6、有理数巧算
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数的巧算方法
有理数的巧算方法有理数的计算呀，就像是一场有趣的游戏！咱先来说说加法。
嘿，你想想看，这加法不就像是把一堆小积木堆在一起嘛！比如 3 和 5 相加，那就是把 3 个小积木和 5 个小积木放到一块儿，结果不就是 8 个嘛！但有时候会遇到一些带符号的有理数相加，这时候可得注意啦！同号的就像志同道合的小伙伴，加起来顺顺利利的，比如两个正数或者两个负数相加，符号不变直接加数值就行啦。
可要是异号呢，那就有点像两个意见不太一样的人凑一块儿，得看谁的力量大，数值大的那个符号就是结果的符号，然后用大的数值减去小的数值。
再说说减法，哎呀呀，减法其实就是加法的变身呀！减去一个数不就等于加上它的相反数嘛！就好比说 5 减 3，不就是 5 加上-3 嘛，这多好理解呀！乘法呢，就像是一群小伙伴手牵手一起玩。
正数乘正数，那就是大家都很开心，结果也是正数；负数乘负数，那就是负负得正，就像大家一起把不开心的都抛开了，也变成正数啦；可要是一正一负相乘，那结果可就是负数喽，就像有一个小伙伴不太高兴，把气氛都带得有点低落啦。
除法呢，和乘法也有关系呀，除以一个数不就等于乘以它的倒数嘛。
这就好像是走一条路，正着走和倒着走的关系一样。
那咱再来说说一些巧算的方法。
比如凑整法，看到那些能凑成整数的数，就赶紧把它们凑到一块儿呀，这样计算起来多方便！还有利用运算律，加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，这些可都是宝贝呀，能让计算变得轻松好多呢！比如说计算 25×4×8，就可以先把 25 和 4 乘起来得 100，再乘以 8，多简单呀！再比如有些算式里有相同的因数，那就可以提取出来呀，剩下的数再进行计算，这多巧妙呀！还有些特殊的数对，像 1 和-1，0 之类的，遇到它们的时候也可以巧妙利用哦。
有理数的巧算方法可多啦，只要咱多观察、多思考，就一定能把这些计算变得像玩游戏一样有趣！别再觉得有理数计算很难啦，掌握了这些巧算方法，你会发现原来计算也可以这么有意思！你还在等什么呢，赶紧去试试吧！。
有理数的运算技巧
有理数的运算技巧有理数是指可用整数比值得数，包括整数、分数以及这两者之间的有限小数或循环小数。
有理数具有很多特点和规律，掌握一些运算技巧可以帮助我们更快更准确地进行有理数的运算。
下面将介绍一些常用的有理数运算技巧。
1.整数的加减运算：a)同号相加减：将它们的绝对值相加，结果的符号与原来相同。
b)异号相加减：将绝对值较大的数减去绝对值较小的数，结果的符号与绝对值较大的数相同。
2.分数的运算：a)分数的加减：先找到两个分数的最小公倍数，然后将两个分数的分子乘以最小公倍数除以原分母，再进行相加减即可。
b)分数的乘法：将两个分数的分子乘积作为结果的分子，分母乘积作为结果的分母。
c)分数的除法：将除数分数的分子与被除数分数的分母相乘，除以除数分数的分母与被除数分数的分子的乘积。
3.有理数的混合运算：首先进行混合数的整数部分的加减运算，然后再进行分数部分的运算。
如：31/4+22/5=(3+2)+(1/4+2/5)4.有理数的乘方运算：将有理数的底数按照要求进行相应的运算，然后再求幂。
如：(-2/3)^3=(-2/3)*(-2/3)*(-2/3)5.有理数的开方运算：对于完全平方数的有理数，可以直接提取出有理数的平方根。
对于非完全平方数的有理数，可以先将其化成最简分数形式，再进行开方运算。
6.有理数的逆运算：a)有理数的相反数：改变有理数的符号即可。
如：(-5)的相反数为5b)分数的倒数：将分子与分母互换位置即可。
如：1/4的倒数为4/17.有理数的化简：a)两数的最大公约数：将两数各自分解质因数，然后将公共的质因数相乘，得到的结果即为最大公约数。
b)两数的最小公倍数：将两数各自分解质因数，将各自分解质因数中的若干个质因数按照次数最多的那一组相乘，得到的结果即为最小公倍数。
8.小数的进位和舍位：a)进位：小数的末尾数大于等于5时，前一位数进位。
b)舍位：小数的末尾数小于5时，前一位数舍去(不进位)。
以上是有理数运算的一些常用技巧，通过掌握这些技巧，我们可以更加便捷和准确地进行有理数的运算。
有理数巧算“十字诀”
有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.例1、计算：－（0.5)－（－3) + 2。
75－(7）变式：计算:二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4＋（－）]＋［(－）＋6］．变式：计算:四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17。
48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：变式2：4726342+4726352-472633×472635—472634×472636五、巧拆项(裂项相消)把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①②③④例5、计算2005×－1001×．例6、变式1：变式2:变式3：计算：六、变量替换(换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算×（0.125＋）．例8、(第8届“希望杯"）计算：变式1：计算（2＋）×（）－（2＋）×（）变式2：计算变式3:计算七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算:2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算＋（＋）＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋（＋＋…＋＋)．变式1：计算变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对(添项法)添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式:计算十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－＋－＋－＋－＋．例13、计算：变式1：计算：变式2：计算:十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。
有理数运算技巧十招
2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31
4 5
1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12
