永磁同步电机的建模与参数辨识
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sβ
上面的公式是经典的一次完成算法， 但不能对辨识结果
［5 ］ 进行修正， 辨识精度不高 。故引入递推最小二乘法： ^ （ n） = θ ^ （ n － 1 ） + K（ n） （ y（ n） － H T （ n） × θ ^（ n － 1 ） ） θ
K（ N） = P（ n － 1 ） H（ n） ［ H T （ n） P（ n － 1 ） H（ n） + I］－ 1 P（ n） = ［ I － K（ n） H T （ n） ］ P（ n － 1 ） 递推最小二乘法的基本思路是： 新的估计值 = 旧的估计 值 + 修正值。新的估计值是在老的估计值的基础上修正而 成。递推最小二乘法无需存储全部的数据， 而是随着新观测 的数据的逐次引入， 一次接一次地进行参数辨识， 直到参数 － sin θ
［1 ］
。因此需要对电机参数进行实时
进行验证。分析结果表明该方法辨识结果准确， 能取得了较
— 401 —
好的辨识效果。
3 2 PMSM 模型的建立
选择两相静止坐标系的电机数学模型作为研究的对象， 因为该坐标系中的变量很容易由电机输出端的测量信号通 过 3 /2 变换得到， 同时电机电机控制环节中的磁场定向很多 所以更容易实现实时辨识 。 变量也是基于两相静止坐标系， 在转子同步旋转坐标系（ d － q 坐标系） 下， 电机电压方程可 以写成如下形式： 。
i sα
－ Rs Ls ω － Rs 0
－ω － Rs Ls 0 － Rs
0 －ω Ls 0 0
i s 0 β + ψ sα 0 ψ sβ 0
1 Ls 0 1 0
1 u sα Ls u sβ 0 1
[ ][
ud uq =
R s + pL d 0
0 R s + pL q
][ ] [
id iq +
－ ωψq ωψd
]
（ 1）
（ H T H）
－1
H T y。
其中： ψd = L d i d + ψf ， ψq = L q i q R s ： 定子电阻 Ld ， L q ： d， q 轴定子轴电感 ud ， u q ： d， q 轴定子电压 id ， i q ： d， q 轴定子电流 q 轴定子磁链 ψq ， ψ d ： d， ψf ： 转子磁链 ω： 转子转速 p： 微分 θ [ i ] = [ cos sin θ i sα
ωL s R s + pL s
][ ] [ ]
i sα i sβ +ω － ψ sβ ψ sα ω L s i sα
将式（ 6 ） （ 3 ） 改成矩阵形式， 得到两相静止坐标系下电 机的模型为：
i sβ p = ψ sα ψ sβ
收稿日期： 2010 － 08 － 01 修回日期： 2010 － 08 － 18
1
引言
永磁同步电动机是一个强耦合非线性系统， 在建模过程
的误差将导致电机模型具有一定的不确定性 。 故精确地建 立电机模型成为提高控制精度的关键 。 在矢量控制系统中， 需要对电机参数进行准确的辨识以实现对电机的转子磁场 而电机的定转子参数会随着温升和磁路饱和发生 定向控制， 变化， 是一种不确定的时变参数， 使得参数辨识的结果不准 确， 影响矢量控制的性能 辨识。
u sα u sβ = ψ sα ψ sβ
cos θ sin θ i sα i sβ
－ sin θ cos θ +p ψ sα ψ sβ
[ ] [ ] [ ] [ ]
= Rs = Lq i sα i sβ ψ sα
sβ s
][ u ]
u sd
sq
+ [ （ L d － L q ） i sα + ψ f ]
本文中选择的电机模型中 L d 和 L q 是相等的， 故令 L d = Lq = Ls ， 可得磁链方程为： θ [ ψ ] = L [ i ] + ψ [ cos ] sin θ i sα
sβ f
（ 5）
将式子（ 5 ） 求导代入（ 3 ） 中得到
[ ][
u sα u sβ =
R s + pL s － ωL s
Hale Waihona Puke Baidu
是磁链在实际中是不容易测到的； 通常是使用磁链估算得 但是需要用到电机的参数， 这样导致参数估算相互耦合， 到， 故需要设法消除磁链项， 取式（ 7 ） 的第一项如下： （ 3） pi sα = － Rs 1 ω i － ωi sβ + ψsβ + u sα L s sα Ls Ls （ 8）
[ ][
Modeling and Parameter Identification of Permanent Magnet Synchronous Motor
LI Ping
