 正确；对于C ，将f (x )的图象向左平移1个单位长度得m (x )＝lg(x 2＋1－x ).因为m (－x )＋m (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋lg(x 2＋1－x )＝lg 1＝0，所以m (x )是奇函数，则f (x )关于(1，0)对称，所以F (x )＝f (x )＋g (x )若在1＋m 处取得最大值，则F (x )在1－m 处取得最小值，则F (1＋m )＋F (1－m )＝f (1＋m )＋f (1－m )＋g (1＋m )＋g (1－m )＝0＋4＝4，所以C 正确；对于D ，F (a )＋F (－2a ＋1)>4⇔f (a )＋f (1－2a )＋g (a )＋g (1－2a )>4，f (x )＝lg[（x －1）2＋1－(x －1)].设m (x )＝lg(x 2＋1－x )，t ＝x 2＋1－x ，因为t ′＝x x 2＋1－1＝－x 2＋1＋x x 2＋1<0，所以t ＝x 2＋1－x 为减函数，所以m (x )＝lg(x 2＋1－x )为减函数，所以f (x )为减函数.又g (x )＝2x＋62x ＋2＝1＋42x ＋2为减函数，所以F (x )为减函数. 由C 项知F (x )关于点(1，2)对称，所以F (a )＋F (－2a ＋1)>4＝F (a )＋F (2－a )，所以F (－2a ＋1)>F (2a )，则－2a ＋1<2－a ，解得a >－1，所以D 正确，故选BCD.17.(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______.答案－12ln 2 解析 f (x )＝ln|a ＋11－x|＋b ，若a ＝0，则函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以a ≠0.由函数解析式有意义可得：x ≠1且a ＋11－x ≠0，所以x ≠1且x ≠1＋1a. 因为函数f (x )为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以1＋1a ＝－1，解得a ＝－12，所以f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 2（1－x ）＋b ，定义域为{x |x ≠1且x ≠－1}. 由f (0)＝0，得ln 12＋b ＝0，所以b ＝ln 2，即f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋11－x ＋ln 2＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 1－x ，在定义域内满足f (－x )＝－f (x )，符合题意.18.(2022·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0，则f (f (－ln 2))＝________；当x ∈(－∞，m ]时，函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，14，则m 的取值范围是________.答案 e －12－1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1＋52解析 ∵－ln 2＜0，∴f (－ln 2)＝e －ln 2－1＝12－1＝－12，又－12＜0，f (f (－ln 2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e －12－1或e e －1；当x ≤0时，f (x )∈(－1，0]，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，且在x ＝12时，函数f (x )取得最大值14，根据函数表达式，绘制函数图象如下：当f (x )＝－1时，－x 2＋x ＝－1，解得x ＝1＋52，要使f (x )的值域在x ∈(－∞，m ]时是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，14，则必须m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1＋52.。

(名师整理)最新中考数学专题复习《一次函数的图象与性质》精品教案

中考数学人教版专题复习：一次函数的图象与性质考点考纲要求分值考向预测一次函数的图象与性质1. 理解函数、变量，正比例函数、一次函数定义；2. 掌握函数图象的性质，能够画出相应的函数图象；3. 掌握图象的运动变化规律，并能应用性质解决问题5～15分主要考查方向是自变量的取值范围，函数图象的性质，动点变化形成的图象，应用函数图象性质解决问题。

其中动点与图象问题难度较大一次函数1. 函数概念：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y 称为因变量，y是x的函数。

用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式。

提示：判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。

【方法指导】自变量的取值范围：（1）关系式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；1（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。

【随堂练习】x中的自变量x的取值范围是（）（济宁）函数y=x1A. x≥0B. x≠﹣1C. x＞0D. x≥0且x≠﹣1答案：解：根据题意得：x≥0且x+1≠0，解得x≥0，故选：A。

2. 一次函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

【重要提示】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，实际问题中要根据函数的实际意义来确定。

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数。

高中数学-函数图像详解

高中数学-函数图像详解基本初等函数的图像1. 一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减2. 二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac 决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。

3. 反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。

要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。

4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图< span>不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。

5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6. 幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。