5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18
中考数学专题讲练 有理数的巧算(解析版)
有理数的巧算一．结合律加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变．二．分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.三．裂项法在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．常用拆项公式：（1）()11111n n n n =-++； （2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，或()()()()()21112112n n n n n n n =-+++++；（4）11a ba b a b+=+⨯，11b aa b a b-=-⨯．四．换元法我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律；（2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题．一．考点：结合律、分配律、裂项法、换元法．二．重难点：裂项法、换元法．三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少．题模一：结合律例1.1.1151515 8124292929⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【解析】该题考查的是有理数巧算．观察该题，发现都含有共同的因数1529-．因此先提取公因数 原式()15812429⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭， 15029⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 0=例1.1.2 计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯【答案】 49.5- 【解析】 ()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯5.59=-⨯49.5=-．题模二：分配律例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣311836+-）． 【答案】 6．【解析】 原式=1+9﹣8+4=6．例1.2.2 阅读下列材料： 计算（﹣130）÷（23﹣110+16﹣25） 解法①：原式=（﹣130）÷23﹣（﹣130）÷110+（﹣130）÷16﹣（﹣130）÷25=﹣120+13﹣15+112=16解法②：原式=（﹣130）÷[（23+16）﹣（110+25）]=（﹣130）÷（56﹣12）=﹣130×3=﹣110 解法③：原式的倒数为（23﹣110+16﹣25）÷（﹣130）=（23﹣110+16﹣25）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣110（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．（2）请计算：（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）． 【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣18【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．（2）∵（16﹣314+23﹣37）÷（﹣142） =（16﹣314+23﹣37）×（﹣42） =16×（﹣42）﹣314×（﹣42）+23×（﹣42）﹣37×（﹣42） =﹣7+9﹣28+18=﹣8 ∴（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）=﹣18题模三：裂项求和例1.3.1 已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】 20142015【解析】 由220ab a -+-=知，2a =，1b =． 原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 例1.3.2 计算：15791113151261220304256-+-+-+ 【答案】 98 【解析】 15791113151261220304256-+-+-+ 1223344556677812233445566778+++++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111112233445566778⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111112233445566778=+--++--++--++ 118=+ 98=． 题模四：换元法例1.4.1 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】 12012【解析】 设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练1.1 计算：()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯ 【答案】 15-【解析】 提取公因数．()()()32419324191515151515171717171717⎛⎫-⨯+-⨯--⨯=-⨯+-=- ⎪⎝⎭． 随练1.2 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 【解析】 该题考查的是实数的混合运算． 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 357364912⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭()395473=-⨯-⨯+⨯272021=--+26=-随练1.3 计算：1517()(36)126369-+--⨯- 【答案】 2【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．原式()()()()151736363636126369=-⨯-+⨯--⨯--⨯- 330128=-++=2随练1.4 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】 91216- 【解析】 ()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 91216=-．随练1.5 阅读材料：计算：12112()()3031065-÷-+- 解法1：原式＝1211215111()()()()()3303610530623010⎡⎤-÷++--=-÷-=-⨯=-⎢⎥⎣⎦； 解法2：原式的倒数为：()21121211230310653031065⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20351210=-+-+=-， 故原式＝110-。
