四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(理)试题 Word版含答案
2015年四川省成都七中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|﹣3≤x≤4}，B＝{x∈R|log2x≥1}，则A∩B＝（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4）D．[2，4]2．（5分）复数z＝在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（，﹣）C．（3，﹣3）D．（，﹣）3．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A．45，56B．46，45C．47，45D．45，474．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．25．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．46．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位7．（5分）已知不等式组，则目标函数z＝2x﹣y的最小值是（）A．8B．5C．4D．1+ln28．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）9．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＜e2014f（0）10．（5分）已知整数a，b，c，t满足：2a+2b＝2c，t＝，则log2t的最大值是（）A．0B．log23C．2D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（x2﹣）6展开式中的常数项为．（用数字作答）12．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出S＝，则判断框内实数p的取值范围是．13．（5分）已知{a n}是递增数列，且对任意的n∈N*都有a n＝n2+2sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，则角θ的取值范围是．14．（5分）已知点O为△ABC内一点，且＝，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于．15．（5分）若以曲线y＝f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y＝f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：①函数y＝（x﹣2）2+lnx的图象具有“可平行性”；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y＝f（x）的图象都具有“可平行性”；③三次函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2＝；④要使得分段函数f（x ）＝的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m＝1．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝﹣5，S5＝﹣20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式S n＞a n成立的n的最小值．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＝（a ﹣b）sin B+c sin C，（1）求角C的值：（2）若c＝2，且sin C+sin（B﹣A）＝3sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝ED＝2AE＝2，EB＝3，F为PC上一点，且CF＝2FP．（1）求证：P A∥平面BEF；（2）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的大小．（用向量法解答）19．（12分）2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．20．（13分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．21．（14分）已知向量，，（a为常数）．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．2015年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|﹣3≤x≤4}，B＝{x∈R|log2x≥1}，则A∩B＝（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4）D．[2，4]【解答】解：由B中不等式变形得：log2x≥1＝log22，得到x≥2，即B＝[2，+∞），∵A＝[﹣3，4]，∴A∩B＝[2，4]，故选：D．2．（5分）复数z＝在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（，﹣）C．（3，﹣3）D．（，﹣）【解答】解：由复数＝．∴复数在复平面上对应的点的坐标为（）．故选：B．3．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A．45，56B．46，45C．47，45D．45，47【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：＝46．出现次数最多的数是45，故众数是45．故选：B．4．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱柱的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V＝××2×1×2＝．故选：B．5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2；故选：B．6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A＝1，T＝4（）＝π，即ω＝2即f（x）＝sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ＝+2kπ，k∈Z又由∴φ＝∴f（x）＝sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）＝sin2x的图象，则2（x+a）+＝2x解得a＝﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）＝sin2x的图象，故选：A．7．（5分）已知不等式组，则目标函数z＝2x﹣y的最小值是（）A．8B．5C．4D．1+ln2【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可知当直线经过点A（，﹣ln2）时，截距最大，z取最小值，故目标函数z＝2x﹣y的最小值为1+ln2故选：D8．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b ＝6，故概率为P＝＝设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，∴直线l1、l2相交的概率P＝＝，∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，∴（﹣m）2+（）2＜，解得﹣＜m＜故选：D．9．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＜e2014f（0）【解答】解：构造函数g（x）＝，则g′（x）＝．因为∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），并且e x＞0，所以g′（x）＜0，故函数g（x）＝在R上单调递减，所以g（﹣2014）＞g（0），g（2014）＜g（0），即＞f（0），＜f（0），即e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＜e2014f（0）．故选：D．10．（5分）已知整数a，b，c，t满足：2a+2b＝2c，t＝，则log2t的最大值是（）A．0B．log23C．2D．3【解答】解：∵整数a，b，c，t满足：2a+2b＝2c，t＝，∴t＝≤＝当且仅当a＝b时，取最大值，∴当a＝b＞0时，t max＝＝，c＝a+1，∵a，b，c，t是整数，∴a＝1，t＝1，∴log 2t 的最大值为log 21＝0． 当a ＝b ＝﹣2时，c ＝﹣1，t ＝＝4，∴log 2t 的最大值为log 24＝2． 综上所述，log 2t 的最大值是2． 故选：C ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（x 2﹣）6展开式中的常数项为 15 ．（用数字作答） 【解答】解：展开式的通项公式为T r +1＝（﹣1）r C 6r x 12﹣3r 令12﹣3r ＝0得r ＝4∴展开式中的常数项为C 64＝15 故答案为1512．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出S ＝，则判断框内实数p 的取值范围是 （5，6] ．【解答】解：S ＝++…＝（1﹣﹣）＝（1﹣），令S ＝得n ＝5，所以实数p的取值范围是（5，6]．故答案为：（5，6]．13．（5分）已知{a n}是递增数列，且对任意的n∈N*都有a n＝n2+2sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，则角θ的取值范围是[0，]∪[，2π]．【解答】解：∵{a n}是递增数列，且对任意的n∈N*都有a n＝n2+2sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，∴a n+1≥a n，对任意的n∈N*都成立，∴（n+1）2+2sinθ•（n+1）﹣n2﹣2sinθ•n，∴2n+1+2sinθ≥0，转化为2sinθ≥﹣2n﹣1，恒成立，因为n≥1，n∈N*，∴﹣2n﹣1≥﹣3，∴2sinθ≥﹣3，解得sinθ≥﹣，∵θ∈[0，2π]解得0≤θ≤，或≤θ≤2π，故答案为：[0，]∪[，2π]；14．（5分）已知点O为△ABC内一点，且＝，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于3：2：1．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得＝2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE；则+2＝+＝，∵+2+3＝，∴﹣＝3，又∵＝＝2，∴＝2，∴＝，∴S△ABC ＝2S△AOB；同理：S△ABC ＝3S△AOC，S△ABC＝6S△BOC；∴△AOB，△AOC，△BOC的面积比＝3：2：1．故答案为：3：2：1．15．（5分）若以曲线y＝f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y＝f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：①函数y＝（x﹣2）2+lnx的图象具有“可平行性”；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y＝f（x）的图象都具有“可平行性”；③三次函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2＝；④要使得分段函数f（x）＝的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m＝1．其中的真命题是④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：由“可平行性”的定义，可得曲线y＝f（x）具有“可平行性”，则方程y′＝a（a是导数值）至少有两个根．①函数y＝（x﹣2）2+lnx，则（x＞0），方程，即2x2﹣（4+a）x+1＝0，当a＝﹣4+时有两个相等正根，不符合题意；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，如y＝x，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）在各点处没有切线，∴②错误；③三次函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b，则f′（x）＝3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m＝0在（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′＝a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y＝e x﹣1（x＜0），y′＝e x∈（0，1），函数y＝x+，＝，由，得，∴x＞1，则m＝1．故要使得分段函数f（x）＝的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m＝1，④正确．∴正确的命题是④．故答案为：④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝﹣5，S5＝﹣20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式S n＞a n成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，依题意，有a2＝a1+d＝﹣5，S5＝5a1+10d＝﹣20，联立得解得，所以a n＝﹣6+（n﹣1）•1＝n﹣7．（Ⅱ）因为a n＝n﹣7，所以，令，即n2﹣15n+14＞0，解得n＜1或n＞14，又n∈N*，所以n＞14，所以n的最小值为15．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＝（a ﹣b）sin B+c sin C，（1）求角C的值：（2）若c＝2，且sin C+sin（B﹣A）＝3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a sin A＝（a﹣b）sin B+c sin C，由正弦定理，得a2＝（a﹣b）b+c2，即a2+b2﹣c2＝ab．①由余弦定理得cos C＝，结合0＜C＜π，得C＝．…（6分）（Ⅱ）由C＝π﹣（A+B），得sin C＝sin（B+A）＝sin B cos A+cos B sin A，∵sin C+sin（B﹣A）＝3sin2A，∴sin B cos A+cos B sin A+sin B cos A﹣cos B sin A＝6sin A cos A，整理得sin B cos A＝3sin A cos A．…（8分）若cos A＝0，即A＝时，△ABC是直角三角形，且B＝，＝bc＝．…（10分）于是b＝c tan B＝2tan＝，∴S△ABC若cos A≠0，则sin B＝3sin A，由正弦定理得b＝3a．②联立①②，结合c＝2，解得a＝，b＝，＝ab sin C＝×××＝．∴S△ABC综上，△ABC的面积为或．…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝ED＝2AE＝2，EB＝3，F为PC上一点，且CF＝2FP．（1）求证：P A∥平面BEF；（2）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的大小．（用向量法解答）【解答】（1）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．由EM∥CD，∴＝＝＝，∴FM∥AP，又∵FM⊂平面BEF，P A⊄平面BEF，∴P A∥平面BEF；（2）以E为坐标原点，EB，EA，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则设P（0，0，t），由于PE⊥平面ABCD，则向量＝（0，0，﹣t）即为平面BEC的法向量，由于AD∥BC，AD⊥CD，BC＝ED＝2AE＝2，EB＝3，则四边形BCDE为矩形，B（3，0，0），C（3，﹣2，0），由于F为PC上一点，且CF＝2FP，则有F（1，，t），则＝（1，，t），＝（3，0，0），设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则即有＝0，即x﹣y＝0，又＝0，即3x＝0，则可取＝（0，1，），由二面角F﹣BE﹣C为60°，则与的夹角为120°，即有cos120°＝＝＝﹣，解得，t＝．即P（0，0，）．PB＝＝2，由于PE⊥平面ABCD，则∠PBE即为直线PB与平面ABCD所成角．在直角三角形PBE中，cos∠PBE＝＝＝．故直线PB与平面ABCD所成角为arccos＝．19．