< span>7. 对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。

函数图形的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看。

通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。

高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质一、单选题1．将函数sin 2()4y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为（） A ．cos y x =B ．cos 4y x =C ．sin y x =D ．sin 4y x =2．若函数()()sin 046f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则ω=（）A ．2B ．12C ．1D ．33．函数π()sin 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的解析式为（）A ．()sin 2g x x =B ．π()sin(2+)4g x x =C ．π()sin(2)4g x x =-D ．3π()sin(2)4g x x =+4．已知函数()sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>得到.若方程1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则ω的取值范围是（）A ．195,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．195,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2913,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2913,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位，恰与()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的取值可能是（）A ．3π B ．512π C ．2π D ．712π 6．为了得到sin 2y x =，x ∈R 的图象，只需把cos 2y x =，x ∈R 图像上所有的点（）． A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度7．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若()()129g x g x ⋅=，且[]12,0,2x x π∈，则12x x -的值为（）A ．2πB ．πC ．2π D ．4912π8．设函数()sin (0)6f x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象如图，则函数f （x ）的图象的对称轴方程为（）A ．3x k ππ=+（k ∈Z ） B ．26k x ππ=+（k ∈Z ） C ．26k x ππ=-（k ∈Z ） D ．3x k ππ=-（k ∈Z ）9．已知函数()πsin()cos 3x f x x =+的图像向右平移3π个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若()()()121214g x x x x g ⋅=≠，则12||x x -的最小值为（） A ．π 4B ．2πC ．πD ．2π10．已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()sin g x x =，要得到函数()y f x =的图象，只需将函数y g x 的图象上的所有点（）A ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π3个单位得到B ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π6个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位得到11．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移3π个单位； B ．向左平移6π个单位；C ．向右平移3π个单位； D ．向右平移6π个单位12．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①3πϕ=；②()f x 在区间,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 的一条对称轴为512x π=；④要想将()f x 变成一个偶函数，可以将()f x 的图象向左平移12π个单位.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．将函数()sin 2f x x =的图像向左平移()0ϕϕ>个单位得到函数()cos2g x x =的图像，则ϕ的最小值是________．14．已知函数1()4sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，且当x ∈1,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()[]2,4g x ∈-，则a 的取值范围是________.15．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为________．16．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称； ③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是________ 三、解答题 17．已知函数sin ωφf xA xB （其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及其递增区间；（2）若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，求实数m 的最小值.18．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示：（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值及函数取最大值时相应的x 值．19．已知函数()()sin (0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()((0,))2g x f x t t π=+∈为偶函数，求t 的值.20．已知函数()2sin f x x ω=其中常数0>ω.（1）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中，求b a -的最小值.21．某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的122x x y ,,及函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式及()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的定义域.22．已知函数()2cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<．（1）若π=ϕ，完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f （x ）在[0,]π上的图象；（2）若f （x ）为奇函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．参考答案1．D 【分析】根据图象平移，伸缩变换的原则，结合所给方程，化简整理，即可得答案. 【详解】将sin 2()4y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向右平移8π个单位长度，得到图象的解析式为sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将sin 2y x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为sin 4y x =，故选：D ． 2．A 【分析】先求出平称后的函数解析式，再由其图像关于y 轴对称，可得其为偶函数，从而可求出ω的值【详解】解：函数()()sin 046f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后的解析式为sin sin 3636y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为其图像关于y 轴对称，所以,362k k Z πωπππ-=+∈，解得32,k k Z ω=+∈，因为04ω<<，所以2ω=，故选：A 3．C 【分析】由平移变换得解析式．【详解】向右平移π4个单位长度后得：()sin 2()sin(2)444g x x x πππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦．故选：C ． 4．A 【分析】由图象变换得出()g x 的表达式，求出1()2g x =的解，正数解从小到大排序后，π大于第六个解，不小于第7个解，由此可得结论．