有理数的计算方法与技巧
有理数的计算方法与技巧
1. 嘿，你知道吗，有理数计算有个超棒的方法叫凑整法！就好像搭积木一样，把能凑成整数的数字放在一块儿。
比如算 37+63，这不是很明显能凑成 100 嘛！这样计算起来多轻松呀，是不是很妙啊？
2. 还有哦，转化法也很厉害呀！把分数呀小数呀转化成容易计算的形式。
比如说不就等于四分之一嘛，这样一转换，计算就简单多啦。
就像给数字变个魔法一样，多有趣呀！
3. 哇塞，裂项相消法也绝对不能错过！当遇到那种一连串可以拆分的式子，就像拆礼物一样把它拆开。
比如算 1/2+1/6+1/12，把它们拆成
1/(12)+1/(23)+1/(34)，然后一消，结果就出来啦，神奇吧！
4. 特殊值法也超好用的呀！有时候不用费劲去算复杂的式子，找个特殊值代入试试。
比如说要研究一个式子的规律，随便找个方便的数带进去，不就大概能知道啦，多快捷呀！
5. 整体代入法也非常酷哦！当式子中有相同的部分，就像发现宝藏一样把它拎出来整体代入。
比如前面算出一个值后面又用到，直接代入，多省力呀！
6. 倒推法有时候也能派上大用场呢！从结果反推回去找答案。
就好像走迷宫从出口往入口找路一样，是不是很特别啊！
7. 分类讨论法也很关键呢！根据不同情况分别去算。
好比走不同的路去寻找答案，每一条路都可能有惊喜呢！
总之，有理数的计算方法和技巧那可真是丰富多彩呀，掌握了这些，计算起来就像玩游戏一样有趣又轻松！。
有理数的巧算讲义知识点经典例题练习
有理数的巧算【知识要点】1. 凑整法如果几个数的和恰好可以凑成未尾带零的整数或者一个特殊的整数，那么,就先求出这几个数的和，可以使计算简便,这种方法叫做凑整法.2. 巧用乘法分配律3. 倒写相加法用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法．4. 整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化.5．错位相减法用将原式乘以n （n 为正整数）后所得的新式，减去原式，抵消两式中相同的项，这样能使计算简化，这种计算方法叫做错位相减法．6． 裂项相消法：（1）()11+n n 型（n 为自然数）裂项公式．因为111+-n n =())1(1)1(11+=+-++n n n n n n n n ， 所以，有裂项公式()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型（k n ,均为自然数）裂项公式． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n k 111()()()kn n k n n n k n n k n k +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=11 所以，有裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 【典型例题】例1. 计算：89999989999899989989++++例2. 计算：85314526612833531218++++++例3. 计算：445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯例4. 计算：（1） 20128642+++++ΛΛ(2) 201110741+++++ΛΛ例5. 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++17113111119117113111111911711311111711311111例6. 计算:（1） 10099199981321211⨯+⨯++⨯+⨯ΛΛ（2）201420111201120081741411⨯+⨯++⨯+⨯ΛΛ（3）|41－31|+|51－41|+……+|201－191|例7. 1281641321161814121++++++例8. 求和20113222221+++++=ΛΛS思考题:在□1□2□3□4□5□6□7□8□9□10□11□12□13□14的□中任意填入“+”和 “-”号，则运算的结果可能得到的最小非负值是 ．【初试锋芒】1．计算：20112010201120092011220111++++ΛΛ2. 计算：20122011201020097654321-+-+-+-+-+-ΛΛ3．计算：32191617815413211++++4．计算：121011191531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ΛΛ5. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫⎝⎛++199812119991211199812111999121ΛΛΛΛ6．计算：14552735214974-++--7．计算：9.03.02.01.010*********++++-+-+-+-+-Λ【大显身手】1．计算： 2011200920077531+++++++Λ2．计算：11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯L L3．计算：111111123456761220304256++++++ * 4．计算：2101111333++++L L。
有理数运算技巧十五招
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
初中数学有理数的巧算与速算学法指导
有理数的巧算与速算计家娥有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。
而凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。
例1. 求59...4321+++++的值。
分析1：根据题目特点，可以凑整求和，再把和相加。
解：原式=()()()()303129...573582591+++++++++3060...606060+++++=1770302960=+⨯=分析2：根据题目特点，把算式倒写，然后把两个算式相加，也可以凑整求出。