（12分）2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10＝43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60＝9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60＝9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P（X＝2）＝+，．∴随机变量X的分布列为∴E（X）＝＝1．20．（13分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴，又点A在椭圆C上，∴＝1，解得|x1|＝|y1|＝．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴＝x1x2+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，∴（1+k2）•，整理，得5m2＝4（k2+1），∴点O到直线AB的距离＝，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S＝＝2，令1+＝t，t＞1，则S＝2＝2，令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0＝0时，解得S＝1，∴，∴S的最小值为．21．（14分）已知向量，，（a为常数）．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵（a为常数），∴f（x）lnx＝x（1﹣alnx），∴f（x）＝．（x＞1）．f′（x）＝﹣a（x＞1），∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥的最大值，x∈（1，+∞）．令g（x）＝＝+≤，当lnx＝2，即x＝e2时取得最大值．∴，∴实数a的最小值是．（Ⅱ）f（x）＝．f′（x）＝﹣a．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a ＝，①当a ≥时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）min＝f（e2）＝≤，解得a ≥﹣．②当a ＜时，由f′（x）＝+﹣a，在[e，e2]上的值域为[﹣a ，]．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min＝f（e）＝e﹣ae≥e＞，不和题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即0＜a ＜时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）＝0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，e2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min＝f（x0）＝﹣ax0≤，x0∈（e，e2）．∴a ≥﹣＞﹣＞，与0＜a ＜矛盾．综上可得：a 的取值范围是：．第21页（共21页）。
成都七中2015届高三一诊模拟考试数学答案(理,word版)
成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题数学（理科参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．15； 12．[)5,7； 13．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，； 14．3:2:1； 15．②④. 提示：9．构造函数()()x f x g x e =，则2()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e''--'==， ∵任意x R ∈均有()()f x f x '>，并且0x e >，∴()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R 上单调递减，也就是20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><故选C. 10. 不妨设a b ≤，122222221bcabbbb bc b +<=+≤+=⇒<≤+，,b c Z ∈，1c b ∴=+，1222b a b +∴=+1a bc ⇒==-．a b t c +∴=22c=-. ,a t Z ∈，1,2c ∴=±±，0,1,3,4t∴=，故2max 2(log )log 42t ==．15．②④由题，“可平行性”曲线的充要条件是：对域内1x ∀都21x x ∃≠使得12()()f x f x ''=成立．①错，12(2)y x x '=-+，又1212112(2)2(2)x x x x -+=-+ 1212x x ⇔=，显然12x =时不满足；②对，由()()()()f x f x f x f x ''=--⇒=-即奇函数的导函数是偶函数，对10x ∀≠都21x x ∃=-使得12()()f x f x ''=成立（可数形结合）；③错，2()32f x x x a '=-+，又当时，2211223232x x a x x a -+=-+2212123()2()x x x x ⇔-=-1223x x ⇔+=,当11=3x 时不合题意；④对，当0x <时，()(0,1)xf x e '=∈，若具有“可平行性”，必要条件是：当0x >时，21()1(0,1)f x x'=-∈，解得1x >，又1x >时，分段函数具有“可平行性”，1m ∴=（可数形结合）．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 52115,51020a a d S a d =+=-=+=-．联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得161a d ⎧⎨⎩=-=．∴ 6(1)17n a n n =-+-⋅=-． n N *∈ ……………6分 （Ⅱ） 7n a n =-，∴1()(13)22n n a a n n n S +-==． 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ， ……………10分 解得1n <或14n >． 又*n ∈N ，∴14n >．n ∴的最小值为15． ……………12分17．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． (8)分 若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π，于是b=ctanB=2tan6π，∴ S △ABC =12． ……………………10分 若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．② 联立①②，结合c=2，解得，∴ S △ABC =12absinC=12．综上，△ABC 12分18．（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于点M ，连接FM ．由//EM CD12AM AE PFMC ED FC∴===． //FM AP ∴． ………………4分 FM BEF PA BEF ⊂⊄面，面， //PA BEF ∴面．………………6分（Ⅱ）连CE ，过F 作FH CE ⊥于H .由于//FH PE ，故FH ABCD ⊥面.过H 作HM BE ⊥于M ，连FM .则FM BE ⊥，即FMH ∠为二面角F BE C --的平面角. 60,FMH FH ∴∠==．23FH PE =，1233MH BC AE ==PE ∴=．………………10分1,AE PE =∴=在Rt PBE ∆中，3BE =，tan PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=．∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分 解法二：以E 为坐标原点，,,EB ED EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． (0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C2CF FP = ，22(1,,)33F m ∴．………………7分设平面BEF 的法向量1(,,)n x y z =，由n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1n =(0,,1)m -． 又面ABCD 法向量为2(0,0,1)n =．由1212cos 60n n nn ⋅=⋅ ， 解得m =．………………10分在Rt PBE ∆中，3BE =， tan 3PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=．∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分 19．解：（Ⅰ）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………………4分（Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道：[15,25)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中1人不赞成．[25,35)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中2人不赞成． ………………6分X 的所有可能取值为0,1,2,3．338733995(0)18C C P X C C ==⋅=，23312878273333999917(1)36C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=， 212321827827333399992(2)9C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，21287233991(3)36C C C P X C C ==⋅=．……………10分 X∴的分布列为012311836936EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分20．(Ⅰ)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ………………3分（Ⅱ）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分(Ⅲ)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. ………………13分 直线的参数方程也可以做，更简洁。
四川省成都市高三数学摸底(零诊)考试试题 理(含解析)
四川省成都市2015届高三摸底（零诊）数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：数列、三角、概率、导数、圆锥曲线、立体几何综合问题、程序框图、平面向量、基本不等式、函数等；考查学生解决实际问题的综合能力。
是份非常好的试卷.第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 【知识点】向量的坐标运算【答案解析】D 解析：解：由向量的坐标运算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算. 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（UðS ）T 等于（A ）{2，4} （B ）{4} （C ）∅ （D ）{1,3,4} 【知识点】集合的运算 【答案解析】A 解析：解：因为UðS={2，4}，所以（UðS ）T={2，4}，选A.【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算，可先结合补集的含义求S 在U 中的补集，再结合并集的含义求S 的补集与T 的并集. 3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5 （C ）x ∃∈R ，2x =5 （D ）x ∃∈R ，2x ≠5【知识点】全称命题及其否定【答案解析】D 解析：解：结合全称命题的含义及其否定的格式：全称变特称，结论改否定，即可得⌝p 为x ∃∈R ，2x ≠5，所以选D.【思路点拨】全称命题与特称命题的否定有固定格式，掌握其固定格式即可快速判断其否定. 4．计算21og63 +log64的结果是（A ）log62 （B ）2 （C ）log63 （D ）3 【知识点】对数的运算【答案解析】B 解析：解：21og63 +log64=1og69+log64=1og636=2，所以选B.【思路点拨】在进行对数运算时，结合对数的运算法则，一般先把对数化成同底的系数相同的对数的和与差再进行运算，注意熟记常用的对数的运算性质.5．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 【知识点】简单的线性规划 【答案解析】B 解析：解：作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形AOB 对应的区域，平移直线4x+y=0，经过点B 时得最大值，将点B 坐标(2，0)代入目标函数得最大值为8，选B.【思路点拨】对于线性规划问题，通常先作出其可行域，再对目标函数进行平行移动找出使其取得最大值的点，或者把各顶点坐标代入寻求最值点.6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是（A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α （B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α 【知识点】线面平行的判定、线面垂直的性质【答案解析】C 解析：解：A 选项中直线a 还可能在平面α内，所以错误，B 选项直线a 与b 可能平行还可能异面，所以错误，C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选C 【思路点拨】在判断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理，应特别注意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行”，在判断位置关系时能用定理判断的可直接用定理判断，不能直接用定理判断的可考虑用反例排除.7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数【答案解析】C 解析：解：因为甲、乙监测站读数的极差分别为55，57，所以A 选项错误，10日内甲、乙监测站读数的中位数分别为74，68，所以B 选项错误，10日内乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，而正确的选项只有一个，因此选C.【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键，同时要理解中位数、众数、平均数各自的含义及求法.8．已知函数f （x ）cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f （x ）的单调递减区间是（A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质【答案解析】A 解析：解：因为()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于一个周期，所以2ππω=，得ω=2，由()3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以其单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z 选A. 【思路点拨】注意该题中直线y=－2的特殊性：－2正好为函数的最小值，所以其与函数的两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期9．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）=(]2,(1,1)1cos ,1,32x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩则g （x ）=f （x ）－|1gx|的零点个数是（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10 【知识点】函数的图象、偶函数、函数的周期性【答案解析】D 解析：解：由函数f （x ）满足f （4-x ）=f （x ），可知函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．先画出函数f （x ）当x ∈（-1，3]时的图象，再画出x ∈[0，10]图象．画出y=|lgx|的图象．可得g （x ）在x≥0时零点的个数为10， 故选D【思路点拨】由函数f （x ）满足f （4-x ）=f （x ），可知函数f （x ）的图象关于直线x=2对称，先画出函数f （x ）当x ∈（-1，3]时的图象，再画出x ∈[0，10]图象，可得g （x ）在x≥0时零点的个数.10．如图，已知椭圆Cl ：211x +y2=1，双曲线C2：2222x y a b -=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A ，B 两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C2的离心率为 （A ）5 （B（C（D）7【知识点】椭圆、双曲线性质的应用【答案解析】C 解析：解：因为AB 方程为b y xa =，与椭圆方程联立得渐进线与椭圆在第一象限的交点横坐标x =，因为且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，由椭圆的对称性知该点到原点的距离为16⨯16=⨯，整理得224b a =，得2222222215c a b b e a a a +===+=，得e = C【思路点拨】一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于a ，b ，c 的关系式，再求ca 即可，本题注意抓住AB 长为圆的直径，直线AB 与椭圆在第一象限的交点到原点的距离等于直径的16，即可建立a ，b ，c 关系.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