【详解】由题意()sin()6g x x πω=-，由1sin()62x πω-=，得(1)66k x k ππωπ-=+-，1(1)66k x k πππω⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， (1)66k k πππ++-中正数依次为3π，π，73π，3π，133π，5π，193π，…，1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则5193πππωω<≤，解得1953ω<≤．故选：A ． 5．D 【分析】首先根据平移规律，写出平移后的图象，再根据两图象重合，列式求ϕ的值. 【详解】()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得()sin 23y x πϕ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，0ϕ>，与图象()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭重合，所以522,36k k Z ππϕπ-=+∈，解得：7,12k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，712πϕ=. 故选：D 6．B 【分析】由诱导公式可得cos 2sin(2)2y x x π==+，结合sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律即可得出结论.【详解】由诱导公式可得cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，所以将函数图像上的点向右平移4π个单位长度，即可得到sin 2y x =的图像. 故选：B 7．B 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的最大值，可得1()g x 和2()g x 相差一个周期的整数倍，从而判断1232x ππ+=，22232x πππ+=+或1232x ππ+=，22232x πππ+=+，进而求得12x x -的值．【详解】解：将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()2sin(2)13g x x π=++的图象．若12()()9g x g x ⋅=，则1()g x 和2()g x 都取得最大值3，故1()g x 和2()g x 相差一个周期的整数倍．由[]12,0,2x x π∈，则122,2,43333x x πππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦，故1232x ππ+=，22232x πππ+=+，或1232x ππ+=，22232x πππ+=+，所以12x x π-= 故选：B ． 8．B 【分析】由图象得2ω=，再由正弦函数的对称轴方程可得答案. 【详解】由图象可知，132ω+=，所以2ω=，所以 ()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ+=+∈得()26k x k Z ππ=+∈，故选：B. 9．B 【分析】先对函数化简，得1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数图像变换规律求出()1sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()()()121214g x x x x g ⋅=≠，可得1x 与2x 都是波峰或波谷的横坐标，从而可得答案【详解】因为()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos24x x =111sin 2sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移3π个单位得1sin 2233y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半得到()1sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()1214g x g x ⋅=，所以()()1212g x g x ==或()()1212g x g x ==-，因为1x 与2x 都是波峰或波谷的横坐标，所以12min2x x T π-==，故选：B ． 10．B 【分析】根据正弦函数图象变化前后的解析式，确定图象的变换过程. 【详解】由()πsin 2()6f x x =+，而()sing x x =，∴将函数yg x 的图象上的所有点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π6个单位得到()y f x =.故选：B 11．B 【分析】根据两个函数的解析式的特征，结合正弦型函数图像的变换性质进行求解即可.【详解】因为sin 2sin[2]36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移6π个单位即可，故选：B 12．C 【分析】先根据图象特征求ω和ϕ，判断①正确，得到解析式，再利用代入验证法判断②正确③错误，利用图象平移判断④正确，即得正确说法的个数. 【详解】由图象知，7ππ2π4π123T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以2ω=，函数()()2f x x ϕ=+，由图象过π,03⎛⎫⎪⎝⎭知，2,3k k Z πϕππ⨯+=+∈，而2πϕ<，故π3ϕ=，故①正确，()32πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，222,,333x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭-，所以函数单调递增，②正确；512x π=时，37πsin 2sin 16x π⎛⎫+=≠± ⎪⎝⎭，所以512x π=不是对称轴，③错误；()32πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位得ππ2221232πy x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，所以④正确.综上，说法正确的个数为3个. 故选：C. 13．4π【分析】将cos 2x 化为sin 22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而通过平移得到答案.【详解】由已知可得sin 2()cos2sin 22x x x πϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，∴222k πϕπ=+，∴,4k k πϕπ=+∈Z ，∵0ϕ>，∴ϕ的最小值是4π．故答案为：4π. 14．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用图象变换知识可得()4sin()6g x x ππ=+，结合正弦函数的图象与性质可得结果.【详解】由题意可得()4sin()6g x x ππ=+，当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，(),666x a πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又()[]2,4g x ∈-，结合正弦函数的图象可得7266a ππππ≤+≤，所以113a ≤≤.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解. 【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称，可得(0)cos(2)0g ϕ==, 所以22k πϕπ=+，42k ππϕ=+，当0k =时，4πϕ=.故答案为：4π 16．①②③ 【分析】由给定的函数图象求出ω和ϕ并写出()f x ，()g x 的解析式，然后对四个命题逐一分析判断作答.【详解】令函数()f x 周期为T ，观察图象得75()3244T =--=，即6T =，则23T ππω==，又当74x =时，()f x 取得最大值，于是有72()342k k Z ππϕπ⋅+=+∈，因||2ϕπ<，则有0,12k πϕ==-，所以()sin(),()sin()31236f x A xg x A x ππππ=-=+，因33()sin[()]sin()4341236f x A x A x ππππ+=+-=+，即g (x )的图象可以由y =f (x )的图象向左平移34个单位长度得到，①正确；由()362x k k Z ππππ+=+∈得函数()g x 图象的对称轴为13()x k k Z =+∈，于是得直线x =1是g (x )图象的一条对称轴，②正确；由()36x k k Z πππ+=∈得13()2x k k Z =-∈，()g x 图象的对称中心为1(3,0)()2k k Z -∈，则点5(,0)2是()g x 图像的一个对称中心，③正确；当719(,)44x ∈时，37(,)3644x ππππ+∈，所以()g x 在7(,4)4单调递减，在19(4,)4上单调递增，④错误.故答案为：①②③17．（1）()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；递增区间为：5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈；（2）524π. 