运筹学 线性规划
运筹学中的线性规划算法
运筹学中的线性规划算法运筹学是运筹学家在解决一些管理决策问题（通常是最优化问题）时开发出来的一类数学方法。
运筹学与现代计算机科学和算法理论密切相关。
这里我们主要讲述一种在运筹学中被广泛使用的算法——线性规划算法。
一、线性规划的定义及特点线性规划是运筹学中应用最广泛的一类优化问题，它是在一组线性等式和不等式的约束条件下，最小化或最大化某一线性函数的优化问题。
形式化地，一个线性规划（LP）问题可以表示为$$\begin{aligned}& \text{maximize } c^Tx \\& \text{subject to } Ax \le b \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \ge 0\end{aligned}$$其中 $c \in \mathbb{R}^n$ 和 $b \in \mathbb{R}^m$，矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$。
注意到这里的不等式约束均为“小于等于”形式，并且 $x$ 的每一个分量都不可以为负数。
线性规划具有如下重要特点：1. 线性规划问题必须有线性约束，即线性规划问题只考虑目标函数和约束条件都是线性函数的情况。
2. 一般情况下，线性规划问题的最优解必须满足最优性约束，即必须取到目标函数的最大（小）值的点必须满足所有的约束条件。
3. 线性规划问题的最优解只能出现在可行点集的顶点处，这样的点集被称为线性规划问题的基本可行解集。
二、线性规划求解的基本思路及方法线性规划求解的基本思路是：先将可行域化为一个凸多面体，找到其顶点（基本可行解集），然后逐一检查这些顶点，直到找到最优解。
线性规划算法有多种，常见的有单纯形法、内点法、分支定界法等。
其中最广泛应用的是单纯形法。
1. 单纯形法单纯形法是由美国运筹学家乔治·丹尼尔（George Dantzig）在20世纪40年代发明的。
其主要思想是：从一个初始可行点开始，对于不满足约束条件的变量（非基变量），通过一些变换（如高斯消元）寻找到下一个可行解（即将一个非基变量变成基变量），如果找到更优解，则继续上述寻找过程，直至无法找到更优解。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
运筹学第二章第6节矩阵法求解线性规划问题
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
单纯性法的每一步就是：令非基变量XN（XN1和 XS2）=0，则当前基本可行解X=（XB，0） =（B-1b，0）。当前的目标函数值为 Z=CBB-1b，通过刚才用矩阵法的展示，我们发现： 1）B：初始单纯性表中基。 2）BN：初始单纯性表非基变量在A中对应的矩阵。 3）B-1：初始单纯性表中单位矩阵所对应的列在当 前矩阵中所构成的矩阵。 4）CB：当前基变量的价值向量。 5）CN：当前非基变量的价值向量。
2 x1 [1] 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 1/4 -3/4 θ 4 -
-1/2 2
在迭代到单纯性表2时，当前的基变量为x3，x4，x2，其中 x3和x4是松弛变量。这时，松弛变量中，x5为基变量，x3和 x4为非基变量，因此：基变量XB由两部分组成，一部分是 XB1=x2，一部分是XS1=x3和x4；非基变量XN由两部分组成， 一部分是XN1=x1，另外一部分是XS2=x5。
BX X
B
B
b BN X
1
N1
S2 X
N1
S2
;
1
B b B B N1 X
1
1
1
B S 2 X s2 ;
1
目标函数： z C B B b (C N1 C B B B N1 ) X (C S 2 C B B I ) X
1 S N1
令非基变量=0，由上式得到：
x1 2 x 2 x 3 4 x1 4 x2 x
j
8
x4 0
16 x 5 12
j 1, 2 , , 5
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
运筹学线性规划
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
整理课件
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max(或min)z CX
n
s.t. j1
Pj x j
(或 ，或)b
X 0
其中
x1
a1j b1
Xx2,Cc1 c2 cn,Pj a2j,bb2
xn
amj bm
整理课件
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max(或min)z CX
AX (或，或)b s.t.X 0
其中 X, C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0 整理课件
x1 2 x2 5
s.t.