四川省成都市第七中学2015届高三下学期“高考热身考试”数学(理)试题 含解析
成都七中高2015届“高考热身考试"数学理科试题第Ⅰ卷（非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
若集合{}2lg ,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭，则=N C M R （ ）A .)2,0(B 。
)4,0(C 。
[)2,1D .),0(+∞【答案】C考点：集合的运算. 2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(3，则复数z 对应的点在（ )上A 。
直线x y 21-= B 。
直线x y 21= C 。
直线21-=x D .直线21-=y 【答案】C 【解析】试题分析：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以在直线21-=x 上.考点：1。
复数的运算;2.复数的几何意义. 3.已知命题R x p ∈∃:，使25sin =x ;命题R x q ∈∀:,都有012>++x x 。
给出下列结论：①题""q p ∧是真命题 ②命题""q p ⌝∧是假命题 ③命题""q p ∧⌝是真命题 ④命题""q p ⌝∨⌝是假命题其中正确的是（ ）A 。
②④B 。
②③C .③④D 。
①②③【答案】B 【解析】 试题分析：5sin 1,2x =>∴命题p 是假命题；22131()0,24x x x ++=++>∴命题q是真命题；所以②、③正确，故选B 。
考点:1.命题真假判断;2。
全称命题、特称命题.4．已知实数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ )A .31B 。
94C 。
53 D 。
103【答案】A 【解析】试题分析:由程序框图知:第一次运行x =2x +1,n =2；第二次运行x =2（2x +1)+1，n =3；第三次运行x =2×+1，n =4；不满足条件n ≤3，程序运行终止，输出x =8x +4+2+1=7+8x ,解8x +7≥63得x ≥7,∴输入x ∈，输出的x 不小于63的概率为3193=．故选:A ．考点:程序框图。
四川省成都市第七中学高三一诊模拟——数学(理)数学理
成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题数学（理科参考答案）提示：9．构造函数，则2()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e ''--'==， ∵任意均有，并且，∴，故函数在上单调递减，也就是20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><故选C.10. 不妨设，122222221b c a b b b b b c b +<=+≤+=⇒<≤+，，，．.，，，故2max 2(log )log 42t ==．15．②④由题，“可平行性”曲线的充要条件是：对域内都使得成立．①错，，又1212112(2)2(2)x x x x -+=-+ ，显然时不满足；②对，由()()()()f x f x f x f x ''=--⇒=-即奇函数的导函数是偶函数，对都使得成立（可数形结合）；③错，，又当时，2211223232x x a x x a -+=-+2212123()2()x x x x ⇔-=-,当时不合题意；④对，当时，，若具有“可平行性”，必要条件是：当时，，解得，又时，分段函数具有“可平行性”，（可数形结合）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（Ⅰ）设的公差为，依题意，有 52115,51020a a d S a d =+=-=+=-．联立得，解得．6(1)17n a n n =-+-⋅=-． ……………6分 （Ⅱ）， 1()(13)22n n a a n n n S +-== ． 令，即， ……………10分解得或．又，．的最小值为． ……………12分17．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ，∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． ………………………………………………8分 若cosA=0，即A=时，△ABC 是直角三角形，且B=，于是b=ctanB=2tan=，∴ S △ABC =bc=． ……………………10分若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．②联立①②，结合c=2，解得a=，b=，∴ S △ABC =absinC=×××=．综上，△ABC 的面积为或．………………………………………12分（Ⅱ）连，过作于.由于，故.过作于，连.则，即为二面角的平面角. 60,FMH FH ∴∠==．， ．………………10分．在中，，，．直线与平面所成角的大小为． ……………12分解法二：以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系．(0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C，． ………………7分设平面的法向量，由00n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得． 又面法向量为．由1212cos 60n n n n ⋅=⋅ ， 解得． ………………10分在中，，，．直线与平面所成角的大小为． ……………12分19．解：（Ⅰ）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= 这60人的平均月收入约为百元. ………………4分 （Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道：[15,25)的人数为人，其中1人不赞成．[25,35)的人数为人，其中2人不赞成． ………………6分的所有可能取值为．338733995(0)18C C P X C C ==⋅=，23312878273333999917(1)36C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=， 212321827827333399992(2)9C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，21287233991(3)36C C C P X C C ==⋅=．……………10分 的分布列为012311836936EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分20．(Ⅰ)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ………………3分 （Ⅱ）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分 (Ⅲ)解 设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧ x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧ x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t ＋4， 令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1. 当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. ………………13分 21．解：(Ⅰ)由题意得ln ()(1ln )x f x a x x ⋅=-⋅()(1)ln x f x ax x x∴=-≠． ………………2分 在上是减函数， 等价于2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在上恒成立．…………4分 222ln 1111111()()(ln )ln ln ln 244x x x x x -=-+=--+≤， 当且仅当即时取到最大值．． ………………6分 （Ⅱ）题意等价于min max 1()(())4f x f x a '≤+=． 由(Ⅰ)知2111()()ln 24f x a x '=--+-． ，．在上单调递增，且的值域为． ………8分当时，，在上单调递增，min 1()()4f x f e e ae ==-≤与前提矛盾，无解． 当时，，在上单调递减，222min 1()()24e f x f e ae ==-≤． ．当时，存在唯一零点，且时，，单调递减，时，，单调递增，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ∴==-≤． 设211()()ln 4h x e x e x x=-<<，2111()()(ln )4h x x x x '∴=--， ， 211()0()(ln )4h x h x x x'>∴<∴单减． 222111111111()ln 4ln 424244h x x x e e e ∴=->-=->-=． 00111ln 44a x x ⇒≥->与前提矛盾，无解． 综上所述，实数的取值范围是． ………………14分。
成都市2015届高中毕业班摸底测试理科数学试题成都市零诊试题及参考答案
令 y=
x 2 2 y 0
2
,得
x z
4 2
,所以
n 4, 2, 2 ,cos m, n m n
4
11 ,即所求二面角的余弦值为 11
m n 2 2 16 2 4 11
11
【思路点拨】在证明直线与平面垂直时,一般结合直线与平面垂直的判定定理,只需证明直线与平面内两条相 交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解,当直接寻求其平面角不方便时 要注意建立适当空间直角坐标系,借助于平面的法向量解答.
【答案解析】(1)略；(2) 11 11
解析：解：(1)证明：因为 VC⊥平面 ABC, BC 平面ABC ,所以 VC⊥BC,又因为点 C 为圆 O 上一点,且 AB 为直径,所以 AC⊥BC,又因为 VC,AC 平面 VAC,VC∩AC=C,所以 BC⊥平面 VAC.
(2)由(1)得 BC⊥VC,VC⊥AC,AC⊥BC,分别以 AC,BC,VC,所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 C—xyz 如图
11.已知
0,
2
,
cos
4 5
,则 sin(
)
.
12.当 x 1 时,函数 y x 1 的最小值是____
.
x 1
13.如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积是
.
14.运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是____
.
15．已知直线
y
k
位： g/m3)则下列说法正确的是
A.这 10 日内甲、乙监测站读数的极差相等
四川省成都市第七中学2015届高三2月阶段性考试数学试题Word版含解析
成都七中2015届高三2月阶段性测试 数 学 试 题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=2{|320}x x x -+>， B={|2,N*}x x x <∈， 则()R C A B =A ．φB ．{1} C.{2} D.{1，2} 【解析】集合A={|12}x x x <>或，{|12}R C A x x ∴=≤≤，B={|2,*}x x x N <∈，(){1}R C A B ∴=，故选B ．2.已知i 是虚数单位， 若22()01i mi +<+（m R ∈），则m 的值为A ．12 B ．2- C ．2 D ．12-【解析】 由22()01i mi +<+，知21i mi ++为纯虚数，222(12)11i m m imi m +++-∴=++为纯虚数，2m ∴=-，故选B.3.已知命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，则p 是q 的 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 因为命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，所以¬p ：12x y ==且，¬q: 3x y +=，所以¬p ⇒¬q ，但¬q ⇒¬p ，等价于q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的必要不充分条件. 4. 在如图所示的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的结果是A.2016x x e xe +B.2015x xe xe + C.2014x xe xe + D.2013x e x +【解析】 由0()x f x xe = 得当1i =时，10()()()x x x f x f x xe e xe ''===+，当2i =时，2015i =1()()i i f x f x -'=21()()()2x x x xf x f x e xe e xe ''==+=+，……，当2015i =时，20152014()()(2014)2015x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，故选B.5.一个边长为2m ，宽1m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A ．352m B ．652m C ．1252m D ．1852m【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， =会标的面积落在会标区域内豆粒长方形的面积数总豆粒数，所以会标的面积约为60621005⨯=，故选B. 6.三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为A ． 4πB ．3πC ．23πD ． 34π【解析】 由()()44f x f x ππ-=+知三角函数()f x 的图像关于4x π=对称，所以02()()f f π=所以=-a b ，直线0ax by c -+=的斜率1a k b ==-，其倾斜角为倾斜角为34π.故选D.7.已知数列{}n a 满足*1112,(N )1nn na a a n a ++==∈-，则1232014a a a a ⋅⋅⋅⋅=-6 B.6 C.-1 D.1【解析】 由111n n na a a ++=-可得21n na a +=-，从而可得4n na a +=，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列.又12a =，所以2345113,,,2,23a a a a =-=-==，所以12341a a a a ⋅⋅⋅=，又201450342=⨯+，所以1232014126a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅=-.8. 已知向量(4,0)OA =， B 是圆C：22((1x y -+-=上的一个动点，则两向量OA OB 与所成角的最大值为A ． 12πB ． 6πC ．3πD ． 512π【解析】 如图，过点O向圆C 作切线OB ，连结CB ，AOB ∠为OA OB 与成的最大角，因点C ，所以4AOC π∠=，||2OC =，||1BC =，又OC CB ⊥，6COB π∴∠=，56412AOB πππ∴∠=+=，故选D.9.