解：设S=59...4321+++++，则123...575859S ++++++=，所以()()()()5960159...573582591S S ⨯=++++++++=+所以1770S =。
这种方法实质上就是常说的利用梯形的面积公式求和法，即：原式=()17705959121=⨯+⨯ 友情提示： 连续数求和，都可利用梯形面积公式21S =（上底+下底）⨯高。
上底是指最小的数，即首项，下底是指最大的数，即末项，高是指数的个数，即项数。
上例中，上底是1，下底是59，共有59个数相加，所以高是59，上面的公式还可以写成21S =（首项+末项）⨯项数，而解决此类问题的关键是找准项数，可采用公式： 项数项差项差首项末项+-= 例如：在求25...741++++的值时，首项是1，末项是25，项差是3，所以项数是933125=+-，因此， 原式()117925121=⨯+=。
演练场1. 求和384...232231+++。
2. 求和2119...531+++++。
3. 求和20...642++++。
例2. 求和1091...431321211⨯++⨯+⨯+⨯。
分析：考虑到拆项11211=⨯21-，3121321-=⨯，4131431-=⨯，…，-=⨯911091101，然后相加，正负相消，只剩首末两项，1091011=-，问题得解。
有理数的运算技巧
有理数的运算技巧
1. 哇哦，有理数运算里加法技巧可重要啦！比如计算 2+3+(-1)，可以先把正数加起来，2 和 3 相加得 5，再加上负数-1，轻松得出 4，是不是很简单呀？
2. 嘿，减法也有妙招哦！像，咱先把减法变加法，就成了 5+(-3)+2，然后计算得出 4，你说这招妙不妙啊？
3. 哎呀呀，乘法的技巧那可得掌握好！比如2×3×(-4)，先算2×3 得 6，再乘以-4 就是-24 啦，是不是很神奇呢？
4. 哇塞，除法技巧来咯！像18÷(-3)÷(-2)，先计算18÷(-3)得-6，再除以-2 就等于 3 啦，学会了没？
5. 嘿哟，混合运算的时候要注意顺序呀！就说2+3×4，得先算乘法3×4 是12，再加上 2 就是 14 呢，可别弄错啦！
6. 咦，凑整技巧也很好用哦！比如 9+11+(-8)+(-2)，可以把 9 和 11 凑整得 20，-8 和-2 凑整得-10，最后结果就是 10，有意思吧？
7. 哇，分数运算也有诀窍呢！像 1/2+1/3，先通分变成 3/6+2/6，结果就是 5/6，超好用的哟！
8. 嘿，负数的运算要小心哦！比如(-5)+(-3)，两个负数相加得-8，可要记清楚啦！
9. 总之，掌握这些有理数运算技巧，就能在数学运算中如鱼得水啦！计算起来又快又准，爽歪歪呀！。
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧Revised on November 25, 2020有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。
七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=- 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+= 六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例6：计算：例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
11221212=+= 七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭。
13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
有理数的巧算(含答案)
有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 基础练习1、 计算：（1）)12()9()15(8---+---； （2）)1()2.3(7)56(-+----；（3）21)41(6132-----； （4）)2.4(3112)527()3211(------.2、计算：（1）)]41()52[()3(-÷-÷-； （2）3)411()213()53(÷-÷-⨯-；（3）)5()910()101()212(-÷-÷-⨯-； （4）74)431()1651()56(⨯-÷-⨯-3、计算：（1）)2(66-÷+-； （2）)12(60)4()3(-÷--⨯-；（3）)6()61(51-⨯-÷+-； （4）101411)2131(÷÷-.典例分析：（1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷.随堂练习：（1）)425()327261(-÷+-； （2）]51)31(71[1051---÷.3、对整数10,6,3,2-（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算结果等于24，运算式可以是 、 、 .4、已知a ＜0，且1 a ，那么11--a a 的值是（ ）A 、等于1B 、小于零C 、等于1-D 、大于零5、已知03=++-y x y ，求xyyx -的值.6、若0,0≠≠b a ，≠c 0，求b b a a+cc+的可能取值。
体验中招1、（2009年，茂名）若实数y x ,满足0≠xy ，则yy x xm +=的最大值是 。
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老师
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学生姓名教材版本________版
学科
名称
年级七上课时间月日 _ : -- _ : 课题
名称
第六讲有理数巧算
教学
目标
及重
难点
巧算练习
教学过程复习检查
知识梳理
裂项法
零点分段法
1.零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．绝对值的几何意义的拓展
1.a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
2.a b
的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．
典型例题
1．利用裂项技巧计算（）×33时，最恰当的方案可以是（）
A．（100﹣）×33 B．（﹣100﹣）×33
C．﹣（99+）×33 D．﹣（100﹣）×33
2．在计算＝﹣×（﹣24）…．①＝12+6+4＝22中①运用了（）
A．加法结合律B．加法交换律C．乘法分配律D．加法分配律
3．阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．
解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣），
