高中数学二次函数
高中数学必修一 第二章 函数 第12节 二次函数的图象和性质
典例分析：
（2）函数 f（x）=ax2+2ax+1 在[﹣3，2]上有最大值 4．那么实数 a 等于（ ）
A．﹣3 B． C．
D．
解：①当 a＞0 时，因为对称轴为 x=﹣1， 所以 f（2）最大， 所以 f（2）=4，即 4a+4a+1=4，
所以 a= ；
②当 a＜0 时，因为对称轴为 x=﹣1，所以 f（﹣1）最大，所以 f（﹣1）=4，即 a﹣2a+1=4，所以 a=﹣3； ③当 a=0 时，f（x）=1 恒成立，不满足条件． 综上可知，a=﹣3 或 a= ．
练习：若函数 f（x）=x2+bx+c 满足 f（﹣3）=f（1），则 （ ） A．f（1）＞c＞f（﹣1） B．f（1）＜c＜f（﹣1） C．c＞f（﹣1）＞f（1） D．c＜f（﹣1）＜f（1） 解：函数 f（x）=x2+bx+c，开口向上，满足 f（﹣3）=f（1），函数的对称轴为： x=﹣1． x∈[﹣1，+∞）函数是增函数． x=﹣1 时函数取得最小值． f（0）=c． 所以：f（1）＞c＞f（﹣1）． 故选：A．
高中数学 必修一
第二章 函数 第12节 二次函数的图像和性质
第二章 函数
第十二节 二次函数的图象和性质
必备新知
1．二次函数的定义
函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为 R.
必备新知
2．二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
典例分析：
例 1：画出函数 f(x)＝－x2＋2x＋3 的图象，并根据图象回答下列问题：
练习：已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知 f(－32)＝1，不计算函数值求 f(0)；
论述高中数学二次函数的变换规律
论述高中数学二次函数的变换规律一、二次函数的一般形式二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、平移变换规律1. 水平平移：- 右平移h个单位：y = a(x - h)^2 + bx + c；- 左平移h个单位：y = a(x + h)^2 + bx + c。
2. 垂直平移：- 上平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c + k)；- 下平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c - k)。
三、缩放变换规律1. 水平缩放：- 横坐标伸缩为原来的k倍：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中k≠0；- 横坐标收缩为原来的k倍：y = a(kx)^2 + bx + c，其中k≠0。
2. 垂直缩放：- 纵坐标伸缩为原来的k倍：y = (ak)x^2 + bx + c，其中k≠0；- 纵坐标收缩为原来的k倍：y = (a/k)x^2 + bx + c，其中k≠0。
四、翻转变换规律1. 关于x轴翻转：y = a(-x)^2 + bx + c。
2. 关于y轴翻转：y = ax^2 - bx + c。
3. 关于原点翻转：y = a(-x)^2 - bx + c。
五、其他常见变换规律1. 拉伸变换：- 沿x轴拉伸：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中a>0，且k>1；- 沿y轴拉伸：y = (ak)x^2 + bx + c，其中a>1。
2. 旋转变换：- 顺时针旋转α角：y = a(xcosα + ysinα)^2 + bxcosα - bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
- 逆时针旋转α角：y = a(xcosα - ysinα)^2 + bxcosα + bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
六、应用举例例如，对于二次函数y = x^2 + 2x + 1，可以通过平移、缩放和翻转等变换规律进行如下操作：- 右平移1个单位：y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1；- 上平移2个单位：y = x^2 + 2x + 3；- 横坐标伸缩为原来的2倍：y = (1/2)x^2 + 2x + 1；- 纵坐标伸缩为原来的3倍：y = 3x^2 + 2x + 1；- 关于y轴翻转：y = x^2 - 2x + 1；- 关于原点翻转：y = x^2 + 2x + 1。
高中数学中的二次函数与函数拐点位置
高中数学中的二次函数与函数拐点位置在高中数学中，二次函数是一个非常重要且基础的概念。
它在解决实际问题、数学建模和几何图形分析中都具有广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数的定义、性质以及函数拐点位置的确定方法。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有如下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为实数。
1. 二次函数的图像特点二次函数的图像通常呈现开口方向向上或向下的抛物线形状。
开口方向由二次函数的系数$a$的正负决定。
当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
2. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是一个重要的概念，它切割了抛物线图像，将其分为左右对称的两部分。
对称轴可以通过以下公式求得：$x = -\frac{b}{2a}$。
其中，$x$表示对称轴的横坐标。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是函数最高点或最低点的位置，也是函数拐点的位置。
顶点的纵坐标可以通过直接将对称轴的横坐标代入二次函数中计算得到。
二、函数拐点位置的确定方法函数拐点是函数曲线发生弯折的位置，也是函数图像由凹向上凹向下（或凹向下凹向上）的转折点。
寻找函数拐点有以下两种常用方法。