已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的左焦点的连线交1C 于第二象限内的点M ，若抛物线1C 在点M 处的切线平行于双曲线2C 的一条渐近线，则p=B.C.8D.16【解析】 由题意可知，抛物线21:2(0)C x p y p =>的焦点坐标为(0,)2p ，双曲线222:13x C y -=的左焦点坐标为(2,0)-，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为122x yp +=-，即202p x y p -+=.设该直线与抛物线1C 的交点M 的坐标为200(,)2x x p ，则抛物线1C 在点M 的切线斜率为x p ，又抛物线1C在点M 处的切线与双曲线2C 的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以03x b p a =-=-，解得03x p =-.即(,)36p M p-，又点M 在直线202px y p -+=上，所以()2026p p p p ⋅-⋅+=，解得p =,故选A. 10.定义区间12[,]x x 长度为21x x -，（21x x >），已知函数22()1()a a x f x a x +-=(,0a R a ∈≠)的定义域与值域都是[,]m n ，则区间[,]m n 取最大长度时a 的值为A ．3 B ． 13a a ><-或 C ．1a > D ． 3【解析】 设[,]m n 是已知函数定义域的子集.0,x ≠[,](,0)m n ∴⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，故函数222()111()a a x a f x a x a a x +-+==-在[,]m n 上单调递增，则()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，故,m n 是方程211a x a a x +-=的同号的相异实数根，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根.211mn a =>，,m n ∴同号，只需2(3)(1)0a a a ∆=+->，13a a ∴><-或，n m -== nm -取最大值为.此时3a =.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 .【解析】 由分层抽样的定义可知，总人数129680812212543N =÷=+++.12.已知2tan ),,2(-=∈αππα，则)232cos(απ-=_______.【解析】 由2tan ),,2(-=∈αππα,得552sin =α，55cos -=α, 则==αααcos sin 22sin 54-,53sin cos 2cos 22-=-=ααα,所以103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ.13.设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--02022022y x y x y x ，若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z mx y =+的几何意义是直线0mx y z +-=与直线220x y -+=重合，比较得12m =-.14. 设1,1a b >>，若2e ab =，则ln 2e as b=-的最大值为 .【解析】1,1a b >>，∴ln 0,ln 0a b >>，由2e ab =得ln ln 2a b +=为定值，令ln a t b =，ln 2ln ln ln ln ln ln ()12a a b t b a b +∴==⋅≤=，当且仅当e a b ==时等号成立，ln 1t ∴≤，e t ∴≤，ln 2e e a s b ∴=-≤-.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(,)x y ，若,x y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 一定是遗憾直线； ②“直线y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”； ③存在恰有一个完美点的完美直线；④完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点. 其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于①，如果取，-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k 与b 均为无理数，但是直线是完美直线，所以②错误；对于③，设直线方程为y=，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx 为过原点的完美直线，若此直线l 过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线l 的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k （x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx 上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,13A C b π+==．yC（1）记角,()A x f x a c ==+，若△ABC 是锐角三角形，求f (x)的取值范围；（2）求△ABC 的面积的最大值.【解析】 （1）在△ABC 中， A+B+C=π，32π=+C A ，解得3π=B . （1分） ∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+= )6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． （4分）△ABC 是锐角三角形，62A ππ∴<<，得3π<x+6π<23π，于是3<)(x f ≤2，即f (x)的取值范围为(3，2]． （6分） （2）由（1）知3π=B ，1b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22212cos3a c ac π=+-.2212a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立. （10分）此时11sin sin 223ABC S ac B ac π∆===≤，故当a c =时，△ABC的面积的最大值为4. （12分）17.（本小题满分12分）2015年元月成都市跳伞塔社区要派人参加成都市财政局、水务局、物价局联合举行的“成都中心城区居民生活用水及特种用水价格调整方案听证会”，为了解居民家庭月均用水量（单位：吨），从社区5000住户中随机抽查100户，获得每户2014年12月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．（1）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；（2）设A1，A2，A3是月用水量为[0，2）的家庭代表．B1，B2是月用水量为[2，4]的家庭代表．若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B1，B2至少有一人被选中的概率．【解析】（1）由频率分布直方图可得a=0.5×0.5=0.25，∴月用水量为[1.5，2）的频数为25．故2b=100﹣92=8，得b=4．由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，所以家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92．（6分）（2）由A1、A2、A3、B1、B2五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，事件A 包含的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共包含7个基本事件数．又基本事件的总数为10，所以．即家庭代表B1、B2至少有一人被选中的概率为．（12分）18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形，点E、F分别是AB、AP的中点.（1）求证：PC AB；（2）求证：EF∥平面BMC（3）求三棱锥M-ABC的体积.【解析】（1）由三视图可知， 平面PCBM ⊥平面ABC ， 平面PCBM平面ABC BC =，且PC BC ⊥，∴PC ⊥平面ABC ， （3分） 又AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥. （5分） （2）连接PB ．∵点E 、F 分别是AB 、AP 的中点， ∴EF 是ABP ∆的中位线， ∴EF ∥PB ，又PB ⊂平面BMC ，EF ⊄平面BMC ，∴EF ∥平面BMC . （8分）（3）由（1）知PC ⊥平面ABC ，由三视图可知PM ∥BC ， PC= 1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为AG=，∴PM ∥平面ABC ，∴点M 到平面ABC 的距离为PC=1，∴1122222ABC S BC AG ∆=⨯=⨯⨯=，∴三棱锥M-ABC的体积为11133M ABC ABC V S PC -∆=∙==. （12分）19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S满足)N ()2)(1(2243*∈++-+=+n n n n n a S n n ，且)2)(1(1+++=n n n a b n n . 求证:数列{}n b 是等比数列,并通项公式nb ；（2）设nn na c =，nT 为数列{}n c 的前n 项和，求nT .【解析】（1）由)2)(1(2243++-+=+n n n n a S n n 可得，)3)(2)(1(214311+++-+=+++n n n n a S n n ，两式作差得=++++--+++-=-+)3)(2)(1(2)3)(2()3)(2)(1(2)1(21n n n n n n n n n n n n a a n n）（3)2)(1(3)3)(2)(1(262+++--=++++-n n n n n n n n n n ， （3分）又)2)(1(1+++=n n n a b n n ，则)3)(2)(1(111++++=++n n n a b n n ，所以)2)(1(1)3)(2)(1(22211++-++++-=-++n n n n n n a a b b n n n n ，整理得112n nb b +=，又2161316111=+=+=a b ，故数列{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以12n n b =. （6分）由（1）可得）（2n )1(121)2)(1(1++-=++-=n n n n n b a n n n ，所以）（2n )1(12++-==n n na c n n n ， （7分）故]2)1(1431321[)2834221(321）（++++⨯+⨯-++++=++++=n n n c c c c T n n n ，设nnF 2834221n ++++=，则1n 2163824121+++++=n n F ，作差得1n 22116181412121+-+++++=n n n F ， 所以n n F 222n +-=. （9分）设）（2)1(1431321n ++++⨯+⨯=n n G ，则2121211141313121n +-=+-+++-+-=n n n G ， （11分）故2122232121222+++-=+--+-=n n n n T n n n ）（.（12分）20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为e 是方程2230x -+=的根. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x 轴交 于点D ，动点M 是直线x=4上异于点D 的任意一点，直线A1M ， A2M 与椭圆C 交于P ，Q 两点，问直线PQ 是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．【解析】 （1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则依题意得2a c -=，又离心率e 是方程的2230x -+=的根，所以c e a ==，2,a c ==21b ∴=.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （4分） （2）由（1）知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，12(20)(20)A A ∴-，，，，设动点(4,)(R 0)M m m m ∈≠且，1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,62A M A M m mk k ==，∴直线1A M 的方程为(2)6m y x =+，直线2A M 的方程为(2)2my x =-，由22)1(642x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎩=⎪ 消去y 得2222(9)44360m x m x m +++-=， 2124362,9m x m -∴-=+2121829m x m -∴=+，1269m y m =+，2221826(,99m mP m m -∴++. （6分）由22)1(242x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪ 消去y 得2222(1)4440m x m x m +-+-=， 22222244222,11m m x x m m --∴=∴=++，2221m y m -=+，222222(,)11m m Q m m --∴++. （8分）222222262291(18222391PQ m m m m m k m m m m m m --++∴==≠----++，∴直线PQ 的方程为22222222()131m m m y x m m m ---=-+-+， 22222222()311m m m y x m m m --∴=-+-++22222222223311m m m m x m m m m -=-⨯---++222233m m x m m =--- 22(1)3m x m =--，∴直线PQ 过定点(10)，. （12分）当m =时，(1,2P，(1,2Q -；当m =(1,2P -，(1,2Q . 此时直线PQ 也恒过定点(1,0).综上可知，直线PQ 恒过定点，且定点坐标为(1,0). （13分）21.（本小题满分14分）已知函数()ln xf x a x bx =+（(0,)x ∈+∞的图象过点11(,)e e -，且在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.（1）求,a b 的值.（2）若存在01[,e]e x ∈（e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围.【解析】 （1）()ln ln x f x a x bx ax x bx =+=+，()ln ,f x a x a b '∴=++又在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.(1)1f a b '∴=+=. （3分）又函数()ln x f x a x bx =+的图象过点11(,)e e -， ∴11111()ln a b f a b ee e e e e e =⨯⨯+⨯=-+=-， 1a b ∴-=，1,0a b ∴==. （5分）（2）由（1）知，()ln f x x x =，由题意2113()222f x x tx +-≥-得， 2113ln 222x x x tx +-≥-，则32ln t x x x ≤++， 若存在1[,]x e e ∈，使不等式2113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于32ln x x x ++的最大值， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， （8分） 当1[,1]x e ∈时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当[1,]x e ∈时，()0h x '>，故()h x 单调递增. 33()2ln 2,h e e e e e e =++=++1111()2ln 323h e e e e e e =++=-++，12()()240h h e e e e ∴-=-->，∴1()() h h ee>，故当1[,]x ee∈时，h（x）的最大值为11()23h ee e=-++，故123t ee≤-++，即实数t的取值范围是1(,2+3e]e-∞-+. （14分）。
(四川试题)四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试.
