抛物线的几何性质2

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.
解：设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y kx b
y
M A F
B
y kx b 2 x kx b 0 2 y x
o
x
由弦长 | AB | 1 k 2 k 2 4b 2
y1 y2 x1 x2 k2 y0 k( )b b 2 2 2
1 k2 b 2 1 k 4
k2 1 1 k 2 1 1 1 3 y0 1 (当k 1时，取等号 ) 2 2 4 1 k 4 1 k 4 4 4
y0 min 3 4
试试看!
学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.
课外思考: 1.求抛物线 y 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 （即在抛物线的内部） 的轨迹方程. x 2 （ y ≥ 2 2 ） 2.若抛物线 y 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 . 线 y x m 对称,且 x1 x2 ,则 m _____ 2 2
OA⊥OB(O为坐标原点),求证:
(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值; (2)直线AB经过一定点.
例3：在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线 Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y x 1 直线的方程是__________________________.
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
练习.在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2上异于坐 标原点O的两不同动点A,B,满足OA⊥OB;
(1)求 (2) 的重心的轨迹方程; 的面积是否存在最小值?若存在,
求出最小值,若不存在,请说明理由.
1 此时 l AB : y x 4
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.
解法二： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN AD BC , MN
1 AD BC 2( y0 ) 4
1 AF BF 2( y0 ) 4
p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
即y0 min
3 4
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.
抛物线的几何性质
第二课时
讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
y
x F
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2
分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.
例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛 物线两交点为A、B，且线段AB中点为M （2，1），求直线l的方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法
例3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB为抛物线 的焦点弦,求证: (1) x1x2 为定值; (2)
例4.AB是抛物线y2=2px(p>0)上两点Baidu Nhomakorabea满足