1. 利用导数和二阶导数对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其一阶导数为$y' = 2ax + b$，二阶导数为$y'' = 2a$。
函数拐点位置可以通过求解二阶导数等于零的横坐标来确定。
当$y'' = 0$时，可以解得$x = -\frac{b}{2a}$，即为函数拐点的横坐标。
2. 利用顶点坐标根据二次函数的顶点坐标$(h, k)$，其函数拐点的横坐标为$h$。
因此，为了确定函数拐点的位置，只需要找到二次函数的顶点坐标即可。
对于一般形式的二次函数，我们可以通过完成平方的方式将其转化为顶点坐标形式。
精品_高中数学专题—二次函数巩固
2 当x [－1,1]时，由x 2－x＋1 2x＋m，
得x 2－3x m－1.当x＝1时， ( x 2－3x) min＝－2， 所以m－1 －2，则m －1.故实数m的取值 范围是(－，－1)．
考点二、二次函数的零点分布
【例2】 已知函数 f(x)＝x2 ＋ 2mx＋2m ＋1的 零点都在区间(0,1)上，求实数m的 取值范围．
高中数学专题
二次函数专题巩固
知识梳理
• 1、二次函数的解析式（待定系数法）
• ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 • ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)， a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横 坐标。
2 【解析】 1 设函数 f x ＝ ax ＋bx＋1(a 0)，
则a( x＋1) 2＋b( x＋1)＋1＝ax 2＋bx＋1＋2x， 2a b b 2 a 1 整理得 ，解得 . a b 1 1 b 1 所以f x ＝x 2－x＋1.
f (2) 0 于是设f x ＝a( x－2) ＋c.由 ， f (0) 48 16a c 0 a 4 即 ，得 ， 4a c 48 c 64 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2
【练习1】 已知二次函数 f(x) 满足 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2) 在区间 [ － 1,1] 上，函数 f(x) 的图象 恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m 的取值范围．
③当t 2时，函数f x 在区间[t，t＋1]上 递减，此时g t ＝f t ＝－t 2＋4t－1， t 2 2t 2(t 1) 综上，g t ＝3(1 t 2) t 2 4t 1(t 2)
初高中数学衔接知识复习二次函数
初、高中数学衔接知识复习：二次函数一．要点回顾1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方得：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移而得到。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：[1] 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最小值 ．[2] 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最大值 ．3．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：(1)．一般式： ； (2)．顶点式： ； (3)．交点式： ． 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．2 二次函数图像的变换----------平移二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（3）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1（C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋二．题型演练例1．抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_____，当x =_______时，y 有最______值，最大值为 ________。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是一种基本的数学函数，也是高中数学中重要的一部分。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的元素上。
函数有定义域、值域和对应关系，可以用图像、表格和公式的形式来表示。
二、二次函数的定义二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的“U”型或开口向下的“∩”型。
三、二次函数的图像特点1.对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
2.初中线：二次函数的图像在抛物线的顶点上与对称轴相交，这个点称为抛物线的顶点。
3.开口方向：二次函数的图像开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
4.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
5. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以用求根公式(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
四、二次函数的性质1.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集，值域根据二次函数开口的方向来确定。
2.单调性：当a>0时，二次函数在定义域上是递增的；当a<0时，二次函数在定义域上是递减的。
3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
4.轴对称性：二次函数是轴对称的，对称轴为x=-b/2a。
5.单调区间：当a>0时，二次函数在对称轴两侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴两侧是递减的。