【分析】（1）根据图象可得函数的解析式为()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再解不等式222232k x k πππππ-<-<+，即可得到答案；（2）由题意()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，由()g x 是偶函数，得432m k πππ-=+，k ∈Z ，从而求得答案；【详解】（1）由图可知：3112A -==，3122B +==，31173212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 22f x x ϕ=++.由1111sin 21126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得113262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，所以23k πϕπ=-，k ∈Z ，因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.递增区间为：5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈.（2）由题意：()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭因为()g x 是偶函数，所以432m k πππ-=+，k ∈Z ，所以5424k m ππ=+，k ∈Z ，因为0m >，所以当0k =时，m 的最小值为524π. 18．（1）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）24x π=时，函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π区间上的最大值为2．【分析】（1）根据函数的最值求出A 的值，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据函数的最值点求出ϕ的值即得解；（2）首先求出()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x 值．【详解】解：（1）如图可知，2,4126A T πππ⎡⎤⎛⎫==⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴22Tπω==． ∵2sin 22122πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<⎪⎩， ∴3πϕ=，即函数解析式为2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）根据图象变换原则得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴44,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin 4[3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当432x ππ+=，即24x π=时，函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π区间上的最大值为2．19．（1）())3f x x π=+；（2）12π.【分析】(1)利用函数图象信息求出A ，周期T 而得ω，再由最小值点求出ϕ即可作答； (2)利用正余弦型函数的奇偶性列式计算即得. 【详解】（1）由图知A =函数()f x 周期为T ，则373()41264T πππ=--=，T π=，于是得22T πω==，则()()2f x x ϕ=+，由77())1212f ππϕ⋅+=7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，而02ϕπ<<，则3πϕ=，所以函数()f x的解析式为())3f x x π=+；（2）由(1)知()()2)3x t g x f x t π=+++=为偶函数，从而有2,32t k k Z πππ+=+∈，解得,122k t k Z ππ=+∈，又(0,)2t π∈，所以12t π=.20．（1）(30,4⎤⎥⎦；（2）1483π. 【分析】（1）求出()()2sin 0f x x ωω=>的单调递增区间，根据42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得答案；（2）求出()g x 的零点相邻间隔依次为3π和23π，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）由()2222k x k k Z πππωπ-≤≤+∈得()2222k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈，()2sin f x x ω=的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，则22x ππωω-≤≤()0ω>，根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得304ω<≤所以ω的取值范围是(30,4⎤⎥⎦.（2）由()2sin 2f x x =可得，()2sin 212sin 2163g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()0g x =可得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4x k ππ∴=-或712x k k Z ππ=-∈，，即()g x 的零点相邻间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，则b a -的最小值为21484950333πππ⨯+⨯=. 21．（1）1224π7π,,33x x y ===1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；2π2π,2π,Z 3k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用五点法依次代入计算参数,,A ωϕ，即得解析式，再代入计算解得122x x y ,,即可；（2）先利用图象变换得到()g x 的解析式，再根据对数的性质得到()g x ，即解不等式π1sin 62x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即得结果.【详解】解：（1）依题意可知，20332πωϕππωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又ππsin 32f A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故由11ππ23x +=，21π3π232x +=，解得124π7π,33x x ==，又2221π3π()232f x y x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭= （2）函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得到1ππ1π23326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；函数()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦中，()0g x >，即()g x 所以()π6g x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π1sin 62x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π2π,Z 666k x k k +<+<+∈，解得2π2π2π,Z 3k x k k <<+∈，所以()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的定义域为2π2π,2π,Z 3k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 22．（1）答案见解析；（2）2ϕπ=；（3）52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）先填表，再作出函数的图象；（2）由题得2k πϕπ=+，给k 取值即得解；（3）求出()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再利用复合函数单调性原理和三角函数的图象求解.【详解】解：（1）函数f （x ）在[0,]π的图象如下：（2）由()2cos(2)f x x ϕ=+，因为f （x ）为奇函数，则2k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=．（3）由（2）知()2sin 2f x x =-，向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍后，可得()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．由22232k x k πππππ--+，得522()66k x k k ππππ-++∈Z ．从而可得g （x ）的单调递减区间为52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．。