四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试卷 理（扫描版）成邨七中却迈届二诊側才试数学试・（理科）共 50 分）一，速理題：車大io 题，匍M 盛亍卅+其站龙九0亍 乩I 亍 r . 2 f IX 3个i.「亍椅伞好充代<■〃 R 并哦为50』忖卜壮被挾坤r •sc 甘"只迅稈样車呷彌在［wi tMMWftac Ny^ltti|^［40I SVk ［50r 6»l |^ 的 KUK 牛疏可能是 < > A. 8 W G IL g 或 Lt! G D 和左 D h 13 J, JV 山屁琲冀甲；•■，吋製存（n M 叩的吒虚亍tn ：［）【m > Si |MM0r /谕！i 3 4 j/ i. ilI 壬所示.pg 面匕ABCD Y ）四t IS点是U 方T- EFJ 四牛顶点〔仁Y 保足毘旧'：■■虽.电辅北汗井门一则四商悴ABC1）的三世 图杞I 用I ：』：［1 .計世凰:匸网门 J■I. i9 i”甦字aur 欝曲 具体需则挨斷云的猩序庖圈典行（其申■为I 宀；；•——■■诟’、|'.1 沁 ::肓LT ..C^，:, !'.'J L加< ）k S B. 15 匚却 D. 36 E.卜-列佔锂rl ：腆的址,）异00 ■理■丄芥垂直, ■祁庄互相蚤直的TH-^分卅过si Mlilfl 内说令ID 吋一据或即打节怕 b. ri*i n ./r *fi.则ii 灯i*i •点灯无救噪氏灶勺#卑n.6. L'U1^&> -^Ja/cftV-j i- ibMft 为 0,期乃二"氏线A-二城览阳僮的•茱时祗 >r1i 则F 面希式中苻件塞件的縈師兀为( )才 ^T"A. r ■ Zffinl'iiT * —l * 2B. r * 2! !KIH (2 IT + -1 *2b3L… r ■ 2 s|i|| 4.T * —| f-3 IJ_ i - *4 si^(4 J + —*i6二宦瓷k ：畔”•-为：- —希監 /h = i“D ・S 则诸讷貌的佃黑大2- ' > 0 #ft It <、林*肌乍■”甘貝-窝学宇一 11 T, /一睥苗字岸「便甘罠冋•牛驱崛五冋0科戎p 刑拋側4十 m I - W1 <> r就点 心.和的叩黑宀点P 到盹搏氓”审的押禺上琴<乩f ：iil .、ifi 剖无H 大摊 乩仃时人嗨们七廉卜值 匚范祀晕小也”只无D.规右掘怡氓只召員人伉 佩运X 圧IU 卜的确垃 小価疋- I TiJx^cMx) (e芬1i xg 时.”’2L ・|,j|一X ：的时村应附戌好别为和■,./! i.n - "%川*』-<!>,. /u,k ).'.心I., 5i\i» (* c 冉仃下列命宅:』："］「*"'密 J* H -G 、'时■■ fj *,、■ i 1-1 (1 -■ | 7 ** ：呈 i_. " -』”・r""：込拧 w%,"叫在冋—条白Fk 卜.-划¥-n 或"I ； ®z 叫.匕样冋 煤匚临内专HI ・X 平杯轴为对*轴刊Pfi 掲涯I ：.弧・JT 舐十.我中It •■韵M 前<)第II 徴非J#择题共W0血二、境空!&：5鲁小題£分・共些分.J1.軾曲师.丄-「・1的用虫利爭邊池的炽禺牛于^4o 兰m13,已知黄于"的下帶成詛 止一.-二」浙和爪的半聞1«城的面股対.蛊+』一2兰013.部目躺」叫宀•叫,“叫㈣遲公签为d 的等蓋绘列n 口这蛆敎弼的力豪爭丁1"即舍羞孑等FMtn 实克*内扯间［①町内的蔵申itt 期曲散门丄”上〉"的跑域为*的*1车等r ________ .<15. F弭命酉H 朝I最“d 卜卜.M"的范藝藁fk 轴釵门Jr2|「l|*7Z 的网牛春点井别加、兮咛「吧小 学严严」■*：^HBCt 三十三-址“亠丹》口>的左石尖点汁別为「心・-堆齐屮耳尸为甘 h ^-ffjrj-期快甌C 旳禺心申1R 值他鬧址｛二.「］:A .C30n.16e 将用、乙寻四暂学H ”到三卜冬间的班. 廿注的衽臥, ) 圭肾虫救虬・d 构述j 卡酱unwftdb^.—• J■■的嵩心事为 或 V 7L⑤奚立貝」沁…石-J JTTT-确K的取in范阳为：叫|」|皿二0|.H屮陌右牌命越的乍号为 _ .三.WWH；車衣魂共h小題，井¥井16.〔治卜国満亦\2^>*■KI !期1 ■!』逊「申-的』」■匸的叶边甘别为心拭K Hft-iial~+ C |i -t ssm*+ J B I * a .4 4【门求’idM-f、田wv HMfiy-jr求A』广旳面枳一17. <匸個粉12 >已咖t眷比説剧［叫I的軌啜和沟》.“ i）h：“g;躬逋顷公<n）拧現弭汕详満足“■=力-1".・R"」的前鼻顶和匚”求满足匚MH的新0« -诃” < X進满牯12卄）仪忙和训宦的¥闻£域为厂-IdJ I"碑罡的平囲1€城冲丄.I 1 ）定也帕瞅蟄标均为曲戟的点为“嘩点二在1工埔匚内任取M忖“点*求迖些強点单谕育2个野点范<Hr的啊率：<n>在恒卓I IMF：取9亍不问点t 1：「疋対粹内」-记輕站-点淮IK域厂的牛盘为疋.求府的仲申列和垃学絹13.（本卜理淸12 if）/：I 吋：曲中-―丿付别徙如M" 辿上的点■讲址竺-兰一-M-丄I如国"拘△逝祸样in FAm 1*T«^A4,O 的f・f 性二面-e ；；'：:tl'ifH.A 蜡叫见<ura2).< I ) /Ri ■ J, A 1 屮曲£UJ' L< li)戒二itj鮒H”斗广・上的*弦fflmi勺圈.。
四川省成都市第七中学2015届高三考试数学(理)试题 Word版含答案
成都七中高2015届“高考热身考试”数学理科试题第Ⅰ卷(非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 =N C M R ( ) [)),0(.2,1.)4,0(.)2,0(.+∞D C B A答案：C2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(3,则复数z 对应的点在（ ）上.A 直线x y 21-= .B 直线x y 21= .C 直线21-=x .D 直线21-=y答案：C3．已知命题R x p ∈∃:，使25sin =x ；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x .给出下列结论： ① 题""q p ∧是真命题 ②命题""q p ⌝∧是假命题 ③命题""q p ∧⌝是真命题 ④命题""q p ⌝∨⌝是假命题 其中正确的是（ ）.A ②④.B ②③.C ③④.D ①②③答案：B4．已知实数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )103.52.94.31.D C B A 答案：A5．函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ）.A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 .B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 .C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 .D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案：A6． 已知函数)(x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ）3121)(.x x x f A --=3121)(.x x x f B +-=3121)(.x x x f C -+=3121)(.x x x f D ---=答案：A7.已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若则a 的值等于（ ）4.1.21.41.D C B A答案：D解析：5:1:),0,4(=∴=MN KM MKMF a F ，则42421:2:=∴=∴=a a KM KN8.已知M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=，30BAC ∠=，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x 、y ，则14x y+的最小值是（ ） 20.81.16.9.D C B A答案：C9.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,27.2,25.27,25.25,0.D C B A 答案：D10. 已知实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数 , 则22)()(d bc a -+-的最小值为（ ）18.12.10.8.D C B AO xy答案：A解析：∵实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，cde a b a -=-=∴2,2，∴点),(b a 在曲线xe x y 2-=上，点),(d c 在曲线x y -=2上，22)()(d b c a -+-的几何意义就是曲线x e x y 2-=到曲线x y -=2上点的距离最小值的平方．考查曲线x e x y 2-=上和直线x y -=2平行的切线，x e y 21-=' ，求出x e x y 2-=上和直线x y -=2平行的切线方程，121-=-='x e y ，解得∴=,0x 切点为)2,0(-该切点到直线x y -=2的距离2211220=+--=d 就是所要求的两曲线间的最小距离，故22)()(d b c a -+-的最小值为82=d ．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案：π29解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接球，ππ29422923322222==∴=++=R S R12.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为____________.答案：4013.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1．2万元 0．55万元 韭菜6吨0．9万元0．3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为________． 答案：20,30解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为y x ,亩，总利润z 万元，则目标函数y x y y x x z 9.0)9.063.0()2.1455.0(+=-⨯+-⨯=线性约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0549.02.150y x y x y x即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,01803450y x y x y x ，做出可行域，求得)45,0(),20,30(),50,0(C B A 平移直线,9.0y x z +=可知直线,9.0y x z +=经过点),20,30(B 即20,30==y x 时，z 取得最大值.14.将9~1这9个数平均分成3组，则每组的3个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：5解析：设3组中每组正中间的数分别c b a ,,且c b a <<，则15,45333=++=++c b a c b a ， 而42≤≤a ，故),,(c b a 所有可能取的值为)6,5,4(),7,5,3(),8,4,3(),7,6,2(),8,5,2(此时相对应的分组情况是());8,7,6(),9,5,1(),4,3,2();9,8,7(),6,4,2(),5,3,1();9,7,5(),8,6,4(,3,2,1);9,8,7(),6,5,4(),3,2,1()9,6,3(),8,5,2(),7,4,1(故分组方法有5种.15.如果)(x f 的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x ysin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．答案：①③④三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数R x x x x f ∈++=,cos 2)322cos()(2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 上的最小值． 解析：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 12sin 232cos 21cos 2322cos )(2++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π 132cos 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=πx x x所以函数)(x f 的最小正周期为π.由πππ)12(322+≤+≤k x k ,可解得36ππππ+≤≤-k x k所以单调减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,3,6ππππ （Ⅱ）由（Ⅰ）得1)32cos(1)3)3(2cos()(+-=++-=πππx x x g 因为20π≤≤x ,所以32323πππ≤-≤-x 所以1)32cos(21≤-≤-πx ,因此21)32cos(21≤+-≤πx ，即)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为21,32,43，乙队每人答对的概率都是32．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望)(ξE ;（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）ξ的可能取值为3,2,1,041213141213241213143)1(;241213141)0(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξP P41213243)3(;2411213143213241213243)2(=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξξP Pξ的分布列为1223413241124112410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A ,“甲队比乙队得分高”为事件B 则31313241313224113241)(213223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P181313241)(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C AB P 6131181)()()|(===∴A P AB P A B P 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， 四边形ABCD 是直角梯形，ABCD PC CD AB AD AB 底面⊥⊥,//,,E a PC CD AD AB ,2,422====是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；ξ1 23 P 241412411 41（Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 解析：（Ⅰ）PC AC ABCD AC ABCD PC ⊥∴⊂⊥,,平面平面.2,2,4==∴===BC AC CD AD ABBC AC AB BC AC ⊥∴=+∴,222,又PBC AC C PC BC 平面⊥∴=,PBC EAC EAC AC 平面平面平面⊥∴⊂ .（Ⅱ）如图，以点C 为原点，CP CD DA ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则)0,2,2(),0,2,2(),0,0,0(-B A C 。
四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题 Word版
四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}210A x x =-≥，集合{}10B x x =-≤，则()U C A B =I （ ） A ．{}1x x ≥ B ．{}11x x -<< C ．{}11x x <-<≤ D ．{}1x x <- 解析：{}210A x x =-≥={}11x x x 或≥≤-，∴U C A ={}11x x -<<， 又{}10B x x =-≤={}1x x ≤，∴ ()U C A B =I {}11x x -<< 答案B 2. 下列四种说法中，正确的是 （ C ） A ．}{1,0A =-的子集有3个；B ．“若22,am bm a b <<则”的逆命题为真；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件；D ．命题“x R ∀∈，均有2320x x --≥”的否定是 “,x R ∃∈使得2320x x --≤ 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．244π+ B ．166π+C ．242π+D ．164π+由三视图知，该几何体是由两个半径为1的半球和一个棱长为2正方体组成，表面积为42262242S πππ=+⨯⨯-=+，选C ．4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =( B )A. 4B. 5C. 6D. 75.函数3,0(),0-+<⎧=⎨≥⎩x x a x f x a x (01)a a >≠且是R 上的减函数，则a 的取值范围是( B )A ．()0,1B ．1[,1)3C ．1(0,]3D ．2(0,]3解:据单调性定义，()f x 为减函数应满足：0013a a a <<⎧⎨≥⎩即113a ≤<. 答案B 6. 已知向量()()ABC BC AB ∆︒︒=︒︒=则,45sin ,30cos ,120sin ,120cos 的形状为 ( C )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ． 钝角三角形D ．锐角三角形()()cos120,sin120cos30,sin 45=cos120cos30+sin120sin 45AB BC ⋅=︒︒⋅︒︒︒︒︒︒1=02->，所以ABC ∠为钝角 答案C7. 设,m n 为空间的两条不同的直线，,αβ为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若,m m αβ⊥⊥，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若,m n αα⊥⊥，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是 （ D ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8．某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是 ( D )A ．18万元B . 12万元C . 10万元D .8万元9. 若()sin(2)f x x b ϕ=++, 对任意实数x 都有()()3f x f x π+=-，2()13f π=-,则实数b 的值为 （ A ）A ．2-或0B ．0或1C ．1±D ．