6.零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。
五、二次函数的标准形式和一般形式1.标准形式：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 一般形式：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点一、基本概念二次函数是指关于自变量的二次多项式函数，通常表达为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是定值且a≠0。
二、图像及特征二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的平滑曲线，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
当a>0时，曲线在对称轴上方存在最小值；当a<0时，曲线在对称轴下方存在最大值。
三、函数变形及性质1. 平移：将二次函数y=ax²+bx+c沿x 轴平移h个单位，得到y=a(x-h)²+b(x-h)+c2. 垂直伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿y轴纵向伸缩k倍，得到y=kax²+kbx+c3. 水平伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿x轴横向伸缩k倍，得到y=a(x/k)²+b(x/k)+c4. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a5. 零点：二次函数的零点为y=0的解，即ax²+bx+c=0的解，其判别式为△=b²-4ac。
当△>0时，有两个不同的实数零点；当△=0时，有一个实数零点；当△<0时，无实数零点。
6. 解析式：y=ax²+bx+c的解析式为y=a(x+h)²+k四、常见类型1. 线性函数：当a=0、b≠0时，二次函数化为y=bx+c，其图像为一直线。
2. 完全平方型：当△=0时，二次函数化为y=a(x+h)²+k，其图像为一个顶点在对称轴处的抛物线。
3. 拉伸型：当a>0、|a|<1时，二次函数的图像沿y轴纵向收缩；当a>1时，二次函数的图像沿y轴纵向伸展。
4. 正比例型：当a>0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于原点的抛物线。
5. 负比例型：当a<0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于y轴的抛物线。
高中数学二次函数知识点总结
二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧
高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧二次函数是高中数学中一个重要的内容，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
求解二次方程和求取二次函数的极值是解决二次函数问题的两个基本技巧。
本文将介绍一些在高中数学中用于求解二次方程和求取二次函数的极值的常用技巧，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、求解二次方程的技巧一般来说，二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
我们可以通过以下技巧来解决二次方程问题。
1.使用因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以利用这一性质来求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其写成(x - 2)(x - 3) = 0的形式，从而得到方程的两个解x = 2和x = 3。
2.使用配方法对于那些无法直接因式分解的二次方程，我们可以使用配方法来求解。
该方法通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。
3.使用求根公式当无法使用因式分解或配方法时，我们可以使用求根公式来求解二次方程。
二次方程的通解可以通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来表示。
例如，对于方程x^2 - 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1、b = -2、c =-3，利用求根公式计算得到方程的两个解x = 3和x = -1。
二、求取二次函数的极值的技巧二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
我们可以通过以下技巧来求取二次函数的极值。
1.使用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式表达式为x = -b / (2a)，y = f(-b / (2a))，其中x表示顶点的横坐标，y表示顶点的纵坐标。
顶点是二次函数的极值点，通过这一公式可以直接计算出极值点的坐标。
二次函数定义高中
二次函数定义高中
（原创实用版）
目录
1.二次函数的定义
2.二次函数的一般形式
3.二次函数的性质
4.二次函数的图像
5.二次函数的应用
正文
二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是一种以自变量的平方为最高次项的函数。
二次函数的定义是：形如 y=ax^2+bx+c（其中 a≠0）的函数，被称为二次函数。
二次函数的一般形式中，a、b、c 是常数，且 a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，具体形状由二次项系数 a 决定。
当 a>0 时，抛物线开口朝上，a<0 时，抛物线开口朝下。
二次函数具有一些重要的性质。
例如，二次函数的图像与 x 轴的交点就是二次方程的根。
二次函数的顶点是抛物线的最低点（当 a>0 时）或最高点（当 a<0 时），它的坐标为 (-b/2a, c - b^2/4a)。
二次函数在实际中有广泛的应用，例如可以用来描述物体的自由落体运动，也可以用来解决一些实际问题，如求解最值问题等。