∴+++…+
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1）+＝；
（2）当+++…+x＝时，最后一项x＝．
4．计算：++…+（提示：裂项法）
5．阅读下面文字：
对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）
可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999）
6．请你观察：
＝﹣，＝﹣；＝﹣；…
+＝﹣+﹣＝1﹣＝；
++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++＝；
（2）++++…+＝．
（3）计算：++++的值．
7．阅读下列计算方法，再用这种方法计算下面一题．
计算：（﹣9）+17+（﹣3）．
解：原式＝[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）++（﹣）]＝5+0＝5．
上面这种解题方法叫做拆项法，根据拆项法计算：（﹣1999）+4000+（﹣1）
8．阅读下面文字：
对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）
可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
＝0+（﹣1）
＝﹣1
上面这种方法叫折项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：（1）﹣1+（﹣2）+7+（﹣4）＝
计算：（2）（﹣2017）+2016+（﹣2015）+16．
9．阅读下面的材料：
高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S＝1+2+3+…+100，①则S＝100+99+98+…+1．②
①+②，得2S＝101+101+101+ (101)
（①②两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）
所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2 ③
所以1+2+3+…+100＝5 050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (1000)
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝．
（3）请你利用（2）中你猜想的结论计算：1+2+3+ (2013)
10．要求几个连续整数的和，例如：求1+2+3+4+5的和，我们可以采用如下方法：设s＝1+2+3+4+5 ①把上式倒序排列得s＝5+4+3+2+1 ②
①与②两边分别相加得：2s＝（1+5）+（2+4）+…+（5+1）＝（1+5）×5
所以s＝＝15 这种求和的方法叫做倒序求和法
（1）方法运用：请你用上面方法求1+2+3+4…+99+100的和
（2）问题解决：某校初一（2）班共有60名学生，放寒假当天60名学生每两人握手一次进行道别，那么全班同学共握手多少次？
（3）拓展延伸：如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，求第n个图有多少个的小正方形．
同步练习
11．一股民在上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本星期内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星期一二三四五
每股涨跌+4 +4.5 ﹣1 ﹣2.5 ﹣6
（1）星期三收盘时，每股多少元？
（2）本星期内每股最低价多少元？
（3）本周星期几抛售，获利最大，最大是多少？
12．计算
（1）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣2）﹣（+1.75）﹣（﹣1）
﹣4×（﹣2）﹣6×（﹣2）+17×（﹣2）﹣19÷
（2）
（3）﹣12+×[﹣22+（﹣3）2×（﹣2）+（﹣3）]÷（﹣）2
13．若“三角形”表示运算a﹣b+c，若“方框”表示运算x﹣y+z+w，求的值，列出算式并计算结果．
14．某市某公交车从起点到终点共有六个站，一辆公交车由起点开往终点，在起点站始发时上了部分乘客，从第二站开始下车、上车的乘客数如表：
二三四五六站次
人数
下车（人） 3 6 10 7 19
上车（人）12 10 9 4 0
（1）求本趟公交车在起点站上车的人数；
（2）若公交车的收费标准是上车每人2元，计算此趟公交车从起点到终点的总收入？
15．阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是，第二处是第步，错误的原因是；
（3）正确的结果是．
16．计算
（1）（﹣1.5）+（﹣）﹣（﹣）﹣（+1）（2）（+）﹣（﹣）﹣|﹣3|
（3）﹣99×99（用简便方法计算）（4）﹣÷（﹣+）
（4）﹣54×2÷（﹣4）×（6）﹣5×（﹣3）+（﹣9）×（+3）+17×（﹣3）
（7）﹣32××[（﹣5）2×（﹣）﹣240÷（﹣4）×]
（8）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
巩固练习
17．“十•一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期1日2日3日4日5日6日7日
+1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4 人数变化
单位：万人
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
18.王老师在一节数学课上讲解了二道例题：Array
请你参考黑板上王老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）99×15；
（2）999×118+999×（﹣）﹣999×．
19．计算：
（1）﹣3+8﹣7﹣15；（2）1÷（）×；
（2）（﹣0.25）×0.5×（﹣70）×4；（4）（+﹣）÷（﹣）；
（5）﹣18×19；（6）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
20．计算
（1）（﹣）+﹣（2）2﹣（﹣4）+8÷（﹣2）+（﹣3）
（3）（﹣24）×（﹣1﹣）（4）﹣9×（﹣11）÷（﹣3）÷（﹣3）
（5）42×（﹣）+（﹣）÷（﹣0.25）；（6）﹣23﹣[﹣3+（﹣3）2÷（﹣）]．
21．计算
（1）；（2）[﹣42﹣（﹣3）2]÷（﹣5）
（3）；（4）．
课后
小结。