（ College of Automation Science ＆ Engineering，South China University of Technology， Guangzhou Guangdong 510641 ，China） ABSTRACT： The permanent magnet synchronous motor（ PMSM） has been widely used in many accurate servo control systems for its excellent qualities． However the motor parameters vary with the changing work environments，resulting in the precision of control system to be affected． Real － time identification of motor parameters is a guarantee for improving overall system performances． Based on deep analysis of the electromagnetic characteristics of permanent magnet synchronous motor，the mathematical model of permanent magnet synchronous motor is derived in the stationary two － phase of the motor coordinates． And recursive least square is choosed for online identification of motor parameters under this mathematical equation． Matlab / simulink is used to create the simulation system of double closed loop control system． Simulation results show that the method can quickly and accurately identify the motor parameters and has good robustness． The algorithm is proved correct，and can improve the accuracy of control system． KEYWORDS： Permanent magnet synchronous motor； Recursive least squares； Parameter identification 2， 基于以上两点， 很多文章进行了深入的分析 。 文献［ 3］ 利用模型参考自适应理论， 提出了不同模型的参考自适应 参数辨识方法。该方法不能对辨识结果进行实时的修正， 实 4］采用了扩展的卡尔曼滤波法辨识参数， 时性较差。文献［ 然而该方案模型比较复杂， 增益参数很难配置， 实现起来比 较困难。本文提出了一种以最小二乘法为核心的方法对电 机的参数进行辨识。 本文首先通过深入分析永磁同步电机 的电磁特性后， 推导出了在两相静止坐标下以定子电流和定 子磁链为状态变量的的永磁同步电机的数学模型； 并结合递 推最小二乘法， 对电机模型进行离散化， 采用永磁同步电机 参数辨识的算法。 最后通过建立仿真控制系统对辨识算法
0
[ ]
（ 7）
（ k） － R s i sβ （ k） ］+
— 402 —
将式（ 11 ） 移项化简得到： Rs T i sα （ k + 2 ） + ωTi sβ （ k + 1 ） = （ 2 － ） i （ k + 1） + （ － 1 + L s sα Rs T T ωT ωT ） i （ k） + （ ωT － ） i （ k） + u （ k） + u （ k + 1） L s sα L s sα L s sβ L s sβ
] [i ] cos θ
id
q
（ 2）
估计值达到满意的精度为止 。
i sβ 为 α ， 其中 i sα ， β 轴的电流； θ 为转子角度。 利用坐标变化式（ 2 ） 将电机模型（ 1 ） 变换到两相静止坐 标下。可得到两相静止坐标（ α － β） 下电机电压方程：
4
基于最小二乘法的辨识算法
如果直接用式（ 7 ） 电机模型辨识参数， 则要知道磁链， 但
[ sin θ ]
cos θ