2±解：由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得()f x 关于直线6x π=对称，因为213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且函数周期为π，所以21163f f b ππ⎛⎫⎛⎫=-==±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2b =-或0b =10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ A ）A ．3 B.2 C.332 D.2 解:设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c cc e e=+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e-+=，解得23e =，所以e ，，选A.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．答案填在答题卡上． 11. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则2014a =22017=n a 12. 已知a b>，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 . 13．有一个内接于球的四棱锥P ABCD －，若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，BC ＝3，CD ＝4，PA ＝5，则该球的表面积为________．解： 由∠BCD ＝90°知BD 为底面ABCD 外接圆的直径，则2r ＝32＋42＝5.又∠DAB ＝90°⇒PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，BA ⊥AD .从而把PA ，AB ，AD 看作长方体的三条棱，设外接球半径为R ，则(2R )2＝52＋(2r )2＝52＋52， ∴4R 2＝50，∴S 球＝4πR 2＝50π.14.已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧⎪⎨⎪⎩++-<≤=->有3个零点，则实数a 的取值范围是 .解:因为二次函数最多有两个零点，所以函数必有一个零点，从而0a >，所以函数3(0)y ax x =->221(20)y ax x x =++-< 必有两个零点，故需要()()22022000440a f f a ìïï-<-<ïïïïï->íïï>ïïïï=->ïîV ，解得34a < 答案 3(,)4+∞15．下列命题正确的有___________.①已知A,B 是椭圆+=22134x y 的左右两顶点, P 是该椭圆上异于A,B 的任一点,则⋅=-34AP BP k k .②已知双曲线-=2213y x 的左顶点为1A ,右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点,则⋅12PA PF 的最小值为－2.③若抛物线C :=24x y 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m >(1)m ，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分∠RQF ；④已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,'=->>(1)0,()()0(0)f xf x f x x , 则不等式>()0f x 的解集是-+∞(1,0)(1,).答案 （2） （3） （4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222823ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．（1）求2sin cos 22B CA ++；（2）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．解析：（1）由已知得A bc A bc sin 21382cos 2⨯=即0sin 4cos 3>=A A 53sin =∴A 54cos =A212cos cos 22cos 2cos 12cos 2sin 22-+=++=++A A A A A C B50592152425162=-⨯+⨯=………………6分 （2）由（Ⅰ）知53sin =A 2,3sin 21===∆b A bc S ABC ,A b c a c cos 265222++==∴ 又13545222542=⨯⨯⨯-+=∴a13=∴a ……………………………………12分17．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(),n n S 在抛物线23122y x x =+上；各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,1632==b b b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）23122n S n n =+Q 当1n =时，2a S ==∴数列n a 是首项为2，公差为3的等差数列，31n a n ∴=- 又各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,432b b b ==解得1,22b q ==，()2n n b ∴= ……………………5分(2)由题得1(31)()2n n c n =-①②①-②得2311111113()()()(31)()22222n n n T n +⎡⎤=++++--⎢⎥L52n n T ∴=- ………………………………………………12分18. (本小题满分12分)已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中,a b 为常数． （1）当6,3a b ==时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，求函数()f x 在R 上是增函数的概率．19. (本小题满分12分)如图,已知平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形, 090CBF ∠=,//BF CE ,BC CE ⊥,4DC CE ==, 2BC BF ==.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).(2)设,P DF AG Q =⋂是直线DC 上的动点,判断并证明直线PQ 与直线EF 的位置关系.(3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.19.(1)如右图. (2)垂直.(3)220．(本小题满分13分)平面内两定点12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，P 为平面一个动点，且P 点的横坐标()2,2x ∈-. 过点P 作PQ 垂直于直线12A A ，垂足为Q ，并满足21234PQ AQ A Q =⋅. （1）求动点P 的轨迹方程.（2）当动点P 的轨迹加上12,A A 两点构成的曲线为C . 一条直线l 与以点(1,0) 为圆心，半径为2的圆M 相交于,A B 两点. 若圆M 与x 轴的左交点为F ，且6FA FB ⋅=. 求证：直线l 与曲线C 只有一个公共点.解：（1）设(),P x y ，()2,2x ∈-则：2212,2,2PQ y AQ x A Q x ==+=- 所以：23(2)(2)4y x x =-+，即：22143x y +=，()2,2x ∈- -----4分 （2）由(1)知曲线C 的方程为22143x y +=,圆M 的方程为()2214x y -+=，则()1,0F - 设()()1122,,,A x y B x y①当直线l 斜率不存在时，设l 的方程为：0x x =，则：12012,x x x y y ===-，()()01021,,1,FA x y FB x y =+=+因为6FA FB ⋅=，所以：()201216x y y ++=，即：()220116x y +-=因为点A 在圆M 上，所以：()220114x y -+=代入上式得：02x =±所以直线l 的方程为：2=+x （经检验x=-2不合题意舍去）， 与曲线C 只有一个公共点. ------5分 经检验x=-2不合题意舍去所以 x=2 -------6分②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+，联立直线与圆的方程：()2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得： 222(1)2(1)30k x km x m ++-+-=所以：12221222(1)131km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩------------8分 因为：()()11221,,1,FA x y FB x y =+=+，且6FA FB ⋅=所以：121212()5x x x x y y +++=又因为：1122y kx my kx m =+⎧⎨=+⎩，所以：()()2212121212()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得：221212(1)(1)()5k x x km x x m +++++=， 化简得：2243m k -=--------10分 联立直线l 与曲线C 的方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：222(34)84120k x kmx m +++-= 22222(8)4(34)(412)48(43)km k m k m ∆=-+-=-+ ----12分 因为：2243m k -=，所以0∆=，即直线l 与曲线C 只有一个公共点21．(本小题满分14分) (文科)已知函数()1xaf x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得 ()1xaf x e '=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae-=,解得a e =.(Ⅱ)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解, 与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.另解(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+.直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11xk x e -=(*)在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+.令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-, 同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.（理科）已知函数2()ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，3()3x xh x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,m n<<(0)m n ，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能 否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.解：（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+…… 2分又10,2x x x>+≥x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤ 令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+……5分由()0H t '=，得t =或t =（舍去），34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减； 2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为(ln 2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =-- 结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln 2.m n k x m n =-- 由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……11分 设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+， 2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=， 即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n-<+，此式与⑤矛盾. 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分① ② ③④。
四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(理)试题 Word版含答案
成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（ ）A ．[0,2] B. [1,3) C. (1,3) D.(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ）A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A ． ()cos(1)f x x =+B.()f x =C.()tan f x x = D.3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个10.设函数()x f x π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+|a b |-=则a b ⋅=12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，， 则sin B =13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ；BADC. PD CBAP③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18.在四棱锥P A B C D -中，PD ⊥平面A B C D ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式； （2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆222210:()x y M a b a b +=>>的长轴长为22124x y +=第（17）题图有相同的离心率. (I )求椭圆M 的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.21. 已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x l n ()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；(3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明．成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ C ）B.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D.0||,2000≥+∈∃x x R x2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ B ）（A ）[0,2]（B ）[1,3)（C ）(1,3)（D ）(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（D ）（A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ=（D ）sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ A ） (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（D ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( A ) (A) ()cos(1)f x x =+(B) ()f x =(C) ()tan f x x =(D) 3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ D ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ B ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ） （A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个10.设函数()s i n x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ B ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 1414.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .112π+15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质BADC. P)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ； ③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数 ①② ③三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x 2k pp?，k ∈Z ， 即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ．……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且x 2k p p?，k ∈Z }．………………………………………………12分17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解：(1)第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分yD CBAP18.在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面A B C ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.证明：(Ⅰ)在四棱锥P ABCD -中，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥. 因为90BCD ∠=︒， 所以BC CD ⊥.因为PDDC D =, 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ,所以BC PC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz . 不妨设1=AD ，则2===PD CD BC .