机械系统建模与仿真第六章

R I
1
则导纳圆方程变为： 或
2
( x x0 ) ( y y 0 )
2 2
2
x y ax by c 0
2
上式即为最小二乘圆拟合法的数学模型，待识别的参数为a、 b、c。其中： 2 2 2 a 2 x0 , b 2 y 0 , c x0 y 0
T i 1
T
式中：θ
[ 1 2 n ]
T
x [ x1 x 2 x n ]
θ 为待识别参数
x (k ) y (k )
现在，在 s 个观测点得到系统的一组观测数据
对应相同观测点上的理论值完全满足上述方程，即
第六讲 动态系统参数类建模方法
y ( k ) x ( k )θ
（2）模态参数识别
设实际测得主导模态某频响函数在 s 个频率点处的频响函数值 R I 为 H ef ( k ) x k , H ef ( k ) y k ，
第六讲 动态系统参数类建模方法
R I 对应相同频率点处的理论值为 H ef ( k ) x k , H ef ( k ) y k 。
2 k k 1 s 4 k k 1
第 i 阶模态固有频率和阻尼比分别为：
0i
ki / mi
i g i / ki
第六讲 动态系统参数类建模方法
欲求振型矢量，需n个测点的阻抗函数。又：
H ef ( i 1)
I
1 K efi i
构造最小二乘的目标函数：
E

E b
2
s
2 2 2 (x k y k a x k b y k c )
k 1
令：
E a
0,
0,
E c
2 yk yk
0 得a、b、c的最小二乘估计值
xk k y s
1
a xk b xk yk c xk
即 f 坐标激励、e 坐标响应的频响函数。式中： i / 0 i 为频 率比， 0 i k i / m i 为第 i 阶模态的无阻尼固有频率。第 i 阶模 态 e、f 坐标间的等效刚度为： K efi k i / ei fi 显然，对应某 阶模态 i 的等效刚度不是常值，而刚度ki对固定模态是常值。
为使 E 最小，将 E 对θ 求一次偏导，并另其为零，得：
X
T
T ˆ y X Xθ
T 1 (X X )
因为观测矩阵一般为列满秩矩阵，则
ˆ T 1 θ (X X ) X
T
存在，所以可得：
y
如果ε是一个具有零均值的平稳随机过程，例如，白噪声，可 ˆ 以证明，最小二乘估计 θ 是无偏的、有效的和一致的。
E[

,]Fra bibliotek式中： ρm为自相关系数， μ为均值，σ为均方差。
第六讲 动态系统参数类建模方法
若有时间序列{yk}，k=1，….，N，E[yk]= μ 。令zk=yk- μ，则 E[zk]= μ’=0，称为0均值化。 对于AR、MA、ARMA模型，需满足的数学条件是：具有有 理谱密度的平稳时间序列，亦即要求观测时序{zk}是平稳、正 态分布、0均值的序列。 1 AR模型（AR(p) ，Auto Regressive）
第六讲 动态系统参数类建模方法
时序分析建模是建立在输出等价的基础上（亦即模型所描述 的系统与实际系统仅需输出相等）。应用广泛，主要有气象 预报、人口预测、市场预测等。 一 平稳时间序列及其数学模型 若一个时间序列 z1 , z 2 , z k , z k m , ，其统计特性（数学 期望、方差）是不随时间而变化的，称为平稳时间序列。从 波形上看，在时间坐标上其波动是均匀的。从相关系数上考 虑，有 z1 z1 m z2 z2m m E[ , ] E[ , ] zk zk m
Z ( ) K efi (1 i )
R 2
ef
Z ef ( ) K efi (1 i j i )
Z ( ) K efi i
I
ef
由于虚部与ω无关，阻抗方程在由实部和 虚部构成的平面上表示为一根平行于水 平轴的直线，称为阻抗线。可见，阻抗 线与导纳圆等价，但更为简单。
1、 不考虑剩余模态的影响 （1）理论模型
第六讲 动态系统参数类建模方法
设第 i 阶模态为待识别的主导模态，其他模态对主导模态的影 响称为剩余模态。完全忽略其影响，则频响函数变为：
H ef ( ) 2 K efi 1 i j i 1 1
其Nyquist图是一个圆。
2
频响函数亦可用阻抗表示： 其实部和虚部分别为：
第六讲 动态系统参数类建模方法
6.1 最小二乘法 最小二乘法是一类经典、有效的数据处理方法，它的思想是： 未知量的最可能值是这样一个数，它使得各次实际观测值和计 算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数据以后的和为最小。 假设线性时不变系统的数学模型可用含n个参数的线性参数 模型表示： n
y
i xi x θ