对式（ 8 ） 左右两边求导， 并且假设电机转速很快就稳定 （ 4） 即 dω = 0 得： dt Rs d d2 d 1 d ω d i = － i － ω i sβ + u ψ + dt sα L s dt sα dt L s dt sβ L s dt sα 将式（ 5 ） 代入（ 9 ） 得： Rs d d2 d 1 d ω i = － i － ω i sβ + （ u sβ － R s i sβ ） + u dt sα L s dt sα dt Ls L s dt sα （ 10 ） （ 6） 因为在实际中， 对采样的电流信号求二次微分会带来很 大的噪声， 严重影响参数辨识的精度， 故需将信号离散。 d2 i i k + 2 － 2 i k + 1 + i k = dt T2 将式（ 10 ） 离散得到： i sα （ k + 2 ） － 2 i sα （ k + 1 ） + i sα （ k ） T2 = － R s i sα （ k + 1 ） － i sα （ k ） i s （ k + 1 ） － i sβ （ k ） ω － ω β + ［u sβ Ls T T Ls 1 u sα （ k + 1 ） － u sα （ k ） Ls T （ 11 ） di i k + 1 － i k = dt T （ 9）
最小二乘法辨识原理
假设辨识模型为： y = Hθ + ε H 是可观测的的数据量， 其中是 y 输出量， θ 是需要辨识
ε 为均值为零的随机噪声 。 利用数据序列 Y 和 的过程参数，
n
H， 极小化下列准则函数 J（ θ） =
∑［y － H
k =1
T
2 θ］
最小二乘法的核心就是求取使以上准则函数达到最小 ^ 。 对 上 述 准 则 取 偏 导 J | ^ = 0 ， ^ = 时的 参 数 θ 得到 θ θ θ = θ
第 28 卷
第8 期
计
算
机
仿
真
2011 年 8 月
文章编号： 1006 － 9348 （ 2011 ） 08 － 0401 － 04
永磁同步电机的建模与参数辨识
李 平
（ 华南理工大学自动化科学与工程学院， 广东 广州 510641 ） 摘要： 永磁同步电机由于其优越的性能而广泛的应用于精确的伺服控制控制系统中， 针对电机的参数会随着工作环境的变 导致控制的精度受到很大影响 。提出采用实时地对电机参数进行辨识， 成为提高整个系统性能的保证 。 在深入 化而变化， 分析永磁同步电机的电磁特性后， 推导出永磁同步电机在两相静止坐标下的电机数学模型； 并在该数学模型下利用递推最 对电机的参数进行在线辨识。利用 matlab 软件平台构建永磁同步电机双闭环仿真模型进行仿真， 小二乘法编写辨识算法， 仿真结果表明算法能精确地辨识电机的参数， 具有较好的鲁棒性。从而证明上述方法的正确性， 能够提高控制系统的精度。 关键词： 永磁同步电机； 递推最小二乘法； 参数辨识 中图分类号： TM301. 2 文献标识码： A
上面的公式是经典的一次完成算法， 但不能对辨识结果
［5 ］ 进行修正， 辨识精度不高 。故引入递推最小二乘法： ^ （ n） = θ ^ （ n － 1 ） + K（ n） （ y（ n） － H T （ n） × θ ^（ n － 1 ） ） θ
K（ N） = P（ n － 1 ） H（ n） ［ H T （ n） P（ n － 1 ） H（ n） + I］－ 1 P（ n） = ［ I － K（ n） H T （ n） ］ P（ n － 1 ） 递推最小二乘法的基本思路是： 新的估计值 = 旧的估计 值 + 修正值。新的估计值是在老的估计值的基础上修正而 成。递推最小二乘法无需存储全部的数据， 而是随着新观测 的数据的逐次引入， 一次接一次地进行参数辨识， 直到参数 － sin θ
［1 ］
。因此需要对电机参数进行实时
进行验证。分析结果表明该方法辨识结果准确， 能取得了较
— 401 —
好的辨识效果。
3 2 PMSM 模型的建立
选择两相静止坐标系的电机数学模型作为研究的对象， 因为该坐标系中的变量很容易由电机输出端的测量信号通 过 3 /2 变换得到， 同时电机电机控制环节中的磁场定向很多 所以更容易实现实时辨识 。 变量也是基于两相静止坐标系， 在转子同步旋转坐标系（ d － q 坐标系） 下， 电机电压方程可 以写成如下形式： 。
i sα
－ Rs Ls ω － Rs 0
－ω － Rs Ls 0 － Rs
0 －ω Ls 0 0
i s 0 β + ψ sα 0 ψ sβ 0
1 Ls 0 1 0
1 u sα Ls u sβ 0 1
[ ][
ud uq =
R s + pL d 0
0 R s + pL q
][ ] [
id iq +
－ ωψq ωψd
]
（ 1）
（ H T H）
－1
H T y。
其中： ψd = L d i d + ψf ， ψq = L q i q R s ： 定子电阻 Ld ， L q ： d， q 轴定子轴电感 ud ， u q ： d， q 轴定子电压 id ， i q ： d， q 轴定子电流 q 轴定子磁链 ψq ， ψ d ： d， ψf ： 转子磁链 ω： 转子转速 p： 微分 θ [ i ] = [ cos sin θ i sα
ωL s R s + pL s
][ ] [ ]