则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P .所以(1,0,2)=-PA u u r ，(2,2,2),(0,2,2)=-=-PB PC u u r u u u r.设平面PBC 的法向量(,,)=x y z n .所以 0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uu u r PB PC n n .即2220,220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令1y =，则0,1x z ==.所以(0,1,1)=n所以cos ,<>==uu rPA n 所以PA 与平面PBC所成角的正弦值为5. ………8分所以DF PC ⊥. 因为BC ⊥平面PCD ， 所以DF BC ⊥.因为=PC BC C I , 所以DF ⊥平面PBC . 所以AE ⊥平面PBC .即在线段PB 上存在点E ,使AE ⊥平面PBC .（法二）设在线段PB 上存在点E ,当(01)=<<u u r u u rPE PB λλ时，AE ⊥平面PBC .设000(,,)E x y z ，则000(,,2)=-PE x y z uur.所以000(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-.即0002,2,22x y z λλλ===-+.所以(2,2,22)E λλλ-+.所以(21,2,22)=--+AE λλλu u u r.由(Ⅱ)可知平面PBC 的法向量(0,1,1)=n . 若AE ⊥平面PBC ，则//u u u r AE n .即=u u u r AE μn .解得1,12λμ==.所以当12=PE PB uur uu r，即E 为PB 中点时，AE ⊥平面PBC . ………12分19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式；（2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.(I )求椭圆M的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； (3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明． 解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x x x+=--== ………2分（1）当x>0时，有221(1ln )1ln ()x x x x f x x x ⋅-+⋅'==- ()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；()0ln 01f x x x '<⇔>⇔> 所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << …4分（2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++ 令(1)(1l n )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 []22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'== 令()l n (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当1x =时取等号． 所以()l n h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>．……6分 因此，2()()0h x g x x '=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，m i n ()(1)2g x g ==．所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ …………………8分（3）(方法一)由（2），当1x ≥时，即12)(+≥x x f ，即12ln 1+≥+x x x ． 从而x x x 21121ln ->+-≥．………..10分 令1(1,2,,)k x k n k +==，得,22112ln -> 322ln123⋅>-， ……12ln 11n n n n +⋅>-+将以上不等式两端分别相加，得123ln(1)2()2341n n n n +>-+++++ 1123ln 2()12341n n n n ∴<++++-++ ………………………14分 （方法二）1=n 时，2ln 11ln -=+n < 011132212=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n 猜想11ln +n n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<132212 对一切*N n ∈成立。
成都市2015级高中毕业班摸底测试理科数学试题(含答案)
( 以点 A 为 坐 标 原 点 , Ⅱ) A B 所 在 直 线 为x 轴, 建立如图所示的空间直 A B C 的直线为z 轴 , 角坐标系 A x z． y ) , ) , ) , 易知 C( ０, ２, ０ A１( ０, ２, ２ B( ２, ０, ０ 过点 A 作垂直于平面 A C 所在直 线 为 y 轴 ,
５
i＝１
i＝１
１ ������－ ∵ a＝ b x, ∴ a＝－ ． y ２
∧ ∧ ∧
∧ １ １ ∴ 所求线性回归方程为 y＝ x－ ． ２ ２
高三数学 ( 理科 ) 摸底测试参考答案第 共 ４页) １ 页(
( 根据列表 , 设 １ 号至 ５ 号 小 白 鼠 依 次 为 a１ , 则在这５只小白鼠中 Ⅱ) a２ , a３ , a４ , a５ ． 共１ a２ a３ a４ , a２ a３ a５ , a２ a４ a５ , a３ a４ a５ , ０种． ������������������������９ 分
数学 ( 理科 ) 参考答案及评分意见
( 一、 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． B; ７． B; ２． A; ８． C; 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ４． C; ５． A; ６． C;
成都市 ２ ０ １ ５ 级高中毕业班摸底测试
３． C;
９． D;
１ ０． D;
{
( , 由( 得 f( Ⅱ) ∵ a＞０, Ⅰ) x) ＝x３ ＋３ x２ －９ x＋９． ∴f ′( x) ＝３ x２ ＋６ x－９． ) ) ∴f( －２ ＝３ １, ′( －２ ＝－９． f
经检验符合题意 ．
a＝－２ , 或 ． b＝－９ b＝１
a＝３
{
∴ 所求切线方程为 ９ x＋ ３＝０． y－１
成都七中届高三零诊模拟考试数学试题及答案(理)
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2x x R x ”的否定是（）A.0||,2x x R xB. 0||,2x x R xC. 0||,2000x x R xD. 0||,2000x x R x 【知识点】命题的否定．【答案解析】 C 解析：解：∵命题0||,2x x R x 是全称命题，∴命题0||,2x x R x 的否定是：0||,2000x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．2．设集合{||1|2}Ax x ，{|2,[0,2]}x B y y x ，则A B （）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3)D.(1,4)【知识点】交集及其运算．【答案解析】 B 解析：解：{||1|2}A x x ={x 丨﹣1＜x ＜3}，{|2,[0,2]}xB y y x ={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}，故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．3．在极坐标系中，过点22(,)且与极轴平行的直线方程是（）A ．2ρ B.2θ C. cos 2ρθ D.sin =2【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解.【答案解析】 D 解析：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)化为（2,0），过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ．【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a ，则下列关系式恒成立的是（）。
成都市2015届高中毕业班摸底测试理科数学试题成都市零诊试题及参考答案
四川省成都市2015届高三摸底(零诊)数学(理)试题第I 卷(选择题,共50分)一、选择题.本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量()5,3a =-,()6,4b =-,则a b +=A.()1,1B.()1,1--C.()1,1-D.()1,1-2.设全集{}1,2,3,4U =,集合{}1,3S =,{}4T =,则()U S T ð等于A.{}2,4B.{}4C.∅D.{}1,3,43.已知命题p x R ∀∈：,25x =,则p ⌝为A.,25x x R ∀∉=B.,25x x R ∀∈≠C.00,25x x R ∃∈=D.00,25x x R ∃∈≠4.计算662log 3log 4+的结果是A.6log 2B.2C.6log 3D.35.已知实数x ,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z =4x +y 的最大值为A.10B.8C.2D.06.已知a ,b 是两条不同直线,a 是一个平面,则下列说法正确的是 A.若a ∥b .b α⊂,则a //α B.若a //α,b α⊂,则a ∥b C.若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b D.若a ⊥b ,b ⊥α,则a ∥α7.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可A 肺颗粒物,一般情况下PM 2.5浓度越大,大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM 2.5浓度读数(单位：μg /m 3)则下列说法正确的是 A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π,则()f x 的单调递减区间是A.2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ B.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ C.42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ D.52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x -=,且当(]1,3x ∈-时,()(]2,(1,1)1cos ,1,32x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨+∈⎪⎩则()()lg g x f x x =-的零点个数是A.7B.8C.9D.1010.如图,已知椭圆221111x C y +=：,双曲线()2222210,0x y C a b a b-=>>：,若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线相交于A ,B 两点,且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则C 2的离心率为A.5D.7第II 卷(非选择题,共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分答案填在答题卡上. 11.已知40,,cos 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭,则sin()πα-= . 12.当1x >时,函数11y x x =+-的最小值是____ .13.如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积是 .14.运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是____ .15．已知直线14y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与曲线y =恰有两个不同交点,记k 的所有可能取值构成集合A ,P (x ,y )是椭圆221169x y +=上一动点,点()111,P x y 与点P 关于直线1y x =+对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机地从集合A ,B 中分别抽出一个元素1λ,2λ,则1λ>2λ的概率是____ .三、解答题：本大题共6小题,共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤. 16.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=3,S 7=49,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设12(1)2n n a b n-+⋅=,求数列{b n }的前n 项和T n .【知识点】等差数列与等比数列的通项公式与求和公式【答案解析】(1)21n a n =-；(2)122n n T +=-.解析：解：(1)设公差为d ,因为113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以()1121n a a n d n =+-=-,即所求数列的通项公式为*21,n a n n N =-∈； (2)由(1)得()1122n n nna b n-+==,所以()()11*121222,112n n n n b q T n N q+--===-∈--【思路点拨】在解答题中一般遇到等差数列与等比数列通常利用其通项公式与求和公式列出首项与公差或公比的方程组,通过解方程组求出首项与公差或公比再进行解答. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知向量m =(a －b ,c －a ),n =(a +b ,c )且m ·n =0. (1)求角B 的大小； (2)求函数f (A )=s1n 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值域. 【知识点】向量的数量积的坐标运算,余弦定理、三角函数的值域 【答案解析】(1)3π；(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦解析：解：由m ·n =0得222a cb ac +-=,由余弦定理得2221c o s 22a c b B ac +-==,又因为B 为三角形内角,所以3B π=；(2)由(1)得20,33A C πππ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,所以51,,sin ,166662A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦,则所求函数的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用,在三角函数给定区间求值域问题,通常先由所给角的范围得辅角范围,再利用三角函数的单调性确定值域. 18.(本小题满分12分)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为200的样本统计数据如下表：(1)已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A,B.C,D,E,F六名学生中,但有A,B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率.【知识点】抽样方法、古典概型【答案解析】(1)7650名；(2)3 5解析：解：(1)42500×36200=7650(名)；(2)从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共15个,设事件G表示至少有一位学生认为作业多,符合要求的事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}共9个,所以()93 155P G==,所以至少有一名学生认为作业多的概率为3 5 .【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型,若总体个数有限为古典概型,利用古典概型计算公式计算,若总体个数无限为几何概型,利用几何概型计算公式计算.19.(本小题满分12分)如图,已知⊙O的直径AB=3,点C为⊙O上异于A,B的一点,VC⊥平面ABC,且VC=2,点M为线段VB的中点.(1)求证：BC⊥平面VAC；(2)若AC=l,求二面角M－VA－C的余弦值.【知识点】直线与平面垂直的判定、二面角的求法【答案解析】(1)略；(2)11解析：解：(1)证明：因为VC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VC⊥BC,又因为点C为圆O上一点,且AB 为直径,所以AC⊥BC,又因为VC,AC⊂平面VAC,VC∩AC=C,所以BC⊥平面VAC.(2)由(1)得BC⊥VC,VC⊥AC,AC⊥BC,分别以AC,BC,VC,所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C—xyz如图则A(1,0,0),V(0,0,2),B(0,设平面VAC的法向量()()()02201021m CB VA AB===-=-，，，，，，,设平面VAM的法向量()n x y z=，，,由200x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令y得42x z =⎧⎨=⎩,所以()4,2,2,cos ,1122mn n m n m n∙====∙,即所求二面角的余弦值为11 【思路点拨】在证明直线与平面垂直时,一般结合直线与平面垂直的判定定理,只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解,当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系,借助于平面的法向量解答. 20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系x Oy 中,点P 是圆x 2+y 2=4上一动点,PD ⊥x 轴于点D ,记满足1()2OM OP OD =+的动点M 的轨迹为F . (1)求轨迹F 的方程；(2)已知直线l ：y =kx +m 与轨迹F 交于不同两点A ,B ,点G 是线段AB 中点,射线OG 交轨迹F 于点Q ,且,OQ OG λλ=∈R .①证明：λ2m 2=4k 2+1；②求△AOB 的面积S (λ)的解析式,并计算S (λ)的最大值.【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算【答案解析】(1)2214x y +=；(2)①略,②()()1,S λλ=∈+∞,最大值为1. 解析：解：(1)设点M (x ,y ),()00,P x y ,得点D 坐标为()0,0x ,且22004x y +=.