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二次函数知识点总结大全
二次函数知识点总结大全二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了二次函数的相关知识，能够解决很多与实际问题相关的数学计算。
下面是二次函数的知识点总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：一个二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，记为(Vx,Vy)。
4.二次函数的轴对称性：二次函数的图像关于顶点所在的直线对称。
5.二次函数的零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点。
6.二次函数的平移：二次函数的图像在平面上的平移。
二、二次函数的图像1.抛物线开口的方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 求顶点：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx=-b/2a，Vy=f(Vx)。
3.确定抛物线的图像：已知顶点和另一点，可以确定一个抛物线的图像。
4.求零点：二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得。
三、二次函数的性质1. 平移性质：对于二次函数y=ax²+bx+c，平移后的函数是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为平移后的抛物线的顶点。
2.对称性质：二次函数的图像关于顶点对称。
3.零点性质：一个二次函数最多有两个零点，可以通过求解一元二次方程求得。
4.范围性质：对于抛物线开口朝上的二次函数，其值域为[y,+∞)；对于抛物线开口朝下的二次函数，其值域为(-∞,y]。
四、二次函数的解析式1. 标准型：形如y=ax²+bx+c的二次函数。
2.顶点式：形如y=a(x-h)²+k的二次函数。
3.概率型：形如y=a(x-p)(x-q)的二次函数。
五、二次函数的应用1.最值问题：二次函数的最值可以通过求顶点得到。
《高中数学必修1课件：二次函数》
二次函数与坐标轴的交点
深入研究二次函数与坐标轴的交点，理解交点的几何意义，解决复杂问题。
求二次函数的参数a、b、c
掌握求解二次函数参数的方法，了解参数对图像形状的影响，提高解题效率。
《高中数学必修1课件： 二次函数》
一个详尽且生动的指南，介绍了二次函数的各个方面，包括定义、一般式、 对称轴、顶点坐标、和零点等。帮助学生理解并掌握二次函数的概念和特点。
二次函数的定义及其一般式
了解二次函数的定义和一般式，掌握二次函数的形式与特征函数的对称轴
学会如何确定二次函数的对称轴，以及对称轴的作用和图像的特点。
求二次函数的顶点坐标
熟悉如何计算并确定二次函数的顶点坐标，掌握顶点的几何意义和图像的变化。
求二次函数的零点
学习如何寻找二次函数的零点，理解零点的意义和与图像的关联，解决实际 问题。
二次函数的图像特征
了解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点位置和对称性等，以及它们 在解题中的应用。
二次函数的性质与高中数学的关系
二次函数的开口方向和顶点坐标是二次函数性质中的重要内容，对于函数的单调性、最值等问题 有重要影响。
二次函数的对称轴
二次函数图像的对 称轴是x=-b/2a
对称轴是二次函数 图像的垂直平分线
二次函数的对称轴 是函数图像的对称 轴
鼓励学生自主探 究，培养他们解 决实际问题的能 力和创新精神。
关注高考动态，及时调整教学重点和难点
关注高考动态：了解每年的高考数学试题，分析二次函数在其中的考查重 点和难点，为教学提供指导。
及时调整教学重点：根据高考动态，及时调整二次函数的教学重点，强调 与高考相关的知识点和解题方法。
突破教学难点：针对二次函数在高中数学中的难点问题，制定相应的教学 策略，帮助学生理解和掌握。
二次函数的对称轴 是函数图像的垂直 平分线
二次函数的单调性
二次函数开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下 二次函数的最值出现在顶点处，顶点的x坐标为-b/2a 二次函数的单调性根据开口方向和对称轴位置确定，对称轴左侧单调递减，右侧单调递增 二次函数的对称轴为x=-b/2a
二次函数与高中数学其他知识 点的联系
价值
注重培养学生 的数学思维能 力和解决问题 的能力，提高 学生对二次函 数的理解和应
用能力
强化实践应用，培养学生解决实际问题的能力
结合生活实例， 引导学生理解二 次函数的应用价 值。
创设问题情境， 让学生在实际问 题中运用二次函 数知识。
开展数学活动， 让学生在实践中 加深对二次函数 性质的理解。
学会分析问题：通过分析二次函数的图像和性质，培养分析和解决问题的能力。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题引言二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是实际问题中常常遇到的数学模型。
二次函数的图像呈现出一种开口向上或者开口向下的曲线形状，能够很好地描述实际问题中的曲线关系。
本文将深入探讨二次函数及其在实际问题中的应用。
二次函数的定义与性质二次函数的定义：设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），其中a、b、c是常数，a称为二次函数的二次系数。
二次函数的图像当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数的顶点二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h = -b/(2a)，k = f(h)。
二次函数的对称轴二次函数的对称轴方程为x = h（即x = -b/(2a)）。
二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
二次函数在实际问题中的应用自由落体运动自由落体运动是一个常见的物理现象，也可以用二次函数来进行模拟和描述。
假设一个物体从高处自由落下，忽略空气阻力，它的下落距离与时间的关系可以用二次函数来表示。
抛物线轨迹抛物线轨迹是指一个物体在一个力的作用下进行受控抛射运动时所遵循的路径。