i sα i sβ +ω － ψ sβ ψ sα ω L s i sα
将式（ 6 ） （ 3 ） 改成矩阵形式， 得到两相静止坐标系下电 机的模型为：
i sβ p = ψ sα ψ sβ
收稿日期： 2010 － 08 － 01 修回日期： 2010 － 08 － 18
1
引言
永磁同步电动机是一个强耦合非线性系统， 在建模过程
的误差将导致电机模型具有一定的不确定性 。 故精确地建 立电机模型成为提高控制精度的关键 。 在矢量控制系统中， 需要对电机参数进行准确的辨识以实现对电机的转子磁场 而电机的定转子参数会随着温升和磁路饱和发生 定向控制， 变化， 是一种不确定的时变参数， 使得参数辨识的结果不准 确， 影响矢量控制的性能 辨识。
u sα u sβ = ψ sα ψ sβ
cos θ sin θ i sα i sβ
－ sin θ cos θ +p ψ sα ψ sβ
[ ] [ ] [ ] [ ]
= Rs = Lq i sα i sβ ψ sα
sβ s
][ u ]
u sd
sq
+ [ （ L d － L q ） i sα + ψ f ]
本文中选择的电机模型中 L d 和 L q 是相等的， 故令 L d = Lq = Ls ， 可得磁链方程为： θ [ ψ ] = L [ i ] + ψ [ cos ] sin θ i sα
sβ f
（ 5）
将式子（ 5 ） 求导代入（ 3 ） 中得到
[ ][
u sα u sβ =
R s + pL s － ωL s
Hale Waihona Puke Baidu
是磁链在实际中是不容易测到的； 通常是使用磁链估算得 但是需要用到电机的参数， 这样导致参数估算相互耦合， 到， 故需要设法消除磁链项， 取式（ 7 ） 的第一项如下： （ 3） pi sα = － Rs 1 ω i － ωi sβ + ψsβ + u sα L s sα Ls Ls （ 8）
[ ][
Modeling and Parameter Identification of Permanent Magnet Synchronous Motor
LI Ping
（ College of Automation Science ＆ Engineering，South China University of Technology， Guangzhou Guangdong 510641 ，China） ABSTRACT： The permanent magnet synchronous motor（ PMSM） has been widely used in many accurate servo control systems for its excellent qualities． However the motor parameters vary with the changing work environments，resulting in the precision of control system to be affected． Real － time identification of motor parameters is a guarantee for improving overall system performances． Based on deep analysis of the electromagnetic characteristics of permanent magnet synchronous motor，the mathematical model of permanent magnet synchronous motor is derived in the stationary two － phase of the motor coordinates． And recursive least square is choosed for online identification of motor parameters under this mathematical equation． Matlab / simulink is used to create the simulation system of double closed loop control system． Simulation results show that the method can quickly and accurately identify the motor parameters and has good robustness． The algorithm is proved correct，and can improve the accuracy of control system． KEYWORDS： Permanent magnet synchronous motor； Recursive least squares； Parameter identification 2， 基于以上两点， 很多文章进行了深入的分析 。 