①因为()12OM OP OD =+,所以002x x y y=⎧⎨=⎩②,将②代入①得2244x y +=,所以所求的轨迹方程为2214x y +=； (2)①令()()1122,,,A x y B x y ,由()22222,148440440y kx m k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+-=⎩得,所以()()()22222121222221212228414440 1488141444441414km k m m k km km x x x x k k m m x x x x k k ⎧⎧∆=-+->⎪⎪<+⎪⎪--⎪⎪+=+=⎨⎨++⎪⎪⎪⎪--==⎪⎪++⎩⎩即③,所以()()12122282221414k km m y y k x x m m k k -+=++=+=++,由中点坐标公式得224,1414kmm G k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,根据OQ OG λ=,得224,1414km m Q k k λλ-⎛⎫⎪++⎝⎭,将其代入椭圆方程,有()()222222222411414k m m k k λλ+=++.化简得22214m k λ=+④②由③④得m ≠0,λ＞1.因为12x x -==, 在△AOB 中,1212S m x x ∆AOB=∙-⑥,由④⑤⑥得()()21,S λλλ==∈+∞,令()0,t =+∞,则. ()222211112t S t t t tλ==≤===++当且仅当即所以当λ=,()S λ=取得最大值,其最大值为1.【思路点拨】在求轨迹方程问题时,若所求点与已知曲线上的点相关,可用代入法求轨迹方程,在遇到直线与圆锥曲线位置关系问题时,经常把问题转化为坐标关系,通过联立方程借助于韦达定理、中点坐标公式及弦长公式寻求等量关系,若遇到向量关系,先看有无直接的几何条件特征进行转化,否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关系解答.21.(本小题满分14分, 巳知函数f (x )=x 1nx ,g (x )=13ax 2－bx ,其中a ,b ∈R . (1)求函数f (x )的最小值；(2)当a >0,且a 为常数时,若函数h (x )=x [g (x )+1]对任意的x 1>x 2≥4,总有1212()()0h x h x x x ->-成立,试用a 表示出b 的取值范围； (Ⅲ)当b =23-a 时,若f (x +1)≤32g (x )对x ∈[0,+∞)恒成立,求a 的最小值. 【知识点】导数的综合应用 【答案解析】(1)1e -；(2)1016a <<时,(b ∈-∞；当116a ≥时,1,28b a ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦；(Ⅲ)1解析：解：(1)因为()()'ln 1,0,fx x x =+∈+∞,令()'10,f x x e ==得,所以f (x )在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,则f (x )在1x e =处取得最小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.(2)由题意得()()3213h x xg x x ax bx x =+=-+在[4,＋∞)上单调递增,所以()'2210h x ax bx =-+≥在[4,＋∞)上恒成立.即2112ax b ax x x+≤=+在[4,＋∞)上恒成立,构造函数()()()10,0,F x a x a x x=+>∈+∞,则()2'2211ax F x a x x -=-=,所以()0,F x a ⎛= ⎝⎭上单调递减,在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (1)当14016a a ><<即时,F (x )在4⎡⎢⎣⎭上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,所以F (x )的最小值为F =⎝⎭,所以2b b ≤≤； (2)当1416a ≤≥即时,F (x )在(4,+∞)上单调递增,()11244,248b F a b a ≤=+≤+从而；综上,1016a <<时,(b ∈-∞；当116a ≥时,1,28b a ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦；(Ⅲ)当23b a =-时,构造函数()()()()()[)23111ln 1,0,22G x f x g x x x ax ax x =+-=++--∈+∞,由题意有G (x )≤0对x ∈[0,+∞)恒成立,因为()()[)'ln 11,0,G x x ax a x =++--∈+∞.(1)当a ≤0时,()()()'ln 1110G x x a x =++-+>,所以G (x )在[0,+∞)上单调递增,则G (x )＞G (0)=0在(0,+∞)上成立,与题意矛盾.(2)当a ＞0时,令()()[)()1',0,,'1x G x x x a x ϕϕ=∈+∞=-+则,由于()10,11x ∈+ ①当a ≥1时,()()[)1'01x a x x ϕϕ=-<0,+∞+在，上单调递减,所以()()()[)010,'00x a G x ϕϕ≤=-≤≤+∞在，上成立,所以G (x )在[0,＋∞)上单调递减,所以G (x )≤G (0)=0在[0,＋∞)上成立,符合题意.②当0＜a ＜1时,()[)111',0,11a x a x a x x x ϕ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-=∈+∞++,所以()10,1x x a ϕ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭在上单调递增,在11,x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭上单调递减,因为()010a ϕ=->,所以()100,1x a ϕ⎡⎫>∈-⎪⎢⎣⎭在x 成立,即()1'001G x a ⎡⎫>∈-⎪⎢⎣⎭在x ，上成立,所以()10,1G x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在上单调递增,则G (x )＞G (0)=0在10,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上成立,与题意矛盾.综上知a的最小值为1.【思路点拨】本题主要考查的是利用导数求函数的最值,利用导数求最值一般先判断函数的单调性,再结合单调性确定最值位置,对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为函数的最值问题解答.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ ）A ．[0,2] B. [1,3) C. (1,3) D.(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ）A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A ． ()cos(1)f x x =+B.()f x x =C.()tan f x x = D.3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个10.设函数()3sin x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b 满足10|a b |+=,6|a b |-=,则a b ⋅=12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，， 则sin B =13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =14.随机地向半圆202y ax x <<-（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中BADC. PD CBAP)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ；③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18.在四棱锥P A B C D -中，PD ⊥平面A B C D ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.第（17）题图19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式； （2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆222210:()x y M a b a b +=>>的长轴长为42，且与椭圆22124x y +=有相同的离心率. (I )求椭圆M 的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.21. 已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x l n ()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；(3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明．成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ C ）B.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D.0||,2000≥+∈∃x x R x2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ B ）（A ）[0,2]（B ）[1,3)（C ）(1,3)（D ）(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（D ）（A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ=（D ）sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ A ） (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（D ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函俯视图侧（左）视图正（主）视图数中是准偶函数的是 ( A ) (A) ()cos(1)f x x =+(B) ()f x x =(C) ()tan f x x =(D) 3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ D ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ B ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ） （A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个10.设函数()3sin x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ B ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线BADC. P122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 1414.随机地向半圆202y ax x <<-（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .112π+ 15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ； ③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x x x x f其中具有性质)2(ω的函数 ①② ③三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x 2k pp?，k ∈Z ， 即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-=)42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ．……………………………………………………………8分（II ）由题意得12sin(2)4πx -+≥0，即sin(2)4πx +≤22，解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且x 2k p p?，k ∈Z }．………………………………………………12分17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.D CBAP解： (1)第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有: (A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),( A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2), (A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种. …………8分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3, B 2), (B 1,B 2), (B 1,C 1), (B 2,C 1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分18.在四棱锥P A B C -中，PD ⊥平面A B C ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.zFyxE PA BCD证明：(Ⅰ)在四棱锥P ABCD -中，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥. 因为90BCD ∠=︒， 所以BC CD ⊥.因为PDDC D =, 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ,所以BC PC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz . 不妨设1=AD ，则2===PD CD BC .则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P .所以(1,0,2)=-PA u u r ，(2,2,2),(0,2,2)=-=-PB PC u u r u u u r.设平面PBC 的法向量(,,)=x y z n .所以 0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uu u r PB PC n n .即2220,220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令1y =，则0,1x z ==. 所以(0=n 所以21co s,552-<>==-⋅uu rPA n 所以PA 与平面PBC 所成角的正弦值为105. ………8分所以DF PC ⊥. 因为BC ⊥平面PCD ， 所以DF BC ⊥.因为=PC BC C I , 所以DF ⊥平面PBC . 所以AE ⊥平面PBC .即在线段PB 上存在点E ,使AE ⊥平面PBC .（法二）设在线段PB 上存在点E ,当(01)=<<u u r u u r PE PB λλ时，AE ⊥平面PBC .设000(,,)E x y z ，则000(,,2)=-PE x y z uur .所以000(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-.即0002,2,22x y z λλλ===-+.所以(2,2,22)E λλλ-+.所以(21,2,22=--+AE λλλu u u r .由(Ⅱ)可知平面PBC 的法向量(0,1,1)=n .若AE ⊥平面PBC ，则//u u u r AE n .即=u u u r AE μn .解得1,12λμ==. 所以当12=PE PB uur uu r ，即E 为PB 中点时，AE ⊥平面PBC . ………12分19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式；（2）若13n n n n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆 有相同的离心率.(I )求椭圆M 的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； (3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明．解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x x x+=--== ………2分（1）当x>0时，有221(1ln )1ln ()x x x x f x x x ⋅-+⋅'==- ()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；()0ln 01f x x x '<⇔>⇔> 所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << …4分（2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++ 令(1)(1l n )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 []22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'== 令()ln (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当1x =时取等号．所以()ln h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>．……6分因此，2()()0h x g x x '=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，min ()(1)2g x g ==．所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ …………………8分（3）(方法一)由（2），当1x ≥时，即12)(+≥x x f ，即12ln 1+≥+x x x ． 从而x x x 21121ln ->+-≥．………..10分 令1(1,2,,)k x k n k+==，得,22112ln -> 322ln 123⋅>-， ……12ln 11n n n n +⋅>-+将以上不等式两端分别相加，得123ln(1)2()2341n n n n +>-+++++ 1123ln 2()12341n n n n ∴<++++-++ ………………………14分 （方法二）1=n 时，2ln 11ln -=+n < 011132212=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n 猜想11ln +n n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<132212 对一切*N n ∈成立。