如投射运动中的抛体、水流喷泉等都可以用二次函数进行建模和描述。
开口向上的池塘有一片长方形的池塘，周围修建了一圈围墙。
围墙的材料价格是每米10元。
假设池塘的长为x米，宽为y米。
已知池塘的面积为100平方米。
要使得围墙的总价值最小，需要求解池塘的长和宽。
能量与时间的关系生活中很多实际问题涉及到能量的转化和传递，而能量与时间的关系常常可以用二次函数进行建模。
例如，弹簧振子的机械能与振动时间的关系、充电电池的电量衰减与使用时间的关系等等。
结论二次函数作为一种重要的数学模型，在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的定义与性质的学习，我们可以更好地理解和解决实际问题，同时也提高了我们的数学建模能力。
通过本文对二次函数与实际问题的探讨，我们更深入地认识了二次函数的应用价值和意义。
高中数学教案：二次函数的图像与性质
高中数学教案：二次函数的图像与性质一、二次函数的定义与基本形式二次函数是指自变量的平方项的系数不为零的函数。
其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常为抛物线，其开口方向由系数a的正负确定。
二、二次函数的图像特征与性质1. 平移与伸缩二次函数的图像可以通过平移和伸缩来变换。
当二次函数的形式为f(x) = a(x - h)^2 + k时，抛物线的顶点位置为(h, k)。
当h>0时，图像水平右移h个单位；当h<0时，图像水平左移|h|个单位。
当k>0时，图像上移k个单位；当k<0时，图像下移|k|个单位。
而当a>1时，抛物线的开口向上变得更加尖锐；当0<a<1时，抛物线的开口向下变得更加扁平。
2. 对称轴与顶点二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的垂直线。
对称轴的方程为x = h，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。
对称轴将图像分为两个对称的部分。
3. 最值与零点二次函数的最值（最大值或最小值）在其顶点处取得。
当a>0时，二次函数为抛物线开口向上，最小值为顶点；当a<0时，二次函数为抛物线开口向下，最大值为顶点。
此外，二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标值。
要求零点，可将二次函数设为f(x) = 0，然后解二次方程ax^2 + bx + c = 0。
4. 判别式与解的情况二次函数的判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的情况。
当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；当D = 0时，方程有两个相等的实数根；当D < 0时，方程没有实数根，但可能存在复数根。
5. 函数的增减性二次函数的增减性与系数a的正负有关。
当a > 0时，函数在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，函数在对称轴两侧是递减的。
6. 拉直与倒置若将二次函数表示为g(x) = -ax^2 + bx + c的形式，称为原函数的拉直与倒置形式。
高中数学二次函数
基础题例题
在函数f(x)=ax2+bx+c中，若a,b,c 成等比数列且 例4. 在函数 中 f(0)=-4,则f(x)有最 大 值 (填“大”或“小”），且 有最______值 填 - 则 有最 该值为________（ 年高考， 该值为 -3 （2004年高考，北京） 年高考 北京） 例5. 若函数f(x)=x2+(a+2)x+3中，x∈[a,b]的图象关于直线 若函数 中 ∈ 的图象关于直线 6 （ 年高考 上海春） x=1对称，则b=________（2003年高考，上海春） 对称， 年高考， 对称
第二章
函Leabharlann 数二次函数要点·疑点 考点 要点 疑点·考点 疑点
1.二次函数的定义 二次函数的定义 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数 的函数叫做二次函数. 形如 的函数叫做二次函数 注意a≠0,若a=0它是一次函数或常数函数 若 它是一次函数或常数函数. 注意 它是一次函数或常数函数
x = a −1 + 2的根的范围 的值都非负，求关于x的方程 的根的范围. 的值都非负，求关于 的方程 x a+2 解题分析： 解题分析：由已知方程 即(-4a)2-4−1|+12)≤0, 表示为 a 的 由已知得， 解：由已知得，△≤0,即 - =| a (2a +2将 x 3 解 − ≤ a ≤ 2 a+2 得 2 函数，这样求方程根的问题就转化成求函数值域的问题。 函数，这样求方程根的问题就转化成求函数值域的问题。 3 原方程化为 -a2+a+6 (1)当− ≤ a <1时 原方程化为x=，
m ∆ = (m−3)2 − 4m ≥ 0 3− m >0 ② 在 点 侧 则 x1 + x2 = 都 原 右 ， m x x = 1 >0 1 2 m 综上可得 m∈(-∞,1] ∈解得0 <m ≤1
高中数学中的二次函数与函数拐点
高中数学中的二次函数与函数拐点1. 介绍数学中的二次函数是一种基本的函数形式，它具有许多重要的性质和特点。
其中一个关键的概念是函数拐点，它在二次函数中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍二次函数和函数拐点的概念，并探讨二者之间的关系。
2. 二次函数的定义与性质二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
它的图像通常是一个 U 形曲线，这种曲线被称为抛物线。
二次函数具有以下性质：- 抛物线的开口方向由 a 的正负确定，当 a > 0 时开口向上，当 a < 0 时开口向下；- 抛物线的顶点坐标 (-b/2a, f(-b/2a)) 表示函数的最值点，对称轴为x = -b/2a；- 抛物线关于对称轴对称。
3. 函数拐点的概念函数拐点是指函数图像上的一个点，在该点的左侧和右侧，函数图像的曲率方向发生改变，通常表示由凹向上（上凹）变为凹向下（下凹）或由凹向下变为凹向上的转折点。
对于二次函数来说，拐点通常出现在二次项系数 a 发生变化的位置。
4. 二次函数的拐点4.1 a > 0 的情况当二次项系数a 大于0 时，抛物线开口向上，凹性向上。