文献［ 3］ 利用模型参考自适应理论， 提出了不同模型的参考自适应 参数辨识方法。该方法不能对辨识结果进行实时的修正， 实 4］采用了扩展的卡尔曼滤波法辨识参数， 时性较差。文献［ 然而该方案模型比较复杂， 增益参数很难配置， 实现起来比 较困难。本文提出了一种以最小二乘法为核心的方法对电 机的参数进行辨识。 本文首先通过深入分析永磁同步电机 的电磁特性后， 推导出了在两相静止坐标下以定子电流和定 子磁链为状态变量的的永磁同步电机的数学模型； 并结合递 推最小二乘法， 对电机模型进行离散化， 采用永磁同步电机 参数辨识的算法。 最后通过建立仿真控制系统对辨识算法
0
[ ]
（ 7）
（ k） － R s i sβ （ k） ］+
— 402 —
将式（ 11 ） 移项化简得到： Rs T i sα （ k + 2 ） + ωTi sβ （ k + 1 ） = （ 2 － ） i （ k + 1） + （ － 1 + L s sα Rs T T ωT ωT ） i （ k） + （ ωT － ） i （ k） + u （ k） + u （ k + 1） L s sα L s sα L s sβ L s sβ
] [i ] cos θ
id
q
（ 2）
估计值达到满意的精度为止 。
i sβ 为 α ， 其中 i sα ， β 轴的电流； θ 为转子角度。 利用坐标变化式（ 2 ） 将电机模型（ 1 ） 变换到两相静止坐 标下。可得到两相静止坐标（ α － β） 下电机电压方程：
4
基于最小二乘法的辨识算法
如果直接用式（ 7 ） 电机模型辨识参数， 则要知道磁链， 但
[ sin θ ]
cos θ
对式（ 8 ） 左右两边求导， 并且假设电机转速很快就稳定 （ 4） 即 dω = 0 得： dt Rs d d2 d 1 d ω d i = － i － ω i sβ + u ψ + dt sα L s dt sα dt L s dt sβ L s dt sα 将式（ 5 ） 代入（ 9 ） 得： Rs d d2 d 1 d ω i = － i － ω i sβ + （ u sβ － R s i sβ ） + u dt sα L s dt sα dt Ls L s dt sα （ 10 ） （ 6） 因为在实际中， 对采样的电流信号求二次微分会带来很 大的噪声， 严重影响参数辨识的精度， 故需将信号离散。 d2 i i k + 2 － 2 i k + 1 + i k = dt T2 将式（ 10 ） 离散得到： i sα （ k + 2 ） － 2 i sα （ k + 1 ） + i sα （ k ） T2 = － R s i sα （ k + 1 ） － i sα （ k ） i s （ k + 1 ） － i sβ （ k ） ω － ω β + ［u sβ Ls T T Ls 1 u sα （ k + 1 ） － u sα （ k ） Ls T （ 11 ） di i k + 1 － i k = dt T （ 9）
最小二乘法辨识原理
假设辨识模型为： y = Hθ + ε H 是可观测的的数据量， 其中是 y 输出量， θ 是需要辨识
ε 为均值为零的随机噪声 。 利用数据序列 Y 和 的过程参数，
n
H， 极小化下列准则函数 J（ θ） =
∑［y － H
k =1
T
2 θ］
最小二乘法的核心就是求取使以上准则函数达到最小 ^ 。 对 上 述 准 则 取 偏 导 J | ^ = 0 ， ^ = 时的 参 数 θ 得到 θ θ θ = θ
第 28 卷
第8 期
计
算
机
仿
真
2011 年 8 月
文章编号： 1006 － 9348 （ 2011 ） 08 － 0401 － 04
永磁同步电机的建模与参数辨识
李 平
（ 华南理工大学自动化科学与工程学院， 广东 广州 510641 ） 摘要： 永磁同步电机由于其优越的性能而广泛的应用于精确的伺服控制控制系统中， 针对电机的参数会随着工作环境的变 导致控制的精度受到很大影响 。提出采用实时地对电机参数进行辨识， 成为提高整个系统性能的保证 。 在深入 化而变化， 分析永磁同步电机的电磁特性后， 推导出永磁同步电机在两相静止坐标下的电机数学模型； 并在该数学模型下利用递推最 对电机的参数进行在线辨识。利用 matlab 软件平台构建永磁同步电机双闭环仿真模型进行仿真， 小二乘法编写辨识算法， 仿真结果表明算法能精确地辨识电机的参数， 具有较好的鲁棒性。从而证明上述方法的正确性， 能够提高控制系统的精度。 关键词： 永磁同步电机； 递推最小二乘法； 参数辨识 中图分类号： TM301. 2 文献标识码： A