2
4
x1 x1
x2 4 3x2 9
运筹学中的线性规划理论与应用
运筹学中的线性规划理论与应用线性规划是运筹学中的一种重要工具，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它的核心思想是通过建立数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，以最优化为目标，找到最佳的决策方案。
在本文中，我将讨论线性规划的基本概念和理论，并介绍其在实际应用中的案例。
一、线性规划的基本概念和理论线性规划主要研究如何分配有限资源以达到最优化的利益。
在线性规划中，决策变量、目标函数和约束条件是构建数学模型的三个基本要素。
1. 决策变量决策变量是指在问题中需要做决策的变量，通常表示为一个向量。
例如，在生产计划中，决策变量可以表示为不同产品的生产数量。
2. 目标函数目标函数是指在线性规划中需要最大化或最小化的目标指标。
目标函数通常是由决策变量线性组合而成的。
3. 约束条件约束条件是指在线性规划中限制决策变量取值范围的条件。
约束条件通常是由一系列线性不等式或等式组成的。
在线性规划问题中，通过将目标函数和约束条件转化为数学表达式，可以建立一个数学模型。
这个模型可以通过一系列数学方法求解，以达到最优化的目标。
二、线性规划在实际应用中的案例线性规划在现代管理和决策中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例。
1. 生产计划在生产计划中，线性规划可以用于确定不同产品的生产数量，以最大化利润或满足市场需求。
2. 配送问题在物流配送中，线性规划可以用于合理安排不同配送点的货物数量和时间，以最小化配送成本。
3. 投资组合在金融领域，线性规划可以用于确定不同投资项目的投资比例，以最大化收益或降低风险。
4. 网络流问题在网络建设中，线性规划可以用于确定网络中各节点之间的流量分配，以最大化网络传输效率。
这些案例只是线性规划在实际应用中的冰山一角。
在现代运筹学和管理科学中，线性规划以其简单、有效和灵活的特点，成为了决策分析的重要工具。
总结：线性规划是运筹学中的一种重要工具，通过建立数学模型，以线性目标函数和约束条件为基础，以最优化为目标，解决实际决策问题。
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
《运筹学》第四版线性规划模型
决策变量的意义
决策变量的具体含义应该与实际 问题相关，例如生产计划、资源 分配等。
确定目标函数
目标函数
01
线性规划的目标函数是用来衡量问题优化的标准，通
常是一个或多个决策变量的线性函数。
目标函数的优化方向
02 根据问题的实际需求，目标函数可以是最大化或最小
化。
目标函数的数学表达式
03
目标函数通常由决策变量和相应的系数组成，表示为
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
线性规划模型的表示形式
标准形式
标准形式的线性规划模型通常由目标 函数和约束条件组成，表示为 max/min f(x) s.t. a11x1+a12x2+...+a1nxn<=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
详细描述
在资源分配问题中，线性规划模型用于确定 最佳的资源分配方案。通过构建包含资源种 类、需求量、效益等变量的线性规划模型， 可以找到在满足资源需求和效益约束下的最 优资源分配方案。这有助于企业或组织实现 资源的合理配置和效益的最大化。
05
线性规划模型的扩展与展望
多目标线性规划
多目标线性规划是线性规划的一个重要扩展，它考虑了多个相互冲突的目 标函数，并寻求在所有目标之间找到最优的平衡。
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非标准形式
如果线性规划模型的目标函数或约束 条件不符合标准形式，可以通过引入 松弛变量或剩余变量将其转化为标准 形式。
03
线性规划模型的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种迭代算法，用于求解 线性规划问题。
在每次迭代中，算法会检查当前解是 否满足最优条件，如果不满足，则通 过一定的规则转换到另一个解，直到 找到最优解或确定无解。
运筹学中的线性规划和整数规划
运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。
一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。
在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。
其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。
如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。
线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。
单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。
内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。
这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。
二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。
整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。
与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。
因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。
分支定界是一种常用的整数规划求解方法。
它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。
割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。
总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。
运筹学—线性规划
，确定基变量 xl
为换出变量。
-1 -1 （6） 用 Pk 替代 Pl 得新基Ｂ1，由变换公式 B1 Elk B
计算新基的逆阵Ｂ1-1，求出新的基本可行解 其中 Elk 为变换矩阵，构造方法是： 从一个单位矩阵出发，把换出变量
xl 在基B中的对应列的单位
向量，替换成换入变量 x k 对应的系数列向量 B-1Pk，并做如下变形，
C=(3,2,0,0)
1 1 1 0 A= 2 1 0 1
-1 0 -1 0
40 b= 60
1 0 （2）计算单纯行乘子 π0 =CB B (c3 ,c4 )B (0, 0) (0, 0) 0 1 目标函数当前值 40 Z0 = π0 b = (0,0) 0 60
2 0 B = E 32 B = 1 1 0
-1 2 -1 1
x 3 ,x 4 为非基变量， 2 2 -1 -1 1 = 1 -1 1 进入第三循环. 2
C=(3,2,0,0) -1 1 1 1 1 1 0 40 -1 2 B2 =(P2 ,P1 )= A= B2 = b= 1 2 2 1 0 1 60 -1 1
第j个约束为等式约束
第i个变量为自由变量
例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2 x 1 3x 2 x 1 2x 2 3 2 x x 5 1 2 s .t . x 1 3 x 2 1 x 1 0