此时，拐点发生在顶点位置，也是函数的最值点。
在拐点处，二次函数的转折方向由凹向上变为凹向下。
4.2 a < 0 的情况当二次项系数a 小于0 时，抛物线开口向下，凹性向下。
此时，拐点同样发生在顶点位置，也是函数的最值点。
在拐点处，二次函数的转折方向由凹向下变为凹向上。
4.3 a = 0 的情况当二次项系数 a 等于 0 时，二次函数退化为一次函数，不存在拐点。
5. 函数拐点与二次函数的性质函数拐点的位置可以通过对二次函数关于 x 的一阶导数进行分析来确定。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其一阶导数为 y' = 2ax + b。
通过求解一阶导数的根，即可确定函数的拐点位置。
6. 实际问题中的应用二次函数和函数拐点在实际问题中有广泛的应用，例如：- 物体抛射的轨迹问题，可以用二次函数建模，并通过拐点来确定抛物线的最远点；- 生产成本与产量之间的关系问题，可以用二次函数表示成本函数，并通过拐点来确定最小成本的产量。
高中数学,二次函数知识点及考点题型
第六节 二次函数❖ 基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－b2a 的值决定图象对称轴的位置；(3)c 的取值决定图象与y 轴的交点；(4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数．解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增；在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形❖ 常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b2a≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a ≤n 时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：利用二次函数的一般式设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：利用零点式由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[题组训练]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.答案：19x 2＋49x －592．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝____________.解析：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象经过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 答案：x 2－4x ＋3考点二 二次函数的图象与性质考法(一) 二次函数图象的识别[典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )[解析] 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a <0，b <0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b2a<0，只有选项C 适合． [答案] C考法(二) 二次函数的单调性与最值问题 [典例](1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0， 所以a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.(2)依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a >0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. [答案] (1)－1或2 (2)[0,2][解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题 [典例](1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. (2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． [答案] (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(－∞，1) [解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[题组训练]1．(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )A.54 B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54解析：选D f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2. ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a . 令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：选C y ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎡⎦⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C.3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 解析：令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2. 答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2，－4D ．