( a / 2 ) (b / 2 ) c
第六讲 动态系统参数类建模方法
进一步根据图解法识别其他各种模态参数，如图，a<0,b>0。 最小二乘阻抗线法完全用最小二乘原理 估计模态参数，估计精度高，但未考虑 剩余模态，故结果误差较大；最小二乘 圆拟合法只用最小二乘原理估计出导纳 圆的半径或振型，而其他参量的估计仍 建立在图解法基础上，故精度不高。 由于最小二乘阻抗线法便于编程处理，故 对小阻尼系统或作为多模态识别法迭代的 初始估计，这种方法很具有优越性。

xk yk
x k ( x k2 y k2 ) k ( x k2 y k2 ) y (x2 y2 ) k k
2 2
进而得拟合圆圆心坐标和半径分别为：
x 0 a / 2, y 0 b / 2,
T
( k 1, 2, s )
由于噪声等影响，实测值近似满足模型方程，即
T y ( k ) x ( k )θ ( k ) ( k 1, 2, s )
( k ) 是理论值与实测值之间的误差。
将模型用矩阵形式表示：
y Xθ
y Xθ ε
所以： ε y X θ 是实测模型与理论模型之间的总体误差。
R I
( H ef ( ) H efc ) ( H ef ( )
R R 2 I
1 2 K efi i
H efc ) (
I 2
1 2 K efi i
)
2
第六讲 动态系统参数类建模方法
设：
x H ef ( ), y H ef ( ), 2 K efi i R I x 0 H efc , y 0 H efc
由拟合圆识别参数
第六讲 动态系统参数类建模方法
6.3 时序建模方法 最小二乘类识别法是以描述系统输入与输出因果关系的控制 理论为基础的，但实际问题常遇到如下情况： （1）产生观测数据的系统并不具体，甚至边界也不清楚。 （2）产生观测数据的系统虽然具体，却无法准确获知系统的 输入。 （3）系统输入是可观测的，但系统处于严重的、无法观测的 噪声干扰之中，此时无法采用以控制理论为基础的辨识方法 来建模。 对于上述情形，可采用时间序列分析法建模。按照时间次序 排列的一系列观测数据称为时间序列，分析这种数据序列的 统计方法称为时间序列分析。
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6.2 最小二乘圆拟合法 最小二乘圆拟合法主要用于单模态识别。所谓单模态识别法是 指一次只识别一阶模态的模态参数，所用数据为该阶模态共振 频率附近的频响函数值。 研究单模态识别法的意义有：1）对模态耦合较小的系统，用 单模态识别法识别出的结果能达到满意精度；2）对模态耦合 较大的系统，需采用多模态识别法，需要进行迭代。用单模 态识别法得到的结果可以作为迭代的初值，大大加快迭代过 程的收敛速度。 最小二乘圆拟合法的基本思想是，根据实测频响函数数据，用 理想导纳圆去拟合实测的导纳圆，并按最小二乘原理使其误差 最小。
阻抗线
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（2）模态参数识别 对原点频响函数Hff( ω )，令振型归一化为φ fi=1，则Kffi=ki， 所以阻抗方程的实部和虚部变为：
Z
R ff
( ) k i (1 i ) k i m i
2
2
Z
I ff
( ) k i i g i
R ff
( k ) k i m i k
2
( k 1, 2, , s )
实测 Z R ( k ) 与理论值的总方差，即目标函数为： ff
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E

s
2 2 R ( k i m i k Z ff ( k ))
k 1
令：
E ki

1 Z ef
I
I 而 Z ef 可由最小二乘法利用 s 各测试值求得：
Z ef
I
1
s
s
I Z ef ( k )
k 1
所以由
1 Z ef
I
1 组成的矢量 I Z1 f
1 Z2f
I

1 即为振型矢量。 I Z nf
T
由于上述参数识别理论用到与导纳圆等价的阻抗线，故又称最 小二乘阻抗线法。
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2 考虑剩余模态的影响 （1）理论模型 在实模态系统中，对剩余模态最简单的处理就是视其频响函 数为常数。此时频响函数可写为：