例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
甲 乙
对偶模型的一般式
以例7为例，原问题为
记Y ( y ，y , y ), 则对偶问题为
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
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Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300 台时
原料 A
2
1
400 千克
原料 B
0
1
250 千克
问题：工厂应分单别位生产品产获多利少单位Ⅰ50、元Ⅱ产品才能100使元工厂获利最多？
2.1 线性规划问题的数学模型
解：设生产产品I和产品Ⅱ 的产量分别为x1和x2 。
则有如下模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2
2.1 线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0
称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0
称为剩余变量
变量 x j的变换0
可令
x
j
，x显j 然
x
j
0
2.1 线性规划问题的数学模型
2
鸡蛋
800
60
200
6
问3如何选择才能大米满足营养的90前0 提下使购20买食品的费用30最0 小？ 3
4
白菜
200
10
500
2
请同学们自己列出模型？
2.1 线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 目标函数 约束条件
Decision variables Objective function Constraints
2.1 线性规划问题的数学模型
（2）如何化标准形式
目标函数的转换 如果是求极小值即
，m则in可z将目标c函j x数j乘以(-1)，可化为求极大值问题。
即 maxz z c j x j
也就是：令 ，z可得到z上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：
xj
xj , xj 0
x j xj xj
设备 产品
A
B
C
D 利润（元）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
有效台时
12
8
16 12
2.1 线性规划问题的数学模型
•解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量， 则数学模型为ma：x Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
s.t.
4x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
2.1 LP的数学模型 2.2 图解法 2.3 单纯形法 2.4 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 2.5 LP模型的应用
2.1 线性规划问题的数学模型
•1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资 源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
2.1 线性规划问题的数学模 型
例2.3 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡热量，55克蛋白质和 800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营 养成分以及市场价格如下表所示。
序号
食品名称 热量（卡） 蛋白质（克） 钙（毫克） 价格（元）
1
猪肉
1000
50
400
10
约束条件：s.t.
x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
2.1 线性规划问题的数学模型
例2.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、 D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上 加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企 业总的利润最大？
线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资 金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标
（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产 品量最多 、利润最大.）
2.1 线性规划问题的数学模型
例2.1 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需 的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
n
max(min) Z c j x j j1
n
aij x j ( ) bi (i 1 2m)
j1
xj 0
(j 1 2n)
2.1 线性规划问题的数学模 型
• 其中，ci ——称为价值系数
• 数）
aij——称为技术系数（或消耗系
•
bi——称为资源系数
2.1 线性规划问题的数学模型
向量形式： max (min)z CX
x1
X
xn
b1
B
bm
2.1 线性规划问题的数学模型
•5. 线性规划问题的标准形式
n
max Z c j x j j1
s.t
n j1
aij
x
j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
例2.4 将下列线性规划问Байду номын сангаас化为标准形式
min Z 2 x1 x2 3 x3
5 x1 x2 x3 7
pj xj
(
) B
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
X
xn
Pj
a1
j
amj
b1
B
bm
2.1 线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
max (min)Z CX
AX ( ) B
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或 最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.1 线性规划问题的数学模型
•3. 线性规划建模过程 •（1）理解要解决的问题，了解解题的目标 和条件； •（2）定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ）， 每一组值表示一个方案； •（3）用决策变量的线性函数形式写出目标 函数，确定最大化或最小化目标； •（4）用一组决策变量的等式或不等式表示 解决问题过程中必须遵循的约束条件
2.1 线性规划问题的数学模型
4. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： 约束条件：
简写为：
max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0