－2，－4解析：选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴是x ＝1，∴－b2a＝1. ①又图象过点P (－1,7)，∴a －b ＋1＝7，即a －b ＝6. ② 由①②可得a ＝2，b ＝－4.2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0,1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数， 应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋408．(2018·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，y ＝4x －1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a ≠0时，要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0<a ≤2.综上，0≤a ≤2.答案：[0,2]9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．解：函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．(1)当a <－2时，由图①可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)． (2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24.(3)当a >2时，由图③可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)，a <－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a >2.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立． 所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 级1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12C.34 D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1. 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，。
高中数学-二次函数
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式()2f x ax bx c =++，首先需要考虑a 是否等于0，若0a =，则函数不是二次函数. 2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)y ax bx c a =++¹2）顶点式：2()(0),)y a x h k a h k =-+¹此时二次函数的顶点坐标为此时二次函数的顶点坐标为((；3）分解式：12()()y a x x x x =-- 其中1x 、2x 是二次函数的与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122x x x +=. 3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a >，函数开口方向向上；当0a <，函数开口方向向下；，函数开口方向向下； ②对称轴：2bx a=-； ③顶点坐标：（2b a -，244ac b a-）；若图象与x 轴有两个交点，分别为11(,0)M x ，22(,0)M x ，则12M M =12x x -=a D. ④增减性④增减性⑤最值()x R Î：当0a >时，函数有最小值，并且当2b x a =-，min y =244ac b a-；当0a <时，函数有最大值，并且当2bx a =-时，2max 44ac b y a-=；⑥与x 轴的交点个数：当24b ac D =->0时，函数与x 轴有两个不同的交点；D <0时，函数x 轴没有交点；D =0时，函数与x 轴有一个交点. 4.二次函数根的由来——配方法二次函数根的由来——配方法对20(0)ax bx c a ++=¹进行配方，变换为2b c xx++=，由于完全平方是：()2222a ab b a b ++=+即2222()x ax a x a ++=+，所以要变换为22222044b b b cx x a a aa ++-+=，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244b b c b ac x a a a a -+=-=.从而得到，在240b ac -³时有解，242b b a c x a-±-=；若240b ac -£，此时无解. 5.有关一元二次方程判别式24b ac D =-，联系韦达定理1）D >0有两个不等实根；D =0表示有两个相等实根，D <0表示没有实数根，实际就是()2,0x a p p +=<的情况. 2）a 、c 异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负. 3）a 、b 异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0. 4）a 、b 同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0. 6.对于2y x =的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x <时，曲线变化缓慢，比y x =要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x 的绝对值增大而增加. 2)图象关于y 轴对称. 3)(0,0)是图象的拐点，(,0]-¥上是减函数，(0,)+¥上是增函数. 4)图象与x 轴只有一个交点（0,0）。
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【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。
2 解法1：设 f ( x) ax bx c(a 0)
2 4 ac b 由f(x)的最大值是8知 8 4a
又
f (2) 4 a 2 b c 1 f ( 1) a b c 1
思考
如何求函数f(x)的最大值？
图像分析
(2) (1)
(3)
知识巩固
练习2
1.
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时, 求函数f(x)的最大值与最小值 。 (2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是 单调函数； （3）当 a R 时，求函数f(x)的最大值。 2.已知f(x)=x2-3x+1, 当x∈［-1,1］上，不等式 f (x)＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围。
定义域 值域
单调性 奇偶性 最值
在 (-∞, 2a ]上递减 , 在[ b ,+∞)上递增.
2a
b
4ac b 2 （ - ∞, ] 4a
在(-∞,
b
b ] 2a
上递增.
在 [ 2a ,+∞)上递减.
当b=0是为偶函数 最小值
4ac b 2 4a
Hale Waihona Puke （b 2a最大值 ,
x
4ac b 2 ） 4a
∴可设 f ( x) 1 a( x 2)( x 1)(a 0)
12 9 f ( x) a( x x 2) 1 a( x ) a 1 2 4 9
2
由题意知
4
a 1 8
解得 a=-4
f ( x) 4( x2 x 2) 1 4x2 4x 7
无论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系。 当问题中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论； (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最 值一般在区间的端点或顶点处取得。
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最小
值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小值．
解得 a 4，b=4，c=7
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。 解法2：由 f (2) 1, f (1) 1
得函数 f ( x) 的对称
1 轴是 x 2 1 2 可设 f ( x) a( x ) 8(a 0) 2 9 由 f (2) a 8 1 得 4 a 4
学习目标
1. 理解二次函数的定义，会结合条件求出二 次函数的解析式。 2.会根据二次函数的解析式画出图象，会判断 函数在某个区间上的单调性，会求闭区间上的 最值。 3.掌握用数形结合、分类讨论的数学思想解决 函数问题的方法。
基础知识
1.二次函数的解析式
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
一般式 解 析 式 顶点式 两根式
4ac b 2 4a
顶点 对称轴
b 2a
基础练习
1. 函数 f ( x) x 3x 2 在 区间 5,5 上的最大值 、最 小值分别为（ D ） 1 1 1 (C)12, (D)无最大值，最小值是 (A)42,12 (B)42， 4 4 4
2
2.已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c且a+b+c=0,则它的图象是下 图中的( D )
2
题型二：二次函数的图象与性质的应用
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最
小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小 值．
3 2 29 f ( x) ( x ) 2 4
图象分析
3 2 29 f ( x) ( x ) 2 4
【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最 小值为h(t)，写出h(t)的解析式，并求h(t)的最小 值．
3.若二次函数的图象经过点（0,1），对称轴是x=2，最小值为-1, 则它的解析式为 f ( x) 1 ( x 2)2 1 ( f ( x) 1 x 2 2 x 1)
2
2
题型一：求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。
5 2 t 5t 1, t 2 , 5 3 29 h t , t , 2 2 4 3 2 t 3t 5, t . 2
方法总结
求二次函数最值的类型及解法： (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动
f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k）
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), x1, x2为f(x)的零点
基础知识
函数 图象
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
y o x
R
4ac b 2 [ ,+∞) 4a
y o x
方法总结
求二次函数的解析式,一般用待定系数法， 关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式， 一般选择规律如下：
三个点坐标 顶点坐标 已知 对称轴 最大（小）值 宜选用两根式 宜选用顶点式 宜选用一般式
零点
知识巩固
练习1
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的 值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________. 2 x 4
1 2 f ( x) 4( x ) 8 2
【例1】已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) 1, f (1) 1 且 f ( x) 的最大值是8。试确定此二次函数。 解法3：由 f (2) 1, f (1) 1
知 f ( x